bahan kuliah kalkulus ii-p5-7

BAHAN KULIAH KALKULUS II FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UTY

OLEH: Pamuji sri subekti, s.si

1

BAHAN KULIAH KALKULUS II

PERTEMUAN KE-5, 6 dan 7

Pengampu : Pamuji Sri Subekti, S.Si.

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI DAN FUNGSI RASIONAL

I. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Sebagai dasar dari mempelajari integral fungsi trigonometri ingatlah kembali defferensial

fungsi trigonometri. Kita telah mempelajari turunan fungsi trigonometri yang secara

ringkas dapat digambarkan sebagai berikut :

xxxxx sincossincossin

xecx

xx

2

2

coscot

sectan

artinya turunan.

Karena integral adalah invers dari turunan maka :

Berikut ini adalah rumus-rumus dasar integral fungsi trigonometri:

1. cxxdx cossin , c = konstanta sembarang

2. cxxdx sincos , a = bilangan real

3. sin = 1

cos + , a = bilangan real, a 0

4. cos =1

sin + , a = bilangan real, a 0

5. sin( + ) = 1

cos( + ) + , a = bilangan real, a 0

6. cos( + ) =1

sin( + ) + , a = bilangan real, a 0

7. cxdxx seclntan , n = bilangan rasional dan n 1

8. cxdxxan sinlncot , n = bilangan rasional dan n 1

9. cxxdxx tanseclnsec 10. cxanxdxxec cotseclncos 11. sec2 = tan + 12. csc2 = cot +

Kesamaan berikut digunakan untuk menyelesaikan integrasi trigonometri:



2

1. sin2 x + cos2 x = 1 6. sin ax sin bx = xbaxba )cos()cos(2

1

2. sec2 x = 1 + tan2 x 7. sin ax cos bx = 2

1{sin (a-b)x + sin (a+b)x}

3. cosec2 x = 1 + cotan2 x 8. cos ax cos bx = 2

1{cos (a-b)x + cos (a+b)x}

)2cos1(2

1sin.4 2 xx

5. )2cos1(2

1cos2 xx

Contoh:

Tentukan hasil integral dari soal-soal di bawah ini!

a. (2 cos + 3 sin ) =2 cos + 3 sin = 2 sin + 3 ( cos ) + = 2 sin 3 cos +

b. sin 5 cos 3

= 1

2sin((5 + 3) + sin(5 3))

= 1

2(sin 8 + sin 2)

=1

2[

1

8cos 8

1

2cos 2]+c

= 1

16cos 8

1

4cos 2 +

LATIHAN SOAL

Tentukan integral fungsi berikut !

dxxxc

dxxxb

dxxa

sin2.

sin6cos8.

sin5.

2

Tentukan integral fungsi berikut!

a. sin 2 b. cos cos 4

c. 1 cos

II. Metode subtitusi dan integral parsial trigonometri 1. Metode subtitusi Trigonometri

Untuk kasus dibawah ini gunakan metode subtitusi bentuk I pada aljabar.

xdxcondanxdx nn sin , jika n bilangan bulat ganjil dan positif, maka maka digunakan sin2 x + cos2 x = 1, dan jika n bilangan bulat genap positif, maka

digunakan )2cos1(2

1sin 2 xx dan )2cos1(

2

1cos2 xx

Contoh :

1) Hasil dari ....cos5 dxx



3

)(sin)sin1(coscoscos 2245 xdxdxxxdxx

= )(sinsinsin21 42 xdxx

= cxxx 53 sin5

1sin

3

2sin

2) Hasil dari ....cossin 2 xdxx Jawab :

xdxxsixxxdxx cossincossin2

Misal: u = sin x

du = cosx dx

duudxxxx 2cossinsin

= cu 3

3

1

= cx 3sin3

1

3) Hasil dari .....cossin 34 dxxx Jawab :

xdxxx

xdxxxxdxxxdxxx

cos)sin(sin

cos)sin1(sincoscossincossin

64

242434

Misal: u = sin x

du = cos x dx

duuuxdxxx )(cos)sin(sin 6464

= cuu 75

7

1

5

1

= cxx 75 sin7

1sin

5

1

Untuk kasus lain yaitu bentuk sebagai berikut :

a. Bentuk 22 xa

2

222 1(

a

xaxa

= a2)(1

a

x , misal sin

a

x

= a 2sin1



4

= a 2cos x a

= a cos

22 xa = a cos 22 xa

b. Bentuk 22 ax

22 ax = }1){(22

a

xa

= a 1)(2

a

x , misal tan

a

x

= a 1tan2

= a 2sec

= a sec x 22 ax

22 ax = a sec

a

c. Bentuk 22 ax

22 ax =

1)( 22

a

xa

= a 1)(2

a

x, misal

a

xsec 22 ax

x

= a 1sec2

= a 2tan a

= a tan

22 ax = a tan

Contoh:



5

Tentukan hasil dari .....49 2

dxxx

Jawab : dxx

x

dxx

x

dxx

x

2

3

2 3

21

3

)3

2(19

49

2x 3

249 x

Misal:

sin = 3

2x, 2x = 3 sin , sehingga x = sin

2

3 dan dx = dcos

2

3

= )cos2

3(

sin

cos

3

2.3)cos

2

3(

sin2

3

sin13

49 222

dddx

x

x

=

dddd

dsin3

sin

13

sin

sin13

sin

cos3

sin

coscos3

22

= 3 canddec cos3cotsecln3sin3cos

= 3ln2

2

49493

xx

x

+ c

LATIHAN SOAL:

1) Tentukan hasil integral berikut!

dxxx

dxx

sin.cos.2

5sin.1

3

3. dxx )25sin(3

2) Hasil dari 9 2 =

3) Hasil dari ......252

x

dx

4) Hasil dari ......42

2

xx

dx

2. Integral Parsial Fungsi Trigonometri



6

Ingat rumus integral parsial bentuk aljabar yang telah dipelajari, untuk integral

parsial bentuk trigonometri diberikan contoh sebagai berikut :

Contoh :

1. Tentukan hasil dari sin Jawab : Misal x = u maka dx = du

Misal dv = sin x dx maka v = -cos x

cxxxdxxxxdxxx sincoscoscos.sin

2. Hasil dari ....)2cos()3(16 dxxx Jawab:

....)2cos()3(16 dxxx

Misal: u = x + 3 dv = cos (2x )dx

du = dx dxxdv )2cos(

v = )2sin(2

1x

vduuvudv

dxxxxdxxx )2sin(

2

1)2sin(

2

1)(3(16)2cos()3(16

= cxxx

)2cos(2

1(

2

1)2sin()3(

2

116

= 8(x + 3) sin ((2x ) + 4 sin (2x )+c

LATIHAN SOAL

Tentukan hasil dari :

dxxx

dxxx

dxxxx

dxxx

dxxx

523

2

62sin.5

13cos.4

cossin2.3

2sin12.2

cos.1

III. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL



7

Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :

)(

)()(

xQ

xPxF , P(x) dan Q(x) fungsi fungsi Polinom dengan Q(x) 0

Fungsi Rasional dibedakan atas : a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada

pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut. b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada

pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut. Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.

Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana Contoh :

1

3

1

2

1

15

2

xxx

x

a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda

Contoh :

Tentukan

dx

xxx

x

32

35

23

Jawab :

31)3)(1(

35

32

35

23

x

C

x

B

x

A

xxx

x

xxx

x

maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1) dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka

diperoleh : A = -1 , B = 2

1 , dan C = 2

3 sehingga

dx

xxx

x

32

35

23=

dx

xdx

xx

dx

3

23

1

21

= - ln cxxx 3ln2

31ln

2

1

b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang

Contoh :

Tentukan

dxx

x

2)3(

Jawab :

22 )3(3)3(

x

B

x

A

x

x maka x = A(x-3) + B

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga



8

cx

xdxx

dxx

dxx

x

3

33ln

)3(

3

3

1

)3( 22

Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor kbax )( dalam penyebut, maka ada

sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :

k

k

bax

A

bax

A

bax

A

)(...

)( 221

c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda

Contoh :

Tentukan

dx

xx

xx

)1)(14(

136

2

2

Jawab :

114)1)(14(

136

22

2

x

CBx

x

A

xx

xx

Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya.

LATIHAN SOAL

1. Hitung 2

(+1)2

2. Hitung 2+2

(26+8)

3.

dxxx

x3

3 1 Hitung

4. Hitung integral berikut!

dxxxx

xx

dxxx

2

434 .2

.212

5 .1

23

2

bahan kuliah kalkulus ii-p5-7

Documents