barisan dan deret tak hingga · pdf filebarisan bilangan . 4 1, 3 1, 2 1 1, dinamakan barisan...

Disusun oleh :

Markus Yuniarto, S.Si

Tahun Pelajaran 2016 – 2017

SMA Santa Angela

Jl. Merdeka No. 24 Bandung

Barisan Dan Deret

Tak Hingga

Matematika Wajib

Kelas XI

=====================================================Matematika XI Wajib

Marcoes hal 2

Pengantar:

Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat

dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini

berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika

akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

Tujuan Pembelajaran :

1. Memahami notasi sigma dengan baik.

2. Menganalisis dan membuat kategori dari unsur-unsur yang terdapat pada

pengertian barisan dan deret tak hingga dengan tekun.

3. Mengingat kembali konsep barisan dan deret .

4. Menyelesaikan persoalan-persoalan yang terkait dengan barisan dan

deret dengan tekun.

5. Memahami deret konvergen dan tak konvergen.

Peta Konsep :

Barisan dan deret Tak Hingga

Notasi Sigma

Konsep Barisan

Dan Deret

Menghitung Barisan

Dan Deret Tak Hingga

Konvergensi

Deret


Marcoes hal 3

A. Prasyarat 1. Misal diketahui pola :

B, U, R, S, A, B, U, R, S, A, B, ...

Berdasarkan barisan tersebut, Tentukan :

a. Suku ke – 15

b. Suku ke – 18

c. Suku ke – 20

d. Suku ke – 1.000

e. Suku ke – 1.009

2. Suku-suku suatu barisan bilangan memenuhi rumus : n57Un .

Tentukan :

a. Suku ke – 100

b. Jumlah 100 suku pertama

3. Jika jumlah n suku pertama suatu barisan adalah 4n3S 2n .

Tentukan suku ke – 200.

Ingat :

Barisan Aritmatika :

1. Barisan U1, U2, U3, ..., Un, .... disebut barisan aritmatika jika Un

- Un-1 = konstan. Un disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut

disebut beda, yang dinotasikan dengan b.

2. Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka

dengan beda b dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur ke n dari

barisan itu adalah Un = a + (n - 1)b

3. Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka,

maka U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....disebut deret aritmatika. Un disebut suku

ke n dari deret itu.


Marcoes hal 4

4. Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur pertama U1 = a

adalah Sn = )(2

1nUan atau Sn = ))1(2(

2

1bnan .

Barisan Geometri :

1. Barisan U1, U2, U3,..., Un,...disebut barisan geometri jika 1n

n

U

U konstan

dengan n = 2, 2, 3,.... Konstanta pada barisan geometri di atas disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.

2. Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan

U1 = a dan rasio r adalah: Un = arn-1

3. Jika U1, U2, U3, ..., Un,.... merupakan barisan geometri dengan

unsur pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka

U1 + U2 + U3 + ... + Un + ....disebut deret geometri dengan

Un = arn-1

4. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio

r adalah:

r

raS

n

n

1

)1( untuk r < 1 atau

1

)1(

r

raS

n

n untuk r > 1

Jika n menuju tak hingga Sn berhingga, maka deret yang bersangkutan disebut deret konvergen, dan jika tidak demikian disebut deret divergen.

5. Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r

adalah Sn = r

a

1


Marcoes hal 5

B. Notasi Sigma

Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.

1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.

3. 27

1

9

1

3

1 .

4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola

dapat dituliskan dengan notasi (dibaca: sigma), sehingga jumlahan bilangan

diatas dapat ditulis kembali :

1.

7

1

7654321n

n

2.

6

1

212108642n

n

3.

3

1 3

1

27

1

9

1

3

1

nn

4.

5

1

)12(97531n

n


Marcoes hal 6

Beberapa sifat notasi sigma

Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c R ,maka berlaku:

1.

n

mkk

n

mkk

n

mkkk ba)ba(

2.

n

mkk

n

mkk acca

3.

n

mk

p

1nk

p

mkkkk aaa

4. c)1mn(cn

mk

, c Є R, c = konstanta

5.

pn

pmkpk

n

mkk aa atau

pn

pmkpk

n

mkk aa

6.

n

mk

2k

n

mkkk

n

mk

2k

n

mk

2kk bb.a2a)ba(

Ex. 1 Nyatakan dalam bentuk penjumlahan

5

1k1kk

30201262

6554433221

1551441331221111kk5

1k

Ex. 2 Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma:

a. 2+ 4 + 6 + 8 + 10

= 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5

=2(1 + 2 + 3 + 4 + 5)

=

5

1kk2


Marcoes hal 7

b. 5

4

4

3

3

2

2

1

1k

kk1

14

41

13

31

12

21

11

11

4

1k

432

c. 2433425 bababaab

4

1k

k6k

464363262161

ba

babababa

Ex. 3 Tentukan nilai dari :

a.

10

1pp

b.

6

3n

2n2

c.

5

1k1k2

d.

5

1n 1n

3n22n3

e.

4

2k

2 4k3

Ex. 4 Buktikan :

n

1k

n

1k

n

1k

22 n16k16k44k2


Marcoes hal 8

Ex. 5 Ubahlah batas bawah sigma menjadi 4 dari notasi sigma berikut:

a.

4

2k

64

62k

10

4k 13k2

6k

16k2

6k

1k2

k

b.

10

6k

2 1k

C. Deret Khusus dalam Notasi Sigma

Deret Bilangan Asli

Himpunan bilangan asli {1, 2, 3, 4, 5,....,n}

Suku ke- n adalah nUn

n1n2

1Sn , sehingga dapat ditulis :

n

1in1n

2

1i

Deret Kuadrat Bilangan Asli

Himpunan kuadrat bilangan asli 2222 n,....,3,2,1

Suku ke-n adalah 2n nU

1n21nn2

1Sn ,sehingga dapat ditulis :

1n21nn2

1i

n

1i

2

Deret Kubik Bilangan Asli

Himpunan kuadrat bilangan asli 3333 n,....,3,2,1


Marcoes hal 9

Suku ke-n adalah 3n nU

2

n 1nn2

1S

, sehingga dapat ditulis :

2

n

1i

3 1nn2

1i

Ex. 6 Diketahui barisan : 1, 4, 9,16, 25, 36, ...., n2. Tentukan jumlah dari

suku ke-50 sampai suku ke-60.

Ex. 7 Berapakan nilai dari 22222222 1234....23242526

Jawab :

22222222 1234....23242526

= 22222222 13....232524....2426

2222

22222

112122....1122132

12....12132

=

13

1i

213

1i

2 1i2i4

=

13

1i

213

1i

2 1i4i4i4

=

13

1i

13

1i

13

1i

213

1i

2 1i4i4i4

= 131i413

1i

= 131312

134

=351


Marcoes hal

10

D. Barisan dan Deret Tak Hingga

Misal :

Barisan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 100 dinamakan barisan berhingga.

Barisan bilangan ,....4

1,

3

1,

2

1,1 dinamakan barisan tak hingga.

Bagaimana dengan deret??

Deret bilangan merupakan penjumlahan suku-suku barisan.

Misal : barisan ...u,u,u,u 4321

Deret : ...uuuu 4321

Ex. 8 Tentukan suku ke-2, suku ke-5, dan suku ke 12 jika diketahui 1n

1u

2n

E. Limit dari Suatu Barisan

Suatu bilangan L dikatakan sebagai limit dari sebuah barisan tak

berhingga ...u,u,u,u 4321 apabila untuk setiap bilangan Є > 0 yang

diberikan (berapa pun kecilnya), dapat ditemukan sebuah bilangan N

sedemikian sehingga Lun ,untuk semua bilangan bulat n > N.

Misalnya : n

1n3

n

13un

. Barisannya adalah 4.

Teorema Limit Pusat

Jika diketahui nn

nn

blimdanalim

ada maka :

1. nn

nn

nnn

blimalimbalim


Marcoes hal

11

2. nn

nn

nnn

blimalimbalim

3. 0blimasal,blim

alim

b

alim n

nn

n

nn

n

n

n

4. p

nn

pn

nalimalim

Ex. 9 Diketahui sebuah barisan dengan rumus suku ke-n adalah

n

1nun

. Tentukan nilai limitnya.

Jawab :

101n

1lim1lim

n

11lim

n

1nlimulim

nnnnn

n

F. Barisan Konvergen dan Divergen

1. Konvergen

Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga.

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ....

b. 5 – 10 + 20 – 40 + ....

c. ....4

1

2

11

d. ....3

1139


Marcoes hal

12

Dalam contoh a dan b rasionya 2 dan -2,jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tak terbatas.

Deret yang demikian disebut deret divergen,dengan 1r .

Dalam contoh c dan drasionya 3

1dan

2

1 , dapat dihitung

jumlahnya,deret ini disebut deret konvergen dengan 1r .

r1

r1alimSlimS

n

nn

n

Karena deret konvergen 1r ,untuk n → ∞ maka

0rn ,sehingga :

r1

a

r1

0a

r1

aralim

r1

r1alimSlimS

n

n

n

nn

n

Jadi rumus jumlah deret geometri tak hingga :

1rdengan,r1

aS

Ex. 10 Tentukan jumlah deret tak berhingga suku dari deret berikut :

a. ....8

1

4

1

2

11

Deret ini konvergen,

Dengan a = 1 dan r = 2

12

2

1

1

2

11

1

r1

aS

b. ....

4

1

2

112

2


Marcoes hal

13

Deret ini konvergen,

Dengan a = 2 dan r = 2

1, 4

2

11

2

r1

aS

Ex. 11 Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m danmemantul kembali dengan

ketinggian 4

3kali tinggi sebelumnya.pemantulan berlangsung terus

menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola.

4

3r;m10u0

m4

30m10

4

3u1

m70

4

31

4

3

210r1

u210S210S 1

Cara lain :

Suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H secara vertikal dan memantul

ke atas dengan tinggi pantulan b

a kali dari ketinggian semulamaka

panjang lintasan pantulan S hingga berhenti adalah :

Hab

abS


Marcoes hal

14

Soal Latihan

Kerjakan soal –soal berikut ini pada buku tugasmu!

1. Hitunglah jumlah deret geometri takhngga berikut!

a. 3 + 1 + 3

1 + … c. -3 + 1 -

3

1 + …

b. 8 – 4 + 2 – 1 + … d. 4 + ...9

4

3

4

2. Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 6 dan rasio sama dengan 3

2.

Hitunglah jumlah tak hingga sukunya!

3. Jika suatu deret geometri tak hingga diketahui jumlahnya 3 dan suku pertama sama dengan 4, hitunglah besar rasio deret tersebut!

4. Mobil bergerak lurus dengan kecepatan 60 km/jam selama jam pertama. Pada jam

kedua kecepetannya berkurang menjadi dua pertiganya.Demikian seterusnya, setap

jam kecepatannya menjadi 3

2 kecepatan sebelumnya.Berapa km jarak trjauh yang

dapat dicapai oleh mobil trsebut?

5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketnggian 18 m, saat mengenai lantai , bola memantul

mencapai ketinggian 3

2 dari aktinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola

sampai berhenti


Marcoes hal

15

Berilah tanda silang pada huruf a, b, c, d, atau e sesuaia pilihan yang paling tepat

1. Nilai dari 11 25

1

nn

n adalah …

a. -16 b. -14 c. -12

d. 14 e. 12

2. Notasi sigma dari 3 + 10 + 21 + … + 300 adlah : …

a.

12

1

12k

k b.

12

1

2 2k

k c.

12

1

1k

kk

d.

12

1

23k

k e.

12

1

12k

kk

3. Suku ke – 15 dari barisan 3, 5, 7, 9, …adalah …

a. 27 b. 12 c. 35

d. 29 e. 33

4. Suatu deret aritmatika mempunyai suku ke- 1 sama dengan 4 dan beda 2. Jika

jumlah n suku pertama adalah 180, maka n = …

a. 6 b. 9 c. 12

d. 15 e. 18

5. Rumus suku ke- n dari barisan bilangan : 2, 4, 8, 16, 32 adalah :

a. 2n d. n2

b. 2n + 2 e. 2n – 2

c. 2n

6. Lima suku pertama dari barisan dengan rumus Un = n2 + 1 adalah …


Marcoes hal

16

a. 2, 5, 7, 11 d. 3, 6, 9, 15, 21

b. 2, 5, 10, 17, 26 e. 3, 7, 9, 12, 15

c. 3, 5, 7, 9, 11

7. Suatu deret aritmatika suku pertama sama dengan 5 dan bedanya 3 , maka suku

ke seratus adalah …

a. 300 d. 309

b. 302 e. 312

c. 306

8. Diketahui barisan aritmatika dengan U3 = 3 dan U8 = 13. Suku ke – 100 adalah..

a. 199 d. 196

b. 198 e. 195

c. 197

9. Suku tengah dari barisan aritmatika yang suku pertamanya = 3, bedanya lima,

dan banyaknya suku 99, adalah …

a. 245 d. 248

b. 246 e. 249

c. 247

10. U5 deret aritmatika adalah 21 dan U17 deret tersebut adalah 81, maka jumlah 25

suku pertama adalah ….

a. 1.495 d. 1.520

b. 1.500 e. 1.525

c. 1.515

11. Jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 kurang dari 100 adalah …


Marcoes hal

17

a. 166.833 d. 166.533

b. 166.733 e. 166.433

c. 166.633

12. Diketahui suatu barisan bilangan 5, 9, 13, 17, … suku ke-n barisan bilangan

tersebut adalah …

a. Un = 4 + n d. Un = 1 + 4n

b. Un = 3 + 2n e. Un = -1 + 6n

c. Un = 2 + 3n

13. Perusahaan “ ASIA JAYA” pada tahun pertama mempruduksi sepatu sebanyak

2.000 buah. Jika setiap tahun produksinya bertambah sebanyak 25 buah, jumlah

produksi sepatu pada tahun ke-21 adalah …

a. 2.045 buah d. 3.975 buah

b. 2.500 buah e. 5.500 buah

c. 2.550 buah

14. Pada barisan arit matika suku keempat sama dengan 8 dan suku kedua belas

sama dengan 16. Suku kesepuluh adalah …

a. 34 d. 44

b. 38 e. 48

c. 40

15. Sebuah perusahaan mobil pad tahun ke tiga memproduksi sebanyak 550 unit.

Tiap – tiap tahun berikunya meningkat 5 % dari tahun pertama. Jumlah produksi

selama sepuluh tahu adalh :…

a. 700 unit d. 6.125 unit

b. 725 unit e. 6.250 unit

c. 1.125 unit


Marcoes hal

18

16. Suku kedua dan kelima pad barisan geometri berturut – turut adalah 6 dan 162.

Jumlah empat suku pertam adalah : …

a. 60 d. 90

b 70 e. 106

c. 80

17. Fitri mendapat gaji Rp 7.500.000,00 tiap tahun berikutnya bertambah Rp

200.000,00 tiap tahun. Total gaji Fitri selama 6 tahun adalah :

a. Rp 49.000.000,00 d. Rp 44.000.000,00

b. Rp 48.000.000,00 e. Rp 43.000.000,00

c. Rp 46.000.000,00

18. Suatu deret geometri diketahui suku kedua adalah 24 dan suku kelima adalah 81,

maka jumlah lima suku yang pertama adalah : …

a. 112 d. 224

b. 121 e. 242

c. 211


Marcoes hal

19


Marcoes hal

20

DAFTAR PUSTAKA

Rosihan,Ari y.Perspektif.Kelas XI MIA Wajib.Platinum.

Sobirin.Fokus Matematika.Siap Ujian Nasional SMA.Erlangga.

barisan dan deret tak hingga · pdf filebarisan bilangan . 4 1, 3 1, 2 1 1, dinamakan barisan...

Documents