bab6. kantilever

8/4/2019 BAB6. kantilever

1/8

Bab 6

GAYA GESER DAN MOMEN TEKUK

Tinjauan Instruksional Khusus:

Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar momen tekuk dalam

kaitanya dengan bentuk konstruksi dan bentuk pembebanan; memahami konsep gaya

internal, tahanan momen serta hubungan antara intensitas beban, gaya geser dan

momen tekuk.

Definisi balok (beam)

Suatu batang yang dikenai gaya-gaya atau pasangan gaya-gaya

serta momen (couple) yang terletak pada suatu bidang yang mempunyai sumbulongitudinal disebut balok (beam). Gaya-gaya disini bekerja tegaklurus terhadap sumbu

horisontal.

Balok konsole (cantilever)

Jika suatu balok disangga atau dijepit hanya pada salah satu

ujungnya sedemikian sehingga sumbu balok tidak dapat berputar pada titik tersebut,

maka balok tersebut disebut balok gantung, balok kantilever (cantilever beam). Tipe balok

ini antara lain ditunjukkan pada Gb. 6-1. Ujung kiri balok adalah bebas terhadap tekukan

dan pada ujung kanan dijepit. Reaksi dinding penyangga pada ujung kanan balok terdiri

atas gaya vertikal sebesar gaya dan pasangan gaya-gaya yang bekerja pada bidang

balok.

Gb. 6-1

Balok sederhana

Suatu balok yang disangga secara bebas pada kedua ujungnya

disebut balok sederhana. Istilah disangga secara bebas menyatakan secara tidak

langsung bahwa ujung penyangga hanya mampu menahan gaya-gaya pada batang dan

tidak mampu menghasilkan momen. Dengan demikian tidak ada tahanan terhadap rotasi

pada ujung batang jika batang mengalami tekukan karena pembebanan. Batang

sederhana diilustrasikan pada Gb. 6-2.

31

P WN/m

P WN/m

(a) (b)

M


2/8

Gb. 6-2

Perlu diperhatikan bahwa sedikitnya satu dari penyangga harus

mampu menahan pergerakan horisontal sedemikian sehingga tidak ada gaya yang

muncul pada arah sumbu balok.

Balok pada Gb. 6-2(a) dikatakan dikenai gaya terkonsentrasi atau

gaya tunggal; sedang batang pada Gb. 6-2(b) dibebani pasangan beban terdistribusi

seragam.

Balok menggantung

Suatu balok disangga secara bebas pada dua titik dan

menggantung di salah satu ujungnya disebut balok menggantung (overhanging beam).Dua contoh ditunjukan pada Gb. 6-3.

Gb. 6-3

Balok statis tertentu

Semua balok-balok yang kita diskusikan diatas, kantilever, balok

sederhana, balok menggantung, adalah balok dimana reaksi-reaksi gayanya dapat

ditentukan dengan menggunakan persamaan kesetimbangan statis. Nilai reaksi-reaksi ini

tidak tergantung pada perubahan bentuk atau deformasi yang terjadi pada balok. Balok-

balok demikian disebut balok statis tertentu.

Balok statis tak-tertentu

Jika jumlah reaksi yang terjadi pada balok melebihi jumlah

persamaan kesetimbangan statis, maka persamaan statis harus ditambah dengan suatu

persamaan sebagai fungsi deformasi balok. Pada kasus demikian balok dikatakan statistak-tertentu. Contoh-contohnya ditunjukkan pada Gb. 6-4.

Gb. 6-4

Tipe pembebanan

Beban biasanya dikenakan pada balok dalam bentuk gaya

32

P2

WP1

P3

P

PW P

2P

1

(a) (b) (c)


3/8

terkonsentrasi (bekerja pada satu titik), dan beban terdistribusi seragam dimana besarnya

dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang, atau beban bervariasi seragam. Tipe beban

yang terakhir ini diilustrasikan pada Gb. 6-5.

Balok dapat juga dibebani dengan couple atau momen; besarnya

biasanya dinyatakan sebagai Newton-meter (N.m).

Gb. 6-5

Gaya internal dan momen pada balok

Ketika balok dibebani dengan gaya atau momen, tegangan

internal terjadi pada batang. Secara umum, terjadi tegangan normal dan tegangan geser.

Untuk menentukan besarnya tegangan-tegangan ini pada suatu bagian atau titik pada

balok, perlu diketahui resultan gaya dan momen yang bekerja pada bagian atau titik

tersebut. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan-persamaan

kesetimbangan.

Contoh 1.Misalkan beberapa gaya bekerja pada balok seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6(a).

Gb. 6-6

Pertama kita amati tegangan internal sepanjang bidang D, yanglerletak pada jarakxdari ujung kiri balok. Untuk itu balok dipotong pada D dan porsi balokdisebelah kanan D dipindahkan. Porsi yang dipindahkan kemudian digantikan dengansuatu efek untuk bagian sebelah kiri D yaitu berupa gaya geser vertikal Vbersama-samadengan suatu momen Mseperti ditunjukkan pada Gb. 6-6(b).

Gaya V dan momen M menahan balok sebelah kiri yangmempunyai gaya-gaya R1, P1, dan P2 tetap dalam kesetimbangannya. Nilai-nilai Vdan Madalah positip jika posisinya seperti pada Gb. diatas.

Tahanan momen

Momen M yang ditunjukkan pada Gb. 6-6(b) disebut tahanan

momen (resisting moment) pada bagian D. Besarnya M dapat diperoleh dengan

menggunakan persamaan statis yang menyatakan bahwa jumlah seluruh gaya terhadap

33

W0

P1

(a) (b)

MP2

P3

P4

R1

R2

A CB D

x

x

R1

x

V

A Da

b

P1

P2


4/8

poros yang melalui D dan tegak lurus bidang adalah nol. Jadi,

0)()( 2110 =++= bxPaxPxRMM atau)()( 211 bxPaxPxRM =

Dengan demikian tahanan momen M adalah momen pada titik D yang dibuat dengan

momen-momen reaksi padaA dan gaya-gaya P1 dan P2. Momen tahanan Mmerupakan

resultan momen karena tekanan yang didistribusikan pada bagian vertikal pada D.

Tegangan-tegangan ini bekerja pada arah horisontal dan merupakan suatu tarikan pada

bagian-bagian tertentu pada penampang melintang dan suatu tekanan pada bagian-

bagian lainnya. Sifat-sifat ini akan didiskusikan di bab 8.

Tahanan geser

Gaya vertikal Vyang ditunjukkan pada Gb. 6-6(b) disebut tahanan

geser (resisting shear) untuk D. Untuk kesetimbangan gaya pada arah vertikal,

0211 == VPPRFv atau 211 PPRV =Gaya V ini sebenarnya merupakan resultan tegangan geser yang didistribusikan pada

bagian verikal D. Sifat-sifat tegangan ini lebih lanjut akan didiskusikan di bab 8.

Momen tekuk

Jumlah aljabar momen-momen gaya luar pada satu sisi bagian D

terhadap suatu sumbu yang melalui D disebut momen tekuk (bending moment) pada D.

Untuk pembebanan seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6, momen tekuk dinyatakan dengan:

)()( 211 bxPaxPxR

Jadi momen tekuk merupakan kebalikan (arah) dari tahanan momen dengan besaran

yang sama. Momen tekuk juga dinotasikan dengan M. Momen tekuk lebih lazim

digunakan daripada tahanan momen dalam perhitungan karena momen ini dapat

dinyatakan secara langsung dari beban atau gaya-gaya eksternalnya.

Gaya geserJumlah aljabar seluruh gaya vertikal disebelah kiri titik D disebut

gaya geser (shearing force) pada titik tersebut. Untuk pembebanan diatas dinyatakan

dengan 211 PPR . Gaya geser adalah berlawanan arah dengan tahanan geser tetapi

besarnya sama. Biasanya dinyatakan dengan V. Dalam perhitungan gaya geser lebih

sering digunakan daripada tahanan geser.

Konvensi tanda

Konvensi atau kesepakatan pemberian tanda untuk gaya geserdan momen tekuk ditunjukkan pada Gb. 6-7. Suatu gaya yang menyebabkan balok

34


5/8

tertekuk dalam posisi cekung disebut menghasilkan momen tekuk positip. Suatu gaya

yang menyebabkan pergeseran porsi batang sebelah kiri naik terhadap porsi batang

sebelah kanan dikatakan menghasilkan gaya geser positip.

Gb. 6-7

Metode yang lebih mudah untuk menentukan tanda aljabar dari

momen tekuk pada sembarang titik adalah: gaya luar menuju keatas menghasilkan

momen tekuk positip, gaya kebawah menghasulkan momen tekuk negatip.

Persamaan pergeseran dan momen

Untuk mempermudah analisa biasanya digunakan sistem

koordinat disepanjang balok dengan origin di salah satu ujung balok. Dengan sistem

koordinat ini maka akan dapat diketahui gaya geser dan momen tekuk pada seluruh

bagian disepanjang balok, dan untuk tujuan ini maka biasanya dibuat dua buah

persamaan, satu menyatakan gaya geserVsebagai fungsi jarak, misal x, dari salah satu

ujung balok, dan satu lagi menyatakan momen tekuk Msebagai fungsix.

Diagram gaya geser dan momen tekuk

Plot untuk persamaan gaya geserVdan momen tekuk Mmasing-

masing disebut diagram gaya geser dan diagram momen tekuk. Pada diagram ini absis

(horisontal) menyatakan posisi bagian disepanjang balok dan ordinat (vertikal)

menyatakan nilai dari gaya geser dan momen tekuk. Dengan demikian, diagram ini

menyatakan secara grafis variasi gaya geser dan momen tekuk pada sembarang titik daribatang. Dari plot-plot ini maka akan sangat mudah untuk menentukan nilai maksimum

setiap kuantitasnya.

Hubungan antara intensitas beban, gaya geser, dan momen tekuk

Suatu balok sederhana dengan beban bervariasi yang dinyatakan

dengan w(x) diilustrasikan seperti pada Gb. 6-8. Sistem koordinat dengan origin diujung

kiri (A) dan variasi jaraknya dinyatakan dengan variabelx.

35

Momen tekuk negatipMomen tekuk positip

Gaya geser positip Gaya geser negatip

x dx

x

w(x)


6/8

Gb. 6-8

Untuk suatu nilaix, hubungan antara beban w(x) dan gaya geserVadalah

dx

dVw =

dan hubungan antara gaya geser dengan momen tekuk Madalah

dx

dMV =

Hubungan-hubungan ini akan dijabarkan dalam contoh 2.

Fungsi singularitas

Untuk mempermudah penanganan problem yang melibatkan beban dan momen

terkonsentrasi secara bersamaan, maka diperkenalkan fungsi sebagai berikut:

n

n axxf )()( =

dimana untuk n > 0. Kuantitas didalam kurung akan bernilai nol jika x< a dan bernilai (x-

a)n jika x > a. Ini merupakan fungsi singularitas atau fungsi separoh selang. Dengan

demikian jiga argumennya positip maka nilai didalam kurung berlaku sebagaimana

pernyataan biasa. Contoh aplikasinya akan kita diskusikan dalam contoh 3.

Contoh 2.Jabarkan hubungan antara intensitas beban, gaya geser dan momen tekuk untuk suatu titik padabalok.

Kita misalkan suatu balok dikenai pembebanan seperti padagambar (a). Kita isolasikan suatu elemen balok sepanjang dx dan menggambarkandiagram gaya-gaya yang bekerja pada elemen tersebut. Gaya geserVbekerja pada sisikiri elemen dan untuk elemen sepanjang dxtersebut besarnya berubah menjadi V+ dV.Demikian juga momen tekuk M yang bekerja pada sisi kiri elemen berubah secarabertahap menjadi M + dM di sisi kanan. Karena dx adalah sangat kecil, beban diataselemen tersebut dapat dianggap seragam yaitu sama dengan wN/m. Diagram gaya-gayaini diilustrasikan pada gambar (b). Untuk kesetimbangan momennya, kita peroleh

(a) (b)

=+++= 0)2/()( dxwdxVdxdMMMMo atau

221 )(d xwV d xd M +=

36

x dx

x

w(x)

dx

V V+dV

w N/m

M M+dMO .


7/8

Karena term terakhir berisi produk dua diferensial, maka term tersebut diabaikan untukdiperbandingkan dengan bentuk lain yang hanya melibatkan satu diferensial. Dengandemikian,

VdxdM = atau

dx

dMV =

Jadi gaya geser adalah sama dengan laju perubahan momen tekuk terhadapx.

Persamaan ini sangat bermanfaat dalam penggambaran diagramgaya geser dan momen tekuk khususnya untuk pembebanan yang sangat rumit.Misalnya, dari persamaan ini diperoleh bukti bahwa bila gaya geser adalah positip padasuatu bagian balok maka slope atau kemiringan momen tekuknya pada bagian atau titikitu juga positip. Juga, dapat dibuktikan bahwa perubahan yang tiba-tiba pada gaya geserjuga diikuti oleh perubahan yang tiba-tiba pada kemiringan diagram momen tekuknya.

Selanjutnya, pada titik-titik dimana gaya gesernya nol, makakemiringan diagram momennya juga nol. Pada titik-titik ini, dimana diagram momennyaadalah horisontal, besarnya momen bisa merupakan nilai maksimum atau minimum. Inimengikuti teknik kalkulus dalam penentuan titik maksimum atau minimum suatu kurvadengan memberikan nilai nol pada turunan pertama fungsi kurva. .

Untuk menentukan arah kecekungan kurva pada suatu titik, kitadapat membuat turunan kedua dari M terhadap x, yaitu d2M/dx2. Apabila nilai turunankedua ini positip maka diagram momennya cekung keatas dan momennya menunjukkannilai minimum. Bila turunan kedua adalah negatip, maka diagram momen adalah cekungkebawah (cembung), dan momennya memiliki nilai maksimum.

Untuk persamaan kesetimbangan vertikal pada elemen, kitaperoleh

0)( =++ dVVVwdx ataudx

dVw =

Formula ini bermanfaat untuk pembuatan diagram gaya.

Contoh 3.Suatu balok kantilever dikenai pembebanan beban terkonsentrasi pada ujungnya dan bebanterdistribusi pada separoh kanan panjang balok, seperti terlihat pada gambar (a). Denganmenggunakan fungsi singularitas, tulislah persamaan-persamaan gaya geser dan momen tekukpada sembarang titik pada balok dan gambarkan diagram gaya dan momennya.

Diagram gaya-gaya ditunjukkan pada gambar (b). Dari gambar inikita peroleh persamaan kesetimbangan statis:

21

wLPV +=

8

2

1

wLPLM +=

meskipun untuk kasus kantilever ini sebenarnya kita tidak perlu menuliskan persamaan-persamaan gaya geser dan momen tekuknya.

Berdasarkan sistem koordinatnya, dengan origin O, beban

terkonsentrasi Pdan beban terdistribusi menghasilkan gaya geser negatip berdasarkankonvensi tandanya. Dengan demikian kita dapatkan:

37

(a)

P

B

w / unit panjang

L/2 L/2

(b)

P

B

w / unit panjang

O

V1

M1

x


8/8

1

0

2)(

=

LxwxPV

yang mengindikasikan gaya geser pada setiap posisix.Secara sama, momen tekuk pada setiap posisixadalah

21

22)(

=

Lx

wxPM

Dengan demikian, diagram gaya geser dan momen tekuknya adalah seperti ditunjukkanpada gambar (c) dan (d) dibawah ini.

38

(a)

P

B

w / unit panjang

L/2 L/2

Gaya geser

(c)

P

woL/2

Momen tekuk

(d)

PL+woL2/8PL/2

bab6. kantilever

Documents