bilangan kompleks_111212.ppt

8/10/2019 bilangan kompleks_111212.ppt

1/98

1

BILANGAN KOMPLEKS

Dengan memiliki sistem bilangan real saja

kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x

!"#$% &adi disamping bilangan real kita perl'

bilangan jenis bar'% Bilangan jenis bar' ini

dinamakan bilangan imajiner ata' bilangan

kompleks%


2/98

2

BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA

Defnisi 1Bilangan k(mpleks adala) bilangan yang berbent'k*

a+ bi ata'a + ib+ a dan b bilangan real dan i# ,"%

NotasiBilangan k(mpleks dinyatakan dengan )'r'- .+sedang )'r'- x dan y menyatakan bilangan real% &ika. # x ! iy menyatakan sembarang bilangan

k(mpleks+ maka x dinamakan bagian real dan ybagian imajiner dari .% Bagian real dan bagianimaginer dari bilangan k(mpleks . biasanyadinyatakan dengan /e0.1 dan Im0.1%


3/98

3

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS

DEINISI !Bilangan k(mpleks ."#x"!iy"dan bilangank(mpleks .#x!iydikatakan sama+ ."#.+ jikadan )anya jika x"#xdan y"#y%

DEINISI "

2nt'k bilangan k(mpleks ."#x"!iy"dan.#x!iyj'mla) dan )asilkali mereka bert'r't3

t'r't dide4nisikan sbb*

."!.# 0x"!x1 ! i0y"!y1

." 5.# 0x"x ,y"y1 ! i0x"y!xy"1


4/98

4

6imp'nan sem'a bilangan k(mpleks diberi n(tasi #

&adi # # 7 . 8 . # x ! iy+ x9+ y9:%

&ika Im0.1#$ maka bilangan k(mpleks . menjadibilangan real x+ se)ingga bilangan real adala) keadaan

k)'s's dari bilangan k(mpleks+ se)ingga ;#% &ika

/e0.1#$ dan Im0.1


5/98

5

Si$at%si$at &a'an(an bi&an(an )o*'&e)s

6imp'nan sem'a bilangan k(mpleks bersama(perasi penj'mla)an dan perkalian 0#+!+51membent'k seb'a) lapangan 0feld1% Adap'n si-at3si-at lapangan yang berlak' pada bilangank(mpleks ."+.dan .=adala) sebagai berik't*

"% ."!.9# dan ."5.9#% 0si-at tert't'p1

% ."!.# .!."dan ."5.# .5." 0si-at k(m'tati-1=% 0."!.1!.=# ."!0.!.=1 dan 0."5.1 5.=# ."50.5.=1

0si-at ass(siati-1>% ."50.!.=1#0."5.1!0."5.=1 0si-at distribti-1

?% Ada $#$!i$9#+ se)ingga .!$#. 0$ elemennetralpenj'mla)an1


6/98

6

@% Ada "#"!i$9#+ se)ingga .5"#. 0"elemennetral

perkalian% 2nt'k setiap .#x!iy#+ ada ,.#,x,iy1 se)ingga .!0,.1#$

% 2nt'k setiap .#x!iy#+ ada .3"#se)ingga .5.3"#"%


7/98

7

onto, soa&-

"% &ika ."#x"!iy"dan .#x!iy+

b'ktikan ba)Ca* ." ,.# 0x" , x1!i0y" ,y1

% Diketa)'i* ."#!=i dan .#?,i%

tent'kan ." !.+ ." ,.+.".+ dan"

..


8/98

8

Ko*'&e)s Se)a.an

&ika . # x ! iy bilangan k(mpleks+ maka

bilangan k(mpleks sekaCan dari . dit'lis +

dide4nisikan sebagai # 0x+,y1 # x , iy%

(nt()*sekaCan dari = ! i adala) = , i + dan

sekaCan dari ?i adala) ,?i%

Operasi aljabar bilangan k(mpleks sekaCan didalam )imp'nan bilangan k(mpleks

memen')i si-at3si-at berik't *

.


9/98

9

Teo/e*a 1 -

a% &ika . bilangan k(mpleks+ maka *

"%

%

=%

>% [ ] [ ] 1.Im01./e0..

1.Im0..

1./e0..

..

+==

=+

=


10/98

10

b% &ika ."+ .bilangan k(mpleks + maka *

"%

%

=%

>% + dengan .


11/98

11

Inte/'/etasi Geo*et/is Bi&an(an Ko*'&e)s

Karena . # x ! iy dapat dinyatakan sebagai .#0x+y1+ mer'pakan pasangan ter'r't bilangan real+maka . dapat digambarkan seara ge(metridalam k((rdinat Kartesi's sebagai seb'a) titik0x+y1% Pemberian nama 'nt'k s'mb' x di'ba)menjadi s'mb' /eal dan s'mb' y di'ba) menjadi

s'mb' Imajiner% Bidang k(mpleks terseb't di berinama bidang Argand ata' bidang .% &ika kita)'b'ngkan titik asal 0$+$1 dengan titik 0x+y1+ makaterbent'k Fekt(r se)ingga bilangan k(mpleks .# x!iy # 0x+y1 dapat dipandang sebagai Fekt(r .%

Arti ge(metris dari penj'mla)an danpeng'rangan bilangan k(mpleks dapat dili)atpada gambar berik't%


12/98

12

/e

Im

1y+x0.

O

ArgaBidang

.


13/98

13

Im

/e

.

".

O

" .. +


14/98

14

/e

Im

.

.

".

" ..

O


15/98

15

T0(as -

Diketa)'i ." # ! =i dan . # ? , i%

Gambarkan pada bidang k(mpleks 0bidangargand1+ ."+.+ ."!.+ ."3.+

""" ..+..+.+. +


16/98

16

Mo0&0s 2Ni&ai M0t&a)3 a/i Bi&an(an

Ko*'&e)s

Defnisi 4 -

&ika . # x!iy # 0x+y1 bilangan k(mpleks+ maka

m(d'l's dari .+ dit'lis |.|# |x!iy|#

Arti ge(metri dari m(d'l's . adala)

mer'pakan jarak dari titik O0$+$1 ke . # 0x+y1%

Akibatnya+ jarak antara d'a bilangan k(mpleks

."#x"!iy" dan .# x!iy adala)

yx +

"

" 1yy01xx0 +


17/98

17

Teo/e*a ! -

A% &ika . bilangan k(mpleks+ maka berlak' *

"%

%

=%

>%

?%

( ) ( )

1.Im01.Im0.1./e01./e0.

...

..

1.Im01./e0.

=

=+=


18/98

18

15 B0)ti- "" .... =1iyx01iyx0.. """ ++=

1yxyx0i1yyxx0 """" ++=

"""

"""

"

" yyxxyxyxyyxxyyxx ++++=

""

"" 1yxyx01yyxx0 ++=

1yx01yx0

"

"

++=

1yx01yx0

"

" ++=

" .. =

"" .... =


19/98

19

!5 B0)ti-

""

"

iyxiyx

iyxiyx

.

.+

+=

""

""

yx

yxyxi

yx

yyxx

++

++=

""

""

yx

yxyx

yx

yyxx

+

+

+

+=

""

"

"

""

"

"

1yx0

yyxxyxyxyyxxyyxx

+++++=

1yx01yx01yx01yx0

"

"++ ++=

%terb'k.

.

yx

yx

"

"

" =+

+=


20/98

20

"5 B0)ti-

"" .... ++

"" 1yxyx0$

""

"

" yyxxyxyx$ + "

""" yxyxyyxx +

"

"

"

"""

"

" yxyxyyxxyyxxyyxx +++++

1yx10yx01yyxx0

"

"

"" +++

1yx10yx01yyxx0 """" ++++++++ "

"

"

" yyyyxxxx

"

"

"

" yx1yx10yx0yx ++++++

( )

"

"

"

" yxyx1yy01xx0 ++++++

"

"

"

" yxyx1yy01xx0 ++++++

terb'kti

.... "" ++


21/98

21

45 B0)ti-

"" ....

""

""

"

""

....

....

...

....

+

+=


22/98

22

Bent0) K0t0b 2Po&a/3 an E)s'onen a/iBi&an(an

Ko*'&e)sSelain dinyatakan dalam bent'k . # x!iy #0x+y1+ bilangan k(mpleks . dapat dinyatakanp'la dalam bent'k k((rdinat k't'b ata' P(lar+yait' . # 0r+

1%

Im

/e

1+r01y+x0. ==

r. =

O


23/98

23

Adap'n )'b'ngan antara ked'anya+ dan

adala) *x # r (s+ y # r sin+

se)ingga # ar tan

adala) s'd't antara s'mb' x p(siti- dengan (.

didapat j'ga

&adi+ bent'k k't'b bilangan k(mpleks . adala)

. # 0r+ 1 # r0(s ! i sin 1 # r is %dan sekaCan dari . adala) # 0r+ 31 # r0(s 3 isin 1%

xy

.yxr =+=

1y+x0 1+r0


24/98

24

Defnisi 6 -

Pada bilangan k(mpleks . # 0r+ 1 # r0(s ! isin 1+ s'd't diseb't arg'ment dari .+ dit'lisarg .% S'd't dengan $ H %

Defnisi 7 -D'a bilangan k(mpleks ."# r"0(s "! i sin "1dan .# r0(s ! i sin 1 dikatakan sama+

jika r"# r+ dan "# %


25/98

25

Selain pen'lisan bilangan k(mpleks . # 0x + y1

# 0r+ 1 # r0(s ! i sin 1 # r is + maka andadapat men'liskan . dalam r'm's E'ler0eksp(nen1+ yait' . # rei+ dan sekaCannyaadala) re3i%

Pemb'ktian ba)Ca ei# (s ! i sin + dilak'kandengan mengg'nakan deret MaLa'rin 'nt'k(s + sin dan etdengan mengganti t # i%


26/98

26

onto, -

Nyatakan bilangan k(mpleks . # " ! i dalam

bent'k p(lar dan eksp(nen


27/98

27

onto, -

Nyatakan bilangan k(mpleks . # " ! i dalam


&aCab *

. # " ! i+ r # + tan # "+ se)ingga #>?J# &adi . # 0(s ! i sin 1 # is #

>"

>" >

" i>e

>

"


28/98

28

Pan()at an A)a/ a/i Bi&an(an Ko*'&e)s

Pe/)a&ian an Pe*an()atan

ela) kita keta)'i ba)Ca bilangan k(mpleks

dalam bent'k k't'b adala) . # r0(s ! i sin 1%

&ika ."# r"0(s "! i sin "1 .# r0(s ! i

sin 1+ maka kita per(le) )asil perkalianked'anya sebagai berik't *

.". # r"0(s "! i sin "1r0(s ! i sin 1

.". # r"r0(s "(s 3 sin"sin 1 !

i 0sin "(s ! (s "sin 1

.". # r"r(s 0"! 1 ! i sin 0"! 1


29/98

29

Dari )asil perkalian terseb't diper(le)*

arg0.".1 # "! # arg ."! arg .

Pertanyaan *

Bagaimanaka) jika kita perkalikan .". % % % .n

dan. . . . . # .n


30/98

30

&ika diketa)'i*

."# r"0(s "! i sin "1

.# r0(s ! i sin 1

.n# rn0(s n! i sin n1+ 'nt'k n asli+

maka seara ind'ksi matematika+ diper(le) r'm's

perkalian .". .n # r"rrn(s 0"! !!n1 !i sin 0"! !!n1 %

Akibatnya jika+ . # r0(s ! i sin 1 maka.n# rn0(s n! i sin n1% % % % % % % % % %

%"

K)'s's 'nt'k r # "+ diseb't Da&i& De%Moi8/e

0(s ! i sin 1n# (s n! i sin n+ n asli%


31/98

31

Pe*ba(ian-

Sedangkan pembagian ."dan . adala) sebagai

berik't*

Setela) pembilang dan penyeb't dikalikan dengan

sekaCan penyeb't+ yait' r0(s 3 i sin 1+ maka

diper(le) * (s 0"3 1 ! i sin 0"3 1

Dari r'm's di atas diper(le)*

arg "3# arg ." , arg .%

1sini0(sr1sini0(sr

.

.

"""

"

++=

"

"

rr

.

. =

=

"

.

.


32/98

32

Akibat lain jika . # r0(s ! i sin 1+

maka*

2nt'k* %

Setela) pembilang dan penyeb't dikalikan

sekaCan

penyeb't+ maka didapat *

% % %

% % % %

( )

( )+=

+=

nsinin(sr

"

.

"

1sin0i1(s0r

"

.

"

nn

( )1nsin0i1n(s0r

"

.

"nn

+=


33/98

33

Dari " dan diper(le)*

+ Da&i& De%

Moi8/e

berlak' 'nt'k sem'a n bilangan b'lat%

1nsin0i1n(s0r.nn

+=


34/98

34

onto,-

6it'ngla) *

&aCab *

Misalkan maka

karena . di k'adran IQ+ maka dipili)

jadi

="tan

"=.r

+i=.

=

=+==

=

( )

( ) ( )

@

@

((@@

((

1$"0

"$sini"$(si=

=$sini=$(si=

=

+=

+=

+=

(=$=

( ) @i=


35/98

35

A)a/ Bi&an(an Ko*'&e)s

Bilangan k(mpleks . adala) akar pangkat n dari

bilangan k(mpleks C+ jika .n# C+ dan dit'lis

%

&ika . # 0(s!i sin1 akar pangkat n dari

bilangan k(mpleks C # r0(s!i sin1+ maka dari

.n# C diper(le)* n0(sn!i sinn1 # r0(s!i

sin1+ se)ingga n# r dan n# !k+ k b'lat%

Akibatnya dan

&adi % % %

n"

C.=

n

"

r= nk+=


36/98

36

&adi+ akar pangkat n dari bilangan k(mpleks

C # r0(s!i sin1 adala)*

. # (s0 1 ! i sin 0 1+

k b'lat dan n bilangan asli%

Dari persamaan .n# C+ ada n b'a) akar

berbeda yang memen')i persamaan it'%

2nt'k memperm'da) dipili) k # $+"++=++0n3

"1

0 H + se)ingga diper(le) ."+.+.=++.nsebagai akar ke3n dari .%

n"

rn

k+n

k+

nk+


37/98

37

onto, -

6it'ngla) 03"1"R>

&aCab *Misalkan . # 03"1"R>+ berarti )ar's diari penyelesaian

persamaan .># 3"%

'lis . #0(s

!i sin

1 dan ," # "0(s"$$!i

sin"$$1+

se)ingga >0(s>!i sin>1 # "0(s"$$!i sin"$$1+

diper(le) ># "+ ata' # = dan %

&adi .# =(s0 1!i sin0 1

Keempat akar yang diari dapat diper(le) dengan

mens'bstit'si k # $+"++= ke persamaan terak)ir%

>k+=

>k+

>

k+


38/98

38

Latihan Soal Bab I

"% B'ktikan e(rema " dengan memisalkan

. # 0x+y1 # x ! iy%% Diketa)'i ."# @ ! ?i dan .# , i%

ent'kan ." !.+ ." 3. +.".+ dan ." R .

=% &ika . # 3"3i+ b'ktikan .

! . ! # $%>% ari bilangan k(mpleks . yang memen')i

si-at* a% .3"# . dan b%

?% B'ktikan 'nt'k setiap . bilangan k(mpleks

berlak' * ."% ! %. # /e0."% 1

@% 6it'ng jarak antara ."# ! =i dan .# ? ,

i%

.. =

".. .


39/98

39

%Gambarkan pada diagram argand dan

seb'tkan nama k'rFa yang terjadi *

a% |. , ?|# @ dan |. , ?| @

b% |. ! i|# |. , i|

% " H |. , i|H =

%Nyatakan bilangan k(mpleks . # 3idalam


T% 6it'ngla) 03!i1"?

"$%ent'kan )imp'nan penyelesaian dari * .=3

i # $


40/98

40

U'ngsi K(mpleksDe4nisi *

Misalkan D )imp'nan titik pada bidang V%U'ngsi k(mpleks - adala) s'at' at'ran yang

memasangkan setiap titik . angg(ta D dengan sat'

dan )anya sat' titik C pada bidang W+ yait' 0.+C1%

U'ngsi terseb't dit'lis C # -0.1%

6imp'nan D diseb't daera) asal 0d(main1 dari -+

dit'lis D-dan -0.1 diseb't nilai dari - ata' peta dari .

(le) -% /ange ata' daera) )asil 0jelaja)1 dari - dit'lis

/-+ yait' )imp'nan -0.1 'nt'k setiap . angg(ta D%


41/98

41

. 1.0-C=1./e0 1C/e0

1.Im0 1CIm0

Bidang VBidang

W

-


42/98

42

onto, -

a1 C # . ! " , i

b1 C # > ! i

1 C # ., ?.

d1 -0.1 #

(nt() a+b+ adala) -'ngsi k(mpleks dengand(main sem'a titik pada bidang V%

(nt() d adala) -'ngsi k(mpleks dengan d(main

sem'a titik pada bidang V + ke'ali . #

"..=+

"


43/98

43

&ika . # x ! iy+ maka -'ngsi C # -0.1 dapat di'raikan

menjadi C # '0x+y1 ! iF0x+y1 yang berarti /e0C1

dan Im0C1 masing3masing mer'pakan -'ngsidengan d'a Fariabel real x dan y%

Apabila . # r0(s! i sin1+ maka C # '0r+ 1 ! iF0r+

1%


44/98

44

onto, -

'liskan -0.1 # ., i dalam bent'k ' dan F


45/98

45

onto, -

'liskan -0.1 # ., i dalam bent'k ' dan F

&aCab *

Misal . # x ! iy+

maka -'ngsi C # -0.1 # ., i

# 0x ! iy 1, i

# 0x!xyi3y1 , i

# 0x3y1 ! i0xy3"1%

&adi ' # 0x

3y

1 dan F # xy3"%


46/98

46

&ika . # r0(s! i sin1%

ent'kan -0.1 # .! i


47/98

47

&ika . # r0(s! i sin1%

ent'kan -0.1 # .! i

&aCab

-0.1 # .! i

# r 0(s!i sin1! i# r(s3 sin! isin(s ! i

# r 0(s3 sin1 ! risin! i

# r 0(s3 sin1 !0"!rsin1i

berarti ' # r0(s3 sin1 dan F # "!rsin1 %

Li*K


48/98

48

Diketa)'i daera) D padabidang V dan titik .(terletak

di dalam D ata' pada batasD% Misalkan -'ngsi C #-0.1 terde4nisi pada D+ke'ali di .(%

(.

D .

1+.0YN (

Apabila titik . bergerak

mendekati titik .(melal'i

setiap lengk'ngan sebarang

K dan mengakibatkan nilai

-0.1 bergerak mendekati

s'at' nilai tertent'+ yait' C(

pada bidang W+ maka

dikatakan limit -0.1 adala) C(

'nt'k . mendekati .(+

1.0-

1+C0N (

(..

C1.0-lim(

=

it

(C

D

K

Vbidang

Wbidang


49/98

49

Defnisi -

Misalkan -'ngsi C # -0.1 terde4nisi pada

daera) D+ ke'ali di .(0titik .( di dalam D ata'pada batas D1% limit -0.1 adala) C('nt'k .

mendekati .(+ jika 'nt'k setiap $+ terdapat $ sedemikian )ingga

8-0.1 , C( 8H + apabila $ H8. , .(8H +

dit'lis*

(..

C1.0-lim(

=


50/98

50

Teo/e*a Li*it -

Teo/e*a 1 -

&ika -'ngsi - memp'nyai limit 'nt'k . men'j'.(+ maka nilai limitnya t'nggal%


51/98

51

Teo/e*a -

Misalkan -'ngsi - dan g limitnya ada%

lim -0.1 # a dan lim g0.1 # b+ maka

"% lim 0-0.1 !g0.11 # a ! b 0'nt'k . Z .(1

% lim 0-0.1 % g0.11 # a % b 0'nt'k . Z .(1

=% lim 0-0.1 R g0.11 # a R b 0'nt'k . Z .(1


52/98

52

onto, 1 -

6it'ngla)i.

".lim

i.

+


53/98

53

onto, 1 -

6it'ngla)

&aCab*

i.

".lim

i.

+

i

1i.0lim

i.1i.10i.0

limi.".lim

i.

i.

i.

=+=

+=

+


54/98

54

onto, ! -

&ika % B'ktikan tidak ada i"y

x

yx

xy1.0-

++

+

= 1.0-lim$.


55/98

55

onto, ! -

&ika % B'ktikan tidak

ada

i"y

x

yx

xy1.0-

++

+

= 1.0-lim$.

B0)ti -

Kita t'nj'kkan ba)Ca 'nt'k . men'j' $ di

sepanjang garis y # $+ maka

Sedangkan di sepanjang garis y # x+

Dari " dan + terb'kti tidak ada

"$ixlim1.0-lim1.0-lim $x1$+$01$+x0$.

===

"1i"x

x"0lim1.0-lim1.0-lim

$x1$+$01x+x0$.=++==

1.0-lim$.


56/98

56

Ke)ontin0an 0n(si

Defnisi -

Misalkan -'ngsi -0.1 terde4nisi di D pada bidang

V dan titik .( terletak pada interi(r D+ -'ngsi -0.1

dikatakan k(ntin' di .(jika 'nt'k . men'j' .(+

maka lim -0.1 # -0.(1%


57/98

57

&adi+ ada tiga syarat -'ngsi -0.1 k(ntin' di .(+

yait' *

U'ngsi -0.1 dikatakan k(ntin' pada s'at'

daera) /+ jika -0.1 k(ntin' pada setiap titikpada daera) / terseb't%

1.0-1.0-lim%=

ada1.0-lim%

ada1.0-%"

(..

..

(

(

(

=


58/98

58

Teo/e*a 4 -

&ika -0.1 # '0x+y1 ! iF0x+y1+ -0.1 terde4nisi di

setiap titik pada daera) /+ dan .(# x(! i y(

titik di dalam /+ maka -'ngsi -0.1 k(ntin' di .(

jika dan )anya jika '0x+y1 dan F0x+y1 masing3

masing k(ntin' di 0x(+y(1%


59/98

59

Teo/e*a 6 -

Andaikan -0.1 dan g0.1 k(ntin' di .(+ maka

masing3masing -'ngsi *"% -0.1 ! g0.1

% -0.1 % g0.1

=% -0.1 R g0.1+ g0.1$

>% -0g0.11 - k(ntin' di g0.(1+

k(ntin' di .(%


60/98

60

onto, 1 -

U'ngsi -0.1 # + apaka)k(ntin' di i

9a.ab -

-0i1 # = ! >0i1 # = ! >i+

sedangkan 'nt'k . mendekati i+ lim -0.1 # .

! i+

jadi -0.1 disk(ntin' di . # i%

=+

+

i.+.>=

i.+

i.

>.

1i0-1.0-limse)ingga i.

)


61/98

61

(nt() %

Dimanaka) -'ngsi k(ntin'

&aCab *

(ba anda periksa ba)Ca g0.1 disk(ntin' di . #" dan

. # % &adi g0.1 k(ntin' di daera)

.=.

".1.0g

++=

{ }.. >


62/98

62

BAB III5 TURUNAN

"51 Defnisi T0/0nan

Diberikan -'ngsi - yang dide4nisikan pada daera) D

dan

.( D%

&ika diketa)'i ba)Ca nilai ada+ maka

nilai limit ini dinamakan turunanata' derivati -'ngsi

- dititik .(%

Din(tasikan * -[0.(1

((

.. ..1.0-1.0-

lim(


63/98

63

\ &ika -[0.(1 ada+ maka - dikatakan terdierensial

ata'

dierensiabeldi .(%Dengan kata lain *

\ &ika - terdi]erensial di sem'a titik pada D+ maka -terdi]erensial pada D

onto, "5151

B'ktikan -0.1 # .terdi]erensiasi disel'r') ^

.1.0-1..0-

lim.-lim1.0_- ((

$.$.(

+==


64/98

64

B0)ti -

Ditinja' sebarang titik .(^

(

(

((

..

(

(

..

(

(

..(

.

..1..10..0

lim

....

lim

..1.0-1.0-lim1.0_-

(

(

(

=

+=

=

=

Karena .(sebarang maka -0.1 # .

terde]erensial

di sel'r') ^


65/98

65

Teo/e*a "51

&ika - -'ngsi k(mpleks dan -[0.(1 ada+ maka

- k(ntin' di .(

B0)ti -


66/98

66

B0)ti -

Diketa)'i -[0.(1 ada

Akan dib'ktikan - k(ntin' di .(ata' 1.0-1.0-lim (.. ( =

$

$1.0_-

1..0lim1..01.0-1.0-

lim

1..01..01.0-1.0-

lim11.0-1.0-0lim

(..(

(..

((

(

..(

..

((

((

==

=

=

se)ingga

dengan kata lain - k(ntin' di .(%

1.0-1.0-lim1.0-lim ((.... ((

==


67/98

67

onto, "515!

B'ktikan -0.1 # 8.8k(ntin' di sel'r') bidangk(mpleks

tetapi )anya terdi]erensial di . # $

B0)ti -

-0.1 # 8.8# x! y berarti '0x+y1 # x! ydan

F0x+y1 # $

' dan F k(ntin' di D+ maka -0.1 k(ntin' di D

$...lim

.8.8

lim$.

1$0-1.0-lim1$0_-

$.

$.$.

==

==

&adi -0.1 terdi]erensial di . # $

" ! S:a/at ,a0;,: Rie*ann


68/98

68

"5! S:a/at ,a0;,:%Rie*ann

Syarat yang diperl'kan agar -'ngsi -terdi-erensial

di


69/98

69

Te/e*a "5!51 2S:a/at ,a0;,:%Rie*ann

&ika -0.1 # '0x+y1 ! i F0x+y1 terdi]erensial di.(# x(

! i y(+ maka '0x+y1 dan F0x+y1 memp'nyaideriFati- parsial pertama di 0x(+y(1 dan di titik ini

dipen')i persamaan a')y , /iemann

deriFati- - di .(dapat dinyatakan dengan

&ika persamaan 3/ tidak dipen')i di 0x(+y(1 maka

-0.1 # '0x+y1 ! i F0x+y1 tidak terdi]erensial di.(#

x(! i y(

xF

y'

danyF

x'

=

=

1y+x0Fi1y+x0'1.0_- ((x((x( +=

onto, " ! 1


70/98

70

onto, "5!51

B'ktikan -0.1 # 8.8tidak terdi]erensiasi di . $

B'kti * -0.1 # x! yse)ingga'0x+y1 # x! y

F0x+y1 # $Persamaan a')y , /iemann

yy'

danxx'

==

$yFdan$

xF =

=

1"0$xyF

x'

=

=


71/98

71

10$yxF

y'dan =

=

0"1dan 01 tidak dipen')i jika x $ ata'y $+

jadi pasti - tidak terde-erensial di . $

atatan *


72/98

72

atatan *

Syarat 3/ )anya syarat perl' 'nt'kketerdi]erensialan%

onto, "5!5!B'ktikan -'ngsi -0.1 #

==

yx

i1"0yi1"0x

++

dan -0$1 # $+ tidak terdi]erensial di $+ memen')i 3/

B'kti *' #

==

yx

yx

+ dengan '0$+$1

# $

F #

==

yx

yx

+

+dengan F0$+$1 # $

'x0$+$1 #

(xlim x

1$+$'01$'0x+ # "

'y0$+$1 # y

1$+$'0+y1$'0lim

(y

# 3"

1$$F01$F0x


73/98

73

Fx0$+$1 #

x1$+$F01$F0x+

lim(x

# "

(ylim y

1$+$F0+y1$F0 Fy0$+$1 # # "

&adi persamaan a')y , /iemann terpen')i

iy110xy0x

i1"0yi1"0x

lim.

1$0-1.0-

lim

==

$.$. ++

+

=

etapi

2nt'k . $

(xlim

=

=

x

i1"0x +Sepanjang garis real y # $ # " ! i

=xi i


74/98

74

(xlim =

=

xi1"0

xi

+ i"i+Sepanjang garis real y # x #

(.lim .

1$-0-0.1&aditidak ada

se)ingga - tidak terdi]erensial di $

meskip'n

persamaan 3/ dipen')i di 0$+$1

ngan demikian dapat disimp'lkan ba)Ca *


75/98

75

x'

y'

xF

yF

x' y

F y

' xF

ngan demikian dapat disimp'lkan ba)Ca *

Syarat perl'

-0.1 # '0x+y1 ! iF0x+y1+ .(# x(! i y(

-[0.1 ada maka ++ +

berlak' 3/ yait' *

# dan #

dan -[0.$1 # '

x0x

$+y

$1 ! i F

x0x

$+y

$1

ada di 0x(+ y(1

ii Syarat 'k'p


76/98

76

ii% Syarat 'k'p

'0x+y1+ F0x+y1+ 'x0x+y1+ Fx0x+y1+ 'y0x+y1+ Fy0x+y1 k(ntin'

pada kitar .(# x(! i y( dan di 0x(+y(1 dipen')i 3/

maka -[0.(1 ada

onto, " ! "


77/98

77

onto, "5!5"

B'ktikan -0.1 # ex0(s y ! i sin y1 terdi-erensial

'nt'k setiap . dalam ^

B'kti *

'0x+y1 # ex(s y 'x0x+y1 #

ex(s y

'y0x+y1 #

3exsin yF0x+y1 # exsin y F

x0x+y1 #

exsin y

Fy0x+y1 # ex(s

y

ada dan

k(ntin' di

setiap 0x+y1 ^

er asar an persamaan 3 *' # F dan ' # F dipen')i di 0x y1 ^ dan ada


78/98

78

'x # Fy dan 'y # 3Fx dipen')i di 0x+y1 ^+ dan ada

kitar

dimana keenam -'ngsi k(ntin' dan 3/ dipen')i di0x+y1%

&adi -[0.1 ada . ^%

Dan -[0.1 # 'x0x+y1 ! i Fx0x+y1 # ex(s y ! i exsin y

"5" S:a/at %R Paa Koo/inat K0t0b

&ika -0.1 '0x y1 ! i F0x y1 dapat diil'strasikan


79/98

79

&ika -0.1 # '0x+y1 ! i F0x+y1 dapat diil'strasikan

dalam k((rdinat kartesi's maka dengan

mengg'nakan)'b'ngan x # r (s dan y # r sin + diper(le)

. # r (s ! i sin + se)ingga

-0.1 # '0r+ 1 ! i F0r+ 1 dalam sistem k((rdinat

k't'b

Teo/ea*a "5"51&ika -0.1 # '0r 1 ! i F0r 1 terdi-erensial dan


80/98

80

&ika -0.1 # '0r+ 1 ! i F0r+ 1 terdi-erensial dan

k(ntin' pada s'at' kitar 0r(+ (1 dan jika dalam

kitar terseb't'r+ '+ Fr+ Fada dan k(ntin' di 0r(+ (1 dan

dipen')i

3/ yait'*r

'

r

"

Fr

"

Fr

F

#

dan

# + r $

maka -[0.1 # ada di . # .(dan

-[0.1 # 0(s (, i sin (1 'r0r(+ (1 ! i Fr0r(+ (1

onto, " " 1


81/98

81

onto, "5"51

Diketa)'i -0.1 # .3=+

tent'kan -[0.1 dalam bent'k k((tdinat k't'b

' # r3=(s =+ se)ingga 'r# 3=r3>(s


82/98

82

=dan

'# 3=r3=sin =

F # 3r3=sin =+ se)ingga Fr# =r3>sin =

dan

F# 3=r3=(s =

keenam -'ngsi ini k(ntin' dan syarat 3/dipen')i 'nt'k sem'a . $

&adi -0.1 # .3=terdi-erensial 'nt'k . $

Dengan demikian -[0.1 dalam k((rdinat k't'badala) *

-[0.1 # 0(s , i sin 1 03=r3>(s =! i =r3>sin

=1

# is03 1 03=r3>1 is03= 1

"54 At0/an Peni$e/ensia&an

&ika -0.1 g0.1 dan )0.1 adala) -'ngsi -'ngsi


83/98

83

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]1.0g1.0_g1.0-1.0g1.0_-

1.0g1.0-

dxd%?

1.0_g1.0-1.0g1.0_-1.0g1.0-dxd

%>

1.0_g1.0_-1.0g1.0-dxd

%=

1.0_E-d.

1.0E-d%

"d.d0.1

+$d.dE

%"

=

+=

=

=

==

&ika -0.1+ g0.1 dan )0.1 adala) -'ngsi3 -'ngsi

k(mpleks

serta -[0.1+ g[0.1 dan )[0.1 ada+ maka berlak' r'm's3r'm's *

n


84/98

84

d.d%

ddC

d.dC

1rantaiat'ran0k(mp(sisidengandiseb'tbiasa

1.0_-1N.0-M_g1.0_)maka1N.0-Mg1.0)&ika%

n.d.d.%@ "n

n

=

==

=

"56 0n(si Ana&iti)


85/98

85

(

Defnisi "5651

U'ngsi - analitik di .(

+ jika ada r $

sedemikian+ )ingga -[0.1 ada 'nt'k setiap .

N0.(+r1 0persekitaran .(1

r

- di-erensiable

U'ngsi analitik 'nt'k setiap .#dinamakan $0n(si 0t0,

(.

onto, "5651


86/98

86

"% -0.1 #

% -0.1 # x=! iy=

diper(le) * ' # x= F # y=se)ingga

'x# =x Fx# $ 'y# $ Fy # =y

dengan mengg'nakan persamaan 3/ *

=x # =y y # x dan Fx# 'y# $

persamaan 3/ dipen')i dan k(ntin' digaris y

# x

berarti -[0.1 ada )anya di y # x

&adi -0.1 tidak analitik dimanap'n karena tidak

ada kitar%

."analitik ke'ali di . # $

Si$at si$at ana&iti)


87/98

87

( )( )

( )( )

$1.0_g$1.0gdengan+.g_.-_

.g

.-lim

(..=

Misalnya - dan g analitik pada D+ maka *

o - g mer'pakan -'ngsi analitiko -g mer'pakan -'ngsi analitiko -Rg mer'pakan -'ngsi analitik dengan g $o ) # g ` - mer'pakan -'ngsi analitik

o berlak' at'ran L[)(spital yait' *

"57 Titi) Sin(0&a/


88/98

88

"57 Titi) Sin(0&a/

Defnisi "5751

itik ."diseb't titik sing'lar dari - jika - tidakanalitik di ."tetapi 'nt'k setiap kitar dari ."

mem'at paling sedikit sat' titik dimana - analitik%

&enis kesing'laran -0.1 ata' titik sing'lar antara


89/98

89

&enis kesing'laran -0.1 ata' titik sing'lar antara

lain *

15 Titi) sin(0&a/ te/iso&asiitik .(dinamakan titi) sin(0&a/ te/iso&asidari

-0.1 jika

terdapat >$ demikian se)ingga lingkaran 8. ,

.(8 #

)anya melingkari titik sing'lar lainnya% &ika

seperti it'

tidak ada+ maka . # .(diseb't titi) sin(0&a/

tia)

te/iso&asi5

!5 Titi) Po&e 2titi) k't'b1


90/98

90

itik . # .(diseb't titik p(le tingkat n+ jika

berlak'

%

&ika n # "+ .(diseb't sebagai titik p(le

seder)ana%

"5 Titi) aban(

Dari -'ngsi bernilai banyak dapat menjadi titiksing'lar%

45 Titi) Sin(0&a/ a'at i,a'0s)an

$A1.0-1..0limn

(.. ( =

(.lim

65 Titi) Sin(0&a/ Essensia&


91/98

91

(

itik sing'lar . # .(yang tidak memen')i

syarat titiksing'lar p(le titik abang ata' titik sing'lar

yang dapat

di)ap'skan diseb't titi) sin(0&a/ essensia&5

75 Titi) Sin(0&a/ ta) ,in((a

&ika -0.1 memp'nyai titik sing'lar di . #

+

maka sama

dengan menyatakan -0"RC1 memp'nyai titik

sing'lar di

onto, " 7 1


92/98

92

onto, "5751

5 g0.1 # berarti titik . # i adala) titik p(le

tingkat dari g0.1

5 )0.1 # 8.8 tidak mer'pakan titik sing'lar

5 k0.1 # ln 0.! . , 1 maka titik abang adala) ."

# " dan .# , karena 0.! . , 1 # 0. , "1 0. !

1 # $

1".0

"

" = 0n(si Ha/*oni)


93/98

93

"5= 0n(si Ha/*oni)

-0.1 # '0x+y1 ! iF0x+y1 analitik pada D maka ' dan

F memp'nyai deriFati- parsial di sem'a (rdeyang k(ntin'e pada D% &adi dalam D berlak' 3/ +

'x# Fydan 'y# ,Fx

Karena deri-ati-3deriFati- parsial dari ' dan Fk(ntin'e dalam D+ maka berlak' Fxy# Fyx% &ika

dalam 'x# Fydan 'y# ,Fx dideriFati-kan parsial

ter)adap x dan y maka 0x+y1 D berlak''xx! 'yy# $Fxx# Fyy# $

&ika - analitik pada D maka ' dan F pada D


94/98

94

& p p

memen')i 'e/sa*aan i>e/ensia& La'&a;e

dalam dimensi%

' dan F dimana -0.1 # '0x+y1 ! iF0x+y1 analitik pada

s'at' d(main maka $2


95/98

95

o o "

Diberikan '0x+y1 )arm(nik pada D dan tent'kan

-'ngsi F yang )arm(nik k(nj'gat dengan ' # >xy=,"x=y+ 0x+y1 ^

&aCab *

Misal diklaim k(nj'gatnya adala) F0x+y1

jadi -0.1 # '0x+y1 ! iF0x+y1 analitik pada ^

sedemikian se)ingga berlak' 3/ 'x# Fydan 'y#

3Fx

'x# >y=, "xy Fy# >y=, "xy'y# "xy

, >x= F# y>, @xy! g0x1

karena Fx # ,'y maka ,"xy! g[0x1 # ,"xy! >x=

se)ingga g[0x1 # >x=

diper(le) g0x1 # x>

!

a/a Mi&ne T,o*son


96/98

96

ara yang lebi) praktis menent'kan -'ngsi

)arm(nik k(nj'gat ata' dari -'ngsi )arm(nik '

diberikan '0x+y1 )arm(nik pada D andaikan

F0x+y1 se)ingga

-0.1 # '0x+y1! iF0x+y1 analitik pada D

-0.1 # 'x0x+y1 ! iFx0x+y1

ses'ai persamaan 3/ * -0.1 # 'x0x+y1 , i'y0x+y1

. # x ! iy dan # x , iy se)ingga diper(le)

.

i..ydan

..x =+=

+

i..

+..

+

i..

+..-0.1 # '

x , i'

y

S'at' identitas dalam . dan + jika diambil # .. .


97/98

97

j

maka -[0.1 # 'x0.+$1 , i'y0.+$1

&adi -0.1 adala) -'ngsi yang deriFati-nya 'x0.+$1 ,i'y0.+$1 kem'dian didapat F0x+y1

. .

onto, "5=5!


98/98

Dari (nt() =%%" dengan '# >xy= , >x=y+ 0x+y1

^+ jika diselesaikan dengan mengg'nakanara Milne )(ms(n%&aCab *

'x# >y=, "xy

'y# "xy

, >x=

-[0.1 # 'x0.+$1 , i'y0.+$1

# ,i0, >.=1

# >i.=

se)ingga -0.1 # i.>! A-0.1 # i0x ! iy1>! A

# >xy=, >x=y ! i0x>, @xy! y>1 ! A

bilangan kompleks_111212.ppt

Documents