bahan konstruksi dan struktur teknik-184 hal

HPerutntun BelQu Seri Godwin

Toorldsn Struktur Teknik Ianjutanhrcncanaan Konstruksi Beton BertulangMokrnika FluidaMrtomatika untuk Para InsinyurMckrnika TanahBcnck dan Perhitungan Volume Pekerjaanl&onrtruksi Baja StrukturPongukuranToorlStruktur Teknik

i'liI*

b

BAHAN KONSTRUKSI

il

DAN STRUKTUR TEKNIK

edisi kedua

M. J. SMITHM.Sc.. C.Eng.. M.I.C.E., M.I.Srruct.E.

Senior Lecturer ot the Polytec'hnic' of rhe South Bank

Alih Bahasa oleh:Ir. Ismoyo PH

Univqtitas Sebelas Moet Suralcsto

I 985

PENERBIT ERLANGGAJl. Kramat IV No. l1

Jakarta 10420(Anggota rKApI)

*

r_

[.*

* l

II

r?i,;

j

{

rl/ts -

---t i,-.,--- -l.

rl ___I **a Pc11g6n;i,x.nqan neffil*il iI J:r\r/:l .l"imur

T...\. | ;'\-t'7

4s eto/r/u/a7

ItI

:

PEB#{,,{:,," ', ,,if.."yAII DEp. p DAI\, (:t. .liLctir Mustajab. 6g. l. rr, mAyAJudul Asli : MATERIALS AND STRUCTaRES,2nd Edition

Hak Cipta O 1980 pada George Godwin Ltd.Hak Terjemahan pad,a penerbit Erlangga dengan perjanjian resmi tertanggal17 Mei 1984

Dterjemahkan oleh : h. Ismoyo pHDosen Fakultos Teknik UNSSurakarta

Buku ini diset oleh bagian produksipenerbit Errangga denganhurufpR-r0-MSetting oleh : Kawino

: Ester. S: Percetakan Sapdodadi, Jakarta

DiloralC keras mengutip, menjiplak atan memphotocopy sebagian atau seluruhisi buku ini serta memperiuar-berikannya tanpo izin terturis dari penerbit Errangga

O HAK CIPTA DILINDT]NGI OLEH I.'NDANG.I,]NDANG

PENGANTAR UMUM

Seri ini semula direncanakan untuk membantu para mahasiswa yang akan menem-puh ujian keteknikan. Tujuan dari tiap buku adalah menyuguhkan suatu tuntunan yangsingkat dan jelas mengenai prinsip-prinsip dasar. Setiap subyek diperkuat dengan con-toh-contoh soal yang telah dikerjakan, yang dipilih secara cermat untuk memberi gam-baran dari tiap bab. Keberhasilan dari seri ini bagi para mahasiswa ternyata telah me-menuhi tujuan pokoknya. Bagi para insinyur profesional yang mumpuni yang sedangmenekuni jenjang karirnya telah terbukti bahwa buku ini sangat bermanfaat.

Menyadari kebutuhan ini buku-buku dalam seri ini diperluas isinya sehingga meli-puti topik yang lebih luas tetapi tetap mempertahankan penyuguhannya yang padat.

Kami percaya bahwa dengan penambahan isi akan membantu para mahasiswa untukmelihat bahan yang harus mereka pelajari secara menyeluruh secara lebih praktis tanpamenghilangkan nilai dari buku ini sebagai pembantu untuk lulus pada ujian-ujian. Kamipercaya pula bahwa penambahan isi akan menyuguhkan suatu gambaran teknis yanglebih lengkap bagi para insinyur yang belum sempat menerapkan topik-topik tersebutsejak mereka menamatkan studinya.

Daftar dari buku-buku lainnya dalam seri ini terlampir pada bagian muka dari bukuini.

Keterangan selengkapknya dapat diperoleh dari penerbit.

M. J. SmithEdiior Umum

Lay Out olehDicetak oleh

\

PRAKATA DARI PENGARANG UNTUK EDISI KEDUA

Buku ini dipersiapkan sebagai bahan pelajaran tingkat permulaan dalam mata kuliahTeknik Kekuatan fuhan danTeori Struktur Teknik untuk para insinyur teknik sipil danteknik struktur. Bahan pelajaran ini mencakup juga persyaratan-persyaratan bagi paraarsitek, ahli penghitung volume pekerjaan teknik dari para mahasiswa dalam cabang-cabang ilmu teknik yang lain. Soal-soal dipilih dari kumpulan soal-soal ujian selama ber-tahun-tahun tetapi standarnya tetap sesuai dengan standar Dewan Pendidikan TeknikTinggi untuk Tingkat ijazah dan sertifikat (H.T.D. dan H.T.C) disertai dengan ujian-ujian Sarjana muda (8. Sc) dan C.E.I, keduanya pada tingkat persiapan.

Meskipun buku ini terutama ditulis untuk membantu para mahasiswa untuk luluspada ujian teori, tetapi diusahakan juga agar dapat memberikan pemikiran dasar menge-nai pendekatan terhadap perencanaan stiuktur, hal mana bagi para arsitek, ahli penghi-tung volume pekerjaan dan pelaksana bangunan dituntut untuk dikuasai secara mema-dai. Para mahasiswa teknik sipil dan teknik struktur tentu saja masih dituntut untukmemirelajari pekerjaan lanjutan, tetapi penguasaan prinsip-prinsip yang digarap secaratuntas di sini merupakan sesuatu yang mutlak perlu bila yang bersangkutan ingin me-mahami secara sempurna perencanaan struktur lanjutan. Buku ini dapat dianggap se-bagai pengantar bagi Teoi Strukrur Teknik dan Teori Stntktur Laniutan dalam seri pe-nerbitan ini.

Perencanaan struktur dalam praktek dapat dibagi menjadi dua bagian. Pertama,dituntut untuk menentukan besarnya gaya yang bekerja pada sebuah struktur dan distri-busi gaya yang bekerja dalam bahan yang merupakan bagian dari struktur tersebut. Halini dapat disebut "teori struktur". Kedua, dari pengetahuan tentang bahan ini dan ke-mirmpuan bahan tersebut menahan gaya yang bekerja terhadapnya, maka perkiraan atasbesarnya ukuran dan komponen-komponen struktur tersebut dapat dilakukan. Yangterakhir ini secara luas merupakan kawasan "ilmu kekuatan bahan".

Gaya-gaya eksternal yang bekerja pada bagian suatu struktur merupakan beban,yang lazimnya berupa tempat menyimpan bahan, mesin, manusia dan berat bangunanitu sendiri. Sebagian dari beban ini merupakan beban tetap atau beban mati, dan seba-gian berupa beban yang tidak tetap yang kadang kala ada, kadang-kadang pula tidak,atau beban hidup. Tetapi untuk tahap awal dari tingkat belajar adalah lebih mudah un-tuk menganggap semua beban tersebut sebagai beban mati. Beban hidup bekerja sepertihalnya beban mati tetapi menentukan distribusinya adalah merupakan tugas dari peren-cana. Gaya-gaya eksternal ini dapat bekerja sedemikian rupa sehingga bagian dari struk-tur tersebut mendesak, meregang, menekuk, melentur, menggeser, memuntir atau ga-

l-

vru

bungan dariper satu.

tiga sendi dan suatu pengantar terhadap garis pengaruh. Edisi ini diisempurnakan jugasupaya sejalan dengan keadaan praktek yang mutakhir.

Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terima kasihuji yang telah mengijinkan dimuatnya pertatyaan-pertanyaan danmereka.

Persatuan Insinyur StrukturTheory of structures and strength of materials, graduoteship.

Badan Kerjasama Pendidikan Teknik,Strength of materials and theory of structures, part 2.

Persatuan Insinyur SipilTheory of structures, part 2.

Jawatan Pendidikan London Pusatstrength of materials and theory of structures. Sertifikat Tinggi tingkat Nasio-

Universitas Londonhoperties of mateiols and theory of structures, Sarjana Muda Teknik bagian I .Theory of strucrures, - Sarjana Muda Teknik Sipil bagian 2.

Institut Kota London dan sekitarnya.Structures Engineering, tingkat menengah dan akhir.

Institut Ahli Penghitung Volume Pekerjaan TeknikTheory of structures, ujian ke 2.

Institut Kerajaan dari Para fusitek InggrisBuilding science ( structuresl tingkat menengah.

Dalam segala hal di mana mungkin diterapkan, maka pertanyaan-perta.nyaan dirubahmenjadi satuan Newton dan meter (Unit SI). Pengarang bertanggungjawab sepenuhnyaatas pengubahan satuan tersebut dan kebenaran penyelesaian soal-soal.

Buku ini akan membuktikan kehandalannya dalam menghadapi ujian-ujian tersebutdi atas dan juga untuk tahun-tahun pertama tingkat Sarjana uuaa remir biploma Na-sional{ingkat perguruan Tinggi (H.N.D) dan T.E.c (Kursus-kursus Teknik) dalam ju-rusan Teknik Sipil.

September 1979

Prakata dari Pengarang unwk Edisi Kedua

kejadian tersebut. Dalam buku ini setiap tipe perilaku ini akan ditelaah satu

kepada Panitia Peng-naskah-naskah ujian

DAFTAR ISI

PENGANTARUMUM

PRAKATADARIPENGARANGUNTUKEDISIKEDUA . ' ' ' '''' ' ' ' 'vii

Untuk mempertahankan agar buku ini tidak terlalu tebal, hanya masalah-masalahstruktural yang khas saja yang dibicarakan. Tipe-tipa masalah yang agak jarang menyang-kut tegangan pegas dan tegangan cincin telah ditiadakan. akan tetapi, edisi baru ini,telah diperluas untuk memberi tempat pada analisa balok beton bertulang, pelengkung

l. ELASTISITASBeban

Tegangan

Regangan

ElastisitasBatang-batang majemuk

2. STRUKTURYANG MENAHAN TBGANGAN LANGSUNGResolusi gaya (uraian gaYa).

Syarat-syarat kesetimbangan (untuk gaya sebidang)Momen-momen . . .Gaya-gaya dalam konstruksi kerangkaTekuk pada batang'batang-tekan (beban aksial)

STRI.]KTUR YANG MENAHAN LENTURDagram momen lentur dan gaya Seser . . .Teori lentur sederhanaGabungan susunan lentur dan tegangan langsung . .Balok-balok komposit

4. STRUKTURYANG MENGALAMI TEGANGAN.TEGANGAN KOMPLEKS . .Hubungan antara beban, gaya geser dan momen lentur .Tegangan geser komplementerDstribusi tegangan geser .Tegangan akibat puntirTegangan-tegangan gabunganBidang utama dan tegangan utama .Lingkaran tegangan Mohr .

3.

I1

I45

ll

19

t92l2t2435

5050

647279

92929394

r0l106109I 16

-4_&

I!J, i,

M.J.S.

\-

Dafar lsi

5. KELANDAIANDANLENDUTAN ...122TeoremaMohr . ....122kndutan ...140CaraMacauleyuntukkelandaiandanlendutan .......143

6. PELENGKI.]NG .. .Momen lentur .Garis tekanTipe-tipe pelengkung

7, GARIS-GARISPENGARUHGaris'garis pengaruh untuk geser dan momen lenturGaris pengaruh untuk gaya mendatar pada sebuah pelengkung tiga sendiApendiks: Jawaban untuk soal-soal ujian

Bes I

ELASTISITAS

BEBAN

BrsAN dapat didefinisikan sebagai sembarang gaya luar (externol) yang bekerja padasuatu bahan. Pada. setiap struktur semua gaya yang bekerja pada struktur tersebut ha-

ruslah setimbary. (lihat Kesetimbangan pada halaman 21).

TEGANGAN

Setiap bahan akan mengalami perubahan bentuk bila mendapat beban, dan bila perubah-

an bentuk ini terjadi, maka gaya internal di dalam bahan tersebut akan menahannya.Guy,e iqie,t ul ini.diseb-uJ"te-gangan. Gaya yang dilangsungkan lewat suatu penampangdibagi ddngan luas penampang tersebut disebut intensitas tegangan (intensity of stress),tetapi lazimnya cukup disebut tegangan saja. Dalam bab ini hanya tegangan tarik, te'gangan tekan dan tegangan geser akan dibicarakan.

Tegangan tarik

Gambar I adalah contoh sederhana dari tegangan tarik. Sebuah batang dengan luas pe-nampang yang sama (prismatik),4 dijepit di bagian ujung atasnya, dan menahan bebanaksial ltl pada bagian ujung bawahnya. Llntuk menahan beban tersebut gaya internalF diperlukan, yang besarnya sama tetapi berlawanan arah dengan I/. Intensitas dari te-gangan lark fro adalah FlA. Akan tetapi adalah jauh lebih mudah mengukur wlA yangsccara numeris sama besarnya dengan FlA.

luas penampangrFelintang A

luas penamPangrhelintang A

I

GAMBAR 2

154154ls5ts7

162162167

t7t

.o

*

GAMBAR 1

ElastisitasBahan Konstruksi dan Strukfirr Teknik

Tegangan tekan

sebuah contoh sederhana dari tegangan tekan diperlihatkan pada Gambar 2. sebuahkolom yang prismatik dengan luas penampang ,4 menahan beban aksial sebesar I/.Untuk menahan beban ini mal

('()N',l ()ll soAL 3

l)rr, pclat baja disambung secara tangkepan dengan menggunakan 3 baut hitam. Bilalcga,gan geser yang diperbolehkan dari baut adalah g0 N/mm2 dan pelat-pelat tersebutIrarus menahan beban geser 9.000 kg, baut-baut ukuran berapa harus dipergunakan?

PUNYELESAIAN I '

Luas baut baja yang dibutuhkan - beban geser

- 9000 x 9,8 )Pq 80

alau 1102,513 =367,5 mm2 untuk tiap baut. oleh karena irund2 14= 367,5 ataud =2l ,6 mrc,. Dalam praktek digunakan tiga baut ukuran 22 mm_

Bahan Konstruksi dan Struktur Teknik

Baut-baut gesekan lekat

Meskipun baut hitam atau baut mesin masih digunakan untuk konstruksi kerangka baja,baut gesekan lekat sekarang lebih lazim dipergunakan. Baut gesekan lekat ini tidak di-rencanakan berdasarkan tegangan geser baut, tetapi berdasarkan gaya gesekan pelat bajayang bertangkupan. Besarnya geseran ini adalah sebesar pFp dimana tr1 adalah koefisiengesekan antara pelat-pelat (0,45) dan Fo adalah beban luluh dari baut tegak lurus ter-hadap pelat. Oleh karena itu baut gesekan lekat dirancang berdasarkan kekuatan tarik-nya.

REGANGAN

Bila suatu bahan mengalami tegangan, maka bahan tersebut akan mengalami perubahanbentuk. Ukuran perubahan bentuk ini dikenal sebagai regangan. Pada tarikan dan te-kanan' maka regangan dapat diartikan sebagai perubahan panjang per satuan panjang.

Gambar 5(a) menunjukkan sebuah batang panjang Z tanpa beban. Bila diberi bebansebesar lu (hhat gambar 5(b), maka batang akan bertambah panjang sebesar 62. Regang-an tarik ero = 6Lf L. Sebaliknya, desakan batang atau kolom akan memampat sebesar6Z dan regangan tekat esjuga sama dengan 6LlL.

- Gambar 6 menunjukkan bahan yang mengarami tegangan geser yang selanjutnyaakan mengalami perubahan bentuk seperti ditunjukkan. n surg;n geser @ diartikan se-bagai penyimpangan sudut yang diakibatkan oleh tegangan g*ri. ni"ngan geser = xll,oleh karena untuk sudut-sudut yang kecil rg Q = Q,makirrgurgu, g"i., = xfu = q.

E/ast srtas

Perlu dicatat bahwa regangan adalah perbandingan dari panjang dengan panjangatau satuan panjang dibagi dengan panjang, sehingga tidak memiliki satuan.

coNToH soel 4Bila kolom dalam contoh soal 1 ternyata memampat sebesar 0,425 mm, berapakah besarregangan dalam beton?

PEN YELESAIAN

Regangan tekanerp=0,a25 12500 =0,17 X l0-3

ELASTISITAS

setiap bahan akan berubah bentuk kalau mengalami pembebanan, dan regangan yangtimbul dapat diukur. Bila setelah pembebanan dihilangkan bahan tersebut kembali kebentuk asalnya, maka kejadian terse-but disebut elastik atat kenyal. Suatu beban batasdi mana beban yang menyebabkan adanya regangan sisa setelah beban dihilangkan dapatditentukan. Besarnya tegangan akibat beban tersebut disebut batas elastik atau bataskenyal.

Pengujian tarik (baja lunak)

Batas elastik dan banyak titik-titik lain dapat segera terlihat setelah diadakan uji tarik.terdapat beberapa tipe peranti di pasaran yang mampu mengukur elastisitas secara teliti,tetapi demi mudahnya maka hanya cara yang sederhana akan dibicarakan. Perlu dicatatbahwa adaiah sulit untuk mendapatkan suatu hasil yang teliti dari percobaan ini.

Dawai baja lunak yang halus digantungkan pada perletakan gantung yang kaku dandi ujung bawahnya terdapat jerat untuk menerapkan beban. Dawai tersebut diberi tandapada dua titik dan satu alat pengukur yang teliti pada perletakan tetap dipasang untukmengukur jarak antara kedua titik tersebut. Suatu alat pengukur yang halus dan telitidiperlukan untuk mengukur garis tengah dawai tersebut.

Setelah mengukur jarak antara kedua titik bertanda tersebut (panjang semula Z)dan garis tengah dawai, maka pada jerat diletakkan suatu beban ringan secara perlahan-lahan. Jarak antara kedua titik tersebut diukur lagi. Prosedur ini dapat diulang, dengansecara bertahap menambah beban sampai akhirnya dawai meregang cukup panjang danakhirnya putus. (Bantalan karet di bawah dawai - menjaga agar jari-jari kaki tidak ke-jatuhan - perlu diperhatikan di sini).

Pada tahap-tahap awal, beban harus dihilangkan sesudah setiap tahap uji dan akanterlihat bahwa dawai akan kembali ke panjang awalnya. Akhirnya, setelah beban dihi-langkan, maka akan terlihat adanya pertambahan panjang yang tetap. Bila dikerjakansecara teliti dan berhati-hati dan penambahan beban cukup kecil, pada tahap selanjut-nya akan terlihat bahwa dawai akan terus meregang bahkan setelah beban dikurangi.Perlu dicatat bahwa pada percobaan yang sederhana ini adalah sangat sulit untuk me-nentukan secara tepat titik itu.

Hasil uji ini dicatat, dan baik tegangan maupun regangannya dalam dawai dihitungpada tiap tahap pembebanan. Kemudian Grafik tegangan terhadap regangan digambar-

,1 t

Irl

HGAMBAR

o_

oAMBAR s(a) s (D) GAMBAR 6

,#,


Tegangan(N/mm2)

Batas luluh atasluluh bawah

Batas elasti k

Regangan

GAMBAR 7

kan dan sebuah kurva seperti terlihat pada Gambar 7, didapatkan. Beberapa anggapandasar yang penting dapat ditarik dari grafik tersebut adalah sebagai berikut:

Hukum Hooke:

Hooke menyatakan bahwa bila suatu bahan dibebani tanpa melewati batas elastiknya,maka perubahan bentuk yang dihasilkan adalah sebanding dengan besarriya beban yangmenyebabkannya, yaitu perubahan bentuk cc (sebanding) beban.

Tetapi perubahan bentuk c regangan dan beban c tegangan, oleh karena itu te-gangan G regangan,

tesaneanatau ' - = hilangankonstan(E)

reganSan

Dari grafik untuk baja lunak dapat dilihat bahwa hukum ini berlaku, kalena sebuahgaris lurus didapatkan sampai ke batas sebanding (bukan batas elastik). Nilai konstan.Edikenal sebagai modulus elastik dai Young, dan sangat penting pada bab-bab berikut.Satuan-satuan dari modulus adalah sama dengan pada tegangan, yaitu beban/satuan luas.

Batas sebanding

Ini merupakan batas tegangan di mana hukum Hooke mulai tidak berlaku. D bawahbatas ini bahan masih dalam keadaan elastik.

Batas elastik

Ini merupakan tegangan di mana pertambahan panjang-tetap, tetap pada bahan setelahbeban dihilangkan. Setelah batas ini dilampaui bahan memiliki sebagian elastisitas tetapisifat plastik makin menonjol.

Batw luluh

Ini merupakan tegangan yang ditandai dengan bertambdhnya regangan yang menyolok.Adanya sedikit penurunan beban pada titik ini menyebabkan bertambahnya regangan,

E/astr'si tas

mernberikan titik luluh yang lebih rendah. Dengan percobaan sederhana seperti yangtelah dibicarakan maka titik yang lebih rendah ini sulit ditentukan.

Setelah mengalami proses luluh, bahan mencapai tahapan plastik dan pada pembe-banan selanjutnya batang uji akan mengalami "penggentingan", dan akhirnya patah.

T'egangan maksimum (tegangan ultimit )

Diambil sebagai perbandingan dari besarnya beban pada saat penggentingan mulai,dibagi dengan luas penampang melintang semula dari batang uji.

Tegangan boleh dan faktor keamanan

Dalam praktek sulit untuk menentukan secara teliti besarnya beban pada struktur se-hingga bahan dari struktur tersebut tidak boleh dirancang untuk menahan teganganmaksimum. Untuk mengatasi hal ini perlu diberikan suatu faktor keamanan sehingga:

tegangan maksimumtegangan kerja boleh =

faktor keamanan

Pada perancangan berdasarkan batas elastik, secara

luluh, sehingga:

tegangan luluhtegangan kerja boleh =

faktor keamanan

Besarnya faktor keamanan ini terutama tergantung dari bahan yang ditinjau.

coNToH soal 5Angka-angka di bawah ini adalah merupakan hasil pengamatan uji tarik padatatang ujibulat bergaris tengah 22mm dan berjarak 195 mm antara titik-titik ukur:

"Beban" (Mg): 5 l0 15 16 . 16,5 17Pertambahan panjang (mm): 0,009 0,019 0,029 0,034 0,046 0,078

"Beban" (Mg): 18 19 20 21 22 23Pertambahan panjang (mm): 0,084 0,091 0,098 0107 0,124 0,149"Beban" (Mg): 24 25 25,5 23Pertambahan panjang (mm): 0,188 0,239 0,395 0,493

Dengan anggapan bahwa perubahan luas penampang melintang dapat diabaikanpuda tahap awal dari proses uji ini, maka gambarlah kurva beban pertambahan panjangrlun tentukan besarnya modulus elastik, tegangan luluh, tegangan maksimum dan per'

rcntuse pertambahan panjang. Berapa besarnya tegangan kerja yang diperbolehkan bila

dlterupkan faktor keamanan sebesar 2 terhadap tegangan luluh?

PT.:NYELESAIAN

Grmbar 8 adalah kurva yang digambar dari hasil tabel angka-angka tersebut di atas.Perlanyaan adalah untuk membuat kurva beban-pertambahan panjang, berhubungurlumnya penlmpang melintang batang uji hanya berubah sedikit sekali, maka diang'

praktisnya diambil tegangan

tI

Lr.- -, d


gap mempunyai afii yang sama dengan kurva tegangan-regangan. Grafik tersebut di-gambar dalam satuan S.I (Systeme lnternational d'Unites). Perlu dicatat bahwa bebandalam Mg telah dirubah menjadi kN (dengan mengalikannya dengan 9,g m/det2 )

Luas penampang melintang batang = (trX 252)14 = 491 rnmzModulus elastik = teganganf regangan (sampai ke batas elastik)

= (1401491) + (0,025/195)= 220}kN/mm2

Tegangan luluh = 1610001491= 3l9I4dTegangan maksimum = 250.OOOl49l = l]! X/.r,,

- Persentase perpanjahgan diartikan sebagai jumlah keseluruhan pertainbahan panjangbatang uji pada saat patah yang dinyatakan sebagai persentase panjang batang semula.Persentase penggentingan adalah pengurangan luas penamp*g *.ilrturg pada daerahmenggenting (diukur setelah patah) dinyatakan dalam persentase terhadap luas semula.Kedua angka tersebut memberikan ukuran tentang kaietan dari bahan tersebut.

Dalam contoh soal 5:

Persentase perpanjangan = (0 ,4941195) X I 00 = 0,25% . oTegangan kerja boleh = 33012 = I 65 N1pm1 | l

Batas regangan (untuk logamJogam bukan besi)Kebanyakan logam bukan besi tidak secara jelas menunjukkan adanya batas elastik ataubatas luluh. Gambar 9 menunjukkan sebuah kurva tegangan-regangan khas untukgolongan logam bukan besi (kurva OA). Bna batang uji dibebani melebihi batas kenyal

' (elastik) - misalnya pada grafik sampai di titik A - aan kemudian secara bertahap Le-ban dihilangkan, maka akan terdapat kurva OB - BC, di mana terlihat bahwa garis.BC

b--

E/ast'sitas

Tegangan

Tegangan

Regangan

GAMBAR 10

holeh dikata sejajar dengan garis OD yang merupakan bagian pertama dari kurva OB'

llegangan OC aialahmerupakan pertambahan panjang tetap dari bahan tersebut.

Dalam praktek bahan dibebani sampai patah dan kurva OA digambarkan (lihat(iurnbar l0). Kemudian suatu persentase regangan tetap tertentu diukur pada sumbu re-

B1n8an (untuk logam paduan aluminium adalah sebesar 0,1%) dan terdapat titik C padasuntbu regangan, lalu dari C ditarik garis yang sejajar dan bagian lurus dari kurva. Garis

lcrscbut memotong kurva di titik g dan memberi tegangan uji (batas regangan 0,1%).Tegangan inilah yang dipergunakan oleh para perencana untuk menentukan besarnya

lcgangan kerja boleh, yaitu:

tegangan uji

'i

,-//L

GAMBAR 9

Tegangan luluh 0,2o/o _reganganuji oJ"r7

-4R^r.q clestik O O2%'/G ,/,t"rus*of,zuVG 7 /liinit ,/l / /

Regangan tetaP

tegangan kerja boleh =faktor keamanan

#ul0 Bahan Konstruksi dan Struktu Teknik

Batas elastik dapat diperoleh dengan cara yang sama, dengan menarik garis FG me'lalui titik O,\2Vorcgangan tetap sejajar garis modulus memotong kurva di titik G didapatbatas elastik 092%. Untuk mendapatkan tegangan luluh, dipergunakanlah gais HJsehingga menghasilkan tegangan hthth 0,2Vo.

Catatan: pertambahan panjang tetap 0,lVo = (0,1/100 X panjang asli.'. setara dengan regangan = 0,001 LIL = 0,OOl .

coNToHsoel 6Batang uji dari bahan logam bukan golongan besi, panjang ukuran 50 mm, luas tampangasli 82,5 mm2 , memberikan hasil sebagai berikut pada sebuah uji tarik:

"Beban"(Mg): 2 3 4 4,5 5 5JPertambahan panjang (mm): 0'053 0,080 0,107 0,120 0.140 0,1'12"Beban" (Mg): 5,75 6Pertambahan panjang (mm): 0,195 0,23Batang uji tersebut patah pada beban 6,5 Mg, dengan pertambahan panjang 686

mm dan garis tengah terkecil pada saat patah sebesar 7,11 mm. Gambarkan grafik be-ban-pertambahan panjang dan tentukan:

(a) modulus elastik(D) tegangan ujiO,l%(c) persentase pertambahan panjang(d) persentase penguranga luas tampang.

PENYELESAIAN

Grafik beban-pertambahan panjang diperlihatkan dalam Gambar I I (Mg dirubah dalamkN).

(a) 6 = tegangan/regangan (sampai ke batas elastik)= (44182,5): (0,12150) = 222 kN/mm2

V

/.

1,,

Beban(kN)

505615

Elutldtr,e

(b) O,l%terhatlap panjang asli batang uji = (0,1/100 X 50) = 0'05 mm'(Titik A pada sumbu pertambahan panjang)'

Tarik garis AB yang memotong grafik di B'

Teganian uiiO,tV"= 56,5182,5 = 0,685 kN/mm2 =

(c) Persentase pertambahan panjang = (6'86/50) X

patan pada kubus untuk beban tersebut?

IOO= 13,7Vo 1' '' t

l'a

rl

(d) Persentase pengurangan luas tampang :!:#!9 x 100 : glL

Pada perancangan konstruksi beton bertulang mutakhil, maka baja dianggap dite-

gangkan melewati iatas elastik, sampai ke tegangan uiiO,2Vodan diberikan suatu faktor-pu,r,'uru"n* sebesar 1,15. Hal ini menyebabkan penggunaan bahan yang lebih meng

untungkan.Tlgang"n kerja boleh dari kebanyakan bahan dapat diperoleh dengan cara

yang

,.ru ,f.il halnya pada logam yang ielah diuraikan di atas. Untuk beton, suatu bahanyang lazim digunakan oleh-para insinyur struktural, dilaksanakan pengujian tekan,

ka-

i.n, trut tarik beton tidak terarti dan dapat diabaikan. Akan tetapi hubungan'hubung'an yang penting yang perlu diingat dan difahami sepenuhnya adalah:

tegangan beban Perubahan Panjang" - ..g"ng* luas penampang panjang batang asli

CONTOH SOAL 7

Pada iebuah pengujian tekan sebuah kubus beton dengan sisi 150 mm dibebani dengan

J,5 Mg. Bla f untut< beton adalah 140 kN/mm2 berapa besar dari persentase Pemam'

perubahan panjang Lfr=

arl

panjang benda uji asli

3,5 x 103 x 9;8 .. t50_---lsoxtso ^ 6L

150 x 1401,6:-x150

44-40

30

20

to

6L:

.'. persentase PemamPatan 100: 1,07%

BATANG-BATAI{G MAJEMT.X

Tiap batang yang rtrenahan-tarik atau tekan, yang terdiri dari dua_atau lebih bahan yang

*cjajar disebu t batang maniemuk. Meskipun istilah ini umumnya hanya diterapkan pada

i.,gu* t.tupi dalam bab ini pengertiannya diperluas dan mencakup juga kolom'kolom

beton yang menahan beban aksial.

regangall InamPatan)

GAMBAR 1I,/4,

l2 El.stisitus

untuk baja

tetapi

ataujuga

dan

Bahan Konstruksi dan Struktur Teknik l3

coNTOH SOal 8suatu batang yang pendek dan kaku digantungkan pada sebuah pendukung kaku orehbatang baja tegak dan didampingi oleh dua batang tembaga simeirik di kanan kirinya.Di bagian tengah batang kaku diberi "beban" sebeiat : Mt mas penampang baja tegakadalah 60 mm2 dan luas penampang.tembaga masing-masing adalah r5d#r,;;j;;batang tembaga adalah 3 meter, sedang prju"g batang baja adalah 3,6 meter. ModulusI-"ylq. untuk baja adalah = 205 kN/m*r. Modrrlrs young untuk ;;;baga ;ffi =93 kN/mm2. Tentukan: (a) Besarnya tegangan pada tiap{iap batang; (D) pertarnbahanpanjang pada tiap-tiap batang.

PENYELESAIAN

Bagan pembebanan diperlihatkan pada Gambar 12. Tiap-tiap batang hanya menahan se-bagian sebanding dari beban sebesar 29,4 kN tersebut. pada soal J.ng.n batang maje-muk tiap bahan akan memiliki harga tegangan, regangan, beban, luas penampang me-lintang, panjang asri dan pertambahan panja"g. oi ,inip.rt, ai""ri"p" persamaan per-soalan_yang dihadapi oleh bahan-bahan terseuut. Dalam persourun iri'p.rtambahan p6n-jang 6I adalah sama untuk keduajenis bahan tersebut, yaitu:

2s5 = \ " -g

a,urtt 6L61= o,2e3 w6160 6loi6Lt"^t:6LUW'"*o =0'293'oi3 woiWtemb: 1,36 W,

2Wr"*u* W6 :29'4(2 x 1,36 + l) lV61 :29,4

wui :'#: 7,e kNWtemb: 1,36 x 7,9 : l0J5 kN

untuk tembaga (satu batang saja):

4emb = 93 kNlmm2 iltemb = 3.00 m.,Arcmb = 150 mm2untuk bajaE6i = 25OkN/mm2 ;L6i = 3.6O rn;Abj= 60 mm2 lryti = ?

jlga 2 w1u^6 4 llai = 29,4 kN

Illtemu=? ) 6It".ui = f.',

.'. Tegangandalamtembagaltemt : 10750/150: Z? trtlry!_:Tegangan dalambaja J61 : 7900/60 :112_ry!q-,

Pertambahan panjang 6Lt"^o: 6Loi: 0,215 x 10,75 : 2;3 I mm

coNToH soal 9Sebuah batang baja lunak bertampang bulat dan pejal dan batang sejenis dari kuningandisambung secara sempurna dan segaris di titik C dan dipanaskan secara merata. Luaspenampang melintang dari tiap-tiap batang adalah: 650 mm2 .

Kedua ujung dari batang-batang tersebut ditahan secara sempurna pada A dan Bseperti diperlihatkan pada Gambar 13, sehingga jarak AC adalah 750 mm dan CB600 mm. Hitunglah (a) Besarnya gaya dalam batang-batang tersebut, bila batang-batangtersebut didinginkan 4loC di bawah suhu semula; dan (D) JankAC yang baru pada ke-adaan terakhir ini.

A, C .B) Baia I Kunrngan I

-

TembagaAtemb = .l50 mm,

E _ teganganL-=regangan

untuk tembaga:

'-/

BajaAoj =6O mm2

\-TemGga

^temb -150 mmz

batang kaku - beban jumlah = 3 x g,g = 2g,4 kN

GAMBAR T2

beban ., panjang batang asliX

luaspenampang pertambahanpanjang

GAMBAR T3

Modulus elastik dari baja lunak = 205 kN/mm2Modulus elastik dari kuningan = 9l kN/mmKoefisien muai linear dari baja = 0,0000162 tiap-tiap oC

Koefisien muai linear dari kuinngan = 0,0000261 tiap-tiap oC

PENYELESAIAN

Dalam persoalan ini tegangan-tegangan ditimbulkan oleh penahan kaku A dan B yangmelarvan pengerutan akibat penurunan suhu.

q = !t::l!, '#L atau 6r.r"-u = o,215 t4r"-6t 50 6L ru_o

4,

t4 Bahan Konstruksi den Struktur Teknik

Jumlah pengerutan akibat penurunan suhu haruslah sama dengan jumlah pertam-bahan panjang akibat tegangan yang timbul, atau:

y'\' ls

Eoi: woi ,s1.!10 _ sEai 5030 " wo,Wbi 15x5030-,.w6:-57n0 - "'

W6i* W61:30 x 9,8 : 294l,3lt67* Wat:294

,0,:#: 128 kN

Elastisitds

atau

juga

t

r D Iuga

Dari (7)

atau

LqaqT + LY*aY^T =

750 x (16,2 x l0 6) x 41+ 600 x (26;l x 10-6) x 4l

0,498 + 0,641

tesansan bebanD_

regangan luas tampang

Eai Wbi..$2500- 4a7)_,.rrl4^ -*-w,

(344000 * 3,916) (62 500 - Aar)'" ---- A;i

-^ 3,9162500-A6i)

58,5A61: 344000 + 3,9AbiA-,:344ffiOi54,6 : 6300 mm'et

Foi Lai . Ft-, . Lx^-- X-- f-XAoi Eai Ax^ Ex^

Fai 750 Fkm 600_ + __ Y __650 205 ' 650 " 9l: 0,0056Fai + 0,010 Fkm

Juga besar gaya pada tiap-tiap batang yang diakibatkan oleh penahan haruslah sama,yaitu f'6; = Fkrr,

. c ,k^ : l.1410.0156: 73.1 kN'pi-'k^ : I'la \J'ulJU: /Pengerutan baja afbat suhu = 0,498 mm

Pertambahan panjang baja akibat gaya = 0,005 6 X 73 ,7 = 0,409 mmPertambahan panjang yang sesungguhnya dari baja =

0,498 - 0,409 = 0,089 mm pengerutan.Panjang akhir dari AC = 750 * 0.089 = 749.911 mm

coNToH soal l0Sebuair kolom beton yang pendek bertampang bujur sangkar dengan ukuran sisi 250mm menahan beban aksial sebesar 30 Mg. Kolom tersebut ditulangi dengan 4 batangbaja dengan garis tengah 40 mm. Bila modulus elastik dari baja adalah lima belas kalimodulus elastik dari beton, hitunglah besar tegangan dalam baja dan beton. Bila teging-an pada beton tidak boleh melew at\ 3,9 N/mm2 , berapakah luas tulangan baja yang di-butuhkan pada kolom tersebut untuk menahan beban sebesar 60 Mg.

PENYELESAIAN

Persoalan ini menyangkut perancangan kolom beton. Perbandingan EoilEo, = 1 5 dikenalsebagai nilai banding modular rn dan dipergunakan pada perancangan beton.

Baja dan beton melekat menjadi satu kesatuan yang erat sehingga kedua-duanyaakan mengalami perpendekan yang sama besar, meskipun kedua-duanya tidak meng'alami tegangan yang sama.

wr,;: 294 * 128 : 166 kNTegangan dalam baja Ju,Z tooooo/5030 = IlUlgrf

Tegangan dalam beton f67 128000/57 qlO :2,,8N..mrI2

Untuk beban 60 X 9,8 = 588 kN, bila A6i = luas baja yang diperlukan'

Untuk baja:

Er,= (\114) + regangan dalam baja (3)

Untuk beton:

- lilotEb- 62 sd:qi);

resangan dalam beton

E6ilE61- 15W6r+ Wri,:588000wot

- 2016256 ' tr;: '''

Wot: 3,9(62 5N - A6it : 244OO0 - 3,9 Abi

(4)

(5)(6)

(7)

'substitusi dalam (6)

244000 - 3,9 '46i+ lllai: 588 000wti:3440A0 + 3,9Abi

Dari (3), (4), dan (5) (mengingat bahwa regangan dalam beton = reBangan dalam baja) :

panjang semula

perubahan panjang

Untuk baja: = 4X (nX 40214) = 5030 mm3E61 = (16115030) + rsgnrr.n dalam baja

Untuk beton : = 25O X 25O * 5030 = 57.470 mm2, E6t = (Wtt 1 57 470) + regangan dalam beton

" Tetapi E6ilEm = 15, dan regangan dalam baja = regangan dalam beton.' Dari persamaan (l) dan (2) :

lr-

atau empat batang dengan garis tengah 45 mm.

l,uas tampang total = 14 x n x 4521f4 : 6362 mm2

(1)

br

(2)

t6 khan Konstruksi dan Strukufi Teknik

(Adalah lazim untuk mempergunakan baja yang sedikit lebih besar daripada jumlahyang mempergunakan ukuran nominal).

Reg;angan melintangBila suatu batang mengalami regangan tarik, maka panjangnya akan bertambah, tetapiukuran penampang melintangnya akan berkurarzg. Sama halnya dengan prosedur pembe-banan tekan, maka panjang batang akan berkurang, karena memampat, tetapi ukurantampang melintangnya akan bertambah.

Regangan melintang diartikan sebagai perbandingan antara perubahan lebar terha-dap lebar yang asli. Sampai dengan batas sebanding regangan melintang bervariasi seper-ti regangan longitudinal, atau.:

regangan melintang

regangan longitudinal= bilangan konstan (o)

Bilangan konstan o dikenal sebagai nilai banding Poisson, dan harganya berkisarantara 113 dar I14.

Modulus kekakuan'

Bila hanya tegangan geser yang dipandang, maka perbandingan antara tegangan geserdan regangan geser dikenal sebagai modulus kekakuan, atau modulus geser, yaitu:

modulus kekakuan G = f61 lQ

Dapat dibuktikan bahrva hubungan antara modulus elastik dan modulus kekakuanadalah E=2G(l +o).

coNToHsoal 11Pada uji tarik terhadap pipa baja dengan garis tengah eksternal 20 mm dan garis tengahbagian dalam 12 mm, terlihat bahwa pertambahan panjang bagi pipa yang panjangnya200 mm adalah 0,0474 mm tiap Mg dan pengurangan garis tengah eksternal adalah0,00133 mm tiap Mg. Hitung besamya modulus Young dan nilai banding poisson. Hi-tung pula besarnya modulus kekakuan G.

PENYELESAIAN

Luas penampang melintang baja yang asli adalah {202 * n\14 = 201 mm2. Untukbeban sebesar I Mg = 9,8 kN, tegangan = 9800/201 = 48,7 N/mm2.

regangan longitudinal :0;0474l2OO :2,3J x l0-a

Et..ttsias l7

Nllai banding Poisson o: 6165 x 10-s12,37 x 10-a :02qr,-?fri+o)^ 20500(t :

---

- 2(l + 0,28): 8008 N/mm2

"Beban" (Mg)Pertambahan Panjang (mm):

I "Beban" (Mg)Pertambahan Panjang (mm):

"Beban" (Mg)Pertambahan Panjang (mm):

IPlastisitas

Dalam bab ini hanya bagian elastik dari gafik tegangan-regangan yang ditinjau' Pada

baja lunak, maka bagiari plastik menun_iukkan regangan sampai dengan sepuluh kali,

padasebuahteganganmaksimumyangkonstan.Cara.caraperancansanyangmutakhiril;"kri turru "yurig terakhir ini, teiapi hal ini adalah di luar jangkauan buku ini.

SOAL-SOAL UJIAN

l. Berikut ini adalah deretan angka yang merupakan hasil uji untuk menentukanbatas reganga n o,l% batang uji dari bahan duralumin. Luas penampang adalah l5 mm X

I 6 mm dan panjang benda uji adalah 100 mm'

0,25 0,5 0,15 1,0 l,2f l,l^^ l,i:^o,o1l o,o;+ o;ll2 o,l5l 0,192 0,230 o;272

2p 2,25 2,5 2J5 3'0 3,25 1;?6-^o,:rz o,jso o,4oo 0,450 0,521 0,620 o;950

3,2'7gagal/patah

Tentukan besarnya harga tegangan uji, dan modulus elastik benda uji tersebut'

2.Sebuahbatangbajadenganluaspenampangmelintang1000mm2dansam-. bungan pipa tembaga y"ung",.gu'i'-dengan i,,u' pt'"*pung melintang 1600

mm2 ' dihu'

bungkan pada uiung-u3rnin,, secara kuat untuk membentuk batang sambungan maje-

muk. Tentukan besarnya i.iungu, dalam baja dan tembaga bila suhu batang sambungan

majemuk tersebut oin"itmlJb.r., 80'C ian tegangan tarik aksial berupa "gaya" se'

besar 6 Mg diterapkan pada kedua ujungnya'

Modulus elastik dari baja dan tembaga masing-masing aclalah 205 kN/mm2 dan

105 kN/mm2 dan koefisien muai linear akibat perubahan suhu adalah 11 X 10'6 per-

"C dan 16,5 X 10-6 per oC untuk baja dan tembaga'

3. Dua penyangga ditopang oleh batang majemuk seperti diperlihatkan padaGambar 14. Bagian Ail adalah. baja dengan luas penampang melintang merata sepanjang

batang (prismatik) sebesar 5000 mm2 dan bagian BC adalah batang prismatik alumini'

um dengan luas penampang melintang 2000 ntm2. Batane sanrllnqan majemuk ter'um dengan luas penampang mellntang /uuu [lr]l DatarrB' rdr,uurr6(r-u"i u.rr^ tegangan"'paJa suhu l6dC. Suhu naik menjadi 32"C dan selama prosestersebut penyangga sebelah kanan bergeser scbesar 0,C)25 n:rrn. I{itung besalIlEj!9ga-+gan

,a

,l, I

. r tegangan 48,7 rregangan -2,37 x10-a

: 205.000 N/mm2:pengurangan garis tengah 1,33 x l0-a

regangan lateral =garis tengah semula 20

:6,65 x l0-s yang terdapat pada batang aluminium. - *:;-:::)---'-*:

l8 Bahan Konstruksi dan Struktur Teknik

GAMBAR 14

Modulus elastik dari baja dan aluminium masing-masing adalah sebesar 205kN/mm2 dan 68,5 kN/mm2 dan koefisien muai linear akibat perubahan suhu masing-masing adalah I 1,7 X 10-6 tiap

oC dal23 X 10-6 tiap oC untuk baja dan aluminium.

4. Sebuah kolom beton bertulang disyaratkan kuat menahan "beban" aksial se-besar 66 Mg. Bila dinyatakan bahwa kolcm tersebut diberi empat batang tulangan dantegangan tekan boleh untuk beton adalah 7,4 N/mm2 dan nilai banding modular rn =I 5, tentukan ukuran-ukuran yang tepat untuk luas penampang beton dan baja tulangan:

(a) untuk penampang bujur sangkar dengan luas tulangan baja sebesar 1%;(D) untuk penarnpang persegi empat b X 1,56 dengan empat buah tulangan ber-

garis tengah l6 mm.

5. Sebuah batang baja bergaris tengah 30 mm dipergunakan sebagai batang ujitarik. "Beban" tarik aksial sebesar l0 Mg menghasilkan pertambahan panjang elastiksebesar 0,153 mm dan pengurangan garis tengah sebesar 0,0055 mm dari batang ujiyang panjangnya 230 mm.

Bila sebuah baut dari bahan dan garis tengah yang sama digunakan untuk mengga-bungkan dua pelat yang menahan beban tarik sebesar 1,4 Mg, hitung besarnya regangangeser pada baut tersebut.

llrsultente suatu sistem gaya sebidang adalah berupa gaya tunggal yang dapat meng'grnti sistem gaya tersebut.-Gaya pengimbang adalah sama dalam besaran tetapi

berla-

wanan arah terhadap resultanie, dan dapat mempertahankan susunan gaya tersebut

dalam keadaan statik.

RESOLUSI GAYA (URAIAN GAYA)

t'fiap gaya tunggal dapat diuraikan menjadi dua komponen gaya yang bekerja pada

,.trrr.ni alah, ietapl keduanya tegak lurus atau sama lainnya, misalnya mencari kompo-

nen uraian gaya ke arah veriikal dan horizontal dari gaya F yang membentuk sudut 0

tcrhadap horisontal, Hal tersebut diperlihatkan dalam Gambar l'a. Gambar l5b mem-perlihatkan cara penyelesaiannya, dengan menggunakan segitiga gaya

y ar.g sederhana'

Bas 2

' ,,*.,KTUR YANG MENAHAN TEGANGAN LANGSUNG

Komponenvertikalpada F=V

=F sin 0

GAMBAR 15(D)

I., I

IL,zI

KomPonen horisontalPada F:H

CeMSan rS(r)

. Untuk menggambar segitiga gaya, maka komponen gaya digambar sejajar dengan

rruh aslinya untuk memb.itrt r"gltiga. Penyeleqian komponen tersebut lalu menjadi

1'ersoalan-[mu Ukur Segitiga yang seoertrana. Sebaliknya, bila diketahui kedua kompo'

rrcn I/ dan.H, mata uer"iny"u resdLnte F didapatkan' yaitu F = t/QP + a2)'

Resolusi gaya ini dapat dipergunakan untuk mendapatkan resultante (atau gaya

grongimbangrya) dari sistem gaya'

H=Fcos0

b,-

20 Struktur yang Menahan Tegangan Langsung

Sehingga resultante dari susunanO88 kN yang bekerja ke arah kanan36' dengan horisontal.

2t

gaya yang terlihat dalam Gambar l6(D) adalahnriring ke barvah dengan membentuk sudut 49o

Sahan Konstrtksi dan St/uktur lbknik

coNToHsoAL l2Hitung besarnya resultante dan sistem gaya yang diperlihatkan dalam Gamb ar l6(a)dan tentukan sudut miringnya terhadap horisontal.

PENYELESAIAN

Gambar 1 6(D) memperlihatkan konversi saluan gaya.Pertama-tama carilah komponen vertikal dari semua gaya dan kemudian jumlah_

kan secara aljabar.

EVI :4 sin 45' - 3 sin 30' * 2[sin 45, : t,,., ] , in 3Cr, :0,51

LVI :4 .,,,'2 - 312 - 2: l,r-r .,: _: : _tr,6Z ,

2322 Bahan Konstruksi dan Struktur Teknik

GAMBAR I8(D)

PENYELESAIAN

Gambar 18(D) memperlihatkan sistem akhir dari gaya-gaya dalam kesetimbangan. Mo-men-momen terhadap tiap titik harus diuji. Titik y dipilih karenz gaya F, yang tidakdikenal baik besar maupun arahnya melewati Y dan oleh karena itu tidak akan mem-punyai momen terhadap Y. Jaruk terpendek terhadap garis kerja dari tiap Baya terhadaptitik Y harus dihitung dari Gambar 18(D):

a : (70 + 30 + 40) sin 45 : 98;98 mmb : (30 * 40) sin 30' : 35 mmc :40 sin 60' : 34,64 mm

Syarat kesetimbangan 2V = O; 2H = 0;2M = 0 . Sehingga terhadap Iz (searah jarum jampositif C + Ve):

l80Fx - 160 x 98,98 + 300 x 35 - 50 x 34,64l80Fx - 15836,8 + 10500 - 1732

7068,8rx: t-lg0 : + 39,27 N (ke kanan seperti diperlihatkan).

Strukrur yang Menahan Tegangen Langsung

atau ]F, sin a : -50 x 0,5 + 300 ( (\/3)17- 16O x llJ2= -25 + 259,8 - ll3,l4: I 2l ,66 N ke bawah

Tetapi (Fy sin a)2 + (Fv cos a)2 : Fy2 (sin2 c + cos2 a) : Fy2r, : j1t2t;662

,+ 32,832) : 14I /

(F, sin a/F, cos a) : tg a : 121,66132,83 : 3,70":7!:L

Latihan yang bermanfaat pada tahapan ini adalah menghitung momen terhadap

titik-titik yang lain dan membuktikan bahwa W = O,misalnya momen terhadap X'Komponen vertikal dari Fy melewati titik x sehingga momen terhadap X adalah

= 0. Komponen horisontal dari Fv = 126 cos 74" 53' = 32,86 N

Mx:32;86 x 180 * 50 cos 30' x 140 - 300 cos 60' x 110'+ 160 cos 45' x 40

: 5910 + 6060 - 16500 * 4530 :0

Momen terhadap sebarang titik yang lain juga akan menghasilkan XM = 0'

Penerapan.yang lazim dari teori ini adalah mendapatkan reaksi'reaksi dalam sebuah

struktur, misalnya tentukan reaksi di A dan B untuk penyangga sederhana (sendi rol)

seperti terlihat pada Gambar l9(a).Gambar 19(b) memperlihatkan sistem dalam satuan'satuan gaya'

I lorn .lGAfiBAR r9(4) GAMBAR T9(D)

Ambil momen terhadap satu dari reaksi'reaksi yang tidak diketahui (misalnya terhadap

titik A).

49x2)*196x5-Rsxl0:0Rs: (122,5 + 980)i l0 = I10i25 kN

Uraikan ke arah vertikal:

Rr : 196 + 49 - llo,25 : l]l1llN

Ini adalah iangkah pertama yang lazim pada perhitungan sebarang struktur seder'

hana.

ZM:0:0:

Juga komponen horisontal dari Fy : Fy cos adan ,H :0 = Fy coS d * 50 cos 30" - 300 cos 60u

t 160 cos 45' - 39;27atau F,.cos d. - - 50 x (J3\l2r 300 x 0,5 - 160 x tllz + 39;27

: -43,30 + 150 - ll3,l4 + 39,27: 32,83 N ke kiriKomponen vertikal dari Fy : Fy sin adan ZV = Q: Jf'" sin a * 50 cos 60o - 300 cis 30" + 160 cos 45"

I

GAMBAR r8(o)

L.- b

$E:9

u Eahan Konstruksi ddn Struktur Teknik

GAYA-GAYA DALAM KONSTRUKSI KERANGKA

Banyak struktur yang terdiri dari kerangka, seperti misalnya kuda-kuda atap dan balok-balok warren. Tiap batang dari kerangka tersebut akan mengalami tegangan dan re-gan8an seperti telah dibicarakan dalam BAB l. Untuk menentukan tegangan pada tiapbatang, pertama-tama harus dihitung besarnya gaya, dan hal ini dapat dikerjakan denganmengadakan serangkaian uraian dari p;aya-Eaya. Dua cara utama secara analitik untukmenghitung besarnya F;aya1gaya dalam kerangka diperlihatkan dalam contoh-contohsoal 14 dan 15.

Uraian dari titik-titik simpul

coNToH soer, 14Konstruksi kerangka dengan penyangga sederhana AG mendapat beban seperti diperlihatkan dalam Gambar 20(a). Tentukan besamya gaya-gayapada tiap batang dari kerang-ka dan sebut pula apakah gaya dalam batang tersebut dalam keadaan tarik atau tekan(semua sudut miring membentuk sudut 60o dengan horisontal).

12,?40kq

3 lapangan 6 8 meter sehingga panlang bentang = 24 m

GAMBAR 20(a)

PENYELESAIAN

(6120 x 9,8)/1000 : 60 kN; (12240 x 9;8)/1000 : 120 kN.Pertama adalah perlu menentukan besarnya gaya-gaya reaksi di titik A dan G, ya-

itu:

R1 : (60 x t6 f t20 x 8)124: 80 kNRc: 60 + 120 - 80 : 100 kN

Bukan hanya struktur secara keseluruhan harus dalam keadaan setimbang, tetapi tiapbagian dari struktur tersebut harusjuga dalam keadaan setimbang. Sebagai contoh, kalausimpul A "dipotong" tetapi gaya-gaya dalam batang AB dan AC dipertahankan, makabagian ini harus dalam keadaan setimbang (2M = 0, 2V = O, XIl = 0).

Pandanglah titik simpul A [Gambar 20(b)1. Dari pengamatan, untuk menjaga ke-setimbangan harus ada gaya komponen ke bawah untuk mengimbangi gaya 80 kN. Haltersebut dapat dijalankan oleh batang AB, oleh se-bab itu arah dari gaya tersebut dapat

struktur yang Manahan Tegangan Langsung 't 25

ditentukan. Tetapi F6s sekarang akan memiliki komponen horisontal ke kiri yang harus

diimbangi oleh Fa6. oleh sebab itu arah dari F6g dapat diperlihatkan.Syarat kesetimbangan,2V = A

Fo, sin 60" : 80Fes:80 x 2lJ3 =

f

lue'fH :0Flc : Fas cos 60"

: 160/r/3 x 0,5

(sin 60" : ulllZ\

(cos 60' : 0;5):8oUr tN

Catatan: W = O,sebab semua gaya lewat satu titik yang sama. Angka y'3 dipertahan'kan untuk penyedErhanaan perhitungan.

GAMBAR 2O(D)

AC

GAMBAR 2O(c)

,B

It

Bila batang AB memiliki gaya 160l\/3 kN / di titik A,kemudianuntukbatanginiuntuk dapat Jahm keadaan-setimbang harus ada gaya dalam batang AB sebesar

iOiiZ r.N I ai B. Sama juga halnya, harus ada gaya sebesar 99ry1!N di titik C. Gava'gaya ini diperlihatkan dalam diagram akhir dalam Gambar 20(r)'

Tiap simpul secara beruruian dikerjakan dengan cara yang sama' dengan memilih

tiap kali suatu simpul dengan hanya dua gaya yang tidak diketahui'pandanglah simpul il[(Cu*L.r 20(c)1. Fsq harus memiliki komponen ke bawah,

seperti dipeilihatkan, untuk mengimbangi komponen ke atas dari Fsa'

Diuraikan ke arah vertikal, Fs6 cos 30' : (160/J3) cos 30',Fsc: l6o/J3 kN

Duraikan ke arah horisontal, FBo: 060lJ3) sin 30 + (160/J3) sin 30

= 160/V3 kN. Semua ini diperlihatkan dalam Gambar 20(n)

Pandanglah simpul C [Gambar 20(d)] ' F65 harus memiliki- komponen ke atas(atau ke baiah) unruk mengmbangi Fgs dan beban 60 kN. Misalkan bahwa Fsp ada'

lah ke atas dan memiliki uraian gaya vertikal'

F.o sin 60' : 60 - (160lJ3) sin 60'Fr"x J312 - 60 - t@lJ3 x (J3ll2 =

,l

,ai .

Fao

60"crBc

6;12O kg

\

-20.

Fco

6oo il",^/*I

GAMBAR 2O (e)

Thnda negatif menunjukkan bahwa F'gp pada simpul c sebenarnya arahnya adalah kebawah.

.'. F.o:4olJ3 kN kebawah

Ini diperlihatkan secara tepat pada Gamoar 2O(n)Dari pengamatan, FgB haruslah ke kanan. Duraikan ke arah horisontar.

fi r, : 801u/3 + (160, J:) .ot 60" + (40,,\/-r) cos 60: 801\/f + l60rJ3 x 0.5 +40ry 3 i O.S : 180/v 3 kN

: (4Ol\/3) cos 60'+ (40r,/J) cos 60"+ t6olJ3: 200/1 3

FDr :200/J3 kN

271i Strukur yang Menahan Tegangan LangsungEahan Konstruksi dan Struktur Teknik

B

t6ota

60GAMBAR 2O(d)

B 160/Jr D For F----ffi?ffi---\../\

/1

D

A____ffiEc

Fa.

GAMBAR 20 CT)

Ini diperlihatkan pada Gambar 20(n)

Uraian pada simpul-simpul tersebut seringkali dapat disederhanakan, dan dengan la-tihan maka dimungkinkan untuk menyelesaikan persoalan kerangka-kerangka sederhanadengan pengamatan langsung. Sebagai contoh, dalam kerangka ini segitiga gaya dasarakan seperti yang diperlihatkan pada Gambar 20(e). Dengan memandang simpul A lagi,segitiga gaya untuk simpul ini akan seperti diperlihatkan pada Gambai zo(fl. oenginmenggunakan segitiga-segitiga dengan cara yang sruna:

roul-8o :?1.13 ,^ .Fea : 160/V3 kN

FA(180 : L{JtFe< :80/J3 kN

Sisa dari persoalan pada contoh soal 14 sekarang dapat diselesaikan dengan carayang lebih cepat. Akan tetapi, akan merupakan latihan yang bermanfaat, untuk menye-lesaikan pertanyaan tersebut dengan cara uraian yang lengkap dari simpul-simpul sebagaipengontrol, haruslah selalu diperhatikan bahwa "caru cepat" seperti terlihat di atas padadasarnya adalah tetap berdasarkan uraian gaya-g aya pada simpul.

Pandang simbul D [Gambar 2o@)1. Pada pengamatan, FpB haruslah 40/m3 kN\(untuk mengimbangi komponen vertikal dari Fqp /).

Jumlah gaya-gaya horisontal akibat Fp6, FpB dan Fpg

GAMBAR 2OG)

Pandang simpul E [Gambar 20(h). Gaya vertikal akibat beban 120 kN dan F6p =l2O - (4olm3) sin 60o = 100 kN.'. FBp haruslah memiliki komponen vertikal ke atas sebesar 100 kN. Dari Gambar 20(e),

100/FEF : tr/lltZFrn:200U3 kN

tooGAMBAR 20(e) GAMBAR 20(m)

Gaya horisontal akibat FBc, FBn dan FBp = 180/V3 + (40/V3).cos 60o - (200/m3)cos 60o

: 180i v/3 + WlJ3) x 0,5 - (200iy 3) x 0,5 : l0lJ3Fec: 100/J3 kN

i'GGAMBAR 2O0)

Pandang simpul F [Gambar 200)l . Dari pengamatan, tiga gayayangbertemu padasatu titik dengan suclut l20o haruslah semuanya sama besar ,i Fnc = 200M/kN. De-ngan demikian semua gaya dalam kerangka tersebut telah diketahui. Adalah merupakansuatu pengontrolan yang bermanfaat untuk meyakinkan apakah simpul G dalam keada-an setimbang. Pandang simpul G [Gambar 2$(k)l,memberikan segitiga gaya-gaya seper-ti diperlihatkan pada Gambar 20(rn). Bandingkan segitiga ini dengan Gambar 20(e\,danbila simpul G dalam keadaan setimbang, maka:

2OOl\/3 _tcf,t.J3 _I J3

yang memang benar demikian. Jadi simpul G dalam keadaan setimbang.Penyelesaian akhir dari soal ini terlihat {glam Gambar 20(n). Catatan: angka

y'3dipertahankan untuk mempermudah perhitungih.

I*j

100

' Oleh sebab itu

b"._

Ft

60"20o/E

2g fuhan Konstruksi dan Strukur TeknikStruktur yang Menahan Tegangan Langsung

Diuraikan ke arah vertikal

29

Semua gaya adalah dalam kilo newton

GAMBAR 2o(r)

soal tersebut dibahas secara luas untuk menjawab beberapa titik yang penting.Dengan melatih diri, maka untuk kerangka-kerangka sederhana dapat diadakun i.ny.[-saian tanpa jabaran hitungan yang surit. pertanyaanpertanyaan 2,3, dan + paaa athirbab ini, merupakan contoh lain yang harus dicoba diselesaikan.

Pada bentuk pertanyaan ini dianggap bahwa semua simpul dapat berputar secarabebas' Anggapan ini sebenarnya jarang tepat, tetapi kalau simpul+impul tersebut tidak-lah kaku benar, maka jawaban tersebut di atas adalah cutup memadai.

Cara dengan potongan-potongan

Kalau hanya dikehendaki gaya-Bayapada beberapa batang saja, maka menggunakan carapotongan adalah lebih cepat. pada cara ini, seluruh rangka ;dipotong" dan hanya satubatang saja yang dikontrol kesetimbangannya. Sebetutnyu

"uru ini aialah rrp.rii yung

telah dikerjakan pada cara uraian simpul, di mana tiap simpul ',dipotong,, secara ber-gantian. Akan tetapi, bila seluruh rangka "dipotong,,, xM haruslah dikontrol.

coNToH soer, 15Konstruksi kerangka seperti diperlihatkan pada Gamba r zr(a) menahan beban miring24'5 Mg pada titik c. penvangga A

"dr[t;;;i-dan penyangga B adalah konstruksi ror.Hitunglah n,ai dan arah dari i*r.ri p"ry"rgg" dan keadaan;;;ili dari gaya daramkerangka batang-batang yang ditandai W, X,V aun Z.PENYELESAIAN

Gaya pada titik C = 24,5 X 9,g = 240 kNReaksi di B harus vertikal, sebab tiap komponen horisontal akan menyebabkan ror

,T*'U;,#I;$,li:"' memiliki to.p"r.r -t"mponen uait nJsontar maupun ver-Ambil momen terhadap titik A (dengan tujuan untuk meniadakan reaksi di.,4 danjuga komponen horisontal Z+O tN): '

e -- -:

240cos30"x2l -ysx12:OVc:420 cos 30o :42qJil2 = jOa tN (keatas)

I vo+ 240 cos 30" - 364 : 0I va:364 - 2oB: 156 kN (ke bawah)Diuraikan ke arah horisontal:

tI

H ^-

240 sin 30" : 0F^: zco x 0.5 : t2o kN (ke kiri)

RA : !/(1202 + 1562) : lll j\

, : :y R6 bekerja dengan sudut c terhadap horisontal, tg a = t56ll20 = 1,3 dan =

"' Ra adtloh 197 kN mengaroh ke bowah ke kii dan membentuk wdut 52o j0, denganhoisontal. Rs adalah 364 kN ke arahwrtiit i, otor.

Untuk menentukan besarnya gaya pada batang-batang W, X, dan y, maka dimi-salkan bahwa konstruksi teranltalersJbut dipotong melewati batang-batang tersebutdan hanya pandang seberah kiri potongan sia seperti pra" cu*ui, 2r(a). Bagankerangka ini haruslah dalam keadaan ,.,irn'Oung.

tetapi cos0:ZV :9 .'. Fr cos 0 : Vt

2,4 2,4Jg +Zn= !842: 0'625

Fx : 156/0,625 : 250 kN z

GAMBAR 2r(a)

Lt

Tetapi berhubung batang X harus juga dalarn kgldaan setimbang, maka ada reaksi padaujung yang lain, sehingga: Fx : a50 kN tai4 7

$trukur yang Menalrd, Tegangea Langsung

PENYELESAIAT{

(2040/1000) Mg x 9,8 : 20 kN; (4080/1000) Mg x 9,8 : 40 kN- 20x6+40x2o - -.:25 kN..e_ gRo:20+N-25 =35kN

Tinjaulah suatu potongao vertikal antara B dan C, seperti diperlihatkanrGambar 22(b) dn gaya.gaya yang bekerja pada arah-arah yang diperlihatkan.

Fy:Ht-Fw-F,sin0: 120 - 195 - 250 x 313.842= 120 - 195 * 195 : -270

atal 270 kN tekan *-

GAMBAR 2I(D) GAMBAR 2r(c)

Untuk mendapatkan gaya pada batang Z, maka potonglah konstruksi kerangka le-wat QQ, seperti diperlihatkan pada Gambar 2l (c).

,V:0, .'.F7:156kN tekan X

Dalam beberapa soal, maka dapat diterapkan secara kombinasi kedua cara-cara ter-

sebut di atas.

CONTOH SOAL 16

Konstruksi kerangka (sebidang) seperti diperlihatkan pada Gambar 22(a),batang'batang

kerangkanya disambung dengan simpul-sendi pada simpul A, B, C, D, E, dan F. Tentu-

kan besarnya gaya-gaya pada semua batangnya pada pembebanan seperti tertera dalam

gambar (Batang AE dan DF tidak dimatikan pada titik persilangannya)'

204Okg

GAMBAR 22(a)

3l30

Ambillah momen terhadap titik P. ZM :0.

&han Konstruksi ddn Struktur Teknik

Juga. .IH : 0.

Fnx2,4--3xVnFs = (3 x 156)/2,4: 195 kN tarik *

pada

c

t

I

I

l./I

t,\y

E

v - -)'

X -1m

) C.etatan:)

CAMBAR 22(D)

y:1,5+3- I = 3,5 m [lihatGambar2z(b)lSin I : 3,1. /82 + 62) : 0,44'l

Cos c : Ot-/tl' + 62) : 0,894Sin B: Z.t-/lt,s, * 22; :6,3cos

'0 : t,ilJ\ts' + 221 :9,6SinT:2lJb'z*22):0,55

Ambillah momen terhadap titik X (sehingga EaYa FAs dan Fpp momennya = 0, sehing'ga tidak berpengaruh).

25x4-2Ox2+F*x3,5:0Fsc : -60/3,5 = - l7.l (berlawanan dengan arah yang diperlihatkan)

atau 17.1 kNe+ tekanDiuraikan ke arah vertikal:

25 - 20* Fro sin u- F ^rsin

a : 0Fnu-Fro:510447:11,2

r Diuraikan ke arah horisontal:

Fs6* Fa6 cos d + Fpp coS d : 0Fn, + Fr, = 17,1/0,894 = 19,l

(l) dan (2) dijumlah:2F nr: 39,4Fre : 15,2 kNr-+ tarik

(l)

b.-*

4O8OkqFro : 19,l - 15,2 : 3 9 kN,-+tarik.

(2)


Sekarang dengan menggunakan cara uraian gaya'Eaya pada simpul'simpul, pandang'

lah simpul B. Diuraikan ke arah horisontal:

Strukwr yang Menahan Tegangan Langsung

PENYELESAIAN

(25511000) x 9.8 : 2,5 kN; (510/1000) x 9,8 : 5 kNLangkah pertama adalah menggambar kuda-kuda tersebut dalam skala, seperti di-

perlihatkan dalam Gambar 23(b\ (l : 200). Batang-batang yang dihitung digambar de-ngan garis tebal. Berhubung akan menghitung besarnya reaksi pada penyangga sebelahkanan (Zp), maka besarnya jarak PR dan LR diperlukan. Hal tersebut dapat diperolehdengan mengukur dan memperhitungkan berdasarkan skala, tetapi dapat juga dihitungsecara mudah dalam kejadian tersebut di.atas (9m dan Orr/: m).

Untuk mendapatkan besarnya Zp, carilah momen terhadap 1,:

V^x 6u/3:2$ x 3+ 5 x 5+ 5 x 7 +2,5 x9vR: Qsl6J 3)13 + 10 + 14 + 9) : 8,66 kN

(ke bawah)

(hal ini dapat diperoleh juga secara konstruksi grafis).

Untuk menggambar diagram gaya untuk kuda-kuda ini [Gambar 23(c)], digunakancara pemberian tanda menurut Bowes, yaitu tiap ruang antara gaya-gaya (gaya dalam/in-ternal batang atau gaya luar/eksternal) ditandai dengan huruf besar IGambar 23(b)1.Dalam diagram gaya [Gambar 23(c)) maka huruf kecil menandai gaya-gaya tersebut disampingnya. Jadi batang X dalam kuda-kuda adalah antara G dan H, dalam diagram gayaditandai sebagai gh. gh akan sejajar dengan batang X dan besarnya sebanding dengan be-sarnya gaya dalam batang X. Adalah penting untuk selalu mencantumkan skala daridiagramdiagram tersebut.

Pembuatan diagram gaya dikerjakan menurut tahapan-tahapan berikut:

(i) Pilihlah sebuah gaya, yang mana arah dan besarnya telah diketahui, dan gam'barlah sebuah garis yang sejajar dengan gaya tersebut dan menurut skala yangbesarnya sesuai dengan gaya tersebut, yaitu gaya 2,5 kN pada puncak kuda-kuda yang terletak-antara huruf A dan B. Dalam diagram, gaya terlihat dengantanda ab. Perhatikan bahwa arah ab adalah sesuai dengan gaya 2,5 kN.

(ii) Pilih gaya lain yang telah diketahui yang terletak dekat dengan A atau B dangambarlah sesuai dengan skala dalam diagram gaya, yaitu gaya 5 kN di atasyang terletak antara B dan C dan yang terlihat dalam diagram gaya sebagai bc.

(iii) lanjutkanlah dari gayayang satu ke gayayar.g lainnya sejauh mungkin, yaitua-b-c-d-e-f, di mana ef adalah reaksi vertikal di perletakan R.

(iv) Gaya luar selanjutnya adalah R1, |ang baik besar maupun arahnya tidak di'ketahui. Akan tetapi gaya tersebut akan terletak antara F dan A. Oleh karenaitu garis fa dalam diagram gaya dapat digambar berskala untuk menunjukkanbesar dan arah dari R1 (3.66 kN menuju, ke bawah ke kiri bersudut 30o terha-' dap horisontal).

LangkahJangkah tersebut melengkapi diagram gaya-gaya luar (digambarkan dengangaris tebal). Semua diagram gaya-gaya untuk suatu susunan gaya dalam keadaan setim-bang harus dalam keadaan tertutup seperti cara yang diperlihatkan. Lanjutkan untukmenggambar diagram-diagrarn gaya dari tiap simpul dari konstruksi kerangka tersebut.

17,1 : F^" sin pF^B: li:llo,8:21,4 kN tekan

Sama halnya,

Uraikan ke arah vertikal:

Fco : 21,4 kN tekan

21,4cos A:F*Fsr:21,4x0,6:12$N_3!tk-

Sama halnya, Fce : 12,8 kN tarikF.o "oil-I F* Gl-

Pandang simpul F. Diuraikan ke arah horisontal (dianggap Fap ke kiri).

Fae : (3,9 x Q894/0,55) : 63 kN tarik.Pandang simpul E. Duraikan ke arah horisontal (dianggap FBp ke kanan).

Fn. cos a : F.o sin 7l'ss: (15,2 x 0,894)/0,55 :24,7 kN tarik.

Penyelesaian secara grafis

Gaya-gayi dalam konstruksi kerangka dapat juga diselesaikan dengan cara grafis. Meski'

pun lazim dilaksanakan dalam praktek, tetapi sebagai bahan ujian boleh disebut sebagai

sesuatu yang "melelahkan". Sebuah contoh sederhana di sini adalah sekedar menun-jukkan prinsip-prinsip yang digunakan.

coNToH soAL 17Kuda-kuda atap dengan sambungan-sambungan pada simpulnya dengan cara sendi dalam

Gambar 23(a) menahan beban seperti diperlihatkan pada diagram. Tentukan baik secara

gafis ataupun analitis, besarnya gaya-Eaya dalam batang W, X, Y, Z dan nyatakan apa-kah gaya-gaya tersebut bersifat tarik atau tekan.

b.-

GAMBAR 23(a)

/5

Bahan Konstruksi dan Strukttr Teknik

GAMBAR 23(D)

(v) Pilihlah sebuah simpul yang hanya memiliki dua gaya yang tidak diketahui,yaitu simpul R.

(vi) Pada diagram gaya, de telah tergambar, seperti halnya ef. Gambar garis sejajardengan FK (horisontal) lewat f. Titik k harus terletak pada garis ini.

(vii)Untuk menutup diagram tersebut, kd haruslah sejajar dengan KD dan hanyadapat digambarkan pada satu tempat saja, sehingga dapat menentukan titik k.

Dengan langkah tersebut diagram untuk simpul R tertutup sudah, sekarang arah dan: besar dari fd dan kd dapat diukur berdasarkan skala bila diperlukan. fuah dari fd dan

kd mengikuti diagram gaya seperti halnya yang terdahulu dan harus ditandai padakuda-kuda pada R,bukan pada diagram gaya.

b,-

Stru k u r yang Mendtan Tegangan Langsu ng

Untuk simpul CDKJ maka diagram gaya adalah cdkj, yang akan memberikan besar-nya gaya-gaya pada simpul tersebut.

Penyelesaian dari simpul-simpul HBCJ dan GHJKF akan memberikan besarnya se-luruh gaya dalam batang seferti yang ditanyakan dalam soal ini.

Ternyata titik g berimpit dengan titik f, yang berarti tidak terdapat gaya pada ba-tang GF.

Jawaban, diukur berdasarkan skala dalam Gambar 23(c) adalah:

Fw: hg :0.F, : gh : 9,8 kN tekanFv : hj :5,64 kN tarikFz : cj : 9,9 kN tarik

Demi mempertinggi ketelitian, maka diagram gaya harus digambar dalam skala yangbesar, sedikitnya dua kali lebih besar dari yang tergambar dalam Gambar 23(c).

TEKLJK PADA BATANG-BATAIYG TEKAN (Beban aksial)

Bila gaya pada sebarang batang dari suatu konstruksi kerangka rnengalami beban aksialmaka batang tersebut akan mengalami tegangan langsung. Pada gaya-gaya tarik, untukmendapatkan besarnya tegangan tarik adalah dengan secara langsung membagi bebandengan luas penampang. Pada batang panjang yang langsung yang mengalami tekan,ada kecondongan untuk mengalami tekuk, dan besarnya beban maksimum yang menye-babkan tekuk ini mungkin akan lebih keeil dari beban boleh akibat tegangan langsungsaja.

Teori Euler untuk batang tekan yang paniang \Teori Euler menunjukkan bahwa pada batang tekan di mana kedua ujungnya adalahsendi-sendi, maka beban tekukPe = TnzEI)1L2, di manaE adalah modulus elastik daribahan, / adalah momen lembam minimum terhadap sumbu pusat luas penampang, danI adalah panjang efektif dari batang tekan tersebut. Penjabaran dari persamaan tersebutdi atas adalah di luar lingkup buku ini (llhat Theory of structures oleh M.J. Smith andBrian J. Bell dalam seri penerbitan ini).

Momen kedua luasan

Penentuan besarnya momen kedua luasan terhadap sumbu pusat adalah perlu untukmenentukan besarnya tegangan dari tiap batang struktural yang mengalami lentur. Be-sarnya momen kedua luasan terhadap sumbu pusat sama dengan momen lembam daripenampang tersebut dan biasanya dinyatakan dengan tanda /. Akan tetapi di sini dite-gaskan bahwa momen lembam dipergunakan pada ilmu gaya dinamika dan juga dibahas

'pada buku Matematika Terapan (applied matl,rematics) yang baik. Berhubung momenkedua luasan untuk tampang-tampang sederhana dibutuhkan pada analisa struktur,maka beberapa peraturan baku diberikan di sini:

L Untuk momen kedua luasan /" dari suatu persegi empat, lebar D, dan kedalam-an d, lewat sumbu pusat (Gambar 24), I" = bdi ll2.

3534

Skala 10 mm = 2 kN

GAMBAR 23(c)

s3736 Bahan Konstruksi dan Struktur Teknik

Sumbu x

GAMBAR 24 GAMBAR 25 BAR 26

2. untuk momen kedua luasan sebarang luas penampang melintang.4, I, terhadapsumbu XX,berlarakT dan sumbu pusat dan sejajar dengannyal"= I, - A.y,atau I* = I" I Ay2 .

Misalnya untuk menentukan momen kedua luasan segi empat terhadap sisi alas-nya (Gambar 26):

r :bd''12A:bd y:dl2I,.: I;r\ At'

d2: 12tbdx-: b(13(#*il:T

yang nlerupakan suatu nilai lain yang cukup dikenal.3. Besarnya momen lembam adalah sama dengan luas penampang dikalikan de-

ngan kuadrat jari-jari girasi: 1 = Ak' .Arti dari "jari-jari girasi" lebih berkaitandengan persoalam Ilmu Gaya Dnamika (dynamics) daripada struktur, tetapibesarannya diperlukan untuk menentukan tegangan boleh dari batang-batangtekan.

coNToH soAL 18Penampang yang diperlihatkan dalam Gambar 27(a) dipergunakan sebagai suatu batangtekan sepanjang 7 m. Tentukan momen kedua luasan dari penampang terhadap tiapsumbu pusatnya danjuga nilai banding langsing dari batang tekan tersebut.

Itrukrur yang Menahan Tegangan LangsunE

PENYELESAIAN

Untuk menentukan 1 dari suatu tampang gabungan, cara paling baik yang lazim adalahdengan memisah-misahkan penampang tersebut ke dalam bagian-bagian yang sederhanadan dirangkum dalam daftar, yaitu:

Bagian( x l0-r) (x t0 r)

AI x l0 2) (x l0 I)

Ai(xl0') ( x t0-.) t , 1o-'ttl

lxl0 el

25 5 125 2.5 1t2,5 26q4 l211 20 161,3

I 5 t25 11.5 2181,5 6s1oy' 2) 661r3

l5 5 75 32.5 2431$ I 56; t7,3 224468

2325 t493'lS '692111

E4326\4

Lajur 5: x adalah jarak dari titik berat dari bagian yang ditinjau terhadap puncakdari seluruh penampang. Kedalaman dari titik berat adalah (2 lajur 6)i(> lajur a)atau kedalaman dari titik pusaty = (4.937,51325) X 10 = 152 mm.

Laiur 7: lbagian adalah 1 terhadap titik berat dari'bagian penampang yang dipan-dang.

Lajur 8: I add,ahjarak dari titik berat dari bagian penampang yang dipandang ter-hadap titik berat seluruh penampang.

I terhadap titik berat:l. Untuk flens atas (I"'+2. Untuk badan3. Untuk flens bawah

501,963 x 106

Jumlah tersebut adalah momen kedua luasan terhadap sebuah sumbu pusat hori-sontal. Tentu saja hasilnya akan sama bila ) lajur 7 ditambahkan pada X lajur 9,

atau untuk penilmpang, sumbu horisontal I. = 501,963 X 106 mma

/,Jari-jari girasi k, : JU lA)

I ( sot ,gol x 106\: V\-zs; 'o'-/

- 124 mm:

Nilai dari / terhadap sumbu vertikal mudah didapat, karena itu adalah merupdkanjumlah 1 dari tiga segi empat [Gambar 27(b)l .

Sumbu vertikal /" :

,iEl ,.-,,gqr

350mm

lolGAM

At',) : Q60,4 + 20 16113) x lOa : 204,2.17 x 106: (6510,4 + 661ri) x lOa = 711716 x 106= (15613 +22446181 x l0a:226u03 x 106

__ruo,',50mm

(S x tsi *25 x 53 *5, 25'\ * too\12 t2 t2)('t+OO,: +260i4+ 6510,4) x lOa81,771x 106 mma

5Omm

I

GAMBAR 27(a) GAMBAR 2?(b)

39ll Bahen'lbnswksi d.n Struktur Teknik

. !. l/81'771x106\,rn-Jau grrasr *" :

J\_ZS;tOr_7= !Q2 rnm

Nilai banding langstng untuk batang tekan adahh perbandingan dai poniang batangdcngan iari-iari girasi yang terkecil, yaitu nilai banding lanpi4g 70C[/50;2 = 139.

coNToHsoAL 19

scbutkan runrus Euler untuk batang-batang tekan yang .panjang. Definisikan tanda-tanda yang digunakan dan diberikan dasar anggapan, dari mana rumus tersebut didasar-kan. sebuah tabung dari logam paduan dengan garis tengah eksternal 20 mm dan garistcngah lqbang internal 12 mm, panjang 3 m, bertambeh panjang I mm akibat bebantotap aksial 450 kg. Dengan menggunakan rumus Euler hitung beban hancur batang inirobagai batang tekan di mana ujungnya adalah sendi.sendi.

}ANYELESAIAN

Rumus Euler:

o _nzEI'e--F

Anggapan-anggapan pada saat penjabaran rumus ini adalah:

(a) batang.tekan tersebut sebelumnya lurus(D) beban bekerja secara aksial(c) batang tekan tersebut sangat panjang dibanding deagan ukuran penampangnya.(d) anggapan-anggapan yang dibuat dalam teori lentur totap berlaku.

lurs penampang melintang dari tabung : z(102 - 62r :642 mm2gangan dalam tabung - 450-ll9'8 N/mm2

. E_ tesansan:ot9lr,t,ry_2o7ooo N/mm2regangan64n"ITtUntuk harga / dari tabung terhadap sumbu pusat:

nilai / dari lingkaran terhadap garis tengahn yr: nDn =A mm'

Strukur yang Menahan Tegengan Langsung

Rumus Euler didasarkan pada panjang efektif dari batang tekan .L. Selanjutnyapanjang efektif ini tergantung dari konstruksi kedua ujung dari batang tekan tersebut.Dalam contoh soal 19 kedua ujung adalah sendi, dalam keadaan ini panjang efektif ada-lah sama dengan panjang sesungguhnya dari batang tekan tersebut. Gambar 28(a),(D), (c), dan (d) memberikan hubungan antara panjangsesungguhnya dan panjangefek-tif untuk beberapa tipe konstruksi ujung-ujung yang berbeda-beda.

28(a) GAMBAR 28(D) GAMBAR 28(c) GAMBAR 2E(d)

(a) Kedua ujungnya sendi: yutu ujung-ujungrya bebas untuk berubah kelandaiantetapi semua gerakan yang lain terhalang. Paniang efektif L = paniang tekan'annya L.

(b) K&n uiungnya terjepit: yaitu ujungnya terjepit secara kuat sehingga semuagerakan terhalang. Panjang efektif I = (panjang sebenanya [)12.

(c) Sau ujungnya teriepit, ujungnya yang lain sendi. Panjzng efektif l, = (panjangsebenarnya Dl\/2 = 0.7 t.

@) eru ujungnya teiepit, ujungnya yang lain bebas sempunu. Paniang efektif L =2 X paniong sebenarnya l.

Dalam praktek angka-angka ini hanya dapat dipakai sebagai ancar-ancar terhadappanjang efektif, sebab umumnya adalah sulit untuk menentukan secara teliti derajat ke-terjepitan pada ujung sebuah batang tekan.

coNToxsoal 20Sebuah paduan logam berpenampang persegi 24 mm X 50 mm dipergunakan sebagaibatang penahan tekan yang kedua ujungnya terjepit, dan ternyata menahan beban sebe-sar 1,1 Mg sebelum mengalami tekuk. Dengan anggapan bahwa rumus Euler berlaku,maka berapa panjang dari batang tekan tersebut? E dari bahan paduah yang diperguna'kan adalah 180 kN/mm2. Berapa beban yang dapat ditahan batang tekan tersebut kalau(a) ujung yang satunya adalah sendi; (D) kedua ujungnya sendi-sendi?

. PENYELESAIAN

.Iterkecil dari batang tekan : 2#: 57600 mmao _n2EI,"--T-

IrGAMBAR

untuk tabung : fi{zon - l2nl:2176n mmz

n2 x (2070001n1x2176n' .'. Beban luncur d =

b-

3000:493 N (5013 kg)

-*

itrukrur yang Menahan Tegangan Langsung 4l40 Bahan Konstruksi dan Struktur Teknik

panjangerektir L: " l(y\:, /ft89fj1!00\v \P"/ "v \-l;rreB-/: 3100 mm : 3,1 mUntuk batang tekan yang terjepit kedua belah ujungnya, panjang efektif = (panjangsebenarnya)/2.

.'. panjang sebenarnya : 92n,(a) Bila suaut ujungnya adalah sendi, panjang efektif, : 6,21J2: 4,3g rB

luga I : Ak2

frxA:+/ L\2

, * ,(.u,/

di mana P = beban sebenarnya yang menyebabkan batang tekan patah, f ,y = tegngmboleh langsung maksimum, ,4 = luas penampang melintang, L = paniang efektif dari ba'tang tekan, dan k = jari-jari girasi yang terkecil dari penampang melintang.

a dikenal sebagai bilangan konstan Rankine dan tergantung darijenis bahan batangtekan. Dalam persamaan, a = f1ylnzE. Bagaimanapun juga, akibat adanya bilangan-bilangan tidak tetap maka diambil suatu bilangan konstan berdasarkan pengalaman.Bilangan konstan Rankine dapat diberikan dalam tabel-tabel untuk batang'batang te-kan yang kedua ujungnya sendisendi, disesuaikan dengan keadaannya maka panjangefektif Z harus diterapkan dalam rumus (tergantung dari konstruksi ujung'ujungnya).Cara lain adalah, memberikan bilangan konstan Rankine untuk keadaan konstruksi'ujung yang berbeda-beda, dalam keadaan ini Z adalah panjang sebenarnya dari batangtekan dan Llk adalahnilai banding langsing.

coNToH solr 21Kuda-kuda atap simetrik diperlihatkan dalam Gambar 29(a) dikonstruksi dari balok-balok kayu ukuran 150 mm X 150 mm, dan dimuati seperti yang diperlihatkan. Bilategangan-luluh untuk kayu yang digunakan adalah 35 Nlmm2 dan bilangair konstanRankine untuk batang tekan yang ujung-ujung sendi-sendi adalah ll3000, teliti apakahbatang X, Y dan Z memenuhi syarat.

PENYELESAIAN

Pembebanan: (18350/1000) X 9,8 = 180 kN.

Pertama adalah perlu untuk mengetahui besarnya gaya-Eaya dalam batang X,Y,.dalr Z.Reaksi di A = reaksi di B = 2,5 X 180 = 450 kN.Segitiga gayagaya adalah segi tiga 30o - 60o, sehingga gaya di Y = 450 X 2 = 900

kN tekan, dan gaya di X = 450\,/3 kN tarik.Untuk gaya di Z, pandang potongan pada kuda-kuda sepanjang QQ sePerti diper'

lihatkan pada Gambar 29(r). Ambil momen terhadap A:

D _ fr,rA' - rTTtt,t;ATlTEt)

D - frxA' - Afiy'{Em474

o _o'x 180 x 57600'" - ----T38or = 5,4 kN (Q55 Mg)C.atatan : adalah sama dengan separo beban kalau kedua ujungnya terjepit.

(D) Bila kedua ujungnya adalah bendi-sendi, panjang efektif = panjang sebenarnya.

P": t,t x 9,8 x a**2i-:2J kN (0,275 Mg)(adalah sama dengan seperempat beban kalau kedua ujungnya terjepit).

Dalam contoh soal no. 19 dan pada halaman 35 diberikan anggapan.anggapan darirumus Euler. Dalam prakteknya anggapan-anggapan ini jarang berlaku dan ada sedikitlentur terjadi pada batang tekan, karena beban mungkin tidak konsentrik atau kolommungkin tidak sepenuhnya lurus, sehingga menyebabkan tegangan lentur. Teori Eulerjuga gagal untuk menyertakan tegangan luluh dalam perhitungannya.

Beberapa rumus empiris telah dikembangkan untuk kegunaan praktis.

Rumus Rankine - GordonBila P adalah beban sebenarnya yang menyebabkan batang tekan patah,p" beban yangdiberikan oleh rumus Euler yang menyebabkan tekuk dan P6 adalah gaya yang menye.babkan tegangan tekan gagal langsung, makaPharusnya lebih kecil daripadap, maupunPrt untuk batang tekan yang panjang. JugajikaP" adalah besar, makap,x haruslah kicilatau sebaliknya. Persyaratan-persyaratan ini dicakup oleh ungkapan :

lllP P"' Ptr,

atau

' teluPl Pry=fry' oan

i

| _Pilr*P" _P P"P1E

D- Ptk' - Tiv;-P"o _nzEI, "--T?-

| + (P*-lP")Pg

L-.

4342 Bahan Konstruksi den Struktur Teknik

r80 lo

GAMBAR 29(a) GAMBAR 29(D)

180 x 5/3 * 180 x l}l3 - Frx (213\ x (10/v/3).,: Q*@ x tl3: 135/3 kN tekan

Untuk batang X tertarik

f*: (450n/3 x 1000)/(150 x 150) : 34-6 N/mm2hal mana adalah cukup memenuhi syarat dengan tegangan luluh 35 N/mm2

Untuk batang Y tertekan, dari rumus Rankine:

p- 35x150x150

CONTOH SOAL 22

TUlis rumus Euler yang sesuai untuk mendapatkan beban hancur pada batang tekan

sendi-sendi dengan luas penampang serba sama dan beban aksial. Terapkan rumus ini

pada batang tekan yang ierUuui dari baja lunak (E = 205 kN/mm2 dan tegangan luluh

iSS NTmm; dan gambar kurva yang menunjukkan hubungan antara tegangan langsung

kritis yang diperhitungkan dan nilai banding langsing. Tunjukkan bagaimana anda harus

merubah kurva ini sehingga memberikan beban gagal sepanjang seluruh jarak-jarak nilai,

dengan menggunakan rumus Rankine.

PENYELESAIAN

Rumus Euler:

n2 EIP": -F,. p" n2EAkzr": v AiJ-.. tt2 EJ"-ON

- TE2 x 205000f": "__:_:::::: N1mm2

Sfruk a r yang Menahan Tegangan Langsu ng

atau

Jika E :205 kN/mm2,

beban boleh

1000L:-mmrJ3

Dari sini, dengan nilai-nilai/" dari 0 sampai dengan 300 Nimm2I +#(z/k),

,2 100000000 t2 / 150 x 1503 150227 A l2xl50xl50 12

f(N/mm2): o lo 20 30 40 50Llk: m 450 318 2ffi 225 201f(N/mm2): l0o 110 120 l3o

60t84

160

l2

70 80 90r70 159 150

t70 180 190t09 106 103

270 28087 85

35x150x150 Llk: 142 136 130 125

f(N/mm2): 200 210Llk: 101 98

C.atatan: bila Llk = O,fe = *.Hasil-hasil ini diperlihatkan dalam bentuk grafik dalam Gambar 30. Tegangan luluh

adalah 235 N/mm2 dan karena Llk tidak mempengaruhi ini maka tegangan gagal lang-sung akan seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 30. Tegangan sebenarnya di mana

batang tekan hancur harus terletak di bawah garis ini dan oleh karena itu dengan meng'anggap:

140 150t20 tt6

290 30084 82

220 230 240 250 26096 94 92 90 88

1ll_

f"' ftnl#

P:- | 100x106 12ll-y-y_._3000 27 " 150,35x150x150

I + 0166: 4740A0 N : 474 kN

Batang Y menahan 900 kN dan untuk itu membutuhkan dua948 kN).

Untuk batang Z tertekan:

I,:20000/9 mmI 200002 x 12

' * rooo' -gz, l5o- : I +038 : l;88

I Beban boleh B = 474 X (1,66/1,88) = 429 n*. BatangZ menahan 135V3 = 234 kN, oleh karena itu satu

memenuhi syarat.

batang (beban boleh

I

ff: {

| + t+&lk)zft'r.TI. L

mw@ryI

(/-Lr,

batang adalah cukup

44

(I,rlrcr uraian rumus

Bahan Konstruksi dan Struktur Teknik Struktur yang Menahan Tegangan Langsung

l(N/mm2): 180 190 200 210 22o 210 235Llk: 41;9 42;l 36;2 29;9 22;6 l2;8 0

Karena rumus-rumus Rankine dan Euler untuk memberikan tegangan hancur yangsama.

45

Rankine pada hal 40-l).

Tegangan't{/mm2

300

Tegangan langsung

-zEuler

L-

'n2 E .ftt&/kr: t + aow(Lrkr2: ft2E-_

f,-n'Eu

4oo '"" ,:l;:,ft"i1;,GAMBAR 30

Bandingkan ini dengan:

, -n'E," _ ,r1Or,

Dapat terlihat bahwa rumus Rankine akan memberikan suatu tegangan yang lebih ren-dah dibandingkan dengan rumus Eurer untuk tiap nirai L/k yang aiueirt

l. Bahan Konstruksi dan Struktur Teknik

GAMBAR 32

irukur yeng Menahan Tagnpn Langang 41

5. Tentukan semua gaya Pada semua batang'batang dari rangka yang terlihat pddac.rambar 35 dan nyatakan apakah batangtatang tersebut tarik atau

tekan.

6. Gambar 36 menunjukkan rangka dengan konstruksi sendi-sendi pada semuasimpulnya(semuasimpuldinyatakandengan-huruf)disanggapadaAdanB.Tentukanbesarnya kelima gaya yang bertemu pada titik u1 bila rangka tersebut menahan

beban

sepertiterlihat dalam gambar.(HitungbesarnyagayadiUlL3dengancarapotongan.potongandenganpemotong.

an vertikal lewat U2 dan U3)'

| (icmbar 3l menunjukkan suatu rangkaian gaya'Baya koplanar yang bekerjaprrh ilnlu bidang datar. Hitung besar, arti, arah_dan kedudukan dari gaya pengimbang'

,r Ukuran dan pembeba"nan dari konstruksi kerangka diperlihatkan pada GambarI J llet6ng DE adalah vertikal dan batang BD adalah horisontal' Tentukan besarnya gaya

grrth tlapiiap batang dan tentukan secara grafis apakah gaya tersebut tarik atau tekan'

]

4O8kq

GAMBAR 31

GAMBAR 33

3.TentukanbesarnyaSemuagayapadasemuabatangdarikuda.kudasepertiter.lilrat dalam Gambar 3r ian nyatak;; apakah batang-batang tersebut tarik atau tekan'

(Catatlahkesamaannyadengancontohsoalno.l4,hanyasajadisinisegitigagaya.Sayaakan merupakan segitiga 45o).

4.TentukanEaya.gayapadasemuabatangpadakuda-kudayangterlihatpadaGambar 34 dan nyut"t un upukah batang-batang tersebut tarik atau

tekan'

l&tatan: Segitiga guyi'guyu akan berupa segitiga 3-4-5)'

GAMBAR 36

7. Gambar 37 adalah diagram sketsa dari konstruksi rangka sebidang hubungansendi.sendi disangga pada titik A dengan penyangga sendi dan di B dengan penyangga

rol yang terletat lada bidang yang birsudut 45o dengan horisontal' Tentukan reaksi'

reaksi besarn ya gaya{,lay' patla-batang X dan Z dan tentukun pula apakah bersifat tarikatau tekan.

L2 [;2.2as,rsLr L4 L5lE,3'6org 6 lapangan sama besar, masing+nasing sepanjang 3 m = 18 m

2O4O kg

5 lapangan sama besar,masing

#

49a8 Bahan Konstruksi dan Struktur Teknik

8. Kuda'kuda ataP dengan simpul-simpul konstruksi sendi seperti dalam Gambar38 menahan beban seperti diperlihatkan dalam diagram. Tentukan, secara grafis, semua8rya pada semua batang dan nyatakan secara jelas apakah batang-batang tersebut meng-alami tarik atau tekan-

lhon Konstruksi dan Struktur Teknik

Jika beban aman untuk batang A adalah 225 kg, maka berapa besarnya beban amanuntuk batang-batang B dan C, dengan anggapan bahwa faktor keamanan adalah samauntuk tiap-tiap kejadian?

12. Kuda-kuda yang diperlihatkan pada Gambar 4l disendikan pada perletakanyang teguh di B dan diikat dengan dawai baja lunak dari C ke A. Berapa besarnya garistengah dawai AC yang seharusnya.

, /td" = 205 N/mm2

19.38O kglml

GAMBAR 41

GAMBAR 3E

9. Tentukan momen lembam dari penampang sepertiterhadap sumbu horisontal lewat titik beratnya.

[0. Tentukan momen lembam dari penampang sepertiterhadap sumbu horisontal lewat titik beratnya.

teflihat

terlihat

pada Gambar 34

pada Gambar 40

f*a5OOmm

GAMBAR 39 GAMBAR 40

I l. Sebutkan anggapan dasar yang dipakai untuk menjabarkan rumus Euler untukmuatan kritis untuk batang tekan yang langsing dan $efinisikan istilah: "nilai bandinglangsing".

Tiga batang baja, A, B dan C berpenampang bulat, digunakan sebagai batang tekansebagai berikut:

Batang A: garis tengah 8 mm, panjang 300 mm, kedua ujungnya sendi-sendi.: Batang B: garis tengah 16 mm, panjang 1200 mm, kedua ujungnya tercepit.Bstang C: garis tengah 12 mm, panjang 750 mm, satu ujungnya sendi sedang ujung

yang lainnya adalah jepit.

lL------ I

20mmI

Bar 3

STRUKTUR YANG MENAHAN LENTUR

Peoa banyak batang struktur tegangan kritisjustru timbul akibat lentur dari batang ter-sebut daripada diakibatkan oleh tekanan langsuqg atau tarik. Sebuah contoh umum ada-lah balok sederhana. Sebelum mempelajari keadaan tegangan yang diakibatkan, adalahperlu untuk menganalisa balok di bawah suatu pembebanan tertentu dan menentukanmomen-momen lenturnya. Momen lentur pada sebarang titik di balok adalah merupakanfungsi dari gaya geser pada titik tersebut, yang selanjutnya merupakan fungsi dari beban.Oleh sebab itu adalah perlu untuk mempelajari momen-momen lentur dan gaya gesersecara bersamaan. Pembahasan tentang keadaan-keadaan tegangan akibat geser akan di-jumpai dalam Bab 4.

DIAGRAM MOMEN LENTI.]R DAN GAYA GESER

Gaya geser

Besarnya gaya geser pada sebarang penampang dari batang struktur adalah merupakanjumlah aljabar dari gajagayapada saa fihak saia dari penampang yang ditinjau'

Momen lentur

Besarnya momen lentur pada sebarang penampang dari sebuah struktur adalah merupa-

kan jumlah aljabar dari semua momen pada saru filwk saia dari penampang yang ditin'jau terhadap penampang tersebu[. Harga maksimum dari momen lentur terjadi pada titikdi mana gaya geser adalah nol.

Variasi dari gaya gesel dan bidang momen yang bekerja pada sebuah batang dapat

ditunjukkan secarajelas dengan diagram, seperti dalam contoh'contoh soal 23 dan24.

CONTOH SOAL 23

Tentukan letak dan besar momen lentur maksimum untuk batang yang mendapatbeban-beban titik seperti diperlihatkan pada Gambar a2(a)- lCatatan: gaya'gaya padabalok diperlihatkan pada Gambar 42(b)\. Gambarlah diagram bidang momen dan dia'gram bidang gaya geser untuk balok ini.

&rukwr yang Menahan Lehtur

PER;irS'r.' fitr",^, r i/ti.,,,. i,,-.I{ ?,)J, V,,nlikma ll{usrajab.

$I"IftABAYAl4Mq

PENYELESAIAN

Untuk mendapatkan reaksi di A, ambillah momen terhadap B:

(8 x 9,8)x 13 *(16 x 9,8) x l0*(14 x 9,8) x 3: Re x 1578,4 x 13+ 156,8 x l0* 137,2 x3 : 15 Rr

Ro : 2oo kNRu : 78,4 + 156,8 + 131,2 - 200 : 172,4 kN

Maka, berdasarkan defltnisi, besarnya gaya geser pada

200 kN pada sepanjang titik-titiknya.Antara C dan D jumlah dari gaya-gaya di sebelah kiri

kN sepanjang titik-titiknya.Antara D dan E jumlah dari gaya'gaya di sebelah kiri E adalah 2OO * 78,4 - 156,8

= -35,2 kN sepanjang titik-titiknya.Antara E dan B jumlah dari gaya'gaya di sebelahkiri Badalah2O0 -78,4 - 156,8

- 137,2 = - 172,4 kN sepanjang titik'titiknya. Hasil'hasil ini diperlihatkan pada Gam-bar 42(c).

iil ,II I,. 1'6T

i:ar l.

;ffi,GAMBAR 42(b)

balok antara A dan C adalah

D adalah 2OO - 7 8,4 = l2l ,6

Dapat terlihat bahwa gaya geser padapenampang balok antara E dan B dapat se'cara lebih mudah ditentukan dengan men-jumlah gaya-gaya di sebelah kanan dari E,yaitl 172,4 kN, hal mana sama besarnya de-ngan jumlah gaya'Eay^ di sebelah kiri E teta'pi tanpa tanda min. Sama halnya, jumlahdari gaya-gaya di sebelah kanan D adalah172,4 - 137 ,2 = 35,2 kN. r

Jadi untuk mendapatkan hasil yang kon'

sisten, adalah perlu untuk menggunakan per'janjian tentang tanda, yang selalu harus di'perhatikan setiaP saat. Untuk gaya geser bilamenjumlah gayz-gaya di sebelah kiri titik,gaya-gaya ke atas harus dipandang negatifdan gaya-gaya ke bawah Positif.

I

GAMBAR 42(c) -172 4

764,8GAMBAR 42(d)

GAMBAR 42(a)

L.- {L

Satuan kN

53Bahan Konstruksi dan Strukt.tr Teknik

Akibatnya, lazimnya diagram-diagram gaya geser untuk balok sendi-rol memilikititik tertingginya di sebelah kiri dan akan menurun ke titik terendahnya di sebelahkanan. Juga diagram dipandang sebagai positif bila terletak di atas dasar dan negatif biladi bawahnya.

Pandangan sekilas pada Gambar 42(c) menunjukkan bahwa gaya geser sama dengan0 pada titik D. Sehingga momen lentur maksimum ada di titik D.

.'. Momen lentur maksimum = momen lentur di D, yang sesuai dengan definisi darimomen lentur maksimum = 764,8 kNm pada titik D.

200 x 5 -78,4 x 3:764,8 kN m

atau momen lentur maksimvm= 764,8 k Nm pada titik D.

" Untuk menggambar diagram bidang momen untuk seluruh balok, maka pandangsebarang penampang X antaru A dan C, berjarak x dari A (lihat Gambar 42(b)).

Momen lentur di X = 200x.Antara A dan C, x berkisar antara 0 sampai 2 dan oleh sebab itu bidang lentur naik

secara merata dari 0 sampai 400 kN m, seperti diperlihatkan Gambat 42(d).Bila penampang Y adalah antara C dan D, berjaraky dari A, maka momen lentur di

y = 2OOy -78,4 (y -2). Antara A danD,7 berkisar antara2 sampai 5 danolehsebabitu momen lentur berkisar antara 400 k Nm sampai 764,8 kN m.'

Sama halnya, varihsi dari D ke E akan berupa garis lurus, momen di D adalah764,8k Nm dan momen di E adalah:

200 x 12-78,4 x 10- 156,8 x 7 : 518,4 kN m

Momen di B akan menjadi 0 lagi. Hasil-hasil ini diperlihatkan pada diagram momen len-tur pada Gambu 42(d).

Iagi-lagi, momen lentur di E dapat secara lebih mudah dihitung dengan jalan meng-ambil momen-momen dari gaya sebelah kanan dari E, yaitu:

. momen lentur diE= 172,4 X 3 = 517,2 kNm(perbedaan kecil dengan 518,4 adalah akibat pembulatan dari angka-angka) '

Oleh sebab itu, bila menghadapi momen-momen lentur, hasilnya ternyata sama apakahmomen-momen dijumlah ke sebelah kiri atau ke sebelah kanan dari iitik.

Akan tetapi, perjanjian tentang tanda-tanda ditrapkan terhadap arah dari momen-

momen dan selalu diperhatikan. Perjanjian ini adalah, bila menjumlah momen-momensebelah kiri dari titik, momen-momen searah dengan jarum jam adalah negatif danmomen-momen berlawanan dengan arah jarum jam adalah positif.

Diagram momen lentur harus selalu digambar dari "permukaan balok yang terta'rik". Suatu p'enjelasan yang lebih menyeluruh tentang ini diberikan pada hal 64. Juga,

, diagram dianggap positif bila di bawah dasar dan negatif bila di atas. Adalah sangat pen-ting memahami perjanjian tentang tanda dan selalu menerapkannya, khususnya untukmemahami analisa struktur yang lebih bersifat laniutan-

b-

Stukrur yang Menahan Lenatr

Beban-beban terbagi rata

Beban-beban dalam contoh soal 23 diambil sebagai muatan-muatan titik. Dalam prak-

tek adalah tidak tepat kalau sebarang beban akan diterapkan pada suatu titik yang kecil,

tetapi beberapa jenis muatan mendekati hal tersebut - muatan-muatan kolom, mesin-mesin berat dan lain sebagainya - dan dapat dianggap sebagai muatan-muatan titik.Beberapa tipe muatan yang lain bagaimanapun juga, tersebar pada suatu permukaan

yang luas dan harus diperlakukan sebagai muatan terbagi rata (misalnya, pelat lantai be-

ton-dan lapisan-lapisannya, cairan yang disimpan, bahan berupa butiran dan lain seba-

gainya). cara untuk menentukan diagram momen lentur dan diagram gaya-gaya geser

untuk balok yang menahan beban terbagi rata adalah sama halnya seperti muatan titik,

tetapi diagram akhirnya akan berujud lain.Dalam pertanyaan-pertanyaan di bawah ini beban-beban akan diberikan dalam

satuan-satuan gaYa.

CONTOH SOAL 24

Sebuah balok dibebani dengan muatan terbagi rata seperti terlihat dalam Gambat 3a@).

Gambarlah diagram-diagram momen lentur dan gaya gesernya dan hitung momen len-

tur maksimum.

.PENYELESAIAN

Untuk menentukan besarnya reaksi-reaksi, adalah perlu untuk mengambil momen tet-

hadap salah satu penyangga-penyangganya. Bila menghadapi muatan terbagi rata maka

gaya jumlah adalah seluruh beban, dan garis kerjanya bekerja pada titik berat dari mri-atan ierbagi rari tersebut, misalnya - ambillah momen terhadap B (lihat Gambar 43(b):

l8RA: (30 x 12) x 12* (50 x 6) x 3Re:290 kNRB : (30 x 12) + (50 x 6) - 290 :370 kN

Oleh sebab itu besarnya gaya geser di.4 adalah 290 kNPada jarak x metel dari A antara A dan C besarnya Eaya geser adalah 290 - 3gr'-

Oleh sebab itu untuk menentukan titik di mana gaya gesernya adalah nol:

290 - 30xr :0xt : 29Ol3O: 93 - dari A.

(dalam contoh ini, x harus lebih kecil dari 12 m dari A, atau persamaan tersebut di atastidak berlaku).

Karena gaya geser pada sebarang titik adalah fungsi dari x, diagram gaya geser dariA ke C akan berupa garis lurus, memotong garis dasar 92 lt m dari A (lihat Gambara3(c).

Juga gaya geser di B adalah - 370 kN dan diagram gaya gesernya akan berupa garislurus dari C ke B. Gaya geser di C adalah 29O - (30 X 12) = - 70 kN, atau -370 +(s0x6)=-7okN.

s2


GAMBAR 43(o)

titik berat daribeban antara A dan X

titik berat daribeban 5O kN/m

GAMBAR 43(,)

290

GAMBAR 43 (c)

GAMBAR 43(d)

Momen lentur dari suatu titik x meter dari A, antara A, dan c, adalah 290x * (3oxX x 12) = 29Ox - 3Ox2 12, yang akan memberikan kurva parabola.

Momen lentur maksimum akan terletak di titik geser nol, 92 lt m dari A.Momen lentur maksimum 290x9!-30x (9!rlz

1402 kN m

latihan yang baik pada tahapan ini adalah menggambar diagram momen lenturdalam skala dengan menggunakan ordinat jaruk 2 meter. ,

Dari A ke C, momen lentur : 29Ox - OOx2)12Dari C ke B, momen lentur : 29Oy - 30 x l2(y - 6)

- (s0(/ - t2\2)12atau dari B ke c, momen lentur = 37oz - (soz2)12 yang akan memberikan jawabanyang sama dan lebih mudah dihitung.

Hasilnya digambarkan pada Gambar 43(d).

CONTOH SOTC.L 25

Tentukan letak dan besarnya momen lentur maksimum untuk balok yang diperlihatkandalam Gambar 44(a), dibebani dengan beban segitiga berjumlah 150 kN.

Tit

bahan konstruksi dan struktur teknik-184 hal

Documents