bab5fungsikontinu

1

Analisis Real, 2011

Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023)

Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

FUNGSI KONTINU

5.1 FUNGSI KONTINU

5.1.1 Definisi. A R, f: A R, dan c A. Kita mengatakan bahwa f kontinu di c

jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c

sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg

(f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

Keterangan (1) Jika c A adalah suatu titik limit dari A, maka perbandingan

Definisi 4.1.4 dan 5.1.1 menunjukkan bahwa f kontinu pada c jika dan hanya jika

(1) fcfcx

= lim)(

Jadi, jika c adalah titik limit dari A, maka (1) ada kondisi yang harus

dipenuhi: (i) f harus didefinisikan di c (sehingga f (c) masuk akal), (ii) batas dari f

di c harus ada dalam R (sehingga fcx

lim masuk akal), dan (iii) nilai-nilai f(c) dan

fcx

lim harus sama.

(2) Jika c A bukan titik limit dari A, maka terdapat suatu persekitaran (c) dari

c sedemikian hingga A (c) = {c}. Jadi kita simpulkan bahwa fungsi f secara

otomatis kontinu di titik c A yang bukan titik limit dari A. Semacam ini sering

disebut "titik terisolasi" dari A; karena mereka adalah "jauh dari tindakan ".

Karena kontinuitas otomatis untuk titik-titik tersebut, kita umumnya harus

2

Analisis Real, 2011



menguji kontinuitas hanya pada titik limit. Jadi kita bisa menganggap kondisi (1)

sebagai karakteristik untuk kontinuitas di c.

5.1.2 Definisi. A R, dan f: A R. Jika B A, kita katakan bahwa f kontinu pada

B jika f kontinu di setiap titik B.

5.1.3. Teorema A R, f: A R, dan biarkan c A. Kemudian kondisi berikut

ekuivalen.

(i) f kontinu di c, yaitu diberi persekitaran Vg (f(c)) dari f(c) terdapat

persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A

(c), maka f(x) berada pada Vg (f (c)).

(ii) Mengingat setiap > 0 ada c, > 0 sedemikian sehingga untuk semua x A

dengan | x - c | < , maka | f (x) - f (c) | < .

(iii) Jika ( ) adalah barisan bilangan real sehingga A untuk semua n N

dan ( ) menyatu dengan c, maka barisan (f ( )) menyatu untuk f(c).

5.1.4. Diskontinuitas Kriteria A R, f: A R, dan c A. Kemudian f adalah

kontinu di c jika dan hanya jika terdapat urutan ( ) dalam A sedemikian sehingga

( ) konvergen ke c, tapi barisan (f ( )) tidak konvergen ke f (c).

Contoh 5.1.5

(a) f (x) = b kontinu pada R.

Hal itu terlihat pada Contoh 4.1.7 (a) bahwa jika c R, maka fcx

lim = b. Karena

f(c) = b, maka f adalah kontinu pada setiap titik c R. Maka f kontinu pada R.

(b) g (x) = x kontinu pada R.

Hal itu terlihat pada Contoh 4.1.7 (b) bahwa jika c R, maka gcx

lim = c. Karena g

(x) = c, maka g kontinu di setiap titik c R. Jadi g kontinu pada R.

(c) h (x) = x2 kontinu pada R.

3

Analisis Real, 2011



Hal itu terlihat pada Contoh 4.1.7 (c) bahwa jika c R, maka hcx

lim = c2.

.

Karena h (c) = c2, maka h adalah kontinu di setiap titik c R. Jadi h kontinu pada

R.

(d) (x) = 1 / x adalah kontinu pada A = {x R: x> 0}

Hal itu terlihat pada Contoh 4.1.7 (d) bahwa jika c A, maka cx

lim = 1 / c.

Karena (x) = 1/c, ini menunjukkan bahwa kontinu di setiap titik c A. Jadi

kontinu pada A.

(e) (x) = 1 / x tidak kontinyu pada x = 0.

Memang, jika (x) = 1 / x untuk x> 0, maka tidak didefinisikan x = 0, sehingga

tidak bisa terus menerus di sana. Atau, terlihat pada Contoh 4.1.10 (a) yang 0

limx

tidak ada di R, sehingga tidak dapat kontinu pada x = 0.

(f) Fungsi signum sgn tidak kontinu di 0.

Fungsi signum didefinisikan pada Contoh 4.1.10 (b) di mana ia juga menunjukkan

bahwa tidak ada dalam R. Oleh karena itu sgn tidak kontinu pada x = 0 (meskipun

sgn 0 didefinisikan).

Ini adalah latihan untuk menunjukkan sgn yang kontinu di setiap titik c

0.

(g) Misalkan A = R dan f Dirichlet's "fungsi diskontinu" didefinisikan

oleh

f (x) = 1 jika x adalah rasional,

= 0 jika x irasional.

Memang, jika c adalah bilangan rasional, (xn) menjadi barisanbilangan

irasional yang konvergen ke c (Corollary 2.5.6 ke 2.5.5 Teorema Density

meyakinkan kita bahwa suatu urutan seperti tidak ada.) Karena f (xn) = 0 untuk

semua n N, kita memiliki (f (xn)) = 0, sedangkan f (c) = 1. Oleh karena f tidak

kontinu di nomor irasional b.

Karena setiap bilangan real adalah baik rasional atau tidak rasional, kita

mengurangi bahwa f tidak kontinu di setiap titik di R.

4

Analisis Real, 2011



(h) Misalkan A {x R: x > 0} =. Untuk setiap bilangan irasional x> 0 kita

mendefinisikan h (x) = 0. Untuk bilangan rasional dalam A dari bentuk m / n,

dengan m bilangan asli, n tidak memiliki faktor bersama kecuali 1, kita

mendefinisikan h (m / n) = 1 / n. (Lihat Gambar 5.1.2)

Kami berani mengklaim bahwa h kontinu di setiap bilangan irasional di A,

dan terputus di setiap bilangan rasional di A. (fungsi ini diperkenalkan pada tahun

1875 oleh KJ Thomae).

Di sisi lain, jika b adalah bilangan irasional dan > 0, maka (oleh Properti

Archemedean) ada bilagan asli no seperti yang 1 / no < . Hanya ada jumlah

terbatas rationals dengan denominator kurang dari no pada interval (b - 1, b + 1).

Oleh karena itu > 0 dapat dipilih begitu kecil bahwa lingkungan (b - , b + )

tidak berisi bilangan rasional dengan denominator kurang dari no (Mengapa?).

Kemudian berikut bahwa untuk | x - b |

5

Analisis Real, 2011



Maka F adalah kontinu pada c. Untuk melihat ini, butuh memeriksa bahwa

Fcx

lim = L , tetapi berdasarkan ini (kenapa?), nilai Fcx

lim = L.

(b) Jika suatu fungsi g: A R tidak memiliki limit pada c, maka tidak ada

cara kita dapat menghitung suatu fungsi G: A {c} R kontinu pada c dengan

definisi

G(x) = C untuk x = c

= g(x) untuk x A.

Untuk melihat ini, telitilah bahwa jika Gcx

lim ada dan sama dengan C, maka

gcx

lim harus juga ada dan sama dengan C.

Contoh-contoh 5.1.7 (a) Fungsi g(x) = sin (1/x) untuk x 0 (Lihat Penjelasan

4.1.3 pada p. 110) tidak memiliki suatu limit pada x = 0 (lihat Contoh 4.1.10(c)).

Jadi tidak ada nilai yang kita dapat menetapkan pada x = 0 untuk memperoleh

perpanjangan g kontinu pada x = 0.

(b) Misalkan f(x) = x sin (1/x) untuk x 0 (Lihat Penjelasan 5.1.3.) Nilai f

tidak terdefinisikan pada x = 0, fungsi f tidak dapat kontinu pada titik ini. Namun,

sudah terlihat dalam Contoh 4.2.8 (f) bahwa 0

limx

(x sin (1/x)) = 0. Berdasarkan

5.1.6(a) jika kita definisikan F: R R dengan

F(x) = 0 untuk x = 0,

= x sin (1/x) untuk x 0,

Maka F kontinu pada x = 0.

6

Analisis Real, 2011



5.2 KOMBINASI DARI FUNGSI KONTINU

Misalkan A R dan misalkan f dan g adalah fungsi yang didefinisikan

pada A ke R dan misalkan b R. Pada Definisi 4.2.3 kami definisikan jumlah,

deferensial, hasil, dan perkalian fungsi didefinisikan oleh f + g, f g, fg, bf.

Dalam penjumlahan, jika h : dimana h(x) 0 untuk semua x ,

maka kami definisikan fungsi ini dilambangkan dengan f / h.

Teorema 5.2.1 Misalkan A R misalkan f dan g adalah fungsi yang didefinisikan

pada A ke R dan misalkan b R. Misalkan c dan bahwa f dan g adalah

kontinu pada c.

(a) Maka f + g, f g, fg, dan bf adalah kontinu pada c.

(b) Jika h: adalah kontinu pada c dan jika h(x) 0 untuk semua

x , maka hasil bagi f / h adalah kontinu pada c.

Bukti. Jika c bukan titik limit dari A, maka kesimpulannya adalah otomatis.

Kita dapat asumsikan bahwa c adalah titik poin dari A.

(a) Jika f dan g kontinu pada c, maka

f(c) = fcx

lim

dan g(c) = gcx

lim .

7

Analisis Real, 2011



Karenanya berikut ini dari teorema 4.2.4(a) bahwa

(f + g) (c) = f (c) + g (c) = ).(lim gfcx

+

Olehkarena itu f + g adalah kontinu pada c. Asersi yang ada di bagian (a) adalah

terbukti dengan cara yang sama.

(b) Jika c , maka h(x) 0. Tapi jika h(c) = hcx

lim , ia mengikuti

dari teorema 4.2.4(b) bahwa

Maka f / h kontinu pada c.

Selanjutnya hasil langsung akibat dari teorema 5.2.1, digunakan untuk

setiap titik dari A. Namun, karena hasil yang sangat penting, kita harus

menyatakan secara formal.

Teorema 5.2.2 Misalkan A R misalkan f dan g kontinu pada A ke R dan

misalkan .

(a) Fungsi f + g, f g, fg, dan bf adalah kontinu pada A.

(b) Jika h: adalah kontinu pada A dan h(x) 0 untuk semua x , maka

hasil bagi f / h adalah kontinu pada A.

Keterangan 5.2.3 Untuk mendefinisikan hasil bagi, kadang-kadang lebih nyaman

untuk melanjutkan sebagai berikut. Jika : , misalnya =

kita dapat mendefinisikan hasil bagi f / pada himpunan

oleh

(*) untuk x .

Jika adalah kontinu pada suatu titik , batasab yang

jelas juga kontinu pada c. Mengikuti dari teorema 5.2.1(b)

digunakan pada bahwa f / kontinu pada c . Jika (f / ) = (f /

8

Analisis Real, 2011



(x) untuk x mengikuti f / kontinu pada c . Jika f dan

kontinu pada A, maka fungsi f / didefinisikan pada oleh (*), adalah kontinu

pada .

Contoh-contoh 5.2.4

(a) Fungsi polinomial.

Jika p adalah fungsi polinomial, sehingga

untuk semua x , maka berikut ini

dari contoh 4.2.5 ( f ) bahwa p(c) = pcx

lim untuk x . Maka nilai suatu fungsi

polinomial kontinu pada R.

(b) Fungsi rasional

Jika p dan q adalah fungsi polinomial pada R, maka ada paling banyak

bilangan berhingga dari akar nyata dari q. Jika x { }

maka q(x) 0 sedemikian hingga kita dapat mendefinisikqn fungsi rasional r

dengan

untuk { }.

Ia telah dilihat dari contoh 4.2.5 (g) bahwa jika q(c) 0, maka

Dengan kata lain, r kontinu pada c. Karena c adalah semua bilangan real

yang bukan merupakan akar dari q, kami menyimpulkan bahwa fungsi rasional

kontinu di setiap bilangan real yang itu didefinisikan.

(c) Kita harus menunjukkan bahwa fungsi sinus kontinu pada R.

Untuk melakukannya kita menggunakan sifat berikut fungsi sinus dan

kosinus yang akan dibuktikan dalam Bab 8. Untuk semua x, y, z kita

memiliki:

|sin z| |z|, |cos z| 1,

Sin x sin y = 2 sin cos .

9

Analisis Real, 2011



Oleh karena itu jika c , maka kita dapatkan

| Sin x sin c | 2 . | x c | . 1 = | x c |.

Olehkarena itu sin kontinu pada c. Karena c , maka mengikuti sinus

yang kontinu pada R.

(d) Fungsi kosinus kontinu pada R

Kita gunakan sifat berikut fungsi sinus dan kosinus yang akan terbukti

nanti. Untuk semua x, y, z kita dapatkan :

|sin z| |z|, |sin z| 1,

cos x cos y = 2 sin sin .

Oleh karena itu jika c , maka kita dapatkan

| cos x cos c | 2 . 1 . | x c | = | x c |.

Olehkarena itu kosinus kontinu pada c. Karena c , maka mengikuti bahwa

kosinus kontinu pada R. (Atau, kita bisa menggunakan hubungan cos x = sin (x +

).)

(e) Fungsi tan, cot, sec, csc kontinu dimana dapat didefinisikan.

Untuk contoh, fungsi cotangen didefinisikan dengan

Disediakan sin x 0 (yaitu disediakan x n , n ). Karena sin dan cos

adalah kontinu pada R, mengikuti dari 5.2.3 fungsi cot kontinu pada domainnya.

Fungsi-fungsi trigonometri lainnya diperlakukan sama.

Teorema 5.2.5 Misalkan A R, misalkan f : A R dan misalkan | f |

didefinisikan untuk x dengan | f | (x) = | f(x)|.

(a) Jika f kontinu pada suatu titik c , maka | f | kontinu pada c.

(b) Jika f kontinu pada , maka | f | kontinu pada A.

10

Analisis Real, 2011



Bukti. Akan dibuktikan f kontinu pada c | f | kontinu pada c.

akan dibuktikan cx

lim | f (x) | = | f (c) |

untuk , maka terdapat sedemikian hingga 0 < | x c | < ,

maka | f (x) - f (c) | <

Karena || f (x) | - | f (c) | | f (x) - f (c) | < , terbukti cx

lim | f (x) | = | f (c) | maka

| f | kontinu pada c.

Teorema 5.2.6 Misalkan A R, misalkan f : A R, dan misalkan f(x) 0 untuk

semua x . Kita misalkan didefinisikan untuk c dengan ( ) (x) =

.

(a) Jika f kontinu pada suatu titik c , maka kontinu pada c.

(b) Jika f kontinu pada , maka kontinu pada A.

Bukti.

a) Buktikan jika f kontinu pada c maka kontinu pada c cx

lim f (x) = f (c) akan

dibuktikan cx

lim untuk > 0, terdapat sedemikian hingga 0

< | x c | < , untuk | f (x) - f (c) | < karena | f (x) - f (c) | < .

Karena | maka |

. Terbukti cx

lim maka kontinu

pada c.

b) Pembuktiannya sama.

Komposisi dari Fungsi-fungsi Kontinu

11

Analisis Real, 2011



Sekarang kita tunjukkan jika fungsi f : A R kontinu pada suatu titik c

dan jika g : B R kontinu pada suatu titik b = f(c), maka komposisi g o f

kontinu pada c. Dalam rangka untuk memastikan bahwa g o f didefinisikan pada semua

dari A, kita asumsikan bahwa f(A) B.

Teorema 5.2.7 Misalkan A, B, R dan misalkan f : A R dan g : B R

adalah fungsi sedemikian hingga f(A) B. Jika f kontinu pada pada titik c A

dan g kontinu pada b = f(c) B, maka komposisi g o f : A R kontinu pada c.

Bukti. Misalkan W adalah suatu - persekitaran dari g(b). Karena g kontinu

pada b, ada suatu - persekitaran V dari b = f(c) sedemikian hingga jika y B

maka g(c) W. Nilai f kontinu pada c, akan ada suatu persekitaran U dari

c sedemikian hingga jika x A U, maka f(c) . (Lihat penjelasan 5.2.1 pada

halaman berikutnya). Nilai f(A) B, jika x A U, maka f(x) V

sehingga g o f(x) = g(f(x)) W. Tetapi nilai W adalah - persekitaran dari g(b),

implikasi ini bahwa g o f kontinu pada c.

12

Analisis Real, 2011



Teorema 5.2.8 Misalkan A, B, R dan misalkan f : A R kontinu pada A, dan

misalkan g : B R kontinu pada B . Jika f(A) B, maka komposisi g o f : A

R kontinu pada A.

Bukti. Teorema segera mengikuti dari hasil sebelumnya, jika f dan g kontinu pada

setiap titik dari A dan B, respectively.

Teorema 5.2.7 dan 5.2.8 sangat digunakan dalam menghitung bahwa fungsi-

fungsi tertentu kontinu. Dapat digunakan pada banyak situasi dimana akan sulit

untuk digunakan definisi dari kontinu langsung.

Contoh 5.2.9 (a) Misalkan g1(x) = |x| untuk x R. Ini mengikuti dari

Ketimpangan Segitiga (Lihat akibat 2.3.4) bahwa

| g1(x) - g1(x) | | x c |

Untuk semua x, c R. Karena g1 kontinu pada c R. Jika f : A R adalah

fungsi kontinu pada A, maka Teorema 5.2.8 berimplikasi g1 o f = | f | kontinu

pada A. Ini pembuktian lain dari bukti dari Teorema 5.2.5.

(b) Misalkan g2(x) = untuk x 0. Jika f : A R . Dari Teorema 3.2.10

dan Teorema 5.1.3 bahwa g2 kontinu pada bilangan c 0. Jika f : A R kontinu

pada A dan jika f (x) 0 untuk semua x A, maka berdasarkan Teorema 5.2.8

bahwa g2 o f = kontinu pada A. Inipembuktian lain dari Teorema 5.2.6.

(c) Misalkan g3(x) = sin x untuk x R. Dapat kita lihat dalam contoh

5.2.4(c) bahwa g3 kontinu pada R. Jika f : A R kontinu pada A, maka

berdasarkan Teorema 5.2.8 bahwa g3 o f kontinu pada A.

Khususnya, jika f(x) = 1/x untuk x / 0, maka fungsi g(x) = sin (1/x)

kontinu pada setiap titik c 0. [Dapat kita lihat, dalam contoh 5.1.7(a), bahwa g

tidak dapat didefinisikan pada 0 agar menjadi kontinu di titik itu.

5.3. FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL

13

Analisis Real, 2011



Fungsi yang kontinu pada interval memiliki sejumlah sifat yang sangat

penting yang tidak dimiliki oleh fungsi kontinu umum. Pada bagian ini, kita akan

membuat beberapa hasil yang amat penting dan akan diterapkan kemudian.

Alternatif bukti hasil ini akan diberikan dalam bagian 5.5.

5.3.1. Definisi. Sebuah fungsi dikatakan terbatas pada jika terdapat

bilangan konstanta sedemikian sehingga .

Dengan kata lain, sebuah fungsi dikatakan terbatas dalam suatu himpunan

jika kisaran fungsi tersebut terbatas dalam . Untuk menyatakan bahwa sebuah

fungsi tidak terbatas pada himpunan yang diberikan, dinyatakan bahwa bilangan

yang tidak nyata bisa membantu membatasi himpunan fungsi tersebut. Dengan

kata lain, Sebuah fungsi tidak terbatas dalam himpunan jika diberikan

. Ada sebuah bilangan sedemikian sehingga . Kita

sering mengatakannya bahwa tidak terbatas pada dalam hal ini.

Sebagai contoh, fungsi didefinisikan dalam interval dengan

tidak terbatas dalam karena , kita bisa mengambil pendapat

dalam untuk mendapatkan . Contoh ini

menunjukkan bahwa fungsi kontinu tidak memerlukan batasan. Dalam teorema

selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa fungsi kontinu pada sebuah tipe

interval khusus memerlukan batasan.

5.3.2. Teorema Keterbatasan. Misalkan sebuah batas interval tertutup

dan kontinu pada I. Maka f terbatas pada I.

Bukti. Misalkan f tidak terbatas pada I, maka terdapat sebuah bilangan

sedemikian hingga . Karena I terbatas, barisan

14

Analisis Real, 2011



terbatas. Oleh karena itu, pada teorema 3.4.8 Bolzano-Weierstrass menyatakan

secara tidak langsung bahwa terdapat sebuah sub barisan di yang

konvergen pada sebuah bilangan . Karena I tertutup dan elemen kepunyaan

I, dengan mengikuti teorema 3.2.6 bahwa . Maka f kontinu di , sehingga

konvergen pada . Kita dapat menyimpulkan dari teorema 3.2.2

bahwa barisan konvergen harus terbatas. Tetapi ini merupakan sebuah

kontradiksi dari

for

Oleh karena itu, permisalan bahwa fungsi kontinu f tidak terbatas pada interval

batas tertutup I menuju sebuah kontradiksi.

Secara matematis pembuktian tersebut dapat ditulis seperti berikut.

Misal, jika f tidak terbatas pada I, dimana , .

kalau I terbatas, maka terbatas. Dari teorema Bolzano-Weierstrass, subbarisan

konvergen ke .

barisan konvergen, di dalam I, karena I tertutup,

f kontinu ke x, maka konvergen pada .

terbatas, maka .

tidak memenuhi. Sehingga permisalan salah sehingga

terbukti.

Untuk menunjukkan bahwa setiap hipotesis teorema keterbatasan

diperlukan, kita bisa memberikan contoh dengan menunjukkan bahwa kesimpulan

gagal jika salah satu dari hipotesis benar.

(i) Interval harus terbatas. Fungsi untuk tidak terbatas, interval

tertutup kontinu tetapi tidak terbatas di .

(ii) Interval harus tertutup. Fungsi untuk dalam interval setengah

terbuka kontinu tetapi tidak terbatas di .

15

Analisis Real, 2011



(iii) Fungsi harus kontinu. Fungsi h didefinisikan dalam interval tertutup

oleh untuk dan tidak kontinu dan

tidak terbatas di .

Teorema Maksimum-Minimum

5.3.3. Definisi. Misalkan dan . Kita katakan bahwa f mempunyai

sebuah maksimum mutlak di jika terdapat titik sedemikian sehingga

Kita katakan bahwa f mempunyai sebulah minimum mutlak di jika terdapat

bilangan sedemikian sehingga

Kita katakan bahwa sebuah titik maksimum mutlak untuk f pada , dan

sebuah titik minimum mutlak untuk f pada , jika mereka ada.

Kita catat bahwa sebuah fungsi kontinu di himpunan A tidak selalu

mempunyai maksimum mutlak atau minimum mutlak pada himpunan.

Sebagai contoh, , apakah mempunyai mempunyai maksimum

mutlak maupun minimum mutlak pada himpunan :

1. .

, sehingga tidak mempunyai maksimum mutlak maupun minimum

mutlak,

2.

,

.

Jadi, juga tidak mempunyai mempunyai maksimum mutlak maupun

minimum mutlak.

16

Analisis Real, 2011



3.

,

.

Jadi, mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak.

4.

,

.

Maka, hanya mempunyai nilai maksimum mutlak saja.

Dengan mudah terlihat bahwa jika sebuah fungsi mempunyai titik

maksimum mutlak, maka titik ini tidak perlu ditentukan dengan khusus. Sebagai

contoh, fungsi didefinisikan untuk mempunyai dua

titik diberikan maksimum mutlak di , dan titik tunggal untuk

minimum mutlak di . Lihat gambar 5.3.2. Untuk mengambil contoh

perbedaannya yang besar, fungsi konstanta untuk sedemikian

sehingga setiap titik adalah dua titik untuk sebuah maksimum mutlak dan

sebuah minimum mutlak untuk .

17

Analisis Real, 2011



5.3.4. Teorema Maksimum-Minimum. Misalkan batas interval

tertutup dan kontinu pada . Maka f mempunyai sebuah maksimum

mutlak dan sebuah minimum mutlak dari .

Bukti. Ambil dan kontinu pada , maka f mempunyai

maksimum mutlak dan minimum mutlak dari

Ambil titik terbesar , dan titik terkecil .

Karena , maka bukan lagi batas atas dari himpunan .

Sebagai akibatnya,

di dalam I. karena I terbatas, maka terbatas.

dengan teorema Bolzano-Weierstrass, konvergen , karena

di dalam I dan , maka f kontinu pada , sehingga

.

Disimpulkan bahwa maksimum mutlak pada I.

5.3.5. Location of roots Theorem. Misalkan dan kontinu pada

I. Jika , atau , maka terdapat sebuah bilangan

sedemikian sehingga .

Bukti. Kita asumsikan bahwa . Kita akan bangun sebuah barisan

dari interval dengan suksesif biseksi. Misalkan , dimana

18

Analisis Real, 2011



dan menjadi titik tengah . Jika , kita ambil .

Jika , maka kemungkinannya adalah atau . Jika

, maka , sedangkan jika , maka

. Pada kedua kasus tersebut, kita misalkan , maka

kita peroleh dan , .

Kita lanjutkan ke proses biseksi. Andaikan bila interval

memperoleh suksesif biseksi dengan cara yang sama. Maka kita mempunyai

dan dan . Jika , maka .

Jika , himpunan , sedangkan jika ,

himpunannya . Pada kedua kasus tersebut, kita misalkan

, maka dan , .

Jika proses akhirnya letak titik sedemikian sehingga , maka

kita telah selesai. Jika proses tidak berakhir, maka kita mendapat sebuah

kumpulan barisan interval batas tertutup sedemikian sehingga

kita peroleh

dan .

Selanjutnya, karena intervals mendapatkan suksesif biseksi, panjang sama

dengan . Ini terdapat pada kumpulan sifat interval 2.5.2 bahwa

terdapat titik c yang terdapat pada , , kita peroleh

, dan . Oleh

sebab itu, menurut , karena kontinu di c, kita

memperoleh

.

Kenyataannya , menyiratkan bahwa

. Dan juga kenyataannya bahwa yang

19

Analisis Real, 2011



menyiratkan bahwa . Jadi, kita simpulkan bahwa . Oleh

karena itu, c adalah sebuah akar f.

5.3.6. Contoh. Persamaan mempunyai sebuah akar c dalam

interval , karena f kontinu pada interval ini dan dan

. Kita buat tabel, dimana tanda dari f menentukan interval pada

langkah berikutnya. Kolom paling kanan adalah batas atas percobaan saat

digunakan untuk memperkirakan akar c, karena

Kita akan menemukan perkiraan dengan mencobakan kurang dari 10-2

,

n

1 0 1 .5 -1.176 .5

2 .5 1 .75 -.412 .25

3 .75 1 .875 +.099 .125

4 .75 .875 .8125 -.169 .0625

5 .8125 .875 .84375 -.0382 .03125

6 .84375 .875 .859375 +.0296 .015625

7 .84375 .859375 .8515625 _ .0078125

Kita berhenti pada n = 7, berlaku dengan

mencobakan kurang dari .0078125. Ini tahap pertama dalam mencobakan kurang

dari 10-2

. Tempat nilai desimal letak keduanya tidak bisa digunakan, tetapi kita

bisa menyimpulkan bahwa .

Teorema Bolzano

20

Analisis Real, 2011



Hasil selanjutnya adalah penyamarataan teorema letak akar-akar. Keyakinan kita

bahwa sebuah fungsi kontinu pada sebuah interval memuat paling sedikit dua

bilangan bernilai.

5.3.7. Teorema nilai lanjut Bolzano. Misalkan I sebuah interval dan

kontinu di I. Jika dan jika memenuhi , maka

terdapat titik diantara a dan b sedemikian sehingga .

Bukti. Andaikan dan , maka . Menurut

teorema letak akar-akar 5.3.5. terdapat sebuah titik c dengan

sedemikian sehingga . Oleh karena itu, .

Jika , dan maka h . Oleh karena itu,

terdapat sebuah titik c dengan sedemikian sehingga

, maka .

5.3.8. Corollary. Misalkan tertutup, interval terbatas dan

kontinu pada I. Jika , adalah sembarang bilangan maka akan memenuhi

Maka, terdapat sebuah bilangan sedemikian sehingga .

Bukti.

Menurut Teorema Maksimum-Minimum 5.3.4 bahwa terdapat titik dan di I

sedemikian sehingga

Kesimpulan sekarang mengikuti dari teorema Bolzano 5.3.7.

Teorema selanjutnya yakni merangkum dari hasil utama bagian ini. Ini

menyatakan bahwa bayangan tentang sebuah interval terbatas tertutup menurut

sebuah fungsi kontinu dan juga sebuah interval terbatas tertutup. Titik terakhir

21

Analisis Real, 2011



gambar interval adalah nilai minimum absolut dan nilai maksimum absolut fungsi,

dan pernyataannya adalah semua nilai antara nilai minimum absolut dan

maksimum absolut yang menerangkan cara menggambarkan nilai teorema nilai

lanjut Bolzano.

5.3.9. Teorema. Misalkan I sebuah interval terbatas tertutup dan

kontinu di I. Maka himpunan sebuah interval terbatas

tertutup.

Bukti. Jika kita misalkan dan , maka kita tahu dari

teorema Maksimum-Minimum 5.3.4 bahwa m dan M milik . Selain itu, kita

tahu . Jika k suatu elemen dari , maka menurut corollary yang

terdahulu bahwa terdapat sebuah titik sedemikian sehingga .

Maka, dan kita simpulkan bahwa . Oleh karena itu,

adalah interval .

Peringatan. Jika adalah interval dan kontinu di I, kita

buktikan bahwa adalah interval . Kita jangan buktikan (dan itu tidak

selalu benar) bahwa adalah interval . Lihat gambar 5.3.3.

22

Analisis Real, 2011



Teorema terdahulu adalah sebuah teorema pengembangan dalam arti

bahwa hal itu menyatakan bahwa gambar terus menerus interval terbatas tertutup

adalah satu set dari jenis yang sama. Teorema selanjutnya menjelaskan hasil

teorema ini mengakibatkan interval umum. Namun, perlu dicatat bahwa meskipun

gambar terus menerus interval adalah terbukti interval, itu tidak benar bahwa

interval gambar harus memiliki bentuk yang sama sebagai interval domain.

Sebagai contoh, gambar kontinu dari sebuah interval terbuka tidak perlu

interval terbuka, dan gambar kontinu dari sebuah interval tertutup tidak terbatas

tidak perlu interval tertutup. Tentu saja, jika , maka f

kontinu pada . Ini mudah untuk melihat bahwa , maka

, yang mana bukan sebuah interval terbuka. Dan juga, jika

, maka , yang mana bukan sebuah interval tertutup (lihat

gambar 5.3.4).

5.3.10. Teorema Interval Terdahulu. Misalkan I menjadi interval dan

kontinu di I. Maka himpunan adalah interval.

Bukti. Misalkan dengan , maka terdapat titik

sedemikian sehingga dan . Selanjutnya, menurut teorema nilai

lanjut Bolzano 5.3.7 bahwa jika maka terdapat bilangan dengan

23

Analisis Real, 2011



. Oleh sebab itu, . Pada teorema 2.5.1 telah

menunjukkan sifat khusus . Sehingga merupakan sebuah interval.

5.4. KEKONTINUAN SERAGAM

Misalkan dan . Definisi 5.1.1 menyebabkan beberapa

pernyataan di bawah ini yang ekuivalen:

(i) f kontinu pada setiap titik ;

(ii) diberikan dan , maka terdapat sedemikian sehingga

dan , maka .

Titik ini tergantung pada , secara umum . Faktanya

adalah pada u sebuah bayangan nyata bahwa fungsi f boleh mengganti nilainya

dengan cepat mendekati titik tertentu dan dengan berlahan mendekati titik lain.

Untuk contoh, mengingat . Lihat gambar 4.1.3.

Sekarang kekontinuan seragam sering terjadi supaya fungsi f sedemikian

sehingga bilangan bisa terpilih menjadi titik . Untuk contoh,

, maka

,

dan kita bisa memilih , mengapa?

Pada sisi lain , maka

(1)

Jika diberikan dan jika kita mengambil

(1) ,

maka jika , kita dapatkan , sehingga ,

maka . Jadi, jika , persamaan (1) menghasilkan ketidaksamaan

24

Analisis Real, 2011



(2) .

Kita telah melihat bahwa pilihan oleh rumus (2)

pengerjaannya dengan arti bahwa ketidakmungkinan kita memberi nilai yang

akan memastikan bahwa ketika dan . Kita

catat bahwa nilai diberikan pada (2) tentunya untuk titik . Jika kita

berharap untuk menganggap semua , rumus (2) tidak menuju satu nilai

yang akan mengerjakan secara serempak untuk semua , karena

.

5.4.1. Definisi. Misalkan dan . Kita katakana bahwa f adalah

kontinu keseluruhan di A jika untuk setiap terdapat sedemikian

sehingga jika untuk sembarang bilangan maka , maka

.

Ini jelas jika f adalah kontinu keseluruhan di A, maka f kontinu pada setiap

titik di A. Secara umum, tidak bertentangan dengan fungsi dalam

himpunan .

Ini berguna untuk merumuskan sebuah kondisi yang ekuivalen untuk

mengatakan bahwa f tidak kontinu keseluruhan di A.

5.4.2. Kriteria Kontinu tidak Seragam

Misalkan Misalkan dan , maka pernyataannya akan ekuivalen

pada:

(i) f kontinu tidak seragam di A.

(ii) terdapat sedemikian sehingga , terdapat titik

sehingga dan .

25

Analisis Real, 2011



(iii) Terdapat dan dua barisan dan di A sedemikian sehingga

dan .

Kita bisa menggunakan hasil ini untuk menunjukkan kontinu

tidak seragam pada . Karena, jika dan ,

maka kita mendapatkan , tetapi .

5.4.3. Teorema Kontinu Seragam

Misalkan I interval terbatas tertutup dan kontinu pada I. Maka f kontinu

tidak seragam di I.

Bukti. Jika f kontinu tidak seragam di I maka akibat teorema terdahulu, terdapat

dan dua barisan dan pada I sedemikian sehingga

dan . Karena I terbatas, barisan

terbatas, menurut teorema Bolzano-Weierstrass 3.4.8, ada sebuah sub barisan

di yang konvergen pada element z. karena I tertutup, limit z milik I,

menurut teorema 3.2.6 ini jelas bahwa sub barisan juga konvergen pada z.

Karena

.

Sekarang jika f kontinu pada titik z, maka barisan dan

harus konvergen pada . Tetapi ini tidak mungkin karena

Jadi, hipotesis bahwa f kontinu tidak seragam pada interval tertutup

terbatas I menyatakan secara tidak langsung bahwa f tidak kontinu pada satu titik

. Oleh karena itu, jika f kontinu pada setiap titik di I, maka f adalah kontinu

seragam pada I.

26

Analisis Real, 2011



Fungsi Lipschitz

Jika sebuah fungsi kontinu seragam cenderung pada sebuah himpunan, maka

bukan interval tertutup terbatas, dan terkadang sulit untuk menetapkan kontinu

seragam. Tetapi, terdapat sebuah kondisi bahwa sering kali menjadi cukup untuk

menjamin kontinu seragam.

5.4.4. Definisi. Misalkan dan . Jika terdapat konstanta

sedemikian sehingga

(4)

, maka f dikatakan sebuah fungsi Lipschitz di A.

5.4.5. Teorema.

Jika sebuah fungsi Lipschitz, maka f kontinu seragam pada A.

Bukti. Jika kondisi (4) memenuhi, maka diberikan , kita bisa mengambil

. Jika yang memenuhi , maka

. Oleh karena itu, f kontinu seragam pada A.

5.4.6. Contoh. (a) jika , maka

Maka, f memenuhi (4) dengan pada A. Oleh sebab itu, f

kontinu seragam pada A. Tentunya, karena f kontinu dan A interval terbatas

tertutup, dapat ditarik kesimpulan dari teorema kontinu seragam. (catatan bahwa f

tidah memenuhi di kondisi Lipschitz pada interval ).

Tidak setiap fungsi kontinu seragam adalah sebuah fungsi Lipschitz.

Diberikan , untuk x di interval tertutup terbatas .

Karena g kontinu pada I, menurut teorema kontinu seragam 5.4.3 bahwa g kontinu

seragam I, bagaimanapun tidak ada bilangan K > 0 sedemikian sehingga

27

Analisis Real, 2011



, untuk setiap . Oleh karena itu, g bukan sebuah fungsi

Lipschitz pada I.

Teorema Kontinu Tambahan

Kita telah melihat contoh fungsi, yakni kontinu tetapi tidak kontinu seragam pada

interval terbuka. Sebagai contoh, fungsi pada interval . Di sisi lain,

menurut teorema kontinu seragam, sebuah fungsi yang kontinu pada interval

tertutup terbatas selalu kontinu seragam. Jadi, timbul pertanyaan: dengan kondisi

apa sebuah fungsi kontinu seragam pada interval terbatas terbuka? Jawaban yang

menyatakan kekuatan kontinu seragam. Untuk menunjukkan bahwa sebuah fungsi

adalah kontinu seragam jika dan hanya jika bisa didefinisikan pada titik

terakhir untuk menghasilkan sebuah fungsi yang kontinu pada interval tertutup.

5.4.7. Teorema. Jika kontinu seragam pada subset A di dan jika

adalah barisan Cauci di A, maka adalah barisan Cauci di .

Bukti. Misalkan barisan Cauci di A, dan . Pilihan pertama

sedemikian sehingga memenuhi , maka

. Karena sebuah barisan Cauci, terdapat sedemikian

sehingga . Dengan memilih , maka ,

kita punya . Oleh karena itu, barisan adalah sebuah

barisan Cauci.

5.4.8. Teorema Kontinu Tambahan. Sebuah fungsi f kontinu seragam pada

interval jika dan hanya jika dapat didefinisikan pada titik terakhir a dan b

sedemikian sehingga fungsi tambahan adalah kontinu pada .

Bukti. Andaikan f kontinu seragam pada . Kita akan menunjukkan

bagaimana memberikan f untuk a, penjelasan untuk b serupa. Ini dikerjakan

28

Analisis Real, 2011



dengan menunjukkan bahwa ada, dan ini cocok digunakan untuk

standar limit. Jika sebuah barisan di dengan lim (xn) = a, maka

sebuah barisan Cauci dan menurut teorema sebelumnya, barisan juga

sebuah barisan Cauci, dan konvergen menurut teorema 3.5.5. oleh karena itu,

. Jika barisan lain di yang konvergen pada a,

maka , menurut kontinu seragam pada f kita dapatkan

.

Karena kita mendapatkan nilai sama L untuk setiap barisan konvergen di

a, kita mengambil kesimpulan sebagai akibat dari standar untuk limit bahwa f

mempunyai lim L di a. Jika kita memberi definisi , maka f kontinu di a.

Dengan menggunakan pendapat yang sama untuk b, maka kita simpulkan bahwa f

kontinu tambahan untuk interval .

Karena limit tidak ada, kita mengambil kesimpulan

dari teorema kontinu tambahan bahwa fungsi kontinu tidak seragam pada , b

> 0. Pada sisi lain, karena , fungsi kontinu

seragam pada .

Taksiran

Di banyak aplikasi penting untuk dapat perkiraan fungsi kontinu oleh fungsi

bersifat dasar. walaupun ada berbagai definisi yang dapat digunakan untuk

membuat kata perkiraan yang lebih tepat, salah satu yang paling alami (dan juga

salah satu yang paling penting) adalah dengan mewajibkan bahwa, pada setiap

titik dari domain yang diberikan, fungsi perkiraan harus tidak berbeda dari fungsi

yang diberikan.

5.4.9. Definisi. Misalkan menjadi interval dan . Maka s

dikatakan fungsi step jika hanya bilangan terbatas bernilai nyata, setiap nilai

diasumsikan pada satu atau lebih interval dalam I.

Untuk contoh, fungsi didefinisikan

29

Analisis Real, 2011



Adalah sebuah fungsi step. (Lihat gambar 5.4.3)

5.4.10. Teorema. Misalkan I sebuah interval tertutup terbatas dan

kontinu pada I. Jika , maka terdapat fungsi step sedemikian

sehingga .

Bukti. Karena (teorema 5.4.3 kontinu uniform) fungsi f adalah kontinu secara

keseluruhan, dengan , maka terdapat sebuah bilangan sedemikian

sehingga jika dan , maka . Misalkan

dan sehingga panjang interval . Sekarang

kita pisahkan sampai m pada interval h, yaitu

. Karena

30

Analisis Real, 2011



setiap panjang subinterval adalah , perbedaan diantara dua nilai f pada

kurang dari . Sekarang kita definisikan

(5)

Sedemikian sehingga konstanta pada setiap . (Kenyataannya nilai pada

adalah nilai f pada titik paling terakhir . (Lihat gambar 5.4.4). Oleh karena itu,

jika , maka

.

Oleh karena itu, kita dapat .

Catatan bahwa bukti teorema yang terdahulu menetapkan sedikit banyak

penjelasan tentang pernyataan teorema di atas. Kenyataannya, kita membuktikan

dengan mengikuti teorema sebelumnya dengan lebih tepat dan jelas.

5.4.11. Corollary. Misalkan sebuah interval tertutup terbatas dan

kontinu pada I. Jika , terdapat bilangan m sedekian sehingga jika

kita pisahkan I sampai m interval mempunyai panjang , maka

fungsi step didefinisikan dalam persamaan (5) yang memenuhi

.

31

Analisis Real, 2011



5.4.12. Definisi. Misalkan sebuah interval. Dan sebuah fungsi

dikatakan Linear Piecewise pada I jika I UNION bilangan terbatas

interval disjoint , sedemikian sehingga batas g untuk setiap interval

adalah fungsi linear.

Catatan. Definisi di atas jelas bahwa dalam order untuk liner piecewise fungsi g

akan kontinu pada I, bagian deretan yang membentuk grafik g harus bertemu pada

titik akhir perbatasan subintervals .

5.4.13. Teorema. Misalkan I interval terbatas tertutup dan dan kontinu

pada I. Jika , maka terdapat sebuah fungsi linear kontinu piecewise


Bukti. Karena f adalah kontinu secara keseluruhan pada , ada sebuah

bilangan sedemikian sehingga jika dan , maka

. Misalkan cukup besar, maka .

Membagi sampai ke m dengan menguraikan panjang interval h, yaitu

dan untuk k = 2, , m. Pada setiap

interval kita definisikan menjadi fungsi linear yang berhubungan dengan

titik

dan .

Maka kontinu piecewise fungsi linear pada I. Karena nilai sampai

dan , maka dengan latihan untuk menunjukkan

bahwa , oleh karena itu ketidaksamaan .

32

Analisis Real, 2011



5.4.14. Teorema Penaksiran Weiestrass. Misalkan dan sebuah

fungsi kontinu. Jika diberikan , maka terdapat sebuah fungsi polynomial


Ada sejumlah bukti dari hasil ini. Sayangnya, semua bukti dari hasil

tersebut agak rumit, atau menggunakan hasil yang belum kita miliki. Salah satu

bukti yang paling dasar didasarkan pada teorema berikut, karena Serge Bernstein,

untuk fungsi kontinu pada . Diberikan , Bernstein definisikan

barisan polinomial:

(6)

Fungsi polynomial Bn dikatakan n ke polinomial Bernstein untuk f; sebuah

polinomial yang tingkatnya lebih dari n dan koefisien pada nilai fungsi f pada n+1

sama dengan titik dengan koefisien binomialnya

5.4.15. Teorema Penaksiran Bernstein. Misalkan kontinu dan

. Terdapat sebuah sedemikian sehingga jika , maka kita

dapatkan .

Teorema Penaksiran Weierstrass 5.4.14 diperoleh dari teorema Penaksiran

Bernstein 5.4.15. oleh pergantian variabel. Tegasnya, kita mengganti

dengan sebuah fungsi , dapat didefinisikan bahwa

.

Fungsi F bisa ditafsirkan oleh Berstein polynomial untuk F pada interval ,

sehingga dapat menghasilkan polynomial di menuju f.

Contoh. Tunjukkan bahwa tidak kontinu seragam pada R

tetapi kontinu pada R !

33

Analisis Real, 2011



Jawab.

Ambil sebarang ,

,

Untuk

Akibatnya,

Jika , ,

Ambil , berlaku

tergantung pada c. Kesimpulannya tidak kontinu seragam.

5.5. CONTINUITY AND GAUGES

5.5.1. Definisi. Interval merupakan kumpulan dari dari

interval tertutup yang tidak saling melengkapi . Kita biasanya menunjukkan

interval dari , dimana

Titik dikatakan titik partition pada . Jika titik telah dipilih

dari setiap interval , untuk maka titik dikatakan tags dan

himpunan order sepasang

Dikatakan sebuah tagged partition pada I.

34

Analisis Real, 2011



5.5.2. Definisi. Sebuah gauge pada I adalah fungsi strictly positif yang

didefinisikan pada I. Jika sebuah gauge pada I, maka sebuah (tagged) partition

, dikatakan -fine jika

.

Kita catat bahwa notasi keruncingan memerlukan partition menjadi

tagged, jadi kita tidak perlu mengatakan "tagged partition" dalam kasus ini.

5.5.3. Lemma. Jika sebuah partition pada adalah -fine dan

, maka terdapat sebuah tag pada sedemikian sehingga

.

Bukti. Jika , terdapat sebuah subinterval dari yang memuat x.

Karena adalah -fine, maka

,

Maka dari itu terbukti.

Dalam teori integrasi Riemann, kita akan menggunakan gauges yang

fungsi konstan untuk fineness pada partition, dalam teori umum Riemann integral,

penggunaan gauges nonconstant sangat penting. Tapi fungsi gauge nonconstant

muncul cukup alami sehubungan dengan fungsi kontinu. Contoh: misalkan

kontinu pada I dan . Maka, untuk setiap titik terdapat

sedemikian sehingga jika dan , maka

. Karena didefinisikan dan benar-benar positif pada I, fungsi

adalah sebuah gauge pada I. Kemudian dalam bagian ini, kita akan

menggunakan hubungan antara gauge dan kontinuitas untuk memberikan bukti

alternatif sifat dasar fungsi kontinu yang dibahas pada bagian 5.3 dan 5.4.

5.5.4. Contoh.

35

Analisis Real, 2011



(a). Jika dan adalah gauge pada dan jika ,

maka setiap partition adalah -fine dan juga -fine. Menurut teorema

sebelumnya tentang ketidaksamaan

dan

yang menyatakan secara tidak langsung

.

(b). Jika dan adalah gauges pada dan jika

maka juga sebuah gauge pada I. Selain itu, maka setiap -fine

partition adalah -fine. Demikian pula, setiap -fine partition adalah -fine

juga.

(c). Andaikan didefinisikan pada oleh

maka adalah gauge pada . Jika , maka

, yang mana tidak memuat titik 0. Jadi, jika

adalah sebuah -fine partition pada I, maka hanya subinterval pada yang

memuat 0 dan mesti memiliki 0 sebagai tag.

(d). misalakan didefinisikan pada oleh

, jika x = 0 atau x =1,

, jika ,

, jika .

36

Analisis Real, 2011



Maka adalah gauge pada I.

Adanya -Fine Partition

5.5.5. Teorema. Jika sebuah gauge pada interval , maka terdapaat sebuah

-fine partition .

Bukti. Misalkan E merupakan himpunan untuk semua titik sedemikian

sehingga terdapat sebuah -fine partition di subinterval . Himpunan E tidak

kosong, karena pasangan adalah -fine partition interval ketika

dan . Kita akan tunjukkan bahwa dan u = b.

Kita nyatakan bahwa . Karena, , terdapat

sedemikian sehingga . Misalkan sebuah -fine

partition dan misalkan . Maka sebuah -fine partition

, sehingga .

Jika , misalkan sedemikian sehingga .

Jika sebuah -fine partition , kita misalkan . Maka

sebuah -fine partition , di mana . Tetapi ini kontradiksi dengan

pengandaian bahwa u batas atas E. oleh karena u = b.

Beberapa Aplikasi

Bukti alternatif teorema 5.3.2. Teorema Keterbatasan. Karena f kontinu pada I,

maka terdapat sedemikian sehingga jika dan

, maka . Sehingga sebuah gauge pada I.

Misalkan sebuah -fine partition I dan misalkan

. Menurut lemma 5.5.3, diberikan terdapat I

dengan , dimana

.

37

Analisis Real, 2011



Karena berubah-ubah, maka f terbatas oleh i + K pada I.

Bukti alternatif teorema 5.3.4. Teorema Maksimum-Minimum. Kita akan

buktikan adanya . Misalkan dan .

Karena f kontinu pada I, untuk setiap terdapat sedemikian

sehingga jika dan , maka . Sehingga

sebuah gauge pada I, dan jika adalah -fine partition pada I, kita

misalkan

.

Dari lemma 5.5.3, diberikan , terdapat i dengan , di mana

.

Karena berubah-ubah, maka yakni sebuah batas atas untuk f pada

I, bertentangan dengan definisi M sebagai supremum pada f.

Bukti Pengganti Teorema. 5.4.3. Teorema Kontinu Seragam. Misalkan .

Karena f kontinu pada , terdapat sedemikian sehingga jika

dan , maka . Jadi, adalah sebuah gauge pada I.

Jika, adalah sebuah fine-partition di I, misalkan

. Andaikan dan dan pilih i

dengan . Karena

,

maka

.

Oleh karena itu, f kontinu keseluruhan pada I.

38

Analisis Real, 2011



5.6 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers

Teorema 5.6.1. Misalkan I R suatu interval dan misalkan f : I R increasing

pada I. Misalkan c I bukan suatu endpoint dari I. Maka

(i)

(ii) .

Bukti.

(i) Jika dan , maka . Karenanya himpunan

, yang nonvoid nilai c bukan suatu endpoint dari I, terbatas

dengan f(c). Indikasi ada supremum ; dinotasikan dengan L. Jika , maka

L bukanlah batas atas dari himpunan ini. Karenanya ada

sehingga L < f ( L. Nilai f increasing, kita

dedukasikan jika dan jika 0 < c y < , maka < y < c

sehingga

L < f ( ) f (y) L.

Karenanya | f (y) L | < dimana 0 < c y < .

(ii) Pembuktiannya sama dengan (i).

Berikut adalah kriteria untuk kekontinuan dari suatu fungsi f pada satu ttik

c yang bukan endpoint dari interval pada f.

5.6.2 Corollary

Misalkan I R suatu interval dan misalkan f : I R increasing pada I. Misalkan

c I bukan suatu endpoint dari I. Maka statemen berikut berikut ekuivalen.

(a) f kontinu pada c

(b) .

(c)

Teorema 5.6.3

39

Analisis Real, 2011



Misalkan I R suatu interval dan misalkan f : I R increasing pada I. Jika c

I, maka f kontinu pada c jika dan hanya jika

Bukti.

Jika c bukan endpoint, berikut ini mengikuti corollary 5.6.2. Jika c I adalah

endpoint kiri dari I, maka f kontinu pada c jika dan hanya jika f(c) = ,

yang ekuivalen denga n Begitu juga endpoint kanan.

Teorema 5.6.4

Misalkan I R suatu interval dan misalkan f : I R monoton pada I. Maka

himpunan dari titik-titik D I pada f yang tidak kontinu adalah contable

himpunan.

Bukti. Kita notasikan f increasing, maka untuk semua c I.

Jika a < ...< b,

(1) f(a) f(a) + + + ... + f(b),

maka berikut ini

+ ... + f(b) - f(a).

(2) h(x + y) = h(x) + h(y) untuk semua x, y R,

dan jika h kontinu pada satu titik , maka h kontinu pada setiap titik dari R.

Fungsi Invers

Teorema Invers Kontinu 5.6.5

Misalkan I R suatu interval dan misalkan f : I R strictly monoton dan

kontinu pada I. Maka fungsi g invers f strictly monoton dan kontinu pada J = f(I).

Definisi 5.6.6

(i) Jika m, n N dan x 0, Kita definisikan

40

Analisis Real, 2011



(ii) Jika m, n N dan x > 0, Kita definisikan

Teorema 5.6.7

Jika m Z, n N dan x > 0, maka .

Bukti.

Jika x > 0 dan m, n Z, maka . Sekarang misalkan y =

= > 0 sehingga .

bab5fungsikontinu

Documents