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Conjuntos - Otra Forma Para ContarUniversidad de Puerto Rico

Recinto Universitario de Mayaguez

AFAMaC-Matematicas

Cesar A. Barreto -Gabriel D. Uribe

Septiembre 5 de 2010

Cesar A. Barreto - Gabriel D. Uribe Conjuntos - Otra Forma Para Contar

Definiciones y Notacion

Definicion

Un conjunto es una coleccion de objetos que esta bien definida. Alos objetos que estan en el conjunto se les denomina elementosdel conjunto. Y se dira que un conjunto esta bien definido siexiste una forma de determinar si un elemento pertenece o no alconjunto.

Example

Determine cuales de los siguientes conjuntos estan bien definidos

La coleccion formada por todos los estudiantes de un gradoparticular de cierta escuela.

Una coleccion de las mejores frutas del pais.

La coleccion de los numeros primos.

La coleccion de los pollos gordos de la region oeste.

Definicion

Example

Definicion

Example

Definicion

Example

Definicion

Example

Determinacion de un Conjunto

Por Extension: Diremos que un conjunto esta determinadopor extension cuando son mencionados uno a uno todos loselementos del conjunto.

Example

El conjunto de todos los numeros pares entre 5 y 19. Entonces

A = {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

Por Compresion: Diremos que un conjunto esta determinadopor comprension cuando todos sus elementos satisfacen unacaracterıstica comun.

Example

El conjunto de todos los numeros mayores que 5 pero menores que60.

A = {x : 5 < x < 60}

Example

A = {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

Example

A = {x : 5 < x < 60}

Example

A = {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

Example

A = {x : 5 < x < 60}

Example

A = {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

Example

A = {x : 5 < x < 60}

Conjunto Universal y Conjunto Vacıo

Definicion (Conjunto Universal)

Definimos al conjunto que contiene a todos los posibles elementosde cualquier conjunto que deseamos considerar, como el ConjuntoUniversal y lo denotaremos con la letra U . Ası, si hablamos denumeros primos, entonces U es el conjunto de los numeros enteros.El conjunto universal puede mencionarse explıcitamente, aunque enla mayorıa de los casos se da por supuesto dado el contexto en elque se esta trabajando.

Definicion (Conjunto Vacıo)

Existe un conjunto que no posee ningun elemento, este conjunto esllamado Conjunto Vacıo y se representa mediante el simbolo ∅o { }.

Conjunto Universal y Conjunto Vacıo

Definicion (Conjunto Universal)

Definimos al conjunto que contiene a todos los posibles elementosde cualquier conjunto que deseamos considerar, como el ConjuntoUniversal y lo denotaremos con la letra U . Ası, si hablamos denumeros primos, entonces U es el conjunto de los numeros enteros.El conjunto universal puede mencionarse explıcitamente, aunque enla mayorıa de los casos se da por supuesto dado el contexto en elque se esta trabajando.

Definicion (Conjunto Vacıo)

Existe un conjunto que no posee ningun elemento, este conjunto esllamado Conjunto Vacıo y se representa mediante el simbolo ∅o { }.

Pertenencia y Contenencia

Definicion (Pertenencia)

Se dice que un elemento x pertenece a un conjunto A, si estesatisface todas las condiciones que definen al conjunto, sedenotara por x ∈ A y ası mismo si el elemento no pertenece alconjunto se denotara por x /∈ A. Por ejemplo, siA = {x : x Es un numero Natural}, entonces, vemos que el−3 /∈ A, ya que este es un entero negativo, mientras que 23 ∈ A.

Definicion (Contenencia)

Se dice que un conjunto A esta contenido o es subconjunto de unconjunto B, si todo elemento del conjunto A es un elemento delconjunto B y se denota por A ⊆ B. Si A = {2, 3, 5} yB = {x : x ≥ 1}, entonces, tenemos que A ⊆ B.

Pertenencia y Contenencia

Definicion (Pertenencia)

Se dice que un elemento x pertenece a un conjunto A, si estesatisface todas las condiciones que definen al conjunto, sedenotara por x ∈ A y ası mismo si el elemento no pertenece alconjunto se denotara por x /∈ A. Por ejemplo, siA = {x : x Es un numero Natural}, entonces, vemos que el−3 /∈ A, ya que este es un entero negativo, mientras que 23 ∈ A.

Definicion (Contenencia)

Se dice que un conjunto A esta contenido o es subconjunto de unconjunto B, si todo elemento del conjunto A es un elemento delconjunto B y se denota por A ⊆ B. Si A = {2, 3, 5} yB = {x : x ≥ 1}, entonces, tenemos que A ⊆ B.

Ejemplo:

Example

Sean U = {a, b, c, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, {∅}}A = {c, {a}, {b, c}}, B = {a, b, {c}, {a, b, c}} yC = {{a, b}, {a, c}, {b, c}, {∅}, }. Determine si los siguientesenunciados son Falsos o Verdaderos:

• {b, c} ⊂ A

• {∅} ∈ C

• ∅ ⊂ B

• {a, b} ∈ C

• {a, b} ⊂ B

• {c} ∈ A

• c ∈ B

• {{a, c}, {b, c}} ⊂ C

Ejemplo:

Example

• {b, c} ⊂ A

• {∅} ∈ C

• ∅ ⊂ B

• {a, b} ∈ C

• {a, b} ⊂ B

• {c} ∈ A

• c ∈ B

• {{a, c}, {b, c}} ⊂ C

Ejemplo:

Example

• {b, c} ⊂ A

• {∅} ∈ C

• ∅ ⊂ B

• {a, b} ∈ C

• {a, b} ⊂ B

• {c} ∈ A

• c ∈ B

• {{a, c}, {b, c}} ⊂ C

Ejemplo:

Example

• {b, c} ⊂ A

• {∅} ∈ C

• ∅ ⊂ B

• {a, b} ∈ C

• {a, b} ⊂ B

• {c} ∈ A

• c ∈ B

• {{a, c}, {b, c}} ⊂ C

Ejemplo:

Example

• {b, c} ⊂ A

• {∅} ∈ C

• ∅ ⊂ B

• {a, b} ∈ C

• {a, b} ⊂ B

• {c} ∈ A

• c ∈ B

• {{a, c}, {b, c}} ⊂ C

Ejemplo:

Example

• {b, c} ⊂ A

• {∅} ∈ C

• ∅ ⊂ B

• {a, b} ∈ C

• {a, b} ⊂ B

• {c} ∈ A

• c ∈ B

• {{a, c}, {b, c}} ⊂ C

Ejemplo:

Example

• {b, c} ⊂ A

• {∅} ∈ C

• ∅ ⊂ B

• {a, b} ∈ C

• {a, b} ⊂ B

• {c} ∈ A

• c ∈ B

• {{a, c}, {b, c}} ⊂ C

Ejemplo:

Example

• {b, c} ⊂ A

• {∅} ∈ C

• ∅ ⊂ B

• {a, b} ∈ C

• {a, b} ⊂ B

• {c} ∈ A

• c ∈ B

• {{a, c}, {b, c}} ⊂ C

Igualdad de Conjuntos

Definicion

Diremos que el conjunto A es igual al conjunto B si poseenexactamente los mismos elementos. En terminos de contenenciasdiremos que A y B son iguales si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.

Example

Si tomamos A = {x : x es un numero primo menor que 11} yB = {2, 3, 5, 7}, entonces, A = B.

Igualdad de Conjuntos

Definicion

Diremos que el conjunto A es igual al conjunto B si poseenexactamente los mismos elementos. En terminos de contenenciasdiremos que A y B son iguales si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.

Example

Si tomamos A = {x : x es un numero primo menor que 11} yB = {2, 3, 5, 7}, entonces, A = B.

Complemento

Definicion

Sea A un conjunto y U el conjunto universal, si A ⊆ U ,llamaremos complemento de A, a aquel conjunto que posee todoslos elementos que que pertenecen al conjunto universal pero nopretenecn al conjunto A y lo denotaremos por Ac.

Example

Sea U = {x : x es un numero Entero} el conjunto universal yA = {x : x es un numero impar} un subconjuto de U , entonces, elcomplemento sera Ac = {x : x es un numero par}.

Complemento

Definicion

Sea A un conjunto y U el conjunto universal, si A ⊆ U ,llamaremos complemento de A, a aquel conjunto que posee todoslos elementos que que pertenecen al conjunto universal pero nopretenecn al conjunto A y lo denotaremos por Ac.

Example

Sea U = {x : x es un numero Entero} el conjunto universal yA = {x : x es un numero impar} un subconjuto de U , entonces, elcomplemento sera Ac = {x : x es un numero par}.

Diagramas de Venn

Los Diagramas de Venn son ilustraciones que muestrangraficamente la agrupacion de elementos mediante cırculos uovalos. La posicion que ellos tienen en el plano, muestra la relacionque existe entre los conjuntos. Frecuentemente se usa pararepresentar un maximo de tres conjuntos, la cual define un total de7 areas diferentes de interseccion; tal como se muestra en lasiguiente figura:

Relaciones Entre Conjuntos

Union de A con B: Denotaremospor A ∪ B al conjunto que poseetodos los elementos del conjuntoA junto con todos los elementosdel conjunto B. Diremos que unelemento x ∈ A ∪ B, si x ∈ A ox ∈ B.

Interseccion de A con B: De-notaremos por A ∩B al conjuntoque posee todos los elementosque pertenecen al conjunto Ay al mismo tiempo al conjuntoB. Diremos que un elementox ∈ A ∩B, si x ∈ A y x ∈ B.

Relaciones Entre Conjuntos

A Subconjunto de B: Diremosque A es subconjunto de B,denotado por A ⊂ B si todoslos elementos del conjunto A sontambien elementos del conjuntoB. Diremos que si A ⊂ B, en-tonces, para todo x ∈ A tenemosque x ∈ B.

Complemento de A: Deno-taremos por Ac al conjunto queposee todos los elementos queno pertenecen al conjunto A.Diremos que si x ∈ Ac, entonces,x /∈ A.

Relaciones entre Conjuntos

La Diferencia entre dosconjuntos A y B denotadapor A − B al conjunto detodos lo elementos quepertenecen al conjunto A,pero no pertenecen al con-junto B, lo reprsentaremosmediante un diagrama deven como se muestra acontinuacion:

La Diferencia entre dosconjuntos B y A denotadapor B − A al conjunto detodos lo elementos quepertenecen al conjunto B,pero no pertenecen al con-junto A, lo reprsentaremosmediante un diagrama deven como se muestra acontinuacion:

Leyes de Morgan

A continuacion mostraremos las dos leyes de De Morgan, llamadasasi en honor al al logico britanico Augustus De Morgan(1806-1871).

Ley 1 de De Morgan

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

(A ∩B)c = Ac ∪Bc

Ley 2 de De Morgan

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

(A ∪B)c = Ac ∩Bc

Numeros Cardinales

En la vida cotidiana algunas veces es necesario representar ciertosproblemas a traves de conjuntos debido a que la informacion quese desea analizar esta dada por el numero de elementos desubconjuntos del conjunto incial, es por esto, que damos dosherramientas para la solucion de estos problemas. Una de ellas es apartir de una formula y la otra mediante la representacion endiagramas de Venn.Denotaremos por n(A) al cardinal del conjunto A, es decir, alnumero de elementos que posee el conjunto.

Con Diagramas de Venn

Example

Se seleccionaron 55 personas para preguntarles acerca de susvacaciones de fin de ano, ellos respondieron lo siguiente:17 estuvieron viajando fuera a los Estados Unidos.17 estuvieron viajando fuera del paıs.23 hicieron turismo interno.6 viajaron a Estados Unidos y tambien estuvieron fuera del paıs.8 viajaron a los Estados Unidos e hicieron turismo interno.10 viajaron fuera del paıs e hicieron turismo interno.2 No salieron de vacaciones.Realizar un Diagrama de Venn para representar este problema y apartir de este contestar las siguientes preguntas:

i. ¿Cuantas personas hicieron unicamente un plan devacaciones?

ii. ¿Cuantas personas solo estuvieron haciendo turismo interno?

Formula para los Numeros Cardinales

Para dos conjuntos A y B cualesquiera, se satisface la siguienteigualdad:

n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)

Example

Utilice un Diagrama de Venn y la informacion que se da acontinuacion, para ubicar el numero de elementos en la regioncorrespondiente.

n(A) = 32, n(B) = 25, n(A ∪B) = 53 y n(Bc) = 37

Formula para los Numeros Cardinales

Para dos conjuntos A y B cualesquiera, se satisface la siguienteigualdad:

n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)

Example

Utilice un Diagrama de Venn y la informacion que se da acontinuacion, para ubicar el numero de elementos en la regioncorrespondiente.

n(A) = 32, n(B) = 25, n(A ∪B) = 53 y n(Bc) = 37

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