bahan ajar 3

Buku

Kerja 3 Diferensiasi Vektor

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Created by: Rahima & Anny

49

DIFERENSIASI VEKTOR

Fungsi Vektor

Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa

dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau , yaitu suatu vektor yang

komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.

Dalam R2, fungsi vektor biasa ditulis dengan,

dalam R3, fungsi vektor ditulis dengan,

Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3

dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan dalam bentuk

fungsi vektor sebagai berikut:

Setelah kita mengetahui fungsi vektor, maka selanjutnya kita pelajari turunan

biasa dari fungsi vektor.

Turunan Biasa

Masih ingat apa saja yang termasuk vektor? Coba sebutkan! Ya, kecepatan,

percepatan, gaya, dan perpindahan termasuk vektor. Sekarang pada kegiatan

belajar ini, kita fokuskan pada perpindahan, kecepatan, dan percepatan.

Pernahkah Anda naik alat transportasi

pada gambar di samping? Kalau pernah,

kemana saja Anda pergi menggunakan

alat transportasi tersebut? Pernahkah

Anda ke Jakarta menggunakannya?

Pesawat yang terbang dengan rute

Padang-Jakarta berarti pesawat

Materi pokok pertemuan ke 5 : 1. Turunan biasa fungsi vektor

URAIAN MATERI

Buku




50

tersebut melakukan perpindahan dengan titik awalnya Padang dan titik

akhirnya Jakarta. Pesawat melakukan perpindahan karena pesawat memiliki

kecepatan dan percepatan.

Hubungan apa yang kita dapatkan dari perpindahan, kecepatan, dan

percepatan? Kecepatan merupakan perpindahan benda tiap selang waktu

tertentu atau bisa dikatakan turunan dari perpindahan sebagai fungsi waktu.

Percepatan merupakan hasil bagi antara perubahan kecepatan dengan selang

waktu berubahnya kecepatan tersebut atau dapat dikatakan turunan

kecepatan sebagai fungsi waktu.

Berikut definisi turunan vektor:

Definisi Turunan Vektor

adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel ,

didefinisikan turunan dari sebagai berikut:

... 3.1

jika limitnya ada.

Jika fungsi vektor dengan fungsi skalar-

fungsi skalar , , dan dapat diferensialkan terhadap variabel ,

maka mempunyai turunan variabel terhadap yang dirumuskan sebagai

berikut:

... 3.2

Selanjutnya, Anda pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan fungsi

vektor.

Buku




51

Bukti:

Untuk membuktikan sifat-sifat dari turunan biasa, kita dapat menggunakan

definisi turunan biasa dari fungsi vektor 3.1.

i.

ii.

iv.

Sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor:

Jika , , dan adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar t yang

diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari t yang diferensiabel, maka

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

Buku




52

Pembuktian iii, v, dan vi dijadikan latihan untuk Anda.

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini

Contoh 1

Jika , tentukan

Penyelesaian

Contoh 2

Buktikan sifat

Penyelesaian

CONTOH SOAL

Buku




53

Contoh 3

Jika . Tentukan

di t = 0

Penyelesaian

Cara 1

pada saat t = 0, maka

Cara 2 (menggunakan sifat turunan)

pada saat t = 0, maka

Contoh 4

Jika tentukan vektor singgung satuan

pada titik .

Penyelesaian

Buku




54

Vektor singgung satuan (T)

Saat , maka

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong

Latihan 1

Jika , carilah

pada saat t = 0

Penyelesaian

(a)

saat t = 0, maka

(b)

saat t = 0, maka

(c)

LATIHAN TERBIMBING

Buku




55

(d)

Latihan 2

Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang

kurva pada sebarang saat . Carilah

besarnya kecepatan dan percepatan

Penyelesaian

Vektor posisi dari pergerakan partikel

Kecepatan diperoleh dari turunan pertama

Misalkan

Percepatan diperoleh dari turunan pertama

Misalkan

Jadi, besarnya kecepatan adalah dan percepatan .

Latihan 3

Jika dan , carilah

Penyelesaian

Buku




56

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia

Latihan 1

Jika dan .

Tentukan

pada saat .

Penyelesaian

Latihan 2

Carilah

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Buku




57

Latihan 3

Carilah vektor singgung satuan di sebarang titik pada kurva

dimana adalah konstanta-

konstanta.

Penyelesaian

Latihan 4

Jika

, carilah A bila saat diketahui bahwa

dan

saat

Penyelesaian

Buku




58

Kunci Jawaban

Latihan 1 : -30i + 14j + 20k

Latihan 2 :

Latihan 3 :

Latihan 4 :

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan

dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Buku




59

Turunan parsial

Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih, prinsipnya sama

dengan definisi turunan fungsi vektor satu variabel, dimana semua variabel

dianggap konstan, kecuali satu, yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu

diturunkan.

Misalkan adalah sebuah fungsi vektor yang tergantung kepada variabel

skalar , , dan , maka kita tuliskan . Ketiga turunan parsialnya

didefinisikan sebagai berikut:

... 3.3

adalah masing-masing turunan parsial dari terhadap , , dan jika

limitnya ada.

Jika fungsi vektor dengan

fungsi skalar-fungsi skalar , , dan mempunyai

turunan parsial terhadap variabel , , dan , maka juga

mempunyai turunan variabel terhadap , , dan yang dirumuskan sebagai

berikut:

... 3.4

Selanjutnya pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan parsial:

Materi pokok pertemuan ke 6 : 2. Turunan parsial fungsi vektor

URAIAN MATERI

Buku




60

Bukti:

i. Berdasarkan definisi 3.3, maka

Sehingga

ii. Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan definisi 3.3. Maka

Sifat-sifat turunan parsial:

Misalkan dan adalah fungsi-fungsi vektor dan adalah fungsi skalar ,

, dan dan dapat dideferensialkan terhadap ketiga variabel tersebut,

maka berlaku

i.

ii.

iii.

iv.

v.

Buku




61

Sehingga

atau

Pembuktian iii, iv, dan v dijadikan tugas buat Anda.

Aturan Rantai

Misalkan adalah fungsi vektor yang dapat dideferensialkan

terhadap variabel , , dan , dimana , , dan

adalah fungsi-fungsi skalar yang dapat dideferensialkan

terhadap variabel , , dan , maka bentuk fungsi tersusun dapat dituliskan

dengan

Turunan parsial terhadap variabel , , dan dapat diberikan sebagai

berikut:

... 3.5

Buku




62


Contoh 1

Jika , tentukanlah (a)

, (b)

, (c)

Penyelesaian

(a)

(b)

(c)

Contoh 2

Misalkan . Tentukan(a)

,(b)

,(c)

Penyelesaian

(a)

(b)

(c)

CONTOH SOAL

Buku




63

Contoh 3

Jika , dengan dan , tentukan

dan

nyatakan dalaam bentuk s dan t.

Penyelesaian


Latihan 1

Jika . Tentukan

Penyelesaian

Latihan 2

Jika , , tentukan

Penyelesaian

LATIHAN TERBIMBING

Buku




64


Latihan 1

Jika , carilah

Penyelesaian

Latihan 2

Jika dan , carilah

di titik (1,0,-2)

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Buku




65

Latihan 3

Misalkan , dimana .

Tentukan (a)

, (b)

, (c)

Penyelesaian

Latihan 4

Jika , tentukanlah (a)

, (b)

, (c)

Penyelesaian

Buku




66

Buku




67

Kunci Jawaban

Latihan 1 :

,

,

,

,

Latihan 2 :

Latihan 3 : (a)

(b)

(c)

Latihan 4 : (a)

(b)

(c)



Buku




68

Vektor Singgung Satuan

Misalkan

adalah vektor posisi yang

menghubungkan titik pangkal

dengan sebarang titik dalam

ruang R3.

Jika berubah, maka

adalah sebuah vektor yang searah dengan .

Sedangkan

adalah sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada kurva

ruang di .

Jika adalah vektor singgung satuannya, maka

Materi pokok pertemuan ke 7 : 3. Rumus Frenet-Serret

URAIAN MATERI

Buku




69

Rumus Frenet-Serret

Jika kurva C dalam ruang adalah sebuah kurva ruang yang didefinisikan

oleh kurva , maka kita telah mengetahui bahwa

adalah sebuah vektor

yang searah dengan garis singgung pada C. Jika skalar u diambil sebagai

panjang busur s yang diukur dari suatu titik pada C, maka

... 3.6

adalah sebuah vektor singgung satuan pada C.

Laju perubahan terhadap s adalah ukuran dari kelengkungan C dan

dinyatakan dengan

Arah dari

pada sebarang titik pada C adalah normal terhadap kurva pada

titik tersebut. Jika adalah sebuah vektor satuan dalam arah normal ini,

maka disebut normal utama pada kurva.

Jadi

dimana disebut kelengkungan dari C pada titik yang dispesifikasikan.

Besaran

... 3.7

disebut jari-jari kelengkungan.

Buku




70

Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang dan sedemikian rupa

sehingga

... 3.8

disebut binormal terhadap kurva. Dari sini diperoleh bahwa , , dan

membentuk sebuah sistem koordinat tegak lurus tangan kanan pada

sebarang titik dari C.

Himpunan relasi-relasi yang mengandung turunan-turunan dari vektor-

vektor , , dan dikenal sebagai rumus Frenet-Serret yang diberikan oleh

... 3.9

dimana adalah sebuah skalar yang disebut torsi.

Besaran

... 3.10

disebut jari-jari torsi.


Contoh 1

Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) normal utama N, kelengkungan

dan jari-jari kelengkungan , (c) Binormal B, torsi , dan jari-jari torsi

untuk kurva ruang .

Penyelesaian

(a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah

, maka

CONTOH SOAL

Buku




71

Jadi

(b)

karena

, maka

dan

dari

, diperoleh

(c)

dari

, diperoleh

Buku




72


Latihan 1

Diketahui

. Carilah (a) vektor singgung satuan T,

(b) kelengkungan , (c) normal utama N, dan (d) Binormal B

Penyelesaian

(a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah

, maka

Jadi

(b)

karena

, maka

LATIHAN TERBIMBING

Buku




73

(c) dari

, diperoleh

(d)

Buku




74


Latihan 1

Tentukan torsi dari

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Buku




75

Latihan 2

Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) kelengkungan , (c) jari-jari

kelengkungan , (d) normal utama N, (e) Binormal B, dan (f) torsi , untuk

kurva

Penyelesaian

Buku




76

Kunci Jawaban

Latihan 1 :0

Latihan 2 :



bahan ajar 3

Documents