1 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

BILANGAN CACAH

a. Pengertian Bilangan Cacah

Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol

yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3,

Bilangan cacah disajikan dalam garis bilangan sebagai berikut.

b. Operasi Hitung pada Bilangan Cacah

1. Operasi Penjumlahan

Operasi penjumlahan suatu bilangan dapat dikerjakan dengan strategi mendatar dan strategi

bersusun.

1) Strategi Mendatar

Contoh:

a. Jumlahkan 3 dan 4 yang menghasilkan 7.

3 + 4 = 7

b. Untuk menyelesaikan penjumlahan yang lebih dari dua suku, prinsipnya adalah dengan

mengelompokkan menjadi dua suku-dua suku dan menjumlahkannya.

Langkah 1: Kelompokan 4 dan 2 dan jumlahkan (4 + 2 = 6), tulis 6.

Langkah 2: Jumlahkan hasil tadi (6) dengan 3 (6 + 3 = 9), tulis 9.

4 + 2 + 3 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9

Soal ini dapat dikerjakan sebagai berikut.

Langkah 1: Kelompokkan 2 dan 3, kemudian jumlahkan (2 + 3 = 5), tulis 5.

Langkah 2: Jumlahkan 4 dengan hasil tadi (4 + 5 = 9), tulis 9.

4 + 2 + 3 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9

c. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (2 + 6 = 8), tulis 8.

Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (1 + 3 = 4), tulis 4.

12 + 36 = 48

2) Strategi Bersusun Pendek

Contoh:

a. Jumlahkan angka satuan (6 +3 = 9). tulis 9.

b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5.

Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8.

c. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (1 + 5 + 2 = 8), tulis 8.

Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (2 + 4 + 3 = 9). tulis 9.

Langkah 3: Jumlahkan angka raturan (3 + 1 = 4), tulis 4.

3) Strategi Bersusun Pendek dengan Teknik Menyimpan

Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (8 + 3 + 4 = 15), tulis 5 dan 1 disimpan

di kolom angka puluhan (di atas angka 9).

Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (1 + 9 + 6 + 8 = 24), tulis 4

dan 2 disimpan di kolom angka ratusan (di atas angka

3).

Langkah 3: Jumlahkan angka ratusan (2 + 3 + 5 + 1 = 11), tulis 1

dan 1 disimpan di kolom ribuan (di atas angka 7).

6

3

9 +

34

51

85 +

321

145

32

498 +

1121 7398

9563

184

17145 +

4 5 6 7 8 3 2 1 0

2 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Langkah 4: Jumlahkan angka ribuan (1 + 7 + 9 = 17), tulis 7 dan 1

disimpan di kolom angka puluhan ribu.

Langkah 5: Karena pada kolom angka puluhan ribu tidak ada angka

yang lainnya, maka turunkan (tuliskan angka puluhan

ribu) di samping kiri angka 7145. Jadi, hasil

penjumlahan itu adalah 17145.

4) Strategi Bersusun Panjang

Contoh:

2. Sifat-sifat Operasi Penjumlahan:

1) Sifat Ketertutupan (Ketunggalan)

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka terdapat hanya satu bilangan cacah

yang dinyatakan dengan a + b.

Contoh:

5 + 9 = 14

Perhatikan 5 dan 9 C dan 5 + 9 = 14 C . Operasi penjumlahan bilangan cacah

memberikan solusi tertutup (pada bilangan cacah) dan hanya satu jawaban yang

memenuhi (tunggal).

2) Sifat Komutatif

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku a + b = b + a.

Contoh:

Periksalah apakah 23 + 59 = 59 + 23? Berilah komentarmu!

Solusi:

23 + 59 = 83 dan 59 + 23 = 83

Jelaslah bahwa 23 + 59 = 59 + 23.

Jadi, dalam penjumlahan bilangan cacah berlaku sifat komutatif.

3) Sifat Asosiatif

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

Contoh:

Hitunglah dengan cara yang paling mudah.

a. 156 + 44 + 38 b. 188 + 567 + 512

Solusi:

Dengan menggunakan sifat asosiatif kelompokkan bilangan-bilangan yang mudah

dijumlahkan.

a. 156 + 44 + 38 = (156 + 44) + 38 = 200 + 38 = 238

b. 188 + 567 + 512 = (188 + 512) + 567 = 700 + 567 = 1.267

4) Unsur Identitas

a. 75

4

. +

75 = 70 + 5

4 = 4

= 70 + 9

= 79

+

b. 597

26

. +

597 = 500 + 90 + 7

26 = 20 + 6

= 500 + 110 + 13

= 500 + 100 + 10 + 10 + 3

= 600 + 20 + 3

= 623

+

3 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Sifat bilangan 0 pada penjumlahan sebagai unsur identitas (elemen netral).

Jika a adalah bilangan cacah, maka a + 0 = 0 + a = a.

2. Operasi Pengurangan

1) Pengertian Opreasi Pengurangan pada Bilangan Cacah

Pengurangan adalah operasi lawan (invers) dari operasi. Perhatikan bahwa 23 3 = 20

20 + 3 = 23. Secara umum dapat dikemukan bahwa:

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka a b = c a = b + c.

Catatan: Lambang artinya setara atau ekiuvalen atau sama artinya .

Contoh:

Carilah pengganti huruf n yang tepat dari persamaan berikut ini.

a. 5030 n c. 3124 n

b. 7821n d. 28 n

Solusi:

a. 5030 n b. 7821n

805030 n 572178 n

c. 3124 n d. 28 n

72431 n n 28

628 n

2) Sifat-sifat Operasi Pengurangan:

a. Terdapat Invers Terhadap Penjumlahan atau Negatif

Untuk setiap a C (C adalah himpunan bilangan cacah) terdapat suatu bilangan cacah

yang dinamakan invers terhadap penjumlahan atau negatif dari a dinyatakan dengan a

(dibaca negatif dari a), sehingga a + (a) = 0

b. Pada operasi pengurangan bilangan tidak berlaku sifat ketertutup.

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka belum tentu a b adalah bilangan

cacah.

Contoh:

5 3 = 2 (5, 2, dan 3 adalah bilangan-bilangan cacah), berlaku sifat ketertutupan.

3 5 = 2 (3 dan 5 adalah bilangan-bilangan cacah, sedangkan 2 adalah bilangan bulat),

tidak berlaku sifat ketertutupan.

c. Dalam operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.

1. a b b a (tidak komutatif)

Contoh:

Apakah 12 7 = 7 12? Berilah komentarmu!

Solusi:

12 7 = 5 dan 7 12 = 5

Jelaslah bahwa 12 7 = 7 12.

Jadi, dalam operasi pengurangan bilangan cacah tidak berlaku sifat komutatif.

2. (a b) c a (b c) (tidak asosiatif)

Contoh:

Apakah (25 19) 4 = 25 (19 4)? Berilah komentarmu!

Solusi:

(25 19) 4 = 6 4 = 2 dan 25 (19 4) = 25 15 = 10

Jelaslah bahwa (25 19) 4 25 (19 4).

Jadi, pada operasi pengurangan bilangan cacah tidak berlaku sifat asosiatif.

Operasi pengurangan suatu bilangan dapat dikerjakan dengan strategi mendatar dan strategi

bersusun.

1. Strategi Mendatar

4 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Hitunglah

a. 8 5 b. 27 8 c. 69 20 d. 542 245

Solusi:

a. 8 5 = 3, karena 5 + 3 = 8 c. 69 20 = 49, karena 20 + 49 = 69

b. 27 8 = 19, karena 8 + 19 = 27 d. 542 245 = 297, karena 245 + 297 = 542

2. Strategi Bersusun

1. Hitunglah

a. 72.946 8.295 b. 67.423 18.297 29.258

Solusi:

a. 72.596 8.245

Langkah 1: Kurangkan angka satuan (6 5 = 1), tulis 1.

Langkah 2: Kurangkan angka puluhan (4 9 tidak bisa, pinjam 1

ratusan).

Jadi, 14 9 = 5, tulis 5 dan angka ratusan bersisa 7).

Langkah 3: Kurangkan angka ratusan (7 2 = 6), tulis 6.

Langkah 4: Kurangkan angka ribuan (2 8 tidak bisa, pinjam 1

ribuan). Jadi, 12 8 = 4, tulis 4 dan angka puluhan ribu

bersisa 6).

Langkah 5: Karena pada kolom angka puluhan ribu tidak ada angka yang lainnya,

maka turunkan (tuliskan angka puluhan ribu) di samping kiri angka 4651.

Jadi, hasil pengurangan itu adalah 64.651.

b. 67.423 18.297 29.258

Prosedur pertama yang ditempuh adalah:

Langkah 1: Kurangkan angka satuan (3 7 tidak bisa, pinjam 1

puluhan = 1). Jadi, 13 7 = 6, tulis 6, dan angka puluhan

bersisa 1)

Langkah 2: Kurangkan angka puluhan (1 9 tidak bisa, pinjam 1

ratusan). Jadi, 11 9 = 2, tulis 2 dan angka ratusan

bersisa 3).

Langkah 3: Kurangkan angka ratusan (3 2 = 1), tulis 1.

Langkah 4: Kurangkan angka ribuan (7 8 tidak bisa, pinjam 1

ribuan).

Jadi, 17 8 = 9, tulis 9 dan angka puluhan ribu bersisa 5).

Langkah 5: Kurangkan angka ribuan (5 1 = 4), tulis 4.

Jadi, 67.423 18.297 = 49.126.

Selanjutnya 49.126 29.258, dengan prosedur yang ditempuh adalah.

Langkah 1: Kurangkan angka satuan (6 8 tidak bisa, pinjam 1

puluhan = 1). Jadi, 16 8 = 8, tulis 8, dan angka puluhan

bersisa 1)

Langkah 2: Kurangkan angka puluhan (1 5 tidak bisa, pinjam 1 ratusan).

Jadi,