bahan kuliah trigonometri

8/19/2019 Bahan Kuliah Trigonometri

1/32

Bab I

Pendahuluan

A. Latar Belakang

Seseorang yang ingin mengukur tinggi sebuah pohon,

menara, gedung bertingkat ataupun sesuatu yang memiliki ketinggian

tertentu maka tidaklah mungkin secara fisik akan mengukur dari

bawah ke atas (puncak) obyeknya dengan menggunakan meteran.

Salah satu cabang matematika yang dapat dipakai dalam membantu

pengukuran ini adalah trigonometri.

Gambar 1.1 adalah gambar seorang pengamat yang ingin mengukur

tinggi tiang bendera dengan menggunakan klinometer (Gb. 1.2)

Dalam pengamatan akan didapat sudut dan arak pengamat dengan

tiang, kemudian dengan bantuan pengetahuan trigonometri maka

akan dapat dihitung tinggi tiang tersebut.

!enyataan dalam kehidupan sehari−hari di berbagai bidang

kehidupan banyak membutuhkan pengetahuan tentang trigonometri,

1

α

Gb. 1.1. mengukur ketinggian Gb. 1.2. !linometer


2/32

antara lain bidang keteknikan, bidang "#$, bidang penerbangan,

bidang pelayaran dan sebagainya. %leh karena itu topik tentang

trigonometri perlu diaarkan

B. Tujuan

&ahan aar tentang pembelaaran trigonometri ini disusun

agar para tenaga kependidikan'guru

1. ebih menguasai materi pembelaaran trigonometri

2. ebih memiliki kemampuan mengembangkan teknik, model dan

strategi pembelaaran trigonometri

C. Ruang Lingkup

&ahan aar ini membahas topik−topik sebagai berikut

1. #engertian perbandingan trigonometri

2. *umus perbandingan trigonometri sudut yang berelasi

+. enyelesaikan #ersamaan -rigonometri

. *umus−rumus trigonometri

2


3/32

at/-usi

Gb. 2.1. matematikawan

Bab II

Trigonometri

Studi tentang trigonometri sebagai cabang matematika, lepas

dari astronomi pertama kali diberikan oleh 0ashiruddin al/-usi (121/

12), lewat bukunya Treatise on the quadrilateral . &ahkan dalam buku ini

ia untuk pertama kali memperlihatkan keenam perbandingan trigonometri

lewat sebuah segitiga siku/siku (hanya masih dalam trigonometri sferis).

enurut %34onners dan *obertson, mungkin ia pula yang pertama

memperkenalkan $turan Sinus (di bidang datar).

Di $rab dan kebanyakan daerah muslim, trigonometri

berkembang dengan pesat tidak saa karena alasan astronomi tetapi uga

untuk kebutuhan ibadah. Seperti diketahui, orang muslim ika melakukan

ibadah sholat , harus menghadap ke arah Qiblat , suatu bangunan di kota

ekkah. #ara matematikawan muslim lalu membuat tabel trigonometri

untuk kebutuhan tersebut.

!onsep trigonometri pada pembahasan ini diawali dengan

perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga siku−siku.

+


4/32

A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku

Gambar di samping adalah segitiga

siku/siku dengan titik sudut sikunya

di 4. #anang sisi di hadapan sudut

$ adalah a, panang sisi di hadapan

sudut & adalah b, dan panang sisi di hadapan sudut 4 adalah c .

-erhadap sudut α

Sisi a disebut sisi siku/siku di depan sudut α

Sisi b disebut sisi siku/siku di dekat (berimpit) sudut α

Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa

&erdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 5 (enam) perbandingan

trigonometri terhadap sudut α sebagai berikut

1.c

a==α

hipotenusapanang

$sudutdepandisiku/sikusisipanang sin

2.c

b==α

hipotenusapanang

$sudut (berimpit)dekatdisiku/sikusisipanang osc

+.b

a==α

$sudutdekatdisiku/sikusisipanang

$sudutdepandisiku/sikusisipanang tan

.ac ==α

$sudutdepandisiku/sikusisipananghipotenusapanang csc

6.b

c ==α

$sudutdekatdisiku/sikusisipanang

hipotenusapanang sec

5.a

c ==α

$sudutdepandisiku/sikusisipanang

$sudutdekatdisiku/sikusisipanang cot

Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus

$

&

4 α

c a

b

Gb. 2.2. perbandingan trigonometri


5/32

$

&

4 α

c a

b

Gb. 2.+. perbandingan trigonometri

αα

=α cos

sin tan dan

αα

=α sin

cos cot

α=α

cos

1 sec dan

α=α

sin

1 csc

4ontoh

#ada gambar di samping segitiga

siku−siku $&4 dengan panang a = 2

dan c = 26.

-entukan keenam perbandingan

trigonometri untuk α.

#enyelesaian

0ilai b dihitung dengan teorema #ythagoras

22 2.26b −=

65526 −=

.7 ==

26

2. sin ==α

c

a

2.

26 csc ==α

a

c

26

osc ==α

c

b

26 sec ==α

b

c

2. tan ==α

b

a

2.

cot ==α

a

c

B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimea

6


6/32

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya

dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu °,

+°, 6°,5°, dan 7°.

Sudut/sudut istimewa yang akan dipelaari adalah 30°, 45°,dan 60°.

8ntuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa

digunakan segitiga siku/siku seperti gambar berikut ini.

Dari gambar 2..a dapat ditentukan

22

1

2

1.6sin ==° 2

1

2.6csc ==°

22

1

2

1.6cos ==° 2

1

2.6sec ==°

11

1.6tan ==° 1

1

1.6cot ==°

Dari gambar 2..b dapat ditentukan

2

1+sin =° +

2

1

2

+5sin ==°

+2

1

2

++cos ==°

2

15cos =°

++

1

+

1+tan ==° +

1

+5tan ==°

21

2+csc ==° +

+

2

+

25csc ==°

5

Gb. 2..b. sudut istimewa

+

5°

+°

1 2

Gb. 2..a. sudut istimewa

2

6°

1

1


7/32


8/32

# adalah sembarang titik di kuadran " dengan koordinat (9,y). %#

adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal % dalam koordinat

kartesius, sehingga ∠:%# dapat bernilai ° sampai dengan

7°. #erlu diketahui bahwa

r y =+= 229%# dan r >

&erdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku

dapat didefinisikan dalam absis ( x ), ordinat (y ), dan panang %# (r )

sebagai berikut

1.r

y ==

%#panang

#ordinat;sin .

y

r ==

#ordinat

%#panang;csc

2.r

x ==

%#panang

#absis;cos 6.

x

r ==

#absis

%#panang;sec

+. x

y ==

#absis

#ordinat;tan 5.

y

x ==

#ordinat

#absis;cot

Dengan memutar garis %# maka ∠ :%# < α dapat terletak di kuadran ",

kuadran "", kuadran """ atau kuadran "=, seperti pada gambar di bawah ini.

>

y

x :

?

#( x,y )

r

α1

Gb. 2.6

O

Gb. 2.5. titik di berbagai kuadran

y

x :

?

#( x,y )

r

α1

%

y

x :

?#( x,y )

r

α2

%

y

x

:

?

r

#( x,y )

α+

%

y

x

:

?

r

#( x,y )

α

%


9/32

-abel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran

#erbandingan

-rigonometri

!uadran

" "" """ "=

sin @ @ / /

cos @ / / @

tan @ / @ /

csc @ @ / /

sec @ / / @

cot @ / @ /

". Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut #ang Berelasi

Sudut/sudut yang berelasi dengan sudut α adalah sudut (7° ± α),

(1>° ± α), (+5° ± α), dan /α°. Dua buah sudut yang berelasi ada

yang diberi nama khusus, misalnya pen#iku (komplemen) yaitu untuk

sudut α° dengan (7° / α) dan pelurus (suplemen) untuk sudut α°

7


10/32

dengan (1>° / α). 4ontoh penyiku sudut 6° adalah °, pelurus

sudut 11° adalah °.

1. #erbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (7° / α)

Dari gambar 2. diketahui

-itik #1( x 1,y 1) bayangan dari #( x,y )

akibat pencerminan garis y = x ,

sehingga diperoleh

a. ∠:%# < α dan ∠:%#1 < 7° / α

b. x 1 ° / α)

1

a. ( ) α=α−° cos7sin d. ( ) α=α−° sec7csc

b. ( ) α=α−° sin7cos e. ( ) α=α−° eccos7sec

c. ( ) α=α−° cot7tan f. ( ) α=α−° tan7cot

y

x

:

?

#( x,y )

r

α (7/α)

#1( x

1,y

1)

r 1

x 1

y 1

y < 9

Gb. 2.. sudut yang berelasi

O


11/32

y

x :

?

#( x,y )r

α

(1>°/α)

#1( x

1,y

1)

r 1

x 1

y 1

O

Gb. 2.>. sudut yang berelasi

-itik #1( x 1,y 1) adalah bayangan dari

titik #( x,y ) akibat pencerminan

terhadap sumbu y, sehingga

a. ∠:%# < α dan ∠:%#1 < 1>° / α

b. x 1 < − x , y 1 = y dan r 1 < r

maka diperoleh hubungan

a. ( ) α===α−° sin1>sin1

1

r

y

r

y

b. ( ) α−=−

==α−° cos1>cos1

1

r

x

r

x

c. ( ) α−=−

==α−° tan1>tan

1

1

x

y

x

y

Dari hubungan di atas diperoleh rumus

+. #erbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (1>° @ α)

Dari gambar 2.7 titik #1( x 1,y 1) adalah

bayangan dari titik #( x,y ) akibat

pencerminan terhadap garis y = − x ,

sehingga

a. ∠:%# < α dan ∠:%#1 < 1>° @ α

b. x 1 < − x , y 1 = −y dan r 1 < r

11

a. ( ) α=α−° sin1>sin d. ( ) α=α−° csc1>csc

b. ( ) α−=α−° cos1>cos e. ( ) α−=α−° sec1>sec

c. ( ) α−=α−° tan1>tan f.α−=α−° cot1>cot

y

x :

?

#( x,y )r

α

(1>°@α)

#1( x

1,y

1)

r 1

x 1

y 1

O

Gb. 2.7. sudut yang berelasi


12/32

maka diperoleh hubungan

a. ( ) α−=−==α+° sin1>sin1

1

r y

r y

b. ( ) α−=−

==α+° cos1>cos

1

1

r

x

r

x

c. ( ) α==−

−==α+° tan1>tan

1

1

x

y

x

y

x

y


. #erbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (/ α)

Dari gambar 2.1 diketahui titik

#1( x 1,y 1) bayangan dari #( x,y )

akibat pencerminan terhadap

sumbu x , sehingga

a. ∠:%# < α dan ∠:%#1 < / α

b. x 1 sin d. ( ) α−=α+° csc1>csc

b. ( ) α−=α+° cos1>cos e. ( ) α−=α+° sec1>sec

c. ( ) α=α+° tan1>tan f. ( ) α=α+° cot1>cot

y

x

:

?

#( x,y )r

α

(+5°/α1)

#1( x

1,y

1)

r 1

x 1

y 1

O /α

Gb. 2.1. sudut yang berelasi


13/32

c. ( ) α−=−

==α− tantan1

1

x

y

x

y


8ntuk relasi α dengan (/ α) tersebut identik dengan relasi α dengan

+5° − α, misalnya sin (+5° − α) = − sin α.

$. %enentukan !oordinat kartesius dan !oordinat !utub

4ara lain dalam menyaikan letak sebuah titik pada bidang

xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub.

#ada gambar 2.11 titik P ( x ,y ) pada koordinat kartesius dapat disaikan

dalam koordinat kutub dengan P (r , α) seperti pada gambar 2.12.

Aika koordinat kutub titik P (r , α) diketahui, koordinat kartesius dapat

dicari dengan hubungan

r

x =αcos → α= cosr x

1+

a. ( ) α−=α− sinsin d. ( ) α−=α− csccsc

b. ( ) α=α− coscos e. ( ) α=α− secsec

c. ( ) α−=α− tantan f. ( ) α−=α− cotcot

y

x :

? P ( x,y )

%

Gb. 2.11. koordinat kartesius

•

y

x :

?P (r, α)

r

α%

Gb. 2.12. koordinat kutub

•


14/32

r

y =αsin → α= sinr y

ika koordinat kartesius titik P ( x ,y ) diketahui, koordinat kutub titik

P (r , α) dapat dicari dengan hubungan

22y x r +=

x

y =αtan → α = arc tan

x

y , arc tan adalah inBers dari tan

4ontoh

1. 8bahlah menadi koordinat kutub

a. B(6,6) b. )+.,.(4 −

2. 8bahlah P (12,5°) menadi koordinat kartesius

#enyelesaian

1. a. B (6,6) b. )+.,.(4 −

x = 6, y = 6 (kuadran ") x = −, y = +. (kuadran "")

22 66 +=r ( ) ( )22 +..r +−=

262626 =+= >5..>15 ==+=

166 tan ==α → α = 6° +

.+. tan −=

−=α → α = 12°

adi B ).6,26( ° adi C (>, 12°)

2. P (12,5°) diubah ke koordinat kartesius

x = r cos α y = r sin α

= 12 cos 5° = 12 sin 5°

1


15/32

= 12(1'2) = 12

+2

1

x = 5 y = +5

Aadi koordinat kartesiusnya P ( +5,5

&. Identitas Trigonometri

Dari gambar di samping diperolehr

x =αcos ,

r

y =αsin dan

22 y x r += . Sehingga 2

2

2

2

22 cossinr x

r y +=α+α

12

2

2

22

==+

=r

r

r

y x

'. %en#elesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana

#ersamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat

perbandingan trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam

ukuran deraat atau radian.

enyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x

yang memenuhi persamaan tersebut sehingga ika dimasukkan

nilainya akan menadi benar.

1. enyelesaikan persamaan sin x = sin α

16

y

x :

?P ( x, y )

r

α%

Gb. 2.1+. rumus identitas

•

sin2α @cos2α = 1Aadi


16/32

Dengan mengingat rumus

sin (1>° / α) = sin α dan sin (α @ k . +5°) = sin α, maka diperoleh

2. enyelesaikan persamaan cos x = cos α


( ) α=α− coscos dan cos (α @ k . +5°) = cos α, diperoleh

+. enyelesaikan persamaan tan x = tan α


tan (1>° @ α) = tan α dan tan (α @ k . +5°) = tan α, maka

diperoleh

contoh

-entukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk ° ≤ x ≤ +5°.

a)2

1 sin = x c) +tan −= x

b) +2

1 cos = x

#enyelesaian

a)2

1 sin = x → sin x = sin +°

15

(ika sin x sin α maka

x α ) k. *+,° atau x /,° α0 ) k . *+,° 1 k ∈ B

(ika 2os x 2os α maka

x α ) k . *+,° atau x α ) k . *+,°1 k ∈ B

(ika tan x tan α maka

x α ) k . /,° 1 k ∈ B


17/32

x = α @ k . +5° untuk k < → x = +°

x = (1>° − α) @ k .+5° untuk k < → x = 1>° − +° = 16°

b) +2

1 cos = x → cos x = cos +°

x = α @ k . +5° untuk k < → x = +°

x = − α @ k . +5° untuk k < 1 → x = − +° @ +5° = ++°

c)+tan −= x

→ tan x = tan 12°

x = α @ k . 1>° untuk k < → x = 12°

untuk k < 1 → x = 12° @ 1>° = +°

Catatan3 satuan sudut selain deraat adalah radian, di mana satu

radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran

yang panangnya sama dengan ari/ari.

∠ $%& < 1 rad

Cubungan radian dengan deraat

+5° <r

r π2 rad

1

r r

% $

&


18/32

< 2π rad

1>° < π rad

pendekatan 1 rad < 6,+°.

Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk

penyelesaian persamaan trigonometri dapat pula menggunakan

satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan sin x = sin $ maka

penyelesaiannya adalah

x = $ @ k. 2π atau x = (π− $) @ k . 2π , k ∈ &

di mana x dan $ masing/masing satuannya radian.

4. Rumus-rumus Trigonometri untuk (umlah dan Selisih "ua Sudut

1. *umus cos (α @ β) dan cos (α − β)

#ada gambar di samping

diketahui garis 4D dan $

keduanya adalah garis tinggi dari

segitiga $&4. $kan dicari rumus

cos (α @ β).

1>

αβ

α

A D E B

4

G

Gb. 2.1


19/32

( ) $4

$D cos =β+α → ( )β+α= cos $4 $D

#ada segitiga siku−siku 4G

4

G sin =α → α= sin4G EEEE..(1)

#ada segitiga siku−siku $4,

$4

4D sin =β → β= sin $44D EEEE..(2)

$4

$F cos = → β= cos $4 $D EEEE..(+)

#ada segitiga siku−siku $,

$D $G cos =α → α= cos $ $ EEEE..()

Dari (1) dan (2) diperoleh

G = $4 sin α sin β

!arena D = G maka D = $4 sin α sin β

Dari (+) dan () diperoleh

$ = $4 cos α cos β

Sehingga $D = $ − D

$4 cos (α @ β) = $4 cos α cos β − $4 sin α sin β

Aadi

17

cos (α @ β) = cos α cos β − sin α sin β


20/32

8ntuk menentukan cos (α − β) gantilah β dengan −β lalu

disubstitusikan ke rumus cos (α @ β).

cos (α − β) = cos (α @ (−β))

= cos α cos (−β) − sin α sin (−β)

= cos α cos β − sin α (−sin β)

= cos α cos β @ sin α sin β

Aadi

2. *umus sin (α @ β) dan sin (α − β)

8ntuk menentukan rumus sin (α @ β) dan sin (α − β) perlu diingat

rumus sebelumnya, yaitu sin (7° − α) = cos α dan

cos (7° − α) = sin α

sin (α @ β) = cos (7° − (α @ β))

= cos ((7° − α) − β)

= cos (7° − α) cos β @ sin (7° − α) sin β

= sin α cos β @ cos α sin β

Aadi

8ntuk menentukan sin (α − β), seperti rumus kosinus selisih dua

sudut gantilah β dengan −β lalu disubstitusikan ke sin (α @ β).

sin (α − β) = sin (α @ (− β))

= sin α cos (−β) @ cos α sin (−β)

2

cos (α − β) = cos α cos β @ sin α sin β

sin (α @ β) = sin α cos β @ cos α sin β


21/32

= sin α cos β @ cos α (−sin β)

= sin α cos β − cos α sin β

Aadi

+. *umus tan (α @ β) dan tan (α − β)

Dengan mengingatαα

=α cos

sin tan , maka

βα−βα

βα+βα

=β+α

β+α

=β+α sinsincoscos

sincoscossin

)(cos

)(sin)(tan

ββ

⋅αα

−

ββ

+αα

=

βαβα−βα

βαβα+βα

=β+α

cos

sin

cos

sin1

cos

sin

cos

sin

coscos

sinsincoscos

coscos

sincoscossin

)(tan

βα−

β+α=

tantan1

tantan

Aadi

8ntuk menentukan tan (α − β), gantilah β dengan −β lalu

disubstitusikan ke tan (α @ β).

tan (α − β) = tan (α @ (− β))

)(/tantan1

)(/tantan

βα−

β+α=

)tan(tan1

)(tantan

β−α−

β−α=

βα+

β−α=

tantan1

tantan

Aadi

21

sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β

βα−

β+α

=β+α tantan1

tantan

)(tan

βα+β−α=β−α tantan1 tan tan)(tan


22/32

I. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Dari rumus−rumus trigonometri untuk umlah dua sudut, dapat

dikembangkan menadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.

1. sin 2α = sin (α @ α) = sin α cos α @ cos α sin α = 2 sinα cosα

Aadi

2. cos 2α = cos (α @ α) = cos α cos α − sin α sin α = cos2

α − sin2

α

Aadi

*umus−rumus Bariasi bentuk lain yang memuat cos 2α dapat

diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2α @ sin2α = 1.

cos 2α = cos2α − sin2α cos 2α = cos2α − sin2α

= cos2α − (1 − cos2α) = (1 − sin2α) − sin2α

= 2cos2α − 1 = 1 − 2 sin2α

Sehingga

+.α−

α=

αα−α+α

=α+α=α2tan1

tan2

tantan1

tantan)(tan2tan

Aadi

(. %engubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan5Pengurangan

1. Dari rumus cosinus untuk umlah dan selisih 2 sudut diperoleh


22

sin 2α = 2 sinα cosα

cos 2α = cos2α − sin2α

1) cos 2α = cos2α − sin2α

2) cos 2α = 2cos2α − 1

+) cos 2α = 1 − 2 sin2α

α−

α=α

2tan1

tan2 2tan


23/32


cos (α @ β) @ cos (α − β) = 2 cos α cos β

Aadi



cos (α @ β) − cos (α − β) = −2 sin α sin β

Aadi

2. Dari rumus sinus untuk umlah dan selisih 2 sudut diperoleh



sin (α @ β) @ sin (α − β) = 2 sin α cos β

Aadi




Aadi

!. Penerapan Rumus dan Persamaan Trigonometri

4ontoh soal aplikasi dalam keteknikan

1. Dua buah tegangan pada arus bolak/balik mempunyai harga

=1 < 2 sin 12° dan =2 < 2 sin 21°

2+

+

cos (α @ β) @ cos (α − β) = 2 cos α cos β

−

cos (α @ β) − cos (α − β) = −2 sin α sin β

+


−

sin (α @ β) − sin (α − β) = 2 cos α sin β


24/32

&erapa =total dari =1 dan =2 H

#enyelesaian

=total < =1 @ =2

< 2 sin 12° @ 2 sin 21°

< 2. +2

1 @ 2.

−

2

1

< 1 + I1

2. Sebuah balok terletak pada tangga

dengan kemiringan α < +° (sudut

antara tangga dengan lantai). Gaya

beratnya diuraikan dalam gaya w sin α

dan w cos α.

-entukan besar sudut β dan γ J

#enyelesaian

Gambar 16.a dapat direpresentasikan

dalam segitiga seperti pada gambar

16.b. Dengan mengingat kembali sifat/

sifat dari 2 segitiga yang sebangun (segitiga $D4 dan segitiga

4D&) akan diperoleh sudut β < sudut α < +°.

Sehingga γ < 7° I β

< 7° I +°

< 6+°

2

α

w cos α

w sin α γ β

w

Gb. 16.a

α

βγ

$ &

4

DGb. 16.b


25/32

L. Soal Latihan

1. 4arilah nilai dari

a. sin 12° c. tan 16° e. cot ++°

b. cos +° d. sec 21° f. csc 12°

2. 0ilai dari sin 6° cos 1+6° @ tan 21° sec 5° < E..

+. Aika cos α <6. dan °


26/32

cos 1° cos 1° @ sin1° sin 1°

1+.#ersamaan sin x < cos x dipenuhi untuk x < EE

1.&uktikan 1 @ tan2α < sec 2α

16.Sederhanakan

a. (1 I cos α) (1 @ cos α)

b. tan2α / sec2α

15. Citunglah kuat arus dengan persamaan I < 2 sin ω t , ika diketahui

ω <5

π

rad'detik dan t < 2 detik.

1.Sebuah balok terletak pada tangga

dengan kemiringan α < +°. Gaya

beratnya diuraikan dalam gaya w sin α

dan w cos α.

-entukan besar gaya 1 dan 2 ika diketahui massa balok (m) < 1

kg dan gaya grafitasi (g) < 1 m's2

25

α

F 1


27/32

1) ( ) α=α−° sin1>sin ) ( ) α=α−° csc1>csc

2) ( ) α−=α−° cos1>cos 6) ( ) α−=α−° sec1>sec

+) ( ) α−=α−° tan1>tan 5) ( ) α−=α−° cot1>cot

Bab III

Penutup

A. Rangkuman

1. -abel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut/sudut istimewa.

2. -abel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri tiap kuadran

+. *umus

#erbandingan -rigonometri Sudut yang &erelasi

a. perbandingan trigonometri sudut α dengan (7° / α)

b. #erbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (1>° / α)

α ° +° 6° 5° 7°

sin α 2

12

2

1+

2

11

cos α 1 +2

122

1

2

1

tan α ++

11 +

tak

terdefinisi

cot αtak

terdefinisi+ 1 ++

1

#erbandingan

-rigonometri

!uadran

" "" """ "=

Sin @ @ / /

4os @ / / @

-an @ / @ /

4sc @ @ / /

Sec @ / / @

4ot @ / @ /

2

1) ( ) α=α−° cos7sin ) ( ) α=α−° sec7csc

2) ( ) α=α−° sin7cos 6) ( ) α=α−° csc7sec

+) ( ) α=α−° cot7tan 5) ( ) α=α−° tan7cot


28/32

c. #erbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (1>° @ α)

d. #erbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (/ α)

. enyelesaikan persamaan trigonometri

a. Aika sin x = sin α maka

x = α @ k . +5° atau x = (1>° − α) @ k . +5° , k ∈ &

b. Aika cos x = cos α maka

x = α @ k . +5° atau x = − α @ k . +5°, k ∈ &

c. Aika tan x = tan α maka x = α @ k . 1>° k ∈ &

6. *umus/rumus trigonometri

a. Aumlah dan selisih dua sudut

1) cos (α @ β) = cos α cos β − sin α sin β

2) cos (α − β) = cos α cos β @ sin α sin β

+) sin (α @ β) = sin α cos β @ cos α sin β

2>

1) ( ) α−=α+° sin1>sin ) ( ) α−=α+° csc1>csc

2) ( ) α−=α+° cos1>cos 6) ( ) α−=α+° sec1>sec

+) ( ) α=α+° tan1>tan 5) ( ) α=α+° cot1>cot

1) ( ) α−=α− sinsin ) ( ) α−=α− coseccosec

2) ( ) α=α− coscos 6) ( ) α=α− secsec

+) ( ) α−=α− tantan 5) ( ) α−=α− cotcot


29/32

) sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β

6) βα− β+α=β+α tantan1 tantan)(tan

5)βα+

β−α=β−α

tantan1

tan tan)(tan

b. *umus trigonometri untuk sudut rangkap

1) sin 2α = 2 sin α cos α

2) cos 2α = cos2α − sin2 α

cos 2α = 2cos2α − 1

cos 2α = 1 − 2 sin2 α

c. engubah *umus #erkalian ke #enumlahan'#engurangan

1) cos (α @ β) @ cos (α − β) = 2 cos α cos β

2) cos (α @ β) − cos (α − β) = −2 sin α sin β

3) sin (α @ β) @ sin (α − β) = 2 sin α cos β

4) sin (α @ β) − sin (α − β) = 2 cos α sin β

B. Saran

#emahaman terhadap rumus−rumus dasar trigonometri harus

betul−betul menadi penekanan dalam proses pembelaaran sehingga

siswa mampu mengaitkan dan menggunakan rumus−rumus yang

sesuai untuk menyelesaikan persoalan trigonometri.

Semoga bahan aar ini menadi salah satu sumber bacaan bagi

para guru dalam pembelaaran matematika di S!. #enulis menyadari

adanya keterbatasan dan kekurangan dalam penyusunan bahan aar ini,

sehingga kritik dan saran sangat diharapkan.

27

+)α−

α=α

2tan1

tan2 2tan


30/32

"a6tar Pustaka

&ernadeta tty K, Suparno L Cutomo. (1775). Bahan Ajar T! .

?ogyakarta ###G atematika.

Cyatt, C.*. L Small,. (17>2). Tri"ono#etry a Calculator A$$roach%

4anada Aohn Kiley and Sons, "nc.

!enneth S. iller L Aohn &. Kalsh. (1752). &le#entary and Ad'anced

Tri"ono#etry . 0ew ?ork Carper L &rothers #ublisher.

*ichard G. &rown. (177). Ad'anced !athe#atics . 4alifornia Coughton

ifflin 4ompany.

-umisah #. Aono L ukimin.(22). Tri"ono#etri Bahan Ajar !ate#atika

!( . ?ogyakarta ###G atematika.

KinarnoL $l. !rismanto. (21). Bahan tandarisasi !) Tri"ono#etri .

?ogyakarta ###G atematika.

+


31/32

!un2i (aaban

*% a. +2

1d. +

+

2− 1. 1@ α2tan <

α

α+

α

α2

2

2

2

cos

sin

cos

cos

b.2

1e. +− <

α

α+α2

22

cos

cossin

c. ++1− f. +

+2 <

α2cos1

+% ++

2 I

2

1 <

α2sec

%.

+ 16. a. 1 I cos2 α

< sin2 α

-% °1+6,21 b. dari no 1.a. maka

.%

− +

2

7,

2

7 (sec2 x I 1) I sec2 x < I

1

/% &4 < 2 15. I < 1 + ampere

0%1

12

2

+

−

x

x 1. F 1 < + 0ewton

1% M5°, 12°N F 2 < 0ewton

2% M16°, 6°, 176°, 266°N

*3% cos 2 x cos +y I sin 2 x sin +y

+1


32/32

**% 56

65

*+%

*% 6° dan 226°

bahan kuliah trigonometri

Documents