ii

CONTENTS

DAY 1

TINGKATAN 1 – 3

A) Persamaan Linear 1

B) Ungkapan Algebra 3

C) Rumus Algebra 6

D) Ketaksamaan Linear 7

E) Indeks 9

F) Poligon 10

G) Penjelmaan 12

H) Statistik 16

I) Bulatan 18

J) Pepejal Geometri 20

DAY 2

TINGKATAN 4

Bab 1) Bentuk Piawai 22

Bab 2) Ungkapan dan

Persamaan Kuadratik 25

Bab 3) Set 28

Bab 4) Penaakulan Matematik 31

Bab 5) Garis Lurus 34

DAY 3

Bab 6) Statistik III 39

Bab 7) Kebarangkalian I 46

Bab 8) Bulatan III 48

Bab 9) Trigonometri II 51

Bab 10) Sudut Dongakan dan

Sudut Tunduk 56

Bab 11) Garis dan Satah dalam

Tiga Dimensi 58

DAY 4

TINGKATAN 5

Bab 1) Asas Nombor 61

Bab 2) Graf Fungsi II 64

Bab 3) Penjelmaan III 71

Bab 4) Matriks 73

Bab 5) Ubahan 79

DAY 5

Bab 6) Kecerunan dan Luas

di bawah Graf 83

Bab 7) Kebarangkalian II 88

Bab 8) Bearing 92

Bab 9) Bumi Sebagai Sfera 95

Bab 10) Pelan dan Dongakan 102

DAY 6

Format Peperiksaan SPM Terkini Starfish

Website

Jadual Analisis Peperiksaan SPM

Tahun Lepas

Starfish

Website

Kertas Model SPM 1 106

Kertas Model SPM 2 119

Kertas Model SPM 3 133

Jawapan Kertas Model SPM 1, 2, 3 Starfish

Website

DAY 7

Rumus Matematik 148

Soalan Ramalan SPM Starfish

Website

1

DAY 1

TINGKATAN 1 – 3

1. Penyelesaian suatu persamaan linear ialah mencari nilai pemboleh ubah yang memuaskan

persamaan itu.

2. Dalam penyelesaian persamaan linear,

Peraturan asas

(i.) Penambahan pada kedua-dua belah:

x – 4 = 11

x – 4 + 4 = 11 + 4

x = 15

(ii.) Penolakan pada kedua-dua belah:

x + 2 = 8

x + 2 – 2 = 8 – 2

x = 6

(iii.) Pendaraban pada kedua-dua belah:

x

–5 = 10

x

–5 × (–5) = 10 × (–5)

x = –50

(iv.) Pembahagian pada kedua-dua belah:

4x = –12

4x

4 =

–12

4

x = –3

3. Dalam penyelesaian persamaan linear serentak,

Contoh soalan:

Cari nilai x dan y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut:

3x – 6y = 0

2x + y = 15

Kaedah Penggantian

Langkah 1:

Salah satu persamaan linear disusunkan

semula kepada bentuk ungkapan satu

pemboleh ubah dalam sebutan pemboleh ubah

yang satu lagi.

3x – 6y = 0 ……①

x = 6y

3

x = 2y

Langkah 2:

Ungkapan dalam langkah 1 digantikan ke

dalam persamaan yang satu lagi. Suatu

persamaan linear dalam satu pemboleh ubah

sahaja terbentuk dan diselesaikan.

2x + y = 15 ……②

Gantikan x = 2y ke dalam ②,

2(2y) + y = 15

5y = 15

y = 3

Langkah 3:

Nilai yang diperoleh dalam langkah 2

digantikan ke dalam persamaan ① dan

seterusnya persamaan itu diselesaikan.

3x – 6y = 0

3x – 6(3) = 0

3x = 18

x = 18

3

x = 6

Maka, x = 6 dan y = 3

A) PERSAMAAN LINEAR

Dalam bahagian ini, anda akan menguasai:

1. Kemahiran menyelesaikan persamaan linear dan persamaan linear serentak.

21

DAY 1

5. Kon

Luas muka keratan rentas +

Luas muka melengkung

= j2 + js

1

3 × Luas tapak bulatan × tinggi

= 1

3 j2t

6. Piramid

Luas tapak +

Luas 4 muka segi tiga

1

3 × Luas tapak × tinggi

= 1

3 plt

7. Sfera

4j2 4

3 j3

1. Rajah berikut menunjukkan gabungan

pepejal yang terdiri daripada sebuah prisma

tegak dan semi silinder. Segi tiga bersudut

tegak ABC ialah keratan rentas seragam bagi

prisma tersebut. Isi padu bagi gabungan

pepejal ialah 637.71 cm3.

Gunakan = 22

7, hitung panjang AB.

2. Rajah berikut menunjukkan sebuah pepejal

piramid yang bertapak segi empat tepat dan

tingginya 12 cm. Sebuah pepejal berbentuk

hemisfera yang berjejari 4.5cm dikeluarkan

daripada tapak kon itu.

Gunakan = 22

7, hitung isi padu pepejal

yang tertinggal.

Soalan Popular SPM

Penyelesaian:

Isi padu semi silinder = 1

2 ×

22

7 × (

8

2)2 × 12

= 301.71 cm3

Katakan x ialah panjang AB, Isi padu prisma

= Luas muka keratan rentas × tinggi

= (1

2 × 8 × x) × 12

= (4x) × 12

= 48x cm3

Isi padu gabungan pepejal = 637.71 cm3

301.71 + 48x = 637.71

48x = 637.71 – 301.71

x = 336

48 = 7 cm

Penyelesaian:

Isi padu piramid

= 1

3 × Luas tapak × tinggi

= 1

3 × (18 × 16) × 12

= 1152 cm3

Isi padu hemisfera

= 1

2 ×

4

3 j3

= 1

2 ×

4

3 ×

22

7 × 4.53

= 190.93 cm3

Isi padu pepejal yag tertinggal

= 1152 – 190.93

= 961.07 cm3

25

DAY 2

2.1 Ungkapan Kuadratik

1. Ungkapan kuadratik = Ungkapan berbentuk ax2 + bx + c, dengan keadaan:

a) a, b dan c ialah pemalar.

b) a ≠ 0 (b dan c boleh bernilai 0).

c) x ialah pemboleh ubah, kuasa tertingginya ialah 2.

2. Ungkapan kuadratik terbentuk daripada proses pengembangan, iaitu pendaraban dua ungkapan

linear dalam pemboleh ubah yang sama.

1. 6 – 3(3 – x)2 =

A 6 + x2 C –21 + 18x – 3x2

B 6 – 9x – x2 D –21 + 18x + 3x2

2. 5(x – 1) – (3 + 3x) 2 =

A –14 – 13x + 9x2 C –14 – 18x + 9x2

B –14 – 13x – 9x2 D –14 – 18x – 9x2

2.2 Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik

1. Pemfaktoran = proses songsang dengan pengembangan untuk mendapatkan dua ungkapan

linear.

Bentuk Ungkapan Kuadratik Cara Pemfaktoran

ax2 + bx atau ax2 + c

jika terdapat faktor sepunya kecuali 1

bagi sebutan-sebutan ungkapan itu.

Faktor Sepunya Terbesar (FSTB)

sebutan-sebutan tersebut dikeluarkan.

BAB 2 : UNGKAPAN DAN

PERSAMAAN KUADRATIK

Dalam bab ini, anda akan menguasai:

1. Konsep ungkapan kuadratik dan persamaan kuadratik.

2. Kemahiran pemfaktoran.

3. Cara menyelesaikan persamaan kuadratik.

(ax + b) (cx + d ) = acx2 + ad+ bcx + bd

(a + b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a – b)2 = a2 – 2ab+ b2

Penyelesaian:

6 – 3(3 – x)2 = 6 – 3(9 – 6x + x2)

= 6 – 27 + 18x – 3x2

= –21 + 18x – 3x2

Penyelesaian:

5(x – 1) – (3 + 3x) 2 = 5x – 5 – (9 + 18x + 9x2)

= 5x – 5 – 9 – 18x – 9x2

= –14 – 13x – 9x2

Soalan Popular SPM

(ax + b) (cx + d ) = acx2 + bcx + (ad+ bd )

Pemfaktoran

Pengembangan

Ungkapan linear (ax + b) dan (cx + d ) ialah

faktor bagi

Ungkapan kuadratik acx2 + bcx + (ad+ bd ).

38

DAY 2

5.5 Garis Selari

1. Kecerunan dua garis lurus adalah sama jika dan hanya jika kedua-dua garis lurus itu adalah

selari.

1. Dalam satah Cartes berikut, garis lurus AB

dan

CD adalah selari. Persamaan garis lurus AB

ialah 2x + y = 4.

Cari:

(a) Persamaan garis lurus CD

(b) Pintasan-x bagi garis lurus CD

2. Rajah berikut menunjukkan segi empat

selari pada satah Cartes yang mewakili

kedudukan pasar, sekolah, balai polis dan

balai bomba.

Diberi bahawa skala ialah 1 unit : 1 km.

(a) Cari jarak, dalam km, antara pasar dan

balai polis.

(b) Cari persamaan garis lurus yang

menghubungkan balai polis ke sekolah.

Jika PQ // RS, maka mPQ = mRS.

Jika mPQ = mRS, maka PQ // RS.

Soalan Popular SPM

Penyelesaian:

2x + y = 4

y = –2x + 4

Bandingkan dengan y = mx + c, mAB = –2

AB // CD, maka mCD = mAB = –2

y = –2x + c

Gantikan x = –3, y = 8 ke dalam persamaan,

8 = –2(–3) + c

c = 8 – 6

= 2

Maka, persamaan garis lurus CD ialah

y = –2x + 2

Penyelesaian:

Gantikan y = 0,

y = –2x + 2

0 = –2x + 2

2x = 2

x = 2 ÷ 2 = 1

Maka, pintasan-x bagi garis lurus CD = 1.

Penyelesaian:

2y = 5x + 10

Apabila y = 0, 2 (0) = 5x + 10

–5x = + 10

x = –2

Jarak antara pasar dan balai polis

= (2 + 5) unit × 1 km = 10 km

Penyelesaian:

2y = 5x + 10

y = 5

2x + 5

Kecerunan garis selari yang menghubungkan

balai polis ke sekolah, m = 5

2

Gantikan x = 5, y = 0 ke dalam persamaan

y = mx + c, 0 = 5

2 (5) + c

c = – 25

2

Maka, persamaan garis lurus yang

menghubungkan balai polis ke sekolah:

y = 5

2x –

25

2

2y = 5x – 25

41

DAY 3

Penyelesaian:

(a)

3. Untuk melukis histogram,

Langkah 1:

Langkah 2:

Langkah 3:

Langkah 4:

1. Jadual berikut menunjukkan skor bagi 36 orang murid dalam acara sukan.

(a) Lengkapkan jadual berikut, dengan saiz kelas 3, berdasarkan data di atas.

(b) Daripada jadual dalam (a), cari min bagi skor murid.

(c) Lukis satu histogram bagi data di atas dengan skala 2cm kepada 3 skor pada paksi mengufuk dan

2cm kepada seorang murid pada paksi mencancang.

(d) Tafsirkan suatu maklumat daripada histogram tersebut.

Soalan Popular SPM

10 2 9 14 31 19 14 8 10 12 4 7

12 6 15 17 13 12 18 20 16 15 11 14

6 9 11 3 13 9 15 7 17 5 13 10

Skor Kekerapan Titik tengah

0 – 2

Skor Kekerapan Titik tengah

0 – 2 1 1

3 – 5 3 4

6 – 8 5 7

9 – 11 8 10

12 – 14 9 13

15 – 17 6 16

18 – 20 4 19

Tentukan sempadan bawah dan sempadan atas atau titik tengah

bagi setiap selang kelas.

Gunakan skala yang diberi atau pilih skala yang sesuai bagi :-

- Paksi mengufuk untuk mewakili sempadan kelas atau titik tengah.

- Paksi mencancang untuk mewakili kekerapan.

Tandakan kekerapan melawan sempadan kelas atau titik tengah

selang kelas masing-masing.

Lukis palang segi empat tepat yang berlebar sama dan

tingginya mewakili kekerapan selang kelas masing-masing.

42

DAY 3

(b) Min skor murid = (1×1)+(4×3)+(7×5)+(10×8)+(13×9)+(16×6)+(19×4)

36

= 417

36

= 11.58

(c) (d) Kebanyakan murid memperolehi

antara 12 – 14 skor.

6.4 Poligon Kekerapan

1. Poligon kekerapan = Perwakilan taburan kekerapan secara graf yang boleh dilukis berdasarkan:

a) Histogram.

Langkah 1:

Langkah 2:

Langkah 3:

b) Jadual kekerapan.

Langkah 1:

Langkah 2:

Langkah 3:

Langkah 4:

Langkah 5:

Tambahkan 2 selang kelas dengan kekerapan 0 dalam histogram.

( 1 sebelum selang kelas pertama, 1 selepas selang kelas terakhir. )

Tandakan titik tengah pada bahagian atas setiap palang segi empat

tepat dan dua kelas tambahan tadi.

Sambungkan titik tengah pada bahagian atas setiap segi empat

tepat dalam histogram dengan garis lurus.

Tambahkan 2 selang kelas dengan kekerapan 0 dalam histogram.

( 1 sebelum selang kelas pertama, 1 selepas selang kelas terakhir. )

Gunakan skala yang diberi atau pilih skala yang sesuai bagi :-

- Paksi mengufuk untuk mewakili titik tengah selang kelas.

- Paksi mencancang untuk mewakili kekerapan.

Plotkan kekerapan melawan titik tengah bagi setiap selang kelas.

Sambungkan setiap titik plot dengan garis lurus.

Tentukan titik tengah bagi setiap selang kelas.

79

DAY 4

5.1 Ubahan Langsung

1. Jika suatu kuantiti y berubah secara langsung dengan suatu kuantiti x, maka y bertambah

apabila x bertambah dan sebaliknya.

2. Ubahan langsung ini ditulis sebagai y x atau diungkapkan dalam bentuk persamaan y = kx ,

di mana y

x ialah suatu pemalar untuk semua pasangan tertib x dan y.

3. Graf bagi y melawan x merupakan suatu garis lurus yang melalui titik asalan.

4. Jika y xn di mana n = 1

2 , 1, 2, 3, maka y = kxn dengan keadaan k ialah pemalar ubahan.

5. Apabila y xn , nilai bagi suatu pemboleh ubah yang tidak diketahui dapat ditentukan dengan:

a) Mencari nilai pemalar ubahan, k terlebih dahulu dan seterusnya menggantikan nilai pemboleh

ubah yang diberi dalam persamaan ubahan langsung itu.

b) Kaedah alternatif:

Menggunakan rumus untuk menghitung nilai pemboleh ubah yang tidak

diketahui.

1. Jadual berikut menunjukkan nilai bagi

pemboleh ubah P dan Q.

Diberi P berubah secara langsung dengan

punca kuasa dua Q. Cari nilai y.

A 17 C 48

B 24 D 58

2. Luas bagi suatu bulatan, L m2, adalah

berubah secara langsung dengan kuasa dua

jejarinya, r. Dengan menggunakan k sebagai

pemalar ubahan, ungkapkan k dalam

sebutan L dan r.

A Lr2 C L2

r

B L2

r2 D

L

r2

BAB 5: Ubahan

Dalam bab ini, anda akan menguasai:

1. Pengungkapan persamaan yang tepat bagi ubahan langsung, ubahan songsang dan

ubahan tercantum.

2. Penentuan nilai suatu pemboleh ubah dalam ubahan berdasarkan maklumat soalan.

Penyelesaian:

P √Q , maka P = k √Q

Apabila P = 10, Q = 25,

10 = k √25

10 = 5k

k = 2

Maka, P = 2 √Q

Apabila P = y, Q = 25,

y = 2 √144 = 24

Soalan Popular SPM

P 10 y

Q 25 144

Penyelesaian:

L r2, maka L = k r2

k = L

r2

y1n

x1n =

y2n

x2n

Kaedah alternatif:

10

√25 =

y

√144

y = 10 × √144

√25

= 24

y1n

x1n =

y2n

x2n

95

DAY 5

9.1 Longitud

1. Bulatan agung = suatu bulatan pada permukaan bumi dengan pusat bumi sebagai pusat

bulatan tersebut.

2. Meridian = Separuh bulatan agung yang melalui Kutub Utara dan Kutub Selatan.

3. Meridian Greenwich = Meridian yang melalui bandar Greenwich di England dan digunakan

sebagai rujukan bagi meridian. Maka, longitud Meridian Greenwich

ialah 0.

4. Longitud suatu meridian = Sudut di antara satah meridian tersebut dengan satah Meridian

Greenwich. Sudut ini juga ditentukan oleh kedudukan meridian itu

diukur ke arah Timur (T) atau Barat (B) Meridian Greenwich.

5. Meridian = Separuh bulatan agung yang melalui Kutub Utara dan Kutub Selatan.

6. Semua titik yang terletak pada meridian yang sama mempunyai longitud yang sama.

7. Longitud 180T merupakan meridian yang sama dengan longitud 180B.

8. Suatu bulatan agung terbentuk oleh meridian dengan longitud x T dan meridian dengan

longitud y B di mana x + y = 180.

BAB 9: BUMI SEBAGAI SFERA

Dalam bab ini, anda akan menguasai:

1. Penentuan longitud, latitud dan kedudukan suatu titik pada permukaan bumi.

2. Penghitungan jarak di antara dua titik pada permukaan bumi.

3. Kemahiran penyelesaian masalah mengenai purata laju yang melibatkan unit knot.

Daripada rajah yang mewakili sfera bumi di sebelah kiri,

i) O = Pusat bumi

U = Kutub Utara

S = Kutub Selatan.

ii) Bulatan ABCD = bulatan agung mengufuk pada

permukaan bumi yang berpusat O.

iii) Bulatan AUCS = dua bulatan agung mencancang yang

dan BUDS melalui U dan S pada permukaan bumi

dan berpusat O.

iv) UCS, UAS, UBS dan UDS = meridian.

Daripada rajah yang mewakili sfera bumi di sebelah kiri,

1. Meridian UPS terletak pada 45 ke arah Barat Meridian

Greenwich. Longitudnya ialah 45B.

2. Meridian URS terletak pada 80 ke arah Timur Meridian

Greenwich. Longitudnya ialah 80T.

133

DAY 6

Kertas 1 1 jam 15 minit

Kertas peperiksaan ini mengandungi 40 soalan. Jawab semua soalan.

1. 501.3 × 1011 ditulis sebagai 5.013 × 10m

dalam bentuk piawai. Nyatakan nilai m.

A 9 C 13

B 10 D 14

2. Cari hasil darab bagi 0.2241 dan 0.4.

Bundarkan jawapan betul kepada dua angka

bererti.

A 0.089 C 0.08

B 0.090 D 0.09

3. Diberi ketumpatan merkuri ialah 13593.4 kg

m–3. Ungkapkan ketumpatan merkuri dalam

bentuk piawai.

A 0.135934 × 106 kg m–3

B 0.135934 × 10–6 kg m–3

C 1.35934 × 105 kg m–3

D 1.35934 × 10–5 kg m–3

4. Rajah 1 menunjukkan bentangan sebuah

kubus yang jumlah luas permukaannya ialah

294 cm3.

Rajah 1

Hitung isi padu, dalam m3, bagi kubus itu.

A 3.43 × 10–8 C 4.9 × 10–7

B 3.43 × 10–4 D 4.9 × 10–5

5. Cari hasil tambah 100112 dan 1012.

A 100102 C 101102

B 101002 D 110002

6. Nyatakan nilai bagi digit 6, dalam asas

sepuluh, bagi nombor 36058.

A 48 C 192

B 96 D 384

7. Dalam Rajah 2, P, Q, R, S dan T ialah bucu-

bucu sebuah poligon sekata. URS ialah garis

lurus.

Rajah 2

Cari bilangan sisi poligon sekata tersebut.

A 12° C 14°

B 13° D 16°

8. Dalam Rajah 3, KLMNP ialah poligon tidak

sekata. PON, LMO dan KMN ialah garis

lurus.

Rajah 3

Diberi PKN adalah sama dengan LKN,

cari nilai x.

A 43° C 73°

B 62° D 94°

9. Dalam Rajah 4, SRT ialah tangen kepada

bulatan PQR yang berpusat O pada titik R.

Rajah 4

Cari nilai x.

A 35° C 53°

B 42° D 65°

10. Dalam Rajah 5, ∆K’L’M ialah imej bagi

∆KLM di bawah suatu pembesaran. Diberi

L’M = 18 cm, LM = 9 cm dan luas ∆K’L’M

ialah 92 cm2.

Rajah 5

Cari luas, dalam cm2, kawasan berlorek.

A 46 C 69

B 54 D 72

KERTAS MODEL SPM 3

138

DAY 6

Kertas 2 2 jam 30 minit

Bahagian A [52 markah]

Jawab semua soalan dalam bahagian ini.

1. Pada rajah di ruang jawapan, lorek rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan y ≥ –2x + 6,

y > x – 1 dan y < 4.

[3 markah]

Jawapan:

2. Selesaikan persamaan kuadratik berikut:

11x + 3

4 = x2

[4 markah]

Jawapan:

3. Penyelesaian menggunakan kaedah matriks tidak dibenarkan untuk soalan ini.

Rajah 1 menunjukkan sebuah segi empat tepat dan sebuah segi tiga sama kaki.

Rajah 1

Diberi bahawa perimeter segi tiga tersebut ialah 36 cm manakala panjang sisi segi empat tepat itu

adalah 2 kali lebarnya. Hitung nilai x dan nilai y.

[5 markah]

Jawapan:

148

DAY 7

Rumus dalam senarai rumus yang diberikan

dalam peperiksaan SPM

Rumus penting yang tidak diberikan

1. a) am × an = am + n

b) am ÷ an = am – n

c) (am)n = amn

2. A-1 = 1

ad – bc ( d –b

–c a )

3. a) Jarak = √ (x2– x1)

2+ (y

2– y

1)2

b) Titik tengah = ( x1+ x2

2, y

1+ y

2

2)

4. Purata laju = Jarak yang dilalui

Jumlah masa yang diambil

5. a) Min = Jumlah nilai data

Bilangan data

b) Min =

Jumlah (nilai titik tengah kelas

× kekerapan)

Jumlah kekerapan

6. Teorem Pythagoras

c2 = a2 + b2

7. a) P(A) = n(A)

n(S)

b) P(A’ ) = 1 – P(A)

8. a) m = y

2 – y

1

x2 – x1

b) m = – Pintasan-y

Pintasan-x

9. Luas trapezium

= 1

2 × Hasil tambah sisi selari × Tinggi

10. a) Lilitan bulatan = d = 2j

b) Luas bulatan = j2

11. a) Luas permukaan melengkung silinder

= 2jt

b) Luas permukaan sfera = 4j2

1. d) a0 = 1

e) a–n = 1

an

f) a = √amn

5. c) Titik tengah kelas

= Had bawah + Had atas

2

d) Julat antara kuartil = Q3 – Q1

7. c) P(A ∪ B) = n(A ∪ B)

n(S)

d) P(A ∩ B) = n(A ∩ B)

n(S)

11. c) Luas permukaan melengkung kon

= js

RUMUS MATEMATIK

m

n