Bab 3

Limit dan Kekontinuan

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa1. memahami konsep limit kiri dan limit kanan.2. memahami konsep limit. 3. mampu menyelesaikan soal limit.4. memahami konsep kekontinuan suatu fungsi dan menyelesaikan soal kekontinuan fungsi

Pendahuluan3.1

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar perkataan mendekati. Seorang pembalap memacu mobilnya dengan kecepatan mendekati angka 150 km/jam. Pada kondisi ini kalau diperhatikan seksama maka kecepatan yang ditunjukkan pada speedometer tidak tepat pada angka 150 km/jam. Pernyataan seperti ini dalam matematika ditemukan pada pembahasan mengenai limit. Materi tentang limit dan kekontinuan fungsi merupakan konsep dasar yang penting untuk diketahui sebelum pembahasan konsep turunan. Karena itulah maka pada bab ini akan dipelajari definisi limit dan kekontinuan fungsi.

Definisi Limit Fungsi3.2

Limit dari suatu nilai fungsi f(x) untuk mendekati ditulis sebagai

.

Jika mendekati dari kiri maka limit dari suatu nilai fungsi f(x) ditulis dan jika mendekati dari kanan maka limit dari suatu nilai fungsi f(x) ditulis . Perhatikan bahwa nilai hanya mendekati dan .

Selanjutnya jika maka ada dan nilainya adalah .

Contoh-1

Tentukan jika .

Penyelesaian :

Untuk x 4 makadan grafik fungsi tersebut adalah :

Dari grafik dapat dilihat bahwa jika nilai x mendekati 4 dari kiri dan x mendekati 4 dari kanan maka nilai f(x) akan mendekati 6 tetapi f(x) tidak terdefinisi pada . Untuk lebih jelasnya perhatikan juga tabel berikut :

x3.53.89944.0014.0114.14.2

f(x)5.55.9996.0016.0116.16.2

Jadi sehingga .

Contoh-2 Hitunglah nilai limit berikut ini dengan subtitusi langsung.a.

b.

c.

d.

e.

f.

Penyelesaian :a.

b.

c. (tidak terdefinisi). Untuk menyelesaikannya

maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.d.

(tidak terdefinisi). Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.e.

. Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.

f. (tidak terdefinisi). Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara perasionalan akar sebagai berikut.

Contoh-3

Diketahui fungsi berikut . Tentukanlah:a.

b.

Penyelesaian :a.

Perhatikan untuk x menuju dari kiri aturan f ungsi yang digunakan adalah sedangkan untuk x menuju dari kanan aturan fungsi yang digunakan adalah . Oleh karena itu, untuk mencari digunakan limit sepihak (limit kiri dan limit kanan)

b.

Perhatikan untuk x menuju 2 dari kiri aturan fungsi yang digunakan adalah sedangkan untuk x menuju 2 dari kanan aturan fungsi yang digunakan adalah. Oleh karena itu, untuk mencari digunakan limit sepihak (limit kiri dan limit kanan)

tidak ada.

Kekontinuan Fungsi3.3

Fungsi kontinu di jika memenuhi syarat-syarat berikut ini:1. f(a) ada atau terdefinisikan,2. ada3.

Jika minimal salah satu syarat tersebut tidak dipenuhi maka dikatakan tidak kontinu di.

Contoh-4

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di , jika tidak sebutkan alasannya.a.

b.

Penyelesaian :a.

. tidak terdefinisi (tidak ada) maka . tidak kontinu di .b.

(ada)

tidak kontinu di

Contoh-11

Diketahui fungsi . Tentukan nilai a agar kontinu .Penyelesaian :

ada jika .

Jadi

Jadi agar kontinu di makaatau

RangkumanLimit dari suatu nilai fungsi f(x) untuk mendekati ditulis sebagai. ada dan nilainya adalah jika .Fungsi kontinu di jika memenuhi syarat-syarat berikut ini:f(a) ada atau terdefinisikan,adaJika minimal salah satu syarat tersebut tidak dipenuhi maka dikatakan tidak kontinu di.

LATIHAN SOAL1. Selesaikan soal limit berikut ini :2. Selidiki apakaf fungsi kontinu di .3. Diketahui fungsi . Selidiki apakah kontinu dititik : 4. Diketahui fungsi . Tentukan nilai dan agar kontinu.

Matematika TerapanTeknik sipil PNJ 48

57Sistem Koordinat Kartesius