Bahan Kuliah

PERISTIWA PERPINDAHANPERISTIWA PERPINDAHANBagian 2

Oleh:Oleh:

Ir. SLAMET, MTIr. SLAMET, MT

Program Studi Teknik KimiaFakultas Teknik – Universitas Indonesia

Juni 2002

Chapter 8

DISTRIBUSI KECEPATAN PADA ALIRAN TURBULEN

2

1;1

max,

2

max,

Z

Z

Z

Z

V

V

R

r

V

V

5

4;1

max,

7/1

max,

Z

Z

Z

Z

V

V

R

r

V

V

1. Laminer

Profil kecepatan aliran fluida dalam tabung :

2. Turbulen

2100Laminer

DVR Z

e

(8.1)

(8.2)

• Pers. (8.2) terutama untuk Re = 104 - 105

• Pers yg lebih akurat akan dibahas kemudian• Secara grafis, pers (8.1) dan (8.2) dapat dilihat pada

gambar berikut.

Profil kecepatan aliran fluida dalam Profil kecepatan aliran fluida dalam tabungtabung

Tiga zone ‘arbitrary ’ dalam Tiga zone ‘arbitrary ’ dalam tabungtabung

(1)(1)

(2)(2)

(3)(3)

?

Time-smoothed velocity ( )Time-smoothed velocity ( )ZV

(Fluktuasi kecepatan)

0';0' 2 ZZ vv

Z

Z

v

vIt

2'• Intensity of turbulence :

ott

t Zot

1Z dtvv (8.3)

Ukuran besarnya gangguan turbulensi

• Pada aliran pipa, It berkisar antara 1 - 10 %

Turbulent fluctuationTurbulent fluctuation Reynold stress Reynold stress

xzl

xzt( ) ( )

Time-smoothing pada persamaan Time-smoothing pada persamaan perubahan utk fluida incompressibleperubahan utk fluida incompressible

0

z

v

y

v

x

v zyx

xx

xzxyxx

xzxyxxx

gv

vvz

vvy

vvx

vvz

vvy

vvxx

pv

x

...

''.''.''.

...

2

» Pers kontinuitas (time-smoothed) :

» Pers gerak (time-smoothed) :

(8.4)

(8.5)

» Turbulent momentum flux (Reynold stress) :)(t

.;..;.. '')('')( dstvvvv yxt

xyxxt

xx (8.6)

¤ Dalam notasi vektor, pers (8.4) dan (8.5) dapat ditulis Dalam notasi vektor, pers (8.4) dan (8.5) dapat ditulis sbb:sbb:» Pers kontinuitas (time-smoothed) :

» Pers gerak (time-smoothed) :

0. v

gpDt

vD tl .... )()(

(8.7)

(8.8)

» Catatan : (1). diberikan pada Tabel 3.4-5, 3.4-6, dan 3.4-7 dari ‘BIRD’, dengan mengganti dengan

(2). Pers.-pers pada Tabel 3.4-2, 3.4-3, dan 3.4-4 dari BIRD dapat dipakai utk problem 2 aliran turbulen, dg mengganti :

)(lvv

)()( tij

lijij

ii

pp

vv

Persamaan-persamaan semi-empirisPersamaan-persamaan semi-empiris

untuk ( )untuk ( ) )(t

yx

(1). Boussinesq’s Eddy Viscosity

dy

vd xttyx

)()(

(2). Prandtl’s Mixing Length

yldy

vd

dy

vdl xxt

yx .;. 12)(

(3). Von Karman’s Similarity Hypothesis

dy

vd

dyvd

dyvd x

x

xtyx )/(

)/(.

22

32

2)(

(8.9)

(8.10)

(8.11)

¤ Untuk aliran dalam tabung aksial Untuk aliran dalam tabung aksial simetris:simetris:

0

(r)

r

zz

vv

vv

Persamaan (8.11) menjadi :

dr

vd

drvd

rdrvd

drvd

z

zz

z

trz 2

2

2

3

22

)(

1.

(8.11.a)

0

(r)

rz vv

vv Persamaan (8.11) menjadi :

r

v

dr

vd

rv

drvd

drd

rv

drvd

tr

2

3

22

)( .(8.11.b)

¤ Untuk aliran tangensial antara 2 silinder yg Untuk aliran tangensial antara 2 silinder yg berputar:berputar:

(4). Deissler’s Empirical Formula (untuk daerah dekat (4). Deissler’s Empirical Formula (untuk daerah dekat dinding)dinding)

yxt

x xxn v y n v y

dv

dy

n konstanta

viskositas kinematik

( ) /

:

:

2 21 exp

0,124

(8.12)

Contoh 1Contoh 1 (Distribusi kecepatan utk daerah jauh dari (Distribusi kecepatan utk daerah jauh dari dinding) :dinding) :

R

s r

s = (R - r) = jarak dari dinding tabungl = K1.sUntuk aliran aksial dalam tabung, pers (8.10) menjadi :

2

221

)(

222

1)(

.

.

ds

vds

dr

vdrR

ztrz

ztrz

(8.13)

Pers gerak dari pers (8.8), utk dan fluida incompressible:(lihat Tabel 3.4-3 atau pers. 2.3-10 pada buku ‘Bird’)

v v rz z ( )

0 0

P PLrz

rz rzl

rzt

L r

d

drr

1.

( ) ( )

(8.14)

Pers (8.14) diintegrasikan dg kondisi batas : r=0 =0, makadiperoleh:

rz

rz

L R

L

r

R

s

R

P P002

1

0 0 s

(8.15)

Untuk aliran turbulen transport momentum oleh molekul << transport momentum oleh arus eddy

rzl

rzl( ) ( )

Maka jika pers (8.13) digabung dengan pers (8.15), diperoleh :

R

s

ds

vds z 1. 0

222

1 (8.16)

Penyederhanaan dari Prandtl s << R , maka pers (16) menjadi:

0

222

1.

ds

vds z (8.16.a)

Bila v* = (o/)0,5 , maka pers (8.16.a) menjadi:

s

vds

vd z 11*

1

(8.17)

Bila pers (8.17) diintegrasi dengan kondisi batas s=s1 vz=vz1 :

v v vs

ss sz z

, * ln ;1

1 11

1

(8.18)

v vs

ss s

vv

vdan s

s vMenurut Deisslerz

11 1

1

1

1

0 36

ln ;

*

. .. : ,*

(8.19)

Hasil Eksperimen Deissler (1955), diperoleh :

s1+ = 26 1

+ = 12,85

; s+ 26 (8.20)

Pers. (8.20) menggambarkan profil kecepatan pd aliran TURBULEN, terutama pada Re>20000, dan bukan utk daerah dekat dinding.

Contoh 2 (Distribusi kecepatan utk daerah dekat dinding)

Hukum Newton + hukum Deissler : (8.21)

Dari pers (8.15) dan (8.21), dengan (1-s/R) = 1, diperoleh :

(8.22)

8,3)ln(36,0

1 s

)()( trz

lrzrz

dr

vdrRvnrRvn

dr

vd zzz

zrz /)(exp1).( 22

ds

vdsvnsvn

ds

vd zzz

z

o /exp1. 22

36,01 Pers. (8.19) menjadi:

8.22) diintegrasi dari s=0 s/d s=s, diperoleh pers. dlm variabel tak berdimensi sbb:

; 0 s+ 26 (8.23)

# Untuk pipa panjang dan halus n = 0,124 # Utk s+ << Pers (8.23) menjadi : v + = s+ ; 0 s+ 5

(8.24)Lihat Fig. 5.3-1 (Bird)

Contoh 3 (Perbandingan antara viskositas molekuler & ‘Eddy’) :

Hitung rasio (t)/ pada s = R/2 untuk aliran air pada pipa panjang & halus.

Diketahui : R = 3”0 = 2,36 x 10-5 lbf/in2

= 62,4 lbm/ft3

= / = 1,1 x 10-5 ft2/det.

s

svnsvn

dsv

022 )exp(11

Viskositas Eddy didefinisikan sbb:

Kesimpulan : Pd daerah jauh dari dinding tabung, transport momentum MOLEKULER dpt diabaikan thd transport momentum EDDY

ds

vd

dr

vd

dr

vd ztrz

ztzrz )( )(

485

1.

36,0

11.

36,0

1

8,3)ln(36,0

1

:)20(26

485./).2/(..

2/ 0*

sds

dv

sv

persdgdihitungdapatvsKarena

RvssRspada

86

t

1

/

/11

/

/111

/

1 0

dsdv

Rs

dsvd

Rs

dsvd zz

rzt

71

max,

1

R

r

v

v

z

z1. Prengle & Rothfus (1955):

Re = 104 - 105

n/1

max, R

r 1 =

zz vv

Re 4 x 103 7.3 x 104 1.1 x 105 1.1 x 106 2.0 x 106 3.2 x 106

n 6.0 6.6 7.0 8.8 10 10

2. Schlichting (1951):

Korelasi sederhana dari data eksperimen Korelasi sederhana dari data eksperimen untuk aliran TURBULEN dalam pipauntuk aliran TURBULEN dalam pipa

)12)(1(

2 2

max,

nn

n

v

v

z

z

Aliran fluida TURBULEN dalam pipa

5

6

7

8

9

10

11

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

Re

n)12)(1(

2 2

max,

nn

n

v

v

z

z

n/1

max, R

r 1 =

z

z

v

v

Eksperimen

Pip

ing D

iagram of V

elocity Profile A

pp

aratus

Analisis data:• Dari data p, hitung o :

• Hitung mass flowrate, (vair)rt

• Hitung profil kecepatan, plot: vs r/R• Integrasikan profil kecep. utk hitung mass flowrate • Hitung vrt dan Re • Dari data o dan Fig 5.3-1 hitung vmax , bandingkan dengan vmax data.• Hitung n pd pers. Schlichting

LRpp Loo 2/)(

max,)( zz vrv

Impact tube (Pitot tube)

Eksperimen

(5.A). Presssure drop yg diperlukan utk Transisi Laminer-Turbulen:

• Pada Daerah Transisi : Re =

• Hk. Poiseuille :

(5.B). Distribusi Kecepatan dlm Aliran Pipa Turbulen :

(a)

b = 1,0 gr/cc = 62,4 lb/ft3

= 0,01 gr.cm-1.det-1

= / = 0,01 cm2/det = 1,1 x 10-5 ft2/det

2100 D

vRL

PRQ 2

4

8

Re.4

3

2

RL

P

psixR

L

R

L

RPPmilepsi

L

P L

5

00

1073,4"6

5280

1

2

5,0

22

)(/0,1

/0* v

det/1093,5det.

.2,32.

.4,62

/144.1073,4 223

2225

* ftxlbf

ftlbm

ftlbm

ftininlbfxv

(1)

(2)

Latihan Soal-soal (Bird, Chapter.5)Latihan Soal-soal (Bird, Chapter.5)

• Pd. Pusat Tabung r = 0 s+|s=R = (5390).(0,5) s = R = 0,5 ft

s+|s=R = 2695 fig 5.3-1 v+|s=R= 25,8 (= v+max)

(c)

svs

sx

v

v

vv .5390

..

103,59*

2*

max

8,25v

vv

(3) (4)

(5)

(e). Q = ? diperoleh dg mengin-

tegrasi profil kecep.:

diselesaikan dg integrasi numeris (Simpson Rule):

Utk N buah increment (N genap):

R

zz

R

zz

z

z

drrvvR

R

drrvv

v

v

0

max,2

20

max,

max,

./2

.

./.2

NXXincrementh

fffffh

dXXf

N

NN

X

Xo

N

/)(

4...243

)(

0

1210

2. RvQ z zv

TURBULEN

x

Dv

turbulenasumsiCekd

jawabanftRvQJadi

ftvpersDari

ft

vv

vvv

xv

v

z

z

z

zz

Rsz

z

z

106282101,1

11691,1Re

.

det/9182,0.:

det/1691,1)7(&)6.(*

)7(...det/52994,1

)10.93,5)(8,25(8,25)(

)6(...76415,0755,136

2

5

32

2max,

*

max,max

2max,

755,13./6

0

max, drrvv zz

det/1007,9*

det/01155,02

1

det/0231,01

101,121002100

2100Re.Re

2

1&1

332

max

5

maxmax

maxmaxmax

max,

2

max,

ftxRvQ

ftvv

ftx

vDv

LAMINERUntukv

v

v

R

r

v

v

z

zz

zz

z

z

z

z

z

Jika alirannya LAMINER

mile

psix

mile

ftx

in

ftx

ftlb

lbx

ft

lbx

ft

lbx

ft

ftxftlb

L

p

R

Q

L

p

L

pRQPoiseuilleHukum

m

fm

m

42

22

224

224

4

334

4

4

109,25280

144

1

.

det.

2,32

1

.det10537,2

.det10537,2

)5,0(14,3

det/1007,9det)./(10.864,68

.8

8

.*