Bab 6    Teknik Pengintegralan   Tujuan Instruksional Khusus. Mahasiswa mampu:   

1. menggunakan substitusi untuk mengevaluasi integral, 2. mengevaluasi integral dari fungsi trigonometri,  3. menggunakan substitusi trigonometri untuk mengevaluasi integral,  4. menggunakan pengintegralan parsial untuk mengevaluasi integral,  5. menggunakan pecahan parsial untuk mengevaluasi integral dari fungsi rasional. 

Waktu pembelajaran : 1 minggu.

Pada  bab  ini  kita  akan  mempelajari  beberapa  teknik  yang  sering  dipakai  dalam 

pengintegralan, sehingga kita dapat menyelesaikan lebih banyak jenis persoalan integral.

6.1    Pengintegralan dengan substitusi   Banyak  masalah  integral  tak‐tentu  dapat  diselesaikan  dengan  mentransformasi 

masalah tersebut ke bentuk integral tak‐tentu baku yang telah kita pelajari dengan teknik substitusi.  Berikut  ini  adalah  daftar  beberapa  bentuk  integral  tak‐tentu  baku  yang  harus kita ingat.

1.      

2.     1ln| | 1

3.     4.     , 1, 0 5.  sin   cos 6.  cos   sin 7.  sec   tan 8.  csc   cot 9.  sec tan   sec 10.  csc cot   csc 11.  tan   ln| cos | 12.  cot   ln| sin | 13.  

√sin

14.   tan 15.  sinh   cosh

16.  cosh   sinh   17.  

√sec | | cos

| | 

  Ingat.  sin arcsin ,  cos arccos ,  tan arctan .

Teknik  substitusi  diberikan  dalam  teorema  berikut  ini.  Beberapa  contoh pemakaiannya diberikan kemudian.

Teorema 6.1 (Substitusi dalam integral tak­tentu) Misalkan    adalah fungsi yang terdiferensialkan dan    adalah antiturunan dari  . Jika  , maka     

          .

Contoh 6.1 Carilah   

√    . 

Penyelesaian. Misalkan  2  1, sehingga  2  . Selanjutnya,     

 5

√2  1 

52  

1√

 52     5  / 5√2  1 . 

 Penulisan lain. Proses di atas dapat pula ditulis sebagai berikut.     

 5

√2  1 

52  

1√2  1

  2 1         2 1 2       

52   2 1   2 1

52 2 2 1              1 5√2  1 .  

   

Contoh 6.2 Carilah    sin   .

Penyelesaian.  Misalkan  cos ,  sehingga  sin   .  Untuk  0  kita  peroleh 1, dan untuk  ,  1. Selanjutnya,     

  sin       .

Berdasarkan Teorema Kalkulus II, kita dapatkan   

  sin   |1.

Penulisan lain. Proses di atas dapat pula ditulis sebagai berikut. 

   

  sin       cos          cos sin

             .

Berdasarkan Teorema dasar Kalkulus II, kita dapatkan     

  sin   |1.     

   

Contoh 6.3 Hitunglah   

 | |   . 

Penyelesaian.  Misalkan  ,  sehingga  .  Untuk  0 ,  kita  dapatkan 

, dan untuk  2 ,  . Selanjutnya,    

  | sin |

1 cos       |sin |

1 cos     | sin |

1 cos  

  | sin |

1 cos      | sin |1 cos   .

   Perhatikan   

 |sin |1 cos

 | sin |1 cos         dan

   |sin |

1 cos | sin |1 cos .

Dengan perkataan lain,    adalah fungsi ganjil dan    adalah fungsi genap. Selanjutnya,     

  | sin |

1 cos     0 2    | sin |1 cos            Teorema simetri

2    sin

1 cos   2    cos

1 cos 2 arctan cos |

2 arctan 1 arctan1 .         

Latihan 6.1 Buku Latihan subbab 6.1. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab 8.1 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 

2. Subbab  7.1  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson Education International, New Jersey, 2007.   

6.2 Integral trigonometri Pada  subbab  ini  kita  akan  membahas  pengintegralan  beberapa  bentuk  fungsi 

trigonometri. Berikut ini adalah beberapa identitas trigonometri yang sering dipakai dalam pengintegralan fungsi trigonometri. 

sin cos 1 1 tan sec  1 cot csc  

sin1 cos 2

2  

cos1 cos 2

2  

6.1.1    Integran  , 

  Di  sini  kita  akan  mempelajari  pengintegralan   sin     dan   cos    dengan    adalah bilangan asli.

Kasus  I.    adalah  bilangan  ganjil.  Ubahlah  fungsi  sin   atau  cos   masing‐masing menjadi  sin  sin   atau  cos  cos   yang  berpangkat  ganjil.  Perhatikan  bahwa sin   atau  cos   mempunyai  pangkat  genap.  Selanjutnya  kita  gunakan  identitas sin cos 1  untuk menyederhanakan integran.

Contoh 6.4 Carilah      . 

Penyelesaian. Perhatikan     

 sin    sin sin  

   

  1 cos   cos          sin cos 1, cos sin  

   

cos13 cos .  

    Kasus  II.    adalah  bilangan  genap.  Gunakan  identitas  sudut‐setengah  sin  

atau  cos   untuk menyederhanakan integran.

Contoh 6.5 Carilah      . 

Penyelesaian. Perhatikan     

 cos  12  1 cos 2  

12

sin 22 .  

    6.1.2    Integran    Dalam bagian ini kita akan mempelajari  integral berbentuk   sin  cos   , dengan   dan    adalah bilangan bulat.

Kasus I. Salah satu dari    atau    merupakan bilangan asli ganjil. Faktorkan  sin   atau cos   dari  sin   atau  cos .  Perhatikan  sin   atau  cos   mempunyai  pangkat genap.  Selanjutnya  gunakan  identitas  sin cos 1   untuk  menyederhanakan integran.

Contoh 6.6 Carilah        . 

Penyelesaian. 

   

 sin  cos    sin  cos cos    sin 1 sin cos  

   

 sin cos    sin cos  

   

 sin   sin  sin   sin          sin cos  

   13 sin

15 sin .   

   

Contoh 6.7 Carilah    2   2   . 

Penyelesaian.     

 sin 2   cos 2     1 cos 2  sin 2   cos 2  

   12   1 cos 2   cos 2   cos 2

   122cos / 2

32cos / 2

7    

cos 27

13 cos 2 cos 2 .       

   

Kasus II.    dan    merupakan bilangan asli genap. Gunakanlah identitas sudut‐setengah sin   atau  cos   untuk menyederhanakan integran.

Contoh 6.8 Carilah        . 

Penyelesaian. 

   

 sin  cos  14  sin 2            sin 2 2 sin cos

   

18  1 cos 4            cos 2 1 2sin

   18  

132 sin 4 .     

   

6.1.3    Integran    ,    ,      Untuk  menyelesaikan  persoalan  integral  berbentuk   sin cos   , 

 sin sin     dan   cos cos   ,  dengan    dan    adalah  bilangan  bulat, identitas trigonometri yang digunakan adalah sebagai berikut.

   

sin cossin sin

2    

sin sincos cos

2    

cos coscos cos

2

Contoh 6.9 Carilah    4   2   . 

Penyelesaian.     

 cos 4  cos 2  12   cos 6 cos 2  

   14  sin 2

112  sin 6 .    

   

Contoh 6.10 Hitunglah        , dengan    dan  ,   adalah bilangan bulat. 

Penyelesaian. 

   

 cos cos  12  cos cos  

12sin sin

| 0.    

Ingat:  sin 0  untuk  0, 1, 2, 3, ….      ‹

Latihan 6.2 Buku Latihan subbab 6.2. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab 8.2 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 

2. Subbab  7.3  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson Education International, New Jersey, 2007.   

6.3. Integral dengan substitusi trigonometri Adanya bentuk akar (radical) dalam integran kadang mempersulit pencarian suatu 

integral.  Pada bagian  ini  kita  akan mempelajari  teknik mengubah  integran  yang memuat bentuk akar menjadi bentuk rasional.

Integran  yang  memuat  √     dapat  dirasionalisasi  dengan  menggunakan substitusi  √   .

Contoh 6.11 Carilah   

 √

  . 

Penyelesaian. Misalkan  √ 4, sehingga  4  dan  2    . Selanjutnya,     

 3

√ 4   

4 3 4 2  

   

2   5 4 

   

23 25 60

15    

2  3 8  √ 415 .    

    Integran yang berbentuk    atau  √   dapat disederhanakan dengan 

menggunakan substitusi trigonometri dalam Tabel 6.1 berikut.     Bentuk akar   

  Substitusi      Hasil subs.   

batas  Substitusi untuk    

  √      sin     cos   /2 /2 cos    √      

 tan      sec   /2 /2   sec    

√       sec    

    tan 0 , /2    sec tan    

 

    Bentuk akar   

  Substitusi    Hasil subs.   

  Daerah batas untuk    

  Substitusi untuk   

  √       asin     cos     /2 /2      cos  √       atan     sec     /2 /2       sec  √       asec       tan   0 ,  /2    sec tan  

      Tabel 6.1: Tabel substitusi trigonometri untuk beberapa bentuk akar ( 0).

     

Contoh 6.12    Carilah    /   . 

Penyelesaian. Misalkan  2 sin , sehingga  4 4 cos   dan  2 cos   .    

 1

4 /  14  sec  

14 tan .

  Karena  sin , maka  tan√

  (lihat Gambar 6.1). 

     

  Gambar    6.1: Ilustrasi substitusi  sin .    

Akibatnya,     

 1

4 /  4 √4

.    

 

Contoh 6.13 Carilah    /    

Penyelesaian. Perhatikan  4 4 2 . Selanjutnya,     

 1

4 /    1

4 2 /  

   

 1

4 2 /   2          2

   2

4  4 2         Contoh 6.12

   

24 √4

.     

    Jika  bentuk  kuadrat        muncul  dalam  suatu  bentuk  akar,  kita  perlu 

melengkapi kuadratnya agar substitusi trigonometri dapat dipakai.

Contoh 6.14 Carilah   √  

  . 

Penyelesaian.  Kita  tuliskan  4  5 4  4 1 2 1 .  Misalkan 2, sehingga  . Kemudian,     

 1

√ 4  5   

12 1

   1

√ 1  .

Misalkan  tan ,  dengan  /2 /2 .  Kita  dapatkan  √ 1 sec   dan sec   . Selanjutnya,     

 1

√ 1   

secsec    sec   ln| sec tan |

   ln| 1 |          1 tan sec

   ln 4  5 2 .     

   

Latihan 6.3 Buku Latihan subbab 6.3. 

Bahan pendalaman.    1. Subbab 8.3 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit 

Erlangga, Jakarta, 2004.  2. Subbab  7.4  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson 

Education International, New Jersey, 2007.   

6.4 Integral parsial  Pada  subbab  ini  kita  akan mempelajari  suatu metode  baru  yang  dapat  digunakan 

untuk  menyelesaikan  beberapa  masalah  integral  yang  tidak  dapat  diselesaikan  dengan metode  substitusi.  Metode  baru  ini  dikenal  sebagai  integral  parsial    (integration  by parts). Metode  ini  berdasarkan  substitusi  ganda  dan  integral  dari  turunan  perkalian  dua buah fungsi.

Misalkan    dan  . Turunan      terhadap    adalah      

atau                       6.1  

 

Dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan (6.1) didapat     

    .           6.2  

  Karena      dan    , maka persamaan (6.2) dapat ditulis menjadi     

          .         6.3  

    Persamaan  (6.3)  disebut  integral  parsial  untuk  integral  tak‐tentu,  sedangkan  integral parsial untuk integral tentu adalah 

   

      |     .    6.4  

  Interpretasi geometris untuk persamaan (6.4) dapat dilihat pada Gambar 6.2.

     

  Gambar 6.2: Interpretasi geometris integral parsial untuk integral tentu.             .

   

Contoh 6.15 Carilah      . 

Penyelesaian.  Misalkan    dan  ,  sehingga  kita  dapatkan    dan . Selanjutnya,     

             

   

313     3 9 .      

   

Contoh 6.16 Carilah   √   . 

Penyelesaian.  Misalkan  ln   dan  √   ,  sehingga    dan  / . Selanjutnya,     

 √  ln  23 

/  ln |23  √  

   23

/ 49 

/ |29 

/ 49 .       

   

Contoh 6.17 Tunjukkan     

  |    

   

|     .

 

Penyelesaian.  Perhatikan  bahwa  ,  sehingga  dengan  integral  parsial  kita dapatkan     

     

   

|   |   .        

   

Latihan 6.4 Buku Latihan subbab 6.4. 

Bahan pendalaman.    1. Subbab 8.4 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit 

Erlangga, Jakarta, 2004.  2. Subbab 7.2 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson 

Education International, New Jersey, 2007.   

6.5 Integral fungsi rasional Fungsi  ,  dengan    dan    berupa  fungsi  polinomial,  disebut 

fungsi  rasional.  Contohnya  adalah    dan  .  Jika  derajat  (pangkat)  polinomial   lebih kecil daripada derajat polinomial  , maka    disebut fungsi rasional sejati (proper rational function).    Contohnya  adalah 

 .  Sedangkan  jika derajat  polinomial    lebih 

besar atau sama dengan derajat polinomial  , maka    disebut fungsi rasional tak­sejati (improper rational function).

Semua  fungsi  rasional  tak‐sejati  dapat  disederhanakan  menjadi  penjumlahan polinomial  dengan  fungsi  rasional  sejati,  yakni  ,  dengan  derajat polinomial    lebih kecil daripada derajat polinomial  . Sebagai contoh:     

1 11

2 11

2 1 ,

   1 1

1 .

Semua  fungsi  rasional  sejati    dapat  ditulis  sebagai  penjumlahan  beberapa 

fungsi  rasional  sejati  yang  lebih  sederhana,  dengan  penyebutnya  berbentuk     atau      , dengan  ,  ,    adalah bilangan riil dan    adalah bilangan asli. Ada dua aturan dekomposisi berdasarkan polinomial penyebutnya, yaitu:

  1. Setiap faktor linear    dalam    didekomposisi menjadi 

   

.

          Contoh:                   

a     11

11 1

1/21

1/21

               

b   3 5

13 51 1

1/21

1/21

41  

 

2. Setiap faktor kuadrat definit positif1    dalam    didekomposisi menjadi     

.

          Contoh:                   

a   2

3 22

1 211 2. 

b  2 3

121

11 . 

                                                        1tidak memiliki pembuat-nol yang riil

  Perhatian.  Suku  pangkat    di  atas  harus  didekomposisi  menjadi  suku‐suku  pangkat 1,2, … , .

Integral  fungsi  rasional  dapat  diselesaikan  dengan  menyederhanakan  fungsi 

rasionalnya terlebih dahulu. Berikut ini adalah beberapa contohnya.

Contoh 6.18    Carilah       

Penyelesaian. Kita tuliskan     

11

11 1

   

1 11 11 1 1 1 .

Agar  persamaan  tersebut  selalu  benar  (kecuali  untuk  1),  maka  sistem  persamaan linear  0   dan  1   harus  terpenuhi.  Sistem  tersebut  terpenuhi  jika 

1/2. Akibatnya,     1

112

11

11 ,

sehingga     

 1

1  12  

11

11

   12 ln|1 | ln|1 |

12 ln

11 .           

   

Contoh 6.19 Carilah       

Penyelesaian. Kita tuliskan   2 11 1 1 1 .

Agar  persamaan  tersebut  selalu  benar,  kita  dapatkan  0,  1,  2  dan  0. Akibatnya,     

11

11

2 1 ,

sehingga     

 11    

11    

2 1  

   

arctan11 .      

   

Latihan 6.5 Buku Latihan subbab 6.5. 

Bahan pendalaman.    1. Subbab 8.5 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit 

Erlangga, Jakarta, 2004.  2. Subbab  7.5  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson 

Education International, New Jersey, 2007.         Aneka Soal Contoh 6.20 Carilah      . 

Penyelesaian. Perhatikan   

 sec    1

cos    coscos    

cos1 sin   .

Misalkan  sin , sehingga  cos   . Selanjutnya,     

 cos

1 sin    1

1  

   12 ln

11          Contoh

   12 ln

1 sin1 sin .

Karena (buktikanlah)     1 sin1 sin sec tan ,

maka   sec   ln|sec tan | .      ‹ Soal berikut melibatkan subtitusi  trigonometri,  integral parsial dan  integral  fungsi 

rasional.

Contoh 6.21 Carilah   √1   . 

Penyelesaian. Misalkan  tan , sehingga  √1 sec   dan  sec   .    

  1    sec  

Perhatikan    

 sec    sec   tan          tan sec  

   

sec  tan  tan   sec          integralparsial

   

sec  tan  tan  sec  

   

sec  tan   sec 1  sec            1 tan sec

   

sec  tan  sec    sec  

   

sec  tan ln|sec tan |  sec   .

  Akibatnya    

 sec  12 sec  tan ln|sec tan | .

  Jadi   √1   √1 ln|√1 .      ‹

   

Bab 7    Integrasi Matematika 7.1. Perancangan gelas model baru   

Agus  adalah  seorang  manajer  jaringan  kantin  waralaba  (franchise).  Ia  ingin mengganti gelas kantinnya dengan model baru agar pelanggan mendapatkan suasana baru. Selama  ini  gelas  yang  digunakan  berbentuk  tabung  atau  silinder,  sehingga  terasa membosankan.

Anda  adalah  seorang  perancang  peralatan  rumah  tangga  (house  holds)  yang kreativitasnya  tidak  diragukan  lagi.  Agus  meminta  Anda  untuk  merancang  gelas  bagi jaringan  kantinnya.  Agus  juga  ingin  menjadikan  gelas  sebagai  media  iklan.  Gelas  akan dibungkus dengan plastik yang berisi iklan. Iklan tersebut akan diganti setiap minggu.

Pada pertemuan selanjutnya,    1. Anda diminta membawa gelas model baru,  2. Anda  diminta  mempresentasikan  volume  gelas  tersebut  dan  luas  plastik  yang 

dibutuhkan untuk iklan di gelas,  3. Anda diminta menyerahkan laporan presentasi Anda. 

Informasi  mengenai  volume  gelas  sangat  berkaitan  dalam  menentukan  harga 

minuman, sedangkan informasi mengenai luas plastik tersebut berkaitan dengan negosiasi harga pencetakan iklan.

Karena  Agus  adalah  pemerhati  Matematika  dan  Fisika,  ia  meminta  Anda menjelaskan  bagaimana  mendapatkan  volume  dan  luas  tersebut  dengan  pendekatan Matematika dan Fisika. Hal  ini dilakukan  sebagai upaya pemeriksaan  silang  (cross check) terhadap hasil Anda.

Petunjuk:   

1. Tentukanlah fungsi    yang dipakai untuk menghitung volume dan luas tersebut.  2. Air dapat digunakan untuk mengukur volume (pendekatan Fisika).  3. Kertas atau plastik dapat digunakan untuk mengukur luas permukaan gelas. 

7.2. Selamatkan semut   

Seekor semut berada pada tepi dasar suatu labu erlemeyer yang kosong. Kemudian labu  tersebut  diisi  air  dengan  debit  konstan  air  1  ml/detik.  Agar  semut  tersebut  tidak terkena air, semut harus bergerak ke atas (diasumsikan gerakannya mengikuti suatu garis lurus). Berapakah kecepatan minimal semut tersebut agar tidak terkena air?

Petunjuk: 

Kecepatan  jalan  semut  harus  melebihi  kecepatan  pertambahan  ketinggian permukaan air agar tidak terkena air.

   

Bab 8    Integrasi Sains

Di dekat PAU  (Rektorat) dan Balairung UI  terdapat danau atau  situ  (lihat Gambar 8.1). Pada musim kemarau, air danau ini dapat menyusut dengan drastis hingga sebagian dasarnya terlihat. Namun demikian, danau tersebut tidak pernah kering total. Pada musim hujan, air danau ini melimpah ruah, namun tidak pernah meluap.

     

  Gambar 8.1: Peta UI (diunduh dari http://mahalum.ui.edu/CDC/files/peta%20UI.JPG).

    Mengapa air danau tersebut tidak pernah kering total ataupun meluap?

Petunjuk:   

1. Tentukanlah  sumber  air  danau  tersebut.  Ada  banyak  hal  yang  mungkin  perlu diperhatikan,  misalnya  curah  hujan,  debit  air  dari  Depok,  penguapan  air, penyerapan  air,  dan  lain  sebagainya.  Namun,  tinjaulah  satu  atau  dua  faktor  yang menurut  Anda  dominan.  Lalu  carilah  data  untuk  faktor  tersebut.  Untuk memudahkan, ambillah rata‐rata dari data tersebut. 

2. Tentukanlah  apa  yang  mengurangi  air  di  danau  tersebut.  Carilah  satu  atau  dua faktor yang dominan dalam terjadinya pengurangan air danau tersebut dan carilah data rata‐rata untuk faktor tersebut. 

3. Untuk  menentukan  volume  maksimum  air  yang  dapat  ditampung  dalam  danau tersebut, Anda diberi kebebasan untuk menghampiri bentuk danau terebut. 

4. Tentukanlah volume air danau tersebut pada saat  .  5. Tentukanlah syarat awal  0   yang masuk akal untuk mensimulasikan  .