MATRIKS

DAFTAR SLIDE

Operasi Matriks

Jenis-Jenis Matriks

2

DEFINISI MATRIKS

3

kumpulan bilangan yang disajikan secara teraturdalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegipanjang, serta termuat diantara sepasang tandakurung.

Apakah yang dimaksud dengan Matriks ?

NOTASI MATRIKS

4

Nama matriksmenggunakan huruf besar Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil

maupun angka Digunakan kurung biasa atau kurung siku

Ordo matriks atau ukuran matriks merupakanbanyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknyakolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matrikstersebut.

675

231A

ihg

fed

cba

H

NOTASI MATRIKS

5

Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan nkolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.

Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks

Notasi A = (aij)

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

A =

Dengani = 1,2,...,mj = 1,2,...,n

NOTASI MATRIKS

6

Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2

Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriksdinamakan entri dalam matriks atau disebut jugaelemen atau unsur.

16

12

13

41

A

NOTASI MATRIKS

7

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

7

Baris

KolomUnsur Matriks

Matriks berukuran m x n

atau berorde m x n

MATRIKS BARIS DAN KOLOM

8

Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu

baris

Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu

kolom.

4121C

4

3

1

E

MATRIKS A = B

9

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A

dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo

sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.

aij = bij dimana

- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j

- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j

A = B

dan

A ≠ B

dan

10

42A

10

42B

510

242A

13

41B

PENJUMLAHAN MATRIKS

10

Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya

sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang

diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang

seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.

Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat

ditambahkan.

dan

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

333332323131

232322222121

131312121111

bababa

bababa

bababa

BA

PENJUMLAHAN MATRIKS

11

Contoh Soal

22

31

24

A

21

12

43

B

2212

1321

4234

BA

43

41

27

BA

PENGURANGAN MATRIKS

12

A dan B adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B

adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan

bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua

matriks tersebut.

Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat

dikurangkan.

dan

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

333332323131

232322222121

131312121111

bababa

bababa

bababa

BA

PENGURANGAN MATRIKS

13

Contoh :

043

322

101

A

243

421

111

B

204433

432212

111011

BA

200

703

210

BA

PERKALIAN MATRIKS

DENGAN SKALAR

14

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka

matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan

mengalikan semua elemen matriks A dengan k.

Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan

atau dibelakang matriks.

[C]=k[A]=[A]k

15

83A

1*45*4

8*43*44A

420

32124A

PERKALIAN MATRIKS

DENGAN SKALAR

15

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :

k(B+C) = kB + kC

k(B-C) = kB-kC

(k1+k2)C = k1C + k2C

(k1-k2)C = k1C – k2C

(k1.k2)C = k1(k2C)

PERKALIAN MATRIKS

DENGAN SKALAR

16

Contoh :

dengan k = 2, maka

K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B

12

10A

11

43B

06

106

03

53*2)

11

43

12

10(*2)(2 BA

06

106

22

86

24

20

11

43*2

12

10*222 BA

TERBUKTI

PERKALIAN MATRIKS

DENGAN SKALAR

17

Contoh :

dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka

(k1+k2)C = k1.C + k2.C

12

11C

510

55

12

11*5

12

11*)32(*)( 21 Ckk

TERBUKTI

510

55

36

33

24

22

12

11*)3(

12

11*)2()**( 21 CkCk

PERKALIAN MATRIKS

18

Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak

bersifat komutatif.

Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama

matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.

Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp

maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij )

berukuran mxp dimana

PERKALIAN MATRIKS

19

Contoh :

0

1

3

B

11)0*1()1*2()3*3(

0

1

3

*123*

BA

123A

000

123

369

1*02*03*0

1*12*13*1

1*32*33*3

123*

0

1

3

* AB

PERKALIAN MATRIKS

20

Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ;

A³=A².A dan seterusnya

Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C

(tidak berlaku sifat penghapusan)

Apabila AB = AC belum tentu B = C

Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau

B=0

Terdapat beberapa hukum perkalian matriks :

1. A(BC) = (AB)C

2. A(B+C) = AB+AC

3. (B+C)A = BA+CA

4. A(B-C)=AB-AC

5. (B-C)A = BA-CA

6. A(BC) = (aB)C= B(aC)

7. AI = IA = A

PERPANGKATAN MATRIKS

21

Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan

pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana

berlaku :

A2 = A AA3 = A2 AA4 = A3 AA5 = A4 A; dan seterusnya

PERPANGKATAN MATRIKS

22

Tentukan hasil A² dan A³

02

11A

22

13

02

11

02

112 AxAA

26

35

22

13

02

1123 AxAA

PERPANGKATAN MATRIKS

23

Tentukan hasil 2A² + 3A³

02

11A

44

26

22

1322 2A

66

915

22

3533 3A

1010

79

66

915

44

2632 32 AA

JENIS –JENIS MATRIKS

24

Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang

berukuran n x n

Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya

adalah bilangan nol

Sifat-sifat dari matriks nol :

A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0

-A*0=0, begitu juga 0*A=0.

13

41A

00

00

00

23xO

JENIS –JENIS MATRIKS

25

Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen

diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan

sebagai D.

Contoh :

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen

pada diagonalnya sama

500

020

001

33xD

500

050

005

33xD

JENIS –JENIS MATRIKS

26

Matriks Identitas (satuan) adalah matriks skalar yang

elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.

Sifat-sifat matriks identitas :

A*I=A

I*A=A

Matriks Segitiga Atas (upper triangular) adalah matriks

persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol

Matriks Segitiga Bawah (lower triangular) adalah matriks

persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol

100

010

001

D

600

210

542

A

152

043

001

B

Tugas 2

• Diketahui :

k2 = 3,

k1 = nim

Buktikan bahwa :1. k1(B – C) = k1B – k1C

2. (k1 – k2)C = k1C – k2C

3. (k1*k2)C = k1(k2C)

4. A(BC) = (AB)C

5. A(B+C) = AB + AC

6. (B+C)A = BA +CA

7. A(B – C) = AB – AC

8. (B – C)A = BA – CA

12

11C

13

41A

11

43B