GARDJITO2006

Selamat Pagi ...........!!!Nama saya:

GARDJITO

Semoga Tidak Mengantuk !!!

Who cares?!!

I KNOW WHAT YOU’RE THINKING, GUYS !!!

GARDJITO2006

Bisa dianalisis dan dihitung dalam kuliah ..

Bahan untuk konstruksi bangunan ini kekuatannya berapa ya?!

KEKUATAN BAHANGARDJITO2006

GARDJITO2006

PENDAHULUAN

Ilmu Kekuatan Bahan (Strength of Materials) termasuk Ilmu Mekanika terutama untuk bahan padat (Mechanics of Solid Materials)

Pengertian:

Analisis mengenai reaksi internal (tegangan dan deformasi) dari suatu bahan dengan konstruksi tertentu yang menahan beban

Ilmu gaya dan sifat-sifat (mekanis, fisik dan kimiawi) bahan merupakan ilmu-ilmu dasar yang diperlukan dalam analisis, selain matematika dan fisika

GARDJITO2006

Reaksi Internal:

P1

P2

Tegangan (Stress)

Deformasi (Deformation)

C M

Akibat pembebanan yang dapat berupa gaya tekan (P1), gaya tarik (P2), momen (M) dan atau kopel (C), timbul reaksi-reaksi internal berupa tegangan (stress) dan perubahan bentuk atau deformasi (deformation)

Reaksi Internal

GARDJITO2006

Pembebanan• Jenis pembebanan (loading) bervariasi menurut tipe atau

macam konstruksi dasar dari bangunan yang dipakai, yaitu beban aksial pada konstruksi batang (rod), beban lateral, momen titik dan kopel pada konstruksi balok (beam), beban aksial pada konstruksi kolom (column), dan beban puntir/torsional pada konstruksi poros (shaft), serta kombinasi dari berbagai beban tersebut

• Berdasarkan garis/cara kerjanya, pembebanan dapat dibedakan menjadi beban-beban terpusat (concentrated loads) dan beban-beban tersebar (distributed loads); sedangkan terhadap waktu dapat dibedakan menjadi beban statis (besaran dan arah tetap sepanjang waktu) dan beban dinamis (besaran dan arah berubah sepanjang waktu)

CATATAN: Dalam analisis kekuatan bahan ini lebih dikonsentrasikan pada beban-beban bersifat statis

• Semua beban dalam kondisi equilibrium, yaitu aksi = reaksi

GARDJITO2006

batang tekanP P

batang tarikP P

P

R1 R2

w

balok M

kolom

P

P

porosT T

(2)

(1)

(3)

(4)

Empat macam konstruksi dasar dengan pembebanannya, dalam bentuk diagram badan bebas

GARDJITO2006

Sifat-Sifat Penampang (Cross Section Properties)

b

hr

D

Dimensi-1 (panjang): b, h, D, r (satuan: m) [L1]

Dimensi-2 (luas): A (satuan: m2) [L2]

Dimensi-3 (modulus penampang): Z (satuan: m3) [L3]

Dimensi-4 (inersia): I (satuan: m4) [L4]

GARDJITO2006

P σ P

A

TARIKAN DAN TEKANAN(Tension and Compression)

Suatu batang dengan penampang A dan panjang L mengalami gaya tarik (tension) sebesar P, maka akan terjadi tegangan tarik σ sebagai reaksi internalnya. Gaya P bekerja pada centroid penampang batang.

Besarnya tegangan tarik σ (rata-rata) dapat dihitung dengan rumus rancangan sebagai berikut (tegangan yang timbul harus lebih kecil atau sama dengan tegangan ijin atau tegangan kerja):

Dimana σ adalah tegangan ijin/kerja (N/m2)

L

σ = P/A ≤ σ

GARDJITO2006

Kesetimbangan yang terjadi bila penampang A yang kita amati membentuk

sudut α (miring) adalah bahwa reaksi internal pada penampang tersebut

berupa tegangan normal σ dan tegangan geser τ seperti yang terlihat pada bagan badan bebas berikut ini:

αP

σ

τP

A

0.5

0.0

-0.5

1.0

-1.0

45º0º 135º90º 180º

σ

τ

Variasi sudut α dari 0º sampai 180º memberikan nilai-nilai σ dan τ seperti pada garafik, dimana:

τ max = 0.5 σmax

GARDJITO2006

Akibat gaya tarik, suatu batang akan mengalami perpanjangan sebesar ΔL. Pada kondisi elastis, berlaku Hukum Hooke σ = Εε.

P P

ΔLL

Karena tegangan rata-rata σ = P/A dan regangan ε = ΔL/ L, maka nilai ΔL akibat tarikan dapat dituliskan dalam rumus rancangan sebagai berikut:

P L

ΔL = ----------- ≤ ΔL

A Ε

Catatan: Rumus-rumus tegangan dan deformasi untuk tarikan (tension) sama dengan tekanan (compression), hanya saja σ dan ΔL untuk tekanan dalam perhitungan bertanda negatif (-).

Asumsi: tidak ada perubahan pada penampang selama terjadi perpanjangan (tarikan) atau perpendekan (tekanan).

GARDJITO2006

PP

ΔL L

d D

Bila pada tarikan terjadi perubahan dimensi dari penampang dengan diameter D menjadi d, atau luas penampang (A) menjadi lebih kecil, maka kemungkinan regangan akan terjadi pada arah sb X, Y, dan Z, dengan rumus sebagai berikut:

εx = 1/Ε[σx – μ(σy + σz)]

εy = 1/Ε[σy – μ(σx + σz)]

εz = 1/Ε[σz – μ(σx + σy)]

Dimana μ adalah Poisson’s Ratio

GARDJITO2006

TEGANGAN GESER LANGSUNG(Direct Shear Stresses)

Definisi:

Tegangan geser (shear stress, τ) adalah tegangan yang bekerja sejajar

pada suatu bidang penampang, dimana τ = P/A (gaya geser dibagi luas

penampang), dan tegak lurus terhadap tegangan normal σ

a

a τ

σA

Asumsi: tidak ada perubahan pada penampang selama terjadi geseran pada batang, sehingga yang terjadi adalah tegangan geser rata-rata.

GARDJITO2006

Deformasi Akibat Geseran (Regangan Geser = Shear Strain)

γ

γ merupakan regangan geser (shear strain) karena adanya geseran pada penampang batang. Dalam keadaan elastis, maka berlaku Hukum Hooke untuk

geseran, yaitu: τ = G γ, dimana G adalah modulus kekakuan untuk geseran.

Aplikasi:

a. Pelubangan pelat (punching)

b. Uji tarik spesimen kayu dngan lem

c. Sambungan paku keling (rivet)

d. Sambungan las (welded joints)

e. Kunci pengikat (key)

f. Pasak (splines)

τ

τ

elemen elemen

GARDJITO2006

pelat

puncher

P

Bidanggeser (A)

a. Pelubangan pelat (punching)

Luas bidang geser A dihitung dengan rumus berikut:

Rumus rancangan untuk geseran adalah: τ = P/A ≤ τ

D

t

A = πD x t

P

τ

GARDJITO2006

b. Sambungan paku keling

P

PP

P/2

P/2

A

A1

A2Tampang -2

Tampang -1

A = πd2/4

GARDJITO2006

t

f

L

c. Sambungan las

P

b

L

tBidang geser A)

Bahan las

A = L x t

P

a

P

P/2P/2

P

T

T

D

A = π D x t

GARDJITO2006

d. Kunci atau pasak (Key or Spline)

+ T

F

d

T = F x d/2

kunci

F

L

tA = L x t

FBidang geser A

+

T2T1 D

Garis bidang geser

pulley

pulley

Shaft dengan ujung berbentuk spline

shaft

τ = F / A ≤ τ

GARDJITO2006 GARDJITO2005

GARDJITO2006

GAYA GESER DAN MOMEN LENTUR(Shearing Force and Bending Moment)

Balok Sederhana (Simple Beam):

Adalah balok yang didukung secara bebas di kedua ujungnya. Dukungan secara bebas memberikan implikasi bahwa kedua titik dukung tersebut hanya mampu memberikan gaya pada balok dan tidak mampu memberikan momen.

P w

M

Balok Kantilever (Cantilever Beam):

Adalah balok yang hanya didukung pada salah satu ujungnya, sedangkan ujung lain bebas

P w

GARDJITO2006

M

PP2 P3P1

Balok Gantung (Overhanging Beam)

Balok Statis Tertentu (Statically Determinate Beam)

Balok Statis Taktentu (Statically Indeterminate Beam)

M

P

R1

R3 R4

R2

w

M

P

R1 R2

ΣF = 0 dan Σ M = 0ΣF = 0; Σ M = 0; danPersamaan Deformasi

GARDJITO2006

P1 P2

R1

BA C D

P3 P4

R2

V

M

x

a

b

Gaya dan Momen Internal dalam Balok

Gaya Penahan (Resisting Force) pada penampang D :

ΣMD = M - R1(x) + P1(x - a) + P2(x - b) = 0 M = R1(x) - P1(x - a) - P2(x - b)

ΣFV= R1 - P1 - P2 – V = 0 V = R1 - P1 - P2

Momen Penahan (Resisting Moment) pada penampang D:

GARDJITO2006

Lenturan Positif

Geseran Positif

Dari analisis momen dan gaya internal tersebut, maka dapat dikatakan bahwa gaya penahan merupakan gaya geser (shearing force), sedangkan momen penahan merupakan momen lentur (bending moment) yang timbul di dalam konstruksi balok akibat pembebanan tertentu, yang dapat dituliskan dalam persamaan dasar dalam fungsi x sbb:

Mx = R1(x) – P1(x – a) – P2(x – b) - ........

Vx = R1 – P1 – P2 - ........

Konvensi Tanda:

Lenturan Negatif

Geseran Negatif

GARDJITO2006

Hubungan antara Intensitas Beban, Gaya Geser dan Momen Lentur :

Balok sederhana dengan beban bervariasi w(x)

VV + dV

M + dMM

dx

w Nm-1

Dari diagram badan bebas elemen diperoleh:

ΣFv = wdx + V –V - dV = 0, maka w = dV/dx

ΣMo = M – (M + dM) + Vdx + wdx(dx/2) = 0

dM = Vdx + 1/2w(dx) 2

Suku terakhir dapat diabaikan sehingga:

dM = Vdx atau V = dM/dx

dVw = ------- dx

dMV = ------- dx

O

w(x)

x dx

x

R1 R2

GARDJITO2006

Fungsi Singularitas (Singularity Function / Half-range Function):

fn(x) = ‹x – a›n

Untuk n>0 → ‹x - a›n = 0 bila x<a

‹x - a›n = (x – a)n bila x>a

Integrasi dengan fungsi jarak-paruh (Integration with half-range function):

x ‹x - a›n+1

∫-∞ ‹y - a›n dy = ----------------- untuk n>0 n + 1

x 0 bila x<a

∫-∞ ‹y - a›-1 dy = ‹x - a›0 → = { untuk n = -1 1 bila x>a

x

∫-∞ ‹y - a›-2 dy = ‹x - a›-1 untuk n= - 2

GARDJITO2006

Tipe Pembebanan Fungsi Singularitas Gambaran Piktorial

Momen terpusat w(x) = Wo‹x - a›-2 O x

a Mo

Gaya terpusat w(x) = Fo‹x - a›-1

Fo

O x

a

Beban tersebar merata w(x) = wo‹x - a›0

wo

O x

a

Beban bervariasi linier w(x) = dw/dx‹x - a›1

dw/dx

O x

a

Beban bervariasi kwadratis

w(x) = C‹x - a›2/2 C = d2w/dx2 O x

a

GARDJITO2006

Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur:

Beban terpusat:

R2

V

R1

M

Mmax

Persamaan:

0 < x < a

Vx = R1 (3)

Mx = R1x (4)

a < x < L

Vx = R1 – P (5)

Mx = R1x – P(x – a) (6)

Reaksi-reaksi:

R1 = P(L – a)/L (1)

R2 = Pa/L (2)

O

x

x

R1 R2

a b

P

L

x

GARDJITO2006

Beban tersebar merata:

x/2

x

O

w Nm -1

x

R1 R2L

wx

R1

R2

V

M

Mmax

Persamaan:

0 < x < L

Vx = R1 – wx (3)

Mx = R1x – wx2/2 (4)

Reaksi-reaksi:

R1 = wL/2 (1)

R2 = wL/2 (2)

GARDJITO2006

×Balok kantilever dengan beban terpusat:

Reaksi-reaksi:

R = P (1)

M1 = PL (2)

Persamaan:

0 < x < L

Vx = – P (3)

Mx = – Px (4)

V

RP

M

- PL

P

R

M1

x

L

O

GARDJITO2006

Balok kantilever dengan beban tersebar merata:

Reaksi-reaksi:

R = wL (1)

M1 = wL2/2 (2)

Persamaan:

0 < x < L

Vx = – wx (3)

Mx = – wx2/2 (4)

x/2

V

-wL

M

-wL2 /2

M1

R

xL

w Nm-1

O

wx

GARDJITO2006

TEGANGAN DALAM BALOK(Stresses in Beam)

Pengaruh Pembebanan pada Balok:

1. Menimbulkan tegangan-tegangan dalam balok baik tegangan normal σ (tegangan lentur) maupun tegangan geser τ pada suatu penampang di sepanjang balok dan tegak lurus sumbu balok.

2. Menimbulkan defleksi y (lendutan) pada arah tegak lurus terhadap sumbu longitudinal balok

Pa aP

• Lenturan akibat gaya-gaya yang membentuk kopel disebut lenturan murni (pure bending)

• Lenturan akibat gaya-gaya yang tidak membentuk kopel disebut lenturan biasa (ordinary bending)

GARDJITO2006

P

x

w Nm-1

S N

S

Na

Sumbu Netral dan Permukaan Netral pada Balok Elastis

NS

y

σ

σ

σ

σ

NS 0

GARDJITO2006

Tegangan Lentur pada Balok Elastis

Keterangan:

O = pusat lengkungan kurva balok terlentur

R = radius lengkungan kurva

PN = permukaan netral

a

y

a

c

b

e

d

f

bR

O

MM

NP

Analisis geometri:

ΔcOd dan Δedf sebangun: ef de yε = ---- = ---- = ---- cd Oc R Eyσ = Eε → σ = ---- R EydF = σda → dF = ---- da R Ey E∫ ---- da = --- ∫ yda = 0 R RDalam hal ini ∫ yda = 0∫ yda = yA = 0 → y = 0;

Yaitu sumbu netral selalui melalui centroid.

GARDJITO2006

Momen yang diakibatkan gaya elemental dF terhadap sumbu netral adalah:

Ey2

dM = ∫ ---- da

R

Karena ∫ y2 da = I, maka:

EI

M = -----

R

Ey My Mc

Karena σ = ----- → σ = ------ → σ = ------

R I I

Mc

σ = ------

I

M

σ = ------

Z

I

Z = ------

c

GARDJITO2006

Tegangan Geser pada Balok Elastis

yoc

S N

bdx

M+dMM

a

a

b

b

c dτ

σ pada penampang a – a:

My

σ = ------

I

σ pada penampang b – b:

(M + dM)yσ’ = -------------- Idimana M adalah momen lentur

Equilibrium gaya pada elemen acdb: Myσda = ------ da pada penampang a-c I c My c (M+dM)yΣ Fh = ∫ ----- da = ∫ ------------- da + τbdx = 0 yo I yo I 1 dM c dMτ = --- ---- ∫ yda dimana ----- adalah = V Ib dx yo dx

Perhatikan elemen sepanjang dx dari suatu balok:

GARDJITO2006

V c

τ = ---- ∫ yda Ib yo

V Q

τ = --------

Ib

3V

τ = --------

2A

4V

τ = --------

3A

Dari analisis tersebut maka didapatkan persamaan gaya geser sebagai:

Untuk bentuk-bentuk penampang tertentu dapat diturunkan rumus-rumus sebagai berikut:

GARDJITO2006

DEFLEKSI ELASTIS DARI BALOK(Elastic Deflection of BeamS)

Definisi defleksi: adalah deformasi balok berupa simpangan titik-titik penampang sepanjang balof pada arah tegak lurus sumbu longitudinal balok yang dinyatakan sebagai defleksi y

O x

R1 R2

x

P

L

P

Ox

y

GARDJITO2006

A. Metoda Integrasi Ganda (Double Integration Method)

O x

yR

M = EI/R → 1/R = M/EI dimana 1/R mewakili kurva lengkungan dari permukaan netral

Dari kalkulus, rumus kurva lengkungan dengan jari-jari R adalah:

1 d2y/dx2 1 d2y M

---- = -----------------------, karena (dy/dx)2 sangat kecil, maka ---- = ----- = -----

R [1 + (dy/dx)2]x/2 R dx2 EI

d2y

EI ----- = M

dx2

dy

EI ---- = ∫ M + C1

dx

EIy = ∫ ∫ M + C1x + C2

Didapat persamaan Euler-Bernoulli, kemudian diintegrasikan dua kali:

GARDJITO2006

Beban terpusat:

0 < x < 1

Mx = R1x = 15x (4)

EI(d2y/dx2) = 15x (5)

EI(dy/dx) = 15x2/2 + C1 (6)

EIy = 15x3/6 + C1x + C2 (7)

Reaksi-reaksi:

R1 + R2 = 20 kN (1)

R2 = (20)(1)/4 = 5 kN (2)

R1 = 20 – 5 = 15 kN (3)

1 < x < 4

Mx =1 5x – 20(x – 1) (8)EI(d2y/dx2) = 15x – 20(x - 1) (9)EI(dy/dx) =1 5x2/2 + 20(x – 1)2 /2 + C3 (10)

EIy = 15x3/6 + 20(x – 1)3/6 + C3x + C4 (11)

O

x

x

R1 R2

1 3

20 kN

4 m

x

Pada x = 0, y = 0

Pers. (7):

0 = 0 + 0 + C2 = 0 → C2 = 0 (12)

Pada x = 4, y = 0

Pers. (11):

0 = (15)(4)3/6 + (20)(4 – 1)3/6 + 4C3 + C4

4C3 + C4 = - 160 – 90 = - 250 (13)

Pada x = 1, pers. (6) = pers. (10):

15/2+ C1 = 15/2 + C3 → C1 = C3 (14)

Pada x = 1, pers. (7) = pers. (11):

15/6 + C1 = 15/6 + C3 + C4 → C4 = 0 (15)

Maka C1 = C3 = - 250/4 = 62.5

GARDJITO2006

B. Metoda Momen Luasan (Moment-Area Method)

AxB

tangen di A

tangen di B

Δθ

dx x

Digram momen lentur dibawah kurva AB

Teorema momen luasan pertama:

Sudut antara tangen di A dan di B sama dengan luas diagram momen lentur antara ke dua titik dibagi dengan perkalian EI.

Mdx

θ = ∫ -------

EIA

B

Teorema momen luasan kedua:

Jarak vertikal titik B pada kurva defleksi dari tangen di A (Δ) sama dengan momen terhadap garis vertikal melalui B dari luasan diagram momen lentur antara A dan B dibagi dengan perkalian EI.

Mxdx

Δ = ∫ --------

EIA

B

GARDJITO2006

Penurunan Teorema Momen Luasan Pertama dan Kedua:

Adθ

B

tangen di A

tangen di B

θ

dx x

Digram momen lentur dibawah kurva AB

b

R

xdθ

M

ds

dθ

M

EI

M = ------ (1)

R

ds = Rdθ → R = ds/dθ

Substitusi ke pers. (1):

M

dθ = ---- ds

EI

Elemen ds = dx, maka:

M

dθ = ---- dx

EI

B Mdx

θ = ∫ dθ = ∫ ----- A EI

Mxdx B Mxdx

xdθ = ------- → Bb = ∫ ------- = Δ

EI A EI

GARDJITO2006

Perhitungan luasan dibawah kurva x pangkat dua dan pangkat tiga:

y

x

h

y = ax2

y

b

x dx

O

x

y

h

y = ax3

bO

Luas elemen dA = ydx

b b

A = ∫ ydx = ∫ ax2 dx = (1/3) a[x3] o o

A = (1/3)ab3

Pada x = b → y = h, maka a = h/b2

Jadi: A = bh/3

Jarak centroid: x = (3/4)b

Dengan cara yang sama, untuk persamaan pangkat tiga didapat:

A = bh/4

x = (4/5)b

GARDJITO2006

PA

BL

tangen di A

tangen di B

θΔ

-PL

EI Δ = ∫ Mxdx

EI Δ = [(-PL)(L/2)][(2/3)(l)]

EI Δ = -PL3/3

Δ = - PL3/3EI

EI θ = ∫ Mdx

EI θ = [(-PL)(L/2)]

EI θ = -PL2/2

θ = - PL2/2EI

Momen luasan diambil terhadap garis vertikal melalui ttk B (dibawah garis kerja gaya P)

GARDJITO2006

wL2

2

A

BL

tangen di A

Δ

w Nm-1

EI Δ = ∫ Mxdx

EI Δ = [(-wL2/2)(L/3)][(3/4)(L)]

EI Δ = -wL4/8

Δ = -wL4/8EI

Momen luasan diambil terhadap garis vertikal melalui ttk B (dibawah garis kerja gaya P)

CATATAN UMUM:

• Rumus umum untuk Δ adalah:

EI Δ = Σ[ A ][ x ]

• Δ belum tentu menunjukkan nilai defleksi suatu balok

GARDJITO2006

C. Metoda Fungsi Singularitas (Method of Singularity Function)

dVw = ------- dx

dMV = ------- dx

d2y

M = EI -----

dx2 d4yw = ------- dx4

d3yV = EI ----- dx3

GARDJITO2006

Tipe Pembebanan Fungsi Singularitas Gambaran Piktorial

Momen terpusat w(x) = Wo‹x - a›-2 O x

a Mo

Gaya terpusat w(x) = Fo‹x - a›-1

Fo

O x

a

Beban tersebar merata w(x) = wo‹x - a›0

wo

O x

a

Beban bervariasi linier w(x) = dw/dx‹x - a›1

dw/dx

O x

a

Beban bervariasi kwadratis

w(x) = C‹x - a›2/2 C = d2w/dx2 O x

a

GARDJITO2006

O x

R1 R2

a b

P

L

y

Reaksi-reaksi:

R1 = Pb/L (1)

R2 = Pa/L (2)

Dari pembebanan yang ada, momen lentur Mx dapat dicari berdasarkan perhitungan momen sepanjang balok:

Mx = Pb/L‹x›1 - P‹x - a›1 + Pa/L‹x - L›1 (1)

EI(d2y/dx2) = M = Pb/L‹x›1 - P‹x - a›1 + Pa/L‹x - L›1 (2)

Kemudian dilakukan integrasi dua kali untuk mendapatkan persamaan defleksi:

EI(dy/dx) = Pb/2L‹x›2 – P/2‹x - a›2 + Pa/2L‹x - L›2 + C1 (3)

EIy = Pb/6L‹x›3 – P/6‹x - a›3 + Pa/6L‹x - L›3 + C1x + C2 (4)

Pada x = o dan x = L, y = 0 → C2 = 0 dan C1 = - PbL/6 + Pb3/6L (5)

Pers. Defleksi:

EIy = Pb/6L‹x›3 – P/6‹x - a›3 + Pa/6L‹x - L›3 + (- PbL/6 + Pb3/6L)x (6)

GARDJITO2006

Atau dengan cara lain berdasarkan persamaan singularitas dari tipe pembebanan tertentu adalah sebagai berikut:

w(x) = Pb/L‹x›-1 - P‹x - a›-1 + Pa/L‹x - L›-1 (1)

V(x) = Pb/L‹x›0 - P‹x - a›0 + Pa/L‹x - L›0 (2)

M(x) = Pb/L‹x›1 - P‹x - a›1 + Pa/L‹x - L›1 (3)

Momen M(x) pada persamaan (3) sama dengan persamaan momen sebelumnya. Selanjutnya prosedur integrasi anda dilakukan seperti metode sebelumnya:

EI(d2y/dx2) = M = Pb/L‹x›1 - P‹x - a›1 + Pa/L‹x - L›1 (4)

EI(dy/dx) = Pb/2L‹x›2 – P/2‹x - a›2 + Pa/2L‹x - L›2 + C1 (5)EIy = Pb/6L‹x›3 – P/6‹x - a›3 + Pa/6L‹x - L›3 + C1x + C2 (6)Pada x = o dan x = L, y = 0 → C2 = 0 dan C1 = - PbL/6 + Pb3/6L (7)Pers. Defleksi: EIy = Pb/6L‹x›3 – P/6‹x - a›3 + Pa/6L‹x - L›3 + (- PbL/6 + Pb3/6L)x (8)

GARDJITO2006