1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1

Latar belakang

Perkembangan suatu teknologi sangat dipengaruhi dengan perkembangan suatu ilmu pengetahuan. Tanpa peranan ilmu pengetahuan, bisa dipastikan teknologi akan sulit untuk berkembang dengan cepat. Matematika sebagai bahasa simbol yang bersifat universal sangat erat hubungannya dengan kehidupan nyata. Kenyataan membuktikan bahwa untuk menyelesaikan masalah-masalah kehidupan nyata dibutuhkan metode-metode matematika. Di dalam dunia nyata kadang terdapat masalah-masalah yang sukar diselesaikan dalam sistemnya. Untuk menyelesaikan masalah tersebut perlu disusun suatu pemodelan matematika yang mirip dengan keadaan sistemnya. Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mempunyai ciri berbeda dengan disiplin yang dimiliki oleh ilmu pengetahuan lain. Hal-hal yang dipelajari dalam matematika terdiri atas beberapa kelompok ilmu, seperti: aljabar, geometri, analisis, dan matematika terapan. Persamaan diferensial Parsial merupakan salah satu cabang matematika yang termasuk dalam kelompok analisis. Salah satu persamaan yang termasuk dalam kelompok Persamaan Diferensial Parsial adalah Persamaan Laplace. Persamaan Laplace merupakan bagian dari persamaan diferensial parsial yang sangat penting dalam matematika terapan, seperti: teori perpindahan massa dan panas,

2

mekanika fluida, elastisitas, elektrostatis, dan banyak lagi di bidang mekanika juga fisika lainnya. Adapun bentuk bentuk persamaan Laplace dalam koordinat tiga dimensi adalah sebagai berikut: a. Koordinat Cartesian: 2v 2v 2v v= 2 + 2 + 2 =0 z y x2

(1.1)

b.

Koordinat tabung (Silinder): Dinyatakan dalam koordinat tabung maka persamaan Laplace mempunyai bentuk: 2v = 1 v 1 2 v 2v r + 2 2 + 2 = 0 r r r r z

(1.2)

c.

Koordinat Bola (Spherical): Dinyatakan dalam koordinat bola maka persamaan Laplace mempunyai bentuk:

2v =

1 2v v 1 2 v 1 = 0 (1.3) r + 2 sin + 2 r r r r sin r sin 2 2

Ini adalah koordinat kordinat yang paling umum yang biasa dijumpai dalam praktek.

Gbr.1 Koord. Kartesius

3

Gbr.2 Koord. Tabung

Gbr. 3 Koord. Bola

Akan tetapi pada tulisan ini penulis hanya membatasi pembahasan masalah hanya pada koordinat bola (spherical) dimana persamaan Laplace yang dibahas hanya persamaan dalam bentuk koordinat bola. Jika persamaan Laplace diselesaikan maka akan diperoleh suatu penyelesaian yang disebut harmonik, akan tetapi, dalam arti yang lebih terbatas istilah harmonik dimaksud hanya untuk suatu penyelesaian persamaan Laplace dalam sistem koordinat tertentu. Jika syarat syarat batas suatu soal yang menyangkut persamaan Laplace lebih sederhana dituliskan dalam sistem koordinat spherical, maka akan sangat berguna dimiliki suatu penyelesaian umum persamaan Laplace dalam system koordinat ini. Sementara itu deret Fourier adalah sebuah alat matematis yang digunakan untuk menganalisis fungsi periodik menjadi sejumlah komponen yang jauh lebih sederhana yakni fungsi sinusoidal. Dalam tulisan ini penulis menggunakan deret fungsi periodik. Jenis fungsi ini menarik karena ia muncul dalam berbagai persoalan

4

fisika seperti getaran mekanik, arus elektrik bolak balik (AC), hantaran panas, gelombang bunyi, electromagnet, dan sebagainya. Hal inilah yang melatarbelakangi penulis untuk memilih mengekspansikan solusi umum persamaan Laplace ke dalam deret fourier yang merupakan deret fungsi periodik.

1.2

Perumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah a) Menyelesaikan persamaan Laplace untuk menemukan solusi umumnya. b) Mengidentifikasi apakah solusi dari persamaan Laplace tersebut adalah suatu fungsi harmonik. c) Mengidentifikasi apakah suatu fungsi harmonik dapat diekspansikan ke dalam deret Fourier.

d) Mencari syarat perlu dan cukup agar solusi umum tersebut dapat diekspansikan ke dalam deret Fourier.

1.3

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari syarat perlu dan cukup agar solusi umum persamaan Laplace dapat diekspansikan ke dalam deret fourier.

1.4

Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian adalah membantu penyelesaian fungsi fungsi rumit dalam hal ini solusi umum persamaan Laplace dalam bentuk deret dimana deret yang dipilih adalah deret fourier yang dapat dimanfaatkan oleh para fisikawan serta menambah pengetahuan bagi penulis dan pembaca khususnya dalam menyelesaikan masalah mekanika dan fisika.

5

1.5

Tinjauan Pustaka

Berikut ini diberikan kajian pustaka mengenai persamaan Laplace. Dalam Matematika, persamaan Laplace adalah suatu persamaan differensial parsial. Nama tersebut berasal dari nama penemunya yaitu, Pierre-Simon Laplace. Solusi solusi dari persamaan Laplace sangat penting dalan berbagai bidang dalan sains, seperti dalam bidang elektromagnetik, astronomi, dan dinamik fluida, karena dapat menggambarkan sifat-sifat listrik, gravitasi, dan potensial fluida. Teori umum persamaan Laplace dikenal dengan teori potensial, dimana persamaannya dalam ruang tiga dimensi berbentuk: 2v 2v 2v =0 + + x 2 y 2 z 2(1.4)

Banyak pilihan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Teknik yang paling sederhana yang dapat dipakai adalah persamaan beda hingga. Teknik yang lain adalah metode elemen batas. Teknik ini telah dilakukan oleh Wono Setya Budhi (1997, vol.2,hal:8-15), teknik ini khusus untuk bidang ( n = 2 ), dalam menggunakan metode elemen batas tersebut akan berhadapan dengan operator.v( x ) = G (x; )g ( )ds( ) x Dengan G ( x; ) =

(1.5)

1 ln x . Operator ini disebut operator potensial layer tunggal. 2

Wono Setya Budhi memberikan bukti regulator dari operator dengan menggunakan gagasan dari bukti regularitas operator Chauchy yang ada dalam syarat Dirichlet.

1.6

Metodologi Penelitian

Penelitian ini merupakan penelitian literatur. Sehingga, penulis akan melakukan studi literatur, penelitian mandiri, pengumpulan bahan melalui buku buku refrensi, maupun bahan bahan berbentuk jurnal yang diperoleh dari perpustakaan ataupun internet (surfing) serta konsultasi dengan dosen pembimbing untuk memperoleh bahan

6

bahan yang berhubungan dengan pokok pokok permasalahan yang dibahas dan juga mengikuti perkuliahan yang dengan tulisan ini dan melakukan penelitian dengan langkah langkah sebagai berikut: 1. 2. 3. 4. Menyelesaikan persamaan Laplace untuk mendapatkan solusi umumnya. Mengidentifikasi apakah solusi dari persamaan Laplace tersebut adalah suatu fungsi harmonik. Mengidentifikasi apakah suatu fungsi harmonik dapat diekspansikan ke dalam deret fourier. Mencari syarat perlu dan cukup agar solusi umum tersebut dapat diekspansikan ke dalam deret Fourier.