bab vii - dwipurnomoikipbu's blog | just another ... · web view... =a dan y’(0)=b,...

BAB VI

TRANSFORMASI LAPLACE

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat

memahami cara menentukan transformasi Laplace dan transformasi Laplace

invers suatu fungsi serta mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian

persamaan diferensial tingkat tinggi.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan

menggunakan metode langsung (integral tak wajar)

2. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan

menggunakan metode deret.

3. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan

menggunakan metode pecahan parsial.

4. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan

menggunakan rumus penguraian Heaviside.

5. Menentukan selesian persamaan diferensial tingkat tinggi dengan

menggunakan aplikasi transformasi Laplace dan transformasi Laplace invres.

Bab III dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum

persamaan diferensial linear, (2) cara menentukan selesaian persamaan diferensial

linear yang meliputi: cara faktor integral, metode Lagrange, mengubah persamaan

diferensial linear menjadi persamaan diferensial eksak, dan persamaan Bernoulli.

6.1 Transformasi Laplace

Definisi

Misalkan suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)

dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:

Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 151

Karena adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ( )

maka

Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk

beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.

Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t),

G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf

kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} =

y(s) dan seterusnya.

Teorema

Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap

interval 0 N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi

Laplace f(s) ada untuk setiap s >

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa

fungsi sederhana.

No.

1. 1

2. t

3. t

4. t

n = 0,1,2,3,….


5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh

transformasi Laplace suatu fungsi.

Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:

1.


2.

3.

4.


5.


Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada

Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang

berhingga 0 dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi

Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .


Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah cukup

untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi

Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.

6.2 Metode Transformasi Laplace

Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang

digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:

a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.

Metode ini berkaitan langsung dengan definisi

Contoh


b. Metode Deret

Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh

Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan

transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:

, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s >

c. Metode Persamaan differensial

Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh

F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.

d. Menurunkan terhadap parameter

e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang

ada.

f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan.

6.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace

Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut

antara lain:

a) Sifat linear

Jika c dan c adalah sebarang konstanta, sedangkan dan adalah

fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing

dan , maka:


Bukti:

1.

2.

3.


4.

Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut.

1. t

2.

3.

4.

5.

6.

b) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika

Bukti

Karena , maka

Contoh:

1. Tentukan

Menurut sifat 2 di atas,


Maka

2. Tentukan

Menurut sifat 2 di atas,

Karena

3. Tentukan

Karena maka menurut sifat translasi pertama

4. Tentukan

Me6nurut sifat linear,

}

Karena

maka menurut sifat translasi

,

dan


sehingga

L{e

Soal

Tentukan transformasi Laplace fungsi

1)

2)

3)

4)

5)

6)

c. Sifat translasi atau pergeseran kedua

Jika dan

maka

Bukti

Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga


Contoh

Carilah jika

Menurut definisi transformasi Laplace

d. Sifat pengubahan skala

Jika maka

Bukti

Karena

maka

Misal

Menurut definisi


Contoh:

1. Jika

maka

Soal:

1. Hitunglah jika

2. Jika , carilah

3. Jika carilah

Jawab

Karena maka menurut sifat 4 diperoleh

Sehingga


Berdasarkan sifat Jika

maka (sifat 2)

Maka

e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan

Jika maka

Karena Karena , maka

Jika maka

Bukti


Dengan cara yang sama diperoleh

Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa,

jika

maka

Contoh soal

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan,

tunjukkan bahwa

Misal diperoleh

sehingga


Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan

diperoleh

f. Tansformasi Laplace dari integral-integral

Jika maka

Bukti:

Misal maka

Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:

Jadi diperoleh

Contoh

1. Carilah


Misal

Maka

Sehingga menurut sifat transformasi di atas

2. Buktikan

Bukti:

Misal

dan

Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian

Menurut teorema harga awal,

Sehingga diperoleh .

Jadi

3. Buktikan


Bukti:

Misal maka atau

Menurut teorema harga akhir, sehingga c = 0.

Jadi atau

g. Perkalian dengan t

Jika maka

Bukti.

Karena maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan

dibawah tanda integral, diperoleh:

Jadi

Contoh


1. Tentukan

Jawab

, maka menurut sifat perkalian dari pangkat t diperoleh

, sehingga

2. Tentukan

Menurut sifat di atas,

h. Sifat pembagian oleh t

Jika maka

Bukti:

Misal maka

Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian,

maka diperoleh bentuk atau

Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh

.


Jadi

Soal-soal

1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

2) Jika

Carilah

3) Diketahui

1,

10,2)(

tttt

tF

a. carilah

b. carilah

c. apakah berlaku untuk kasus ini

4) Tunjukkan bahwa

5) Tunjukkan bahwa

6) Perlihatkan bahwa

a.


b.

7) Tunjukkan bahwa:

a.

b. Jika maka

6.4 Transformasi Laplace Invers

Definisi

Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika

maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s). Secara simbolis

ditulis . disebut operator transformasi Laplace invers.

Contoh.

1. Karena maka

2. Karena maka

3. Karena maka

Ketunggalan Transformasi Laplace Invers

Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)}

Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi

Laplace yang sama.

Contoh

dan

Mengakibatkan

Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace

invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan


fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah

tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.

Teorema Lerch

Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagian-

sebagaian dalam setiap selang berhingga 0 dan eksponensial berorde untuk

t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu , adalah

tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap

ketunggalan di atas.

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers

beberapa fungsi sederhana dibawah ini.

Nomor f(s)

1. 1

2. t

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers


Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah:

1) Sifat Linear

Misal dan adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan dan

berturut-turut adalah transformasi Laplace dari dan , maka:

Contoh

2) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika maka

Contoh

maka

3) Sifat translasi atau pergeseran kedua

Jika maka

Contoh

maka


4) Sifat pengubahan skala

Jika maka

Contoh

Karena maka diperoleh

5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan

Jika maka

Contoh

Karena dan maka diperoleh

6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan

Jika maka

Contoh

Karena maka

diperoleh

7) Sifat perkalian dengan

Jika maka


Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika

f(t) , sehingga

dengan adalah fungsi delta Dirac atau

fungsi impuls satuan.

Contoh

arena dan maka

8) Sifat pembagian dengan s

Jika maka

Jadi pembagian dengan s mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t.

Contoh

Karena maka diperoleh

9) Sifat konvolusi

Jika dan maka

F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan

teorema konvolusi atau sifat konvolusi.

Contoh


Karena dan

maka diperoleh

6.6 Metode Transformasi Laplace Invers

Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara,

sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat

digunakan, antara lain:

1) Metode pecahan parsial

Setiap fungsi rasional , dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak

(polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya dapat

ditulis jumlah dari fungsi rasional yang mempunyai bentuk

Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial maka

dapat ditentukan

Konstanta A, B, C, …… dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-

pecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang

diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus.

Contoh

1. Tentukan

Jawab


atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)–3A=16 sehingga didapat

A = -2 dan B = 5

2. Tentukan

Jawab

Sehingga

Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1

Atau A = , B = , dan C =

Akhirnya diperoleh


2) Metode Deret

Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan

oleh

Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi

suku demi suku untuk memperoleh

Contoh

Tentukan

Jawab

=

Sehingga

+ ...

3) Metode persamaan diferensial

4) Turunan terhadap statu parameter

5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema


6) Penggunaan tabel

7) Rumus inversi kompleks

8) Rumus Penguraian Heaviside

Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat

P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang berbeda

yaitu , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka

Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut:

Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda , , , ... , maka

menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh

.....(1)

Dengan mengalikan kedua ruas dengan (s- dan mengambil s dengan

menggunakan aturan L’Hospital diperoleh

...

Sehingga (1) dapat ditulis sebagai

dengan demikian


9) Fungsi Beta

Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai

B(m,n) = a dan kita dapat memperlihatkan sifat-sifat:

1.

2.

Soal-soal

1. Tentukan,

a.

b.

c.

d.

e.


f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

2. Buktikan bahwa:

a.

b.

c.

d.

e.

f.


g.

3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa

a.

b.

c.

d.

6.7 Penggunaan pada Persamaan Diferensial

a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu

persamaan diferensial dengan koefisien konstan.

Misal ditentukan persamaan diferensial

atau dengan p,q adalah konstanta

dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan Y’(0)=B,

A dan B adalah konstanta yang diberikan.

Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara

melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya

gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar

.

Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi

Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan

diferensial tingkat tinggi.

Contoh

Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut.


1) dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-2

Jawab

Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan

diferensial diperoleh

Menurut sifat (5) transformasi Laplace

, sehingga

=

=

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

Untuk pemeriksaan jawab di atas


dan Y(0) = 1, Y’(0)=-2

2) dengan Y(0) = -3 dan Y’(0)=5

Jawab

Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial

diperoleh

Menurut sifat (5) transformasi Laplace

, sehingga

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel


Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian

persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial

yang berbentuk sehingga transformasi Laplace diperoleh

Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace

Jika maka

Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut

Tentukan selesaian persamaan diferensial

1) dengan Y(0) = 1 dan Y( )= 0

Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan

diperoleh:

Diperoleh

Karena bila kita dapatkan , sehingga


Akhirnya didapat , hal ini memenuhi Y( =0

2) , dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2

Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan

diperoleh:

s

ysyysys 1')'(22

ssyssy 12)1(' 2

Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu

derajat satu dan dapat diubah menjadi:

Faktor integral persamaan di atas adal

Maka

Sehingga

Akhirnya diperoleh

Soal-soal


Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut:

1) dengan Y(0) = 0 dan Y’(0) = 1

2) dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2

3) dengan Y(0) = 5 dan Y( ) = 0

4) dengan Y(0) = 3 dan Y’(0) = 0

5) dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=7

6) dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-1

6.8 Persamaan Diferensial Simultan

Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang menentukas selesaian persamaan

diferensial dengan rmenggunakan transformasi Laplace dan transformasi Laplace

invrers. Selanjutnya transformasi Laplace dan transformasi Laplace invers dapat

dipergunakan untuk menentukan dua atau lebih persamaan diferensial biasa

simultan. Metode yang digunakan tidak berbeda dengan penjelasan sebelumnya.

Persamaan diferensial simultan adalah persamaan diferensial yang secara

bersama-sama sebagai unsur yang tidak dapat dipisahkan dan didalamnya terdapat

turunan-turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang belum diketahui. Di dalam

persamaan difersial simultan diberikan syarat awal yang tertentu dan diketahui

nilainya pada variabel yang saling bergantung.

Berikut ini diberikan beberapa contoh persamaan diferensial simultan.

1.

2.

3.

Cara menentukan selesaiannya adalah dengan mengambil transformasi

Laplace pada masing-masing bagian persamaan diferensial , selanjutnya gunakan

metode substitusi atau eliminasi variabel persamaan dan dari proses eliminasi atau

substitusi akhirnya gunakan transformasi Laplace invers pada persamaan yang

diperoleh.


Contoh

Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini

1)

Jawab

Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu

gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:

atau

Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:

Analog, untuk variabel y

Sehingga


Atau

dan merupakan selesaian persamaan diferensial

simultan

2)

Jawab

Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu

gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:

atau

atau

Atau

Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:


Analog, untuk variabel y

Sehingga

merupakan selesaian persamaan diferensial simultan

Soal-soal

Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini:

1)

2)

3)


4)

5)

Topik-topik pada bab VI dilaksanakan selama 3 x tatap muka masing-

masing tatap muka 150 menit (3 SKS).

Berdasarkan hasil penilaian tugas-tugas yang diberikan oleh peneliti

kepada mahasiswa diperoleh kriteria ketuntasan pembelajaran sebagai berikut:

Nomor Kriteria Ketuntasan Jumlah Peserta Persentase (%)

1 Sangat Memuaskan (A) 7 10,61

2 Memuaskan (B) 32 48,48

3 Cukup (C) 21 31,82

4 Kurang (D) 2 3,03

5 Sangat Kurang (E) 4 6,06

Jumlah 66 100


bab vii - dwipurnomoikipbu's blog | just another ... · web view... =a dan y’(0)=b,...

Documents