bab iii simulasi monte carlo - powered by gdl4.2 · pdf filedengan meniru sebuah situasi...

Bab III Simulasi Monte Carlo

BAB III

SIMULASI MONTE CARLO

Simulasi Monte Carlo dapat digunakan untuk memberikan suatu taksiran harga

opsi, baik yang memiliki formula analitik maupun tidak. Contoh opsi yang

biasanya tidak memiliki formula analitik adalah opsi exotic.

3.1 Simulasi

Simulasi adalah sebuah teknik numerik untuk melakukan percobaan-percobaan

dengan meniru sebuah situasi dengan menggunakan model-model matematika dan

logika dengan tujuan menaksir berbagai macam keluaran yang mungkin pada

periode waktu tertentu.

Terdapat beberapa situasi yang mendukung digunakannya teknik simulasi:

• Ketika sangat sulit atau tidak mungkin untuk memperoleh data dari proses-

proses berkaitan di dunia nyata. Misalnya, efek dari kebijaksanaan

pemotongan pajak terhadap ekonomi.

• Tidak mungkin atau memerlukan biaya yang mahal untuk mengadakan

percobaan-percobaan terkait dengan model-model matematikanya.

• Sistem yang mungkin sangat kompleks dan tidak dapat dideskripsikan

dengan persamaan matematika.

Simulasi komputer memungkinkan kita untuk mereplikasi sebuah percobaan.

Replikasi artinya mengulang sebuah percobaan dengan perubahan-perubahan

Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo

13


yang dipilih untuk parameter-parameter terkait, tetapi tanpa mengubah keluaran-

keluaran.

Meskipun simulasi menjadi alat yang tidak ternilai harganya dan sangat

bermanfaat terhadap masalah-masalah yang tidak cukup hanya diselesaikan

dengan teknik analitik, tapi pada dasarnya simulasi bukanlah alat yang ideal.

Simulasi adalah teknik yang tidak teliti, hanya berlandaskan estimasi statistika

daripada hasil eksak. Memerlukan waktu yang tidak sedikit dalam mempelajari

suatu masalah, analisis dan membuat programnya.

Simulasi stokastik adalah percobaan yang berlandaskan model terhadap waktu dan

melibatkan stokastik variate sampling dari sebuah distribusi peluang, yaitu sebuah

percobaan statistika sampling. Sampling dari sebuah distribusi melibatkan

penggunaan dari bilangan-bilangan acak. Simulasi statistik ini kemudian disebut

simulasi Monte Carlo.

3.2 Metode Monte Carlo

Metode Monte Carlo adalah sebuah teknik untuk menyelesaikan suatu masalah

dengan menjalankan percobaan dalam jumlah banyak, disebut simulasi, dan

menyimpulkan suatu solusi dari hasil-hasil kolektif dari percobaan-percobaan

yang dijalankan tersebut.

Simulasi Monte Carlo telah diterapkan dalam berbagai bidang, termasuk dalam

penilaian harga derivatif finansial. Metode ini dapat digunakan dalam

memperkirakan harga opsi keuangan yang mempunyai formula analitik maupun

yang tidak punya. Simulasi Monte Carlo memanfaatkan penilaian risk-neutral

dimana ekspektasi payoff pada suatu dunia risk neutral dihitung menggunakan

sebuah prosedur sampling, dan didiskontokan pada suku bunga tanpa resiko (risk-

free interest rate). Penilaian harga dari sebuah opsi ekuivalen dengan menghitung

ekspektasi dari payoff yang didiskontokan dibawah suatu ukuran tertentu.


14


Metode simulasi Monte Carlo menjadi populer karena:

• Mudah diterapkan pada berbagai masalah bahkan untuk model-model

keuangan yang rumit ataupun yang berdimensi tinggi.

• Memiliki performa yang baik pada masalah-masalah berdimensi tinggi.

Rasio kekonvergenan dari suatu estimasi simulasi Monte Carlo tidak

bergantung dimensi dari masalah tersebut.

• Selang kepercayaan dari estimasi simulasi Monte Carlo memungkinkan

kita mengetahui kualitas dari estimasi tersebut.

Dalam simulasi ini kita mengambil beberapa asumsi, yaitu:

• Pergerakan harga saham mengikuti distribusi lognormal.

• Tidak terdapat kesempatan arbitrasi.

• Harga saham dinilai pada suku bunga tanpa resiko.

Langkah yang perlu diikuti dalam menggunakan simulasi Monte Carlo adalah:

• Simulasikan sebuah lintasan harga saham di bawah kondisi tanpa resiko

pada selang waktu tertentu.

• Diskontokan payoff yang bersesuaian dengan lintasan pada suku bunga

tanpa resiko.

• Ulangi prosedur di atas untuk jumlah simulasi yang cukup besar.

• Hitung rata-rata cash flow yang didiskontokan untuk mempoleh nilai

opsi.[5]

Misalkan pergerakan harga saham mengikuti proses acak berikut

tdS Sdt SdWμ σ= + (3.1)


15


dengan adalah sebuah proses Wiener dan S adalah harga saham. Jika tdW Sδ

adalah kenaikan dari harga saham pada interval waktu berikutnya tδ yang kecil,

maka

,SS t Z tδ μδ σ δ= + (3.2)

dengan , ( )0,1Z N∼ σ adalah volatilitas dari harga saham dan μ adalah

ekspektasi return pada suatu risk-neutral word. Maka persamaan (3.2) dapat

ditulis:

( ) ( ) ( ) ( )S t t S t S t t S t Z tδ μ δ σ δ+ − = + (3.3)

Kita dapat menghitung nilai dari S pada saat t tδ+ dari nilai awal S, kemudian

nilai S pada saat 2t tδ+ dari nilai pada saat t tδ+ , dan seterusnya. Kita gunakan

N buah sampel acak dari distribusi normal untuk mensimulasikan lintasan S. Akan

lebih akurat jika kita mensimulasikan lnS daripada S, kita transformasikan proses

harga saham dengan menggunakan lemma Ito

( )2ln / 2 td S dt dWμ σ σ= − +

( ) ( ) ( )2ln ln / 2S t t S t t Z tδ μ σ δ σ δ+ − = − +

atau

( ) ( ) ( )2exp / 2 .S t t S t t Z tδ μ σ δ σ δ⎡ ⎤+ = − +⎣ ⎦ (3.4)

simulasi Monte Carlo lebih relevan digunakan ketika payoff derivatif finansial

tergantung pada lintasan dari harga saham selama masa hidup dari opsi tersebut,

yaitu untuk opsi bergantung lintasan (path dependent options). Metode ini juga


16


bisa digunakan ketika nilai dari derivatif finansial hanya bergantung pada harga

akhir saham. Contohnya adalah opsi Eropa, dimana payoff-nya bergantung pada

nilai S pada saat jatuh tempo T. Pergerakan harga saham untuk opsi Eropa dapat

dituliskan

( )2exp / 2 .iTS S T Z Tμ σ σ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ (3.5)

dengan i = 1,2,…,M dan M melambangkan jumlah simulasi. Sejumlah M simulasi

ini adalah lintasan-lintasan yang mungkin dari suatu harga saham pada saat jatuh

tempo T. Dari persamaan (3.5) komponen yang tidak diketahui nilainya adalah σ

(volatilitas), untuk itu nilai ini akan di estimasi dengan menggunakan metode

hitorical volatility.

Volatilitas Historis

Volatilitas adalah ukuran simpangan baku dari potensi sebuah saham untuk

berdeviasi dari harga saat ini. Semakin besar nilai volatilitas dari suatu saham,

semakin besar pula nilai opsinya.

Estimasi volatilitas adalah sebuah ukuran dari ketidakpastian return dari saham.

Untuk penilaian harga opsi, volatilitas diasumsikan sebagai berikut: (1) Homogen

terhadap waktu, yaitu sama sepanjang masa hidup saham. (2) Konstan antara

tanggal kesepakatan opsi dan waktu jatuh tempo.

Metode estimasi voltilitas ini adalah dengan menghitung simpangan baku

logaritma dari perubahan harga saham pada suatu selang waktu dari data historis

harga saham. Return harian diberikan oleh, ( )1ln /t t tX S S −= .

Variansi diestimasi oleh variansi sampel, yang dinormalkan oleh (n-1) untuk

membuatnya statistic tak bias

( )2 2

1

1 .1

n

day tt

Var X Xn

σ=

2⎡ ⎤= = −⎢ ⎥− ⎣ ⎦∑


17


Simpangan baku yang dihitung adalah volatilitas harian jika data yang dipakai

adalah harian. Kemudian dibuat tahunan dengan

252year dayσ σ= ×

dimana yearσ adalah volatilitas tahunan, dayσ adalah volatilitas harian dan X

adalah mean dari return harian. Pada umumnya kita memakai 252 hari sebagai

jumlah keseluruhan jam kerja perdagangan saham dalam satu tahun.

Jika saham membayarkan dividen, maka barisan harga saham bergerak tak

homogen. Suatu pembayaran dividen meningkatkan return yang harus dibayarkan

kepada pembeli. Jika pembeli memiliki sebuah saham yang membayarkan sebuah

dividen D, maka harga return harian diberikan oleh ( ) 1ln /t tS D S −+⎡ ⎤⎣ ⎦ .

3.2.1 Opsi Eropa

Estimasi nilai opsi call Eropa adalah

1

1max ,0 .

MrT i

TMi

c e S K−

=

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑ (3.6)

ini adalah estimator tak bias dari harga derivatif. Ketika jumlah simulasi M besar,

teorema limit pusat memberikan sebuah selang kepercayaan untuk estimasi ini,

berdasarkan variansi sampel dari payoff yang didiskontokan. Besarnya simulasi M

yang saling bebas ditetapkan sesuai dengan akurasi yang diinginkan. Jika ω

adalah deviasi standard an μ adalah mean dari payoff-payoff yang didiskontokan

dari (3.6), maka kesalahan standar (standard error) diestimasi dengan / Mω .

Sebuah selang kepercayaan 95% dari harga derivatif f diberikan oleh

1.96 1.96 ,fM Mω ωμ μ− < < + (3.7)


18


dibawah asumsi bahwa f berdistribusi normal.

Dari selang diatas dapat diperoleh informasi sebagai berikut:

1. Ukuran dari selang kepercayaan mengecil sebanding dengan invers akar

kuadrat dari jumlah sampel yang dipakai. Dengan kata lain, untuk

memperkecil error sebesar 10 kali lipat diperlukan ukuran sampel 100 kali

lipat lebih besar.

2. Ukuran dari selang kepercayaan sebanding dengan simpangan baku, yaitu

akar kuadrat dari variansi. Dari informasi ini, kita dapat memperkecil selang

kepercayaan dengan cara melakukan transformasi peubah acak X menjadi

peubah acak Y dengan syarat ( ) ( )E X E Y= tetapi ( )Va lebih kecil dari

. Ide ini kemudian dikenal dengan nama reduksi variansi.

r Y

( )Var X

3.2.2 Opsi Amerika

Pada umumnya, Opsi Amerika sama seperti Opsi Eropa. Hanya saja pada Opsi

Amerika pemegang opsi diperbolehkan untuk meng-exercise opsinya kapanpun

dalam selang waktu antara awal masa berlakunya opsi sampai dengan waktu jatuh

tempo opsi tersebut.

Definisi Sebuah Opsi Call Amerika memberikan hak (bukan kewajiban) kepada

pemegang opsi untuk membeli sebuah saham dari writer dengan harga yang telah

disepakati (disebut strike price atau exercise price) kapanpun dalam selang waktu

antara awal masa berlakunya opsi sampai dengan waktu jatuh tempo opsi tersebut

(disebut maturity atau expiry date).

Definisi Sebuah Opsi Put Amerika memberikan hak (bukan kewajiban) kepada

pemegang opsi untuk menjual sebuah saham kepada writer dengan harga yang

telah disepakati, kapanpun dalam selang waktu antara awal masa berlakunya opsi

sampai dengan waktu jatuh tempo opsi tersebut.


19


Masalah yang dihadapi pemegang Opsi Amerika adalah kapan waktu yang tepat

untuk melakukan exercise. Jika, pada saat t , nilai opsi adalah out-of-the-money

maka tentu saja lebih baik tidak melakukan exercise. Jika nilai opsi adalah in-the-

money, mungkin akan lebih menguntungkan untuk menunggu kesempatan

exercise berikutnya karena payoff-nya mungkin lebih besar.

Opsi Amerika lebih banyak diperdagangkan daripada Opsi Eropa. Hal ini

dikarenakan fasilitas early exercise yang dimiliki oleh opsi Amerika lebih

memberikan tantangan kepada para pemain saham untuk berlomba-lomba

menentukan strategi exercise yang paling optimal.

Untuk harga opsi tanpa dividen terdapat pernyataan, “ Bukanlah keputusan yang

optimal jika kita melakukan exercise terhadap Opsi Call Amerika sebelum waktu

jatuh temponya.” [2]. bukti dari pernyataan diatas adalah sebagai berikut:

misalkan adalah harga saham pada saat t dan misalkan ( )S t K adalah strike

price. Misalkan pemegang opsi ingin melakukan exercise terhadap opsinya pada

satu waktu t . Keadaan ini hanya akan memberikan keuntungan jika

, dan memberikan payoff sebesar

T<

( )S t K> ( )S t K− pada saat . Sedangkan,

pemegang opsi dapat melakukan short selling terhadap saham di pasar pada saat

kemudian membeli kembali saham tersebut saat t

t

t

T= . Maka dua hal yang dapat

dilakukan:

a. Melakukan exercise terhadap opsi pada saat t T= .

b. Membeli dengan harga pasar saat T .

Dengan melakukan strategi ini pemegang opsi memperoleh keuntungan

pada saat t dan membayar biaya kurang dari atau sama dengan

( )S t K>

K pada saat T .

Jelas lebih menguntungkan daripada memperoleh keuntungan ( )S t K− pada saat

. Dengan pernyataan ini maka sebuah Opsi Call Amerika mempunyai nilai yang

sama dengan sebuah Opsi Call Eropa. Dan seperti yang kita ketahui bersama

bahwa Opsi Eropa dapat dihitung dengan mudah karena memiliki formulasi

eksak, contohnya formulasi Black-Scholes. Pernyataan ini tidak berlaku untuk

t


20


opsi Put Amerika. Tidak terdapat formulasi eksak untuk opsi Put Amerika ini.

Oleh karena itu, dipergunakanlah metode-metode numerik untuk menaksirnya.

Salah satu metode yang bisa dipakai adalah metode Monte Carlo.

3.2.2.1 Metode Monte Carlo untuk menilai opsi Put Amerika

Banyak orang percaya bahwa pendekatan dengan metode Monte Carlo hanya

dapat digunakan untuk menghitung nilai Opsi Eropa. Hal ini dikarenakan metode

Monte Carlo mudah digunakan jika pekerjaan tersebut bersifat maju sesuai

pertambahan waktu. Tetapi untuk pekerjaan yang bersifat mundur, metode ini

menjadi susah untuk diterapkan. Di bawah asumsi kondisi tanpa resiko rμ = ,

nilai Opsi Put Amerika saat 0t = adalah:

( ) ( )00

,0 supAm r

TP S E e Vτ

ττ

−

≤ ≤⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (3.8)

Dengan τ adalah stopping time dan Vτ adalah payoff saat τ . [2]

Secara umum, terdapat dua cara untuk menilai opsi Amerika. Yang pertama

adalah dengan parameterisasi. Ilmuwan yang memanfaatkan teknik ini adalah

Andersen (2000). Cara yang kedua adalah dengan menaksir nilai kekontinuan dari

opsi Amerika melalui fungsi ekspektasi bersyarat. Salah satu ilmuwan yang

menggunakan teknik ini adalah Longstaff dan Schwartz (2001). Mereka

memperkenalkan metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil atau Least-Squares

Monte Carlo (LSM) sebagai cara yang mudah untuk memanfaatkan konsep

ekspektasi bersyarat ini. Pada Tugas akhir ini hanya akan dibahas penilaian harga

opsi Amerika dengan metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil ini.

3.2.2.2 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil (Least-Squares Monte

Carlo)

Longstaff dan Schwartz (2001) memperkenalkan simulasi Monte Carlo dengan

metode kuadrat terkecil untuk menilai Opsi Amerika. Pada setiap titik waktu

exercise, pemegang opsi membandingkan payoff dari early exercise dengan


21


ekspektasi payoff dari kekontinuan. Dengan mengasumsikan bahwa kesempatan

melakukan exercise adalah diskret, nilai opsi dipenuhi oleh persamaan dinamik

berikut:

( ) ( )( )max , , 0,1,..., 1,n n nV h S H S n N= = − (3.9) Dengan adalah nilai kekontinuan saat , ( )nH S nt ( )nS t S= , adalah payoff

dari exercise. Jika payoff dari early exercise lebih tinggi, pemegang opsi akan

meng-exercise opsinya. Sebaliknya, mereka akan membiarkan opsi tersebut (tidak

meng-exercise). Saat jatuh tempo

( )nh S

Nt T= , kita dapatkan ( ) (N NV S h S= ) (dengan

kata lain ). Ekspektasi payoff dari kekontinuan adalah bersyarat

terhadap informasi yang ada pada titik waktu tersebut , atau secara rekursi dapat

diperoleh sebagai berikut :

( ) 0NH S =

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1 1 1 1max , | .n n n n n nH S E h S t H S t S t S+ + + +⎡ ⎤= =⎣ ⎦

Ekspektasi bersyarat di atas dapat ditaksir dengan:

( ) ( )0

,M

n nm nmm

H S Sα φ=

≈ ∑

Dengan adalah fungsi basis yang dipilih. Dan koefisien ( )nm Sφ nmα ditentukan

dengan proyeksi kuadrat terkecil dari data-data simulasi yang ada. Untuk

memperoleh fungsi ekspektasi bersyaratnya, kita regresikan payoff dari

kekontinuan yang mungkin terhadap sebuah fungsi basis. Nilai yang diperoleh

adalah ekspektasi nilai kekontinuan. Sederhananya, kita membandingkan nilai

kekontinuan ini dengan nilai early exercise dan menentukan keputusan exercise

yang optimal. Kita gunakan algoritma ini secara rekursif dan diskontokan payoff

optimal yang didapat ke waktu nol. Inilah harga opsi yang kita cari.

Berdasarkan pada sebuah Opsi Amerika, yang dapat di-exercise kapanpun di

selang waktu [ ]0,T , kita gunakan diskretisasi. Misalkan kita gunakan N buah


22


titik yang membagi waktu menjadi 1 20 ... Nt t t T< ≤ ≤ ≤ = . Pada saat jatuh

tempo, strategi exercise sama dengan pada Opsi Eropa. Jika nilai opsi adalah in-

the-money, pemegang opsi akan meng-exercise-nya. Sebaliknya, biarkan opsi

tersebut berakhir. Sebelum jatuh tempo, pemegang opsi harus memilih untuk

meng-exercise opsinya atau menahannya sampai waktu exercise selanjutnya.

Misal terdapat sebuah ruang probabilitas ( ), ,F PΩ dan sebuah ukuran martingale

yang ekivalen Q . Notasi ( ), ; ,C s t Tω adalah cash flow pada saat s yang

dibangkitkan oleh opsi untuk lintasan sampel ω , bersyarat pada di-exercise atau

tidaknya opsi pada saat t , dan pada pemegang opsi yang mengikuti aturan

berhenti yang optimal untuk setiap , t ss T< ≤ .

Misalkan ( );ωn nH t

( )

adalah nilai kekontinuan saat . Dari prinsip no arbitrage, nt

nH ω diberikan oleh ekspektasi dari diskonto payoff dibawah ukuran tanpa

resiko. Saat , nt ( )nH ω diberikan oleh :

( ) ( ) ( ), ; , ,j ntn n j nH t C t t Tω

1;

Nr t

j nE eω − −

= +

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎦∑ (3.10)

⎣ dimana ekspektasi terdefinisi dibawah ukuran tanpa resiko bersyarat pada filtrasi

saat . Misalkan kita pilih fungsi basis nt M , kemudian ( )nH ω ditaksri dengan

meregresikan diskonto cash flow ke dalam fungsi basis untuk lintasan dimana

nilai opsinya adalah in-the-money saat . Yang digunakan dalam penaksiran ini

adalah hanya lintasan yang in-the-money karena keputusan exercise hanya relevan

jika kondisinya adalah in-the-money. Nilai kekontinuan yang ditaksir dengan

regresi tersebut dinotasikan

nt

( )ˆnH ω .

Tujuan kita adalah untuk memberikan aturan berhenti yang memaksimalkan nilai

opsi pada setiap titik waktu sepanjang tiap lintasan harga saham. Kita mulai dari

saat jatuh tempo , dan bergerak mundur seiring waktu. Di , cash flow

diberikan oleh fungsi payoff yang telah diketahui. Satu langkah mundur, kita cari

Nt Nt


23


lintasan yang in-the-money di 1Nt − . Dari lintasan ini, kita hitung diskonto cash

flow yang didapat saat jika diasumsikan opsi masih berlaku saat Nt 1Nt − .

Berdasarkan langkah ke- , harga saham pada saat k 1Nt − dan adalah Nt( )

1k

NS − dan

( )kNS , dengan , dimana 1,...,k = K K adalah jumlah keseluruhan lintasan yang in-

the-money saat . Diskonto dari cash flow saat 1Nt − 1Nt − untuk lintasan ke-

diberikan oleh

k

( ) ( )1N Nr t t kN Ne h−− − S , dimana adalah fungsi payoff dari opsi. Dengan

menggunakan informasi data

Nh

K dan dengan memilih fungsi basis M , kita taksir

nilai kekontinuan ( )1

ˆ kNH − dengan meregresikan diskonto cash flow di yang

sesuai dengan harga saham saat

1Nt −

1Nt − . Early exercise saat adalah optimal

untuk lintasan in-the-money

1Nt −

ω jika nilai exercise dini lebih besar atau sama

dengan nilai kekontinuan yang ditaksir tersebut. Dalam kasus ini, cash flow di

ditetapkan sama dengan nilai exercise. 1Nt −

Setelah lintasan-lintasan cash flow dan aturan berhenti saat 1Nt − telah ditentukan,

kemudian secara rekursif mengulangi proses tersebut untuk . Hasilnya,

kita dapatkan aturan berhenti yang optimal untuk setiap waktu pada setiap

lintasan. Setelah cash flow ditemukan, kita bisa menghitung taksiran dari nilai

opsi dengan mendiskontokan tiap cash flow ke waktu nol dan merata-ratakan

seluruh lintasan sampel harga saham yang mungkin. [5]

2 1t,...,Nt −

3.2.3 Opsi Exotic

Berbagai macam opsi exotic diciptakan untuk memenuhi kebutuhan pasar yang

beraneka ragam. Kita dapat menggolongkan opsi-opsi exotic menjadi tiga bagian,

yaitu:

• Opsi bergantung lintasan (path dependent options). Contohnya adalah,

Asian, Barrier, dan Lookback.


24


• Opsi korelasi (correlation options). Contohnya adalah, Basket, Exchange,

Foreign-Equity, Quanto, dan Spread.

• Opsi exotic lain. Contohnya, Digital, Chooser, dan Contingent premium.

Dalam tugas akhir ini hanya akan membahas contoh untuk opsi bergantung

lintasan, yaitu opsi Asian dan Barrier sebagai contoh penerapan metode simulasi

Monte Carlo dalam opsi exotic.

Opsi Bergantung Lintasan

Sebuah opsi bergantung lintasan adalah sebuah opsi yang nilainya bergantung

pada barisan harga saham sebagian atau sepanjang masa hidupnya, tidak hanya

pada harga saham di akhir periode.

Opsi Asian

Opsi Asian atau Average adalah opsi yang payoff-nya bergantung pada rata-rata

harga saham selama paling sedikit beberapa bagian dari masa hidup opsi tersebut.

Misalkan N melambangkan jumlah hari dimana opsi diperdagangkan, T adalah

waktu jatuh tempo opsi, dan ( )jS t adalah harga saham pada akhir hari

perdagangan j dimana j = 1,2,…,N, dan Nt T= . Kemudian, rataan dari harga

saham dapat dihitung dengan menggunakan dua metode, yaitu aritmatika dan

geometrika.

• Rataan Aritmatik : Misalkan ( )AS t adalah nilai rataan aritmatik dari

saham yang dihitung sepanjang masa hidup opsi. Rataan aritmatik dihitung

menggunakan:


25


( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... NA

S t S t S tS t

N+ + +

=

( )1

1 .N

jj

S tN =

= ∑ (3.11)

• Rataan Geometrik : Misalkan ( )GS t adalah nilai rataan geometrik dari

saham yang dihitung sepanjang masa hidup opsi. Rataan geometrik

dihitung menggunakan:

( )1/

1

NN

jj

SGt S t=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∏

( ) ( ) ( ) 1/1 2 ... .

NNS t S t S t= ⎡ ⎤⎣ ⎦ (3.12)

Dua jenis opsi asia standar yang dihitung menggunakan rataan aritmatika dan

geometrika dari harga saham adalah:

• Opsi Rataan Harga Saham

o Payoff sebuah opsi call rataan harga saham adalah

( )max ,0 .S t K⎡ ⎤−⎣ ⎦

o Payoff sebuah opsi put rataan harga saham adalah

( )max ,0 .K S t⎡ ⎤−⎣ ⎦

• Opsi Rataan Strike Price

o Payoff sebuah opsi call rataan strike adalah ( )max ,0 .TS S t⎡ ⎤−⎣ ⎦

o Payoff sebuah opsi put rataan strike adalah ( )max ,0 .TS t S⎡ ⎤−⎣ ⎦


26


Dimana ( )S t adalah nilai rataan aritmatika yang diberikan pada persamaan (3.11)

atau nilai rataan geometrika yang diberikan pada persamaan (3.12). [2]

Opsi Barrier

Payoff dari opsi Barrier ada nilainya atau tidak tergantung dari pernah atau

tidaknya harga saham melewati suatu batas tertentu yang diberikan.

− Opsi call down-and-out mempunyai payoff nol jika harga saham pernah

berada di bawah suatu nilai batas 0B S< pada selang waktu [ ]0,T . Jika

harga saham tidak melampaui batas tersebut, payoff dari opsi ini sesuai

dengan opsi Call Eropa, ( )( )max ,0S T K− .

− Opsi call down-and-in mempuyai payoff nol jika harga saham tidak

pernah berada di bawah suatu nilai batas 0B S< pada selang waktu

[ ]0,T . Jika harga saham melampaui nilai batas tersebut, payoff dari opsi

ini sesuai dengan opsi Call Eropa, ( )( )max ,0S T K− .

Opsi ini menjadi populer karena kesempatan payoff yang terbatas membuatnya

lebih murah dari opsi Eropa.

Dengan mengubah ‘down’ dengan ’up’ maka opsi barrier yang lain adalah:

− Opsi up-and-out mempunyai payoff nol jika harga saham pernah berada

diatas suatu nilai batas 0B S< pada selang waktu [ ]0,T . Jika harga

saham tidak melampaui batas tersebut, payoff dari opsi ini sesuai dengan

opsi Call Eropa, ( )( )max ,0S T K− .

− Opsi call up-and-in mempuyai payoff nol jika harga saham tidak pernah

berada diatas suatu nilai batas 0B S< pada selang waktu [ ]0,T . Jika

harga saham melampaui nilai batas tersebut, payoff dari opsi ini sesuai

dengan opsi Call Eropa, ( )( )max ,0S T K− .


27


Juga terdapat opsi put barrier, yaitu dengan mengganti kata ‘call’ dengan kata

‘put’. [2]

Opsi Lookback

Payoff dari opsi lookback tergantung dari nilai maksimum atau nilai minimum

dari aset. Terdapat dua pembagian, yaitu fixed dan floating strike. Yang

dinotasikan sebagai berikut:

(3.13) max

[0, ]max ( )

TS = S t

S t (3.14) min

[0, ]min ( )

TS =

Jenis-jenis opsi lookback adalah sebagai berikut:

• Sebuah opsi fixed strike lookback call memiliki payoff saat jatuh tempo T

sebesar . ( )maxmax ,0S K−

• Sebuah opsi fixed strike lookback put memiliki payoff saat jatuh tempo T

sebesar . ( )minmax ,0K S−

• Sebuah opsi floating strike lookback call memiliki payoff saat jatuh tempo

T sebesar . ( ) minS T S−

• Sebuah opsi floating strike lookback put memiliki payoff saat jatuh tempo

T sebesar . [2] ( )maxS S T−

3.3 Prosedur Reduksi Variansi

Ketidakpastian nilai dari opsi keuangan berbanding terbalik dengan akar kuadrat

dari jumlah simulasi. Kemudian, jika kita ingin simulasi ini memberikan hasil

yang lebih akurat, dibutuhkan jumlah simulasi harga saham yang lebih besar.


28


Tentu saja hal ini tidak menguntungkan dari segi waktu komputasi. Teknik

reduksi variansi memperbaiki dan meningkatkan efisiensi dari simulasi.

3.3.1 Teknik antithetic variable

Dalam teknik ini, sebuah simulasi percobaan melibatkan penghitungan dua buah

nilai opsi. Nilai yang pertama 1f dihitung dengan cara biasa. Nilai yang kedua 2f

dihitung dengan mengubah tanda dari seluruh sampel-sampel acak dari distribusi

normal baku. Jika Z adalah sebuah sampel yang digunakan untuk menghitung 1f ,

maka –Z adalah sampel yang digunakan untuk menghitung 2f . Contohnya, jika

kita gunakan (3.5) kita memiliki dua buah bentuk persamaan

( )2exp / 2TS S T Z Tμ σ σ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

( )2exp / 2TS S T Z Tμ σ σ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ (3.15)

Kita lebih baik menggunakan masukan acak dalam bentuk (Z,-Z) daripada koleksi

2N. Kita notasikan f sebagai rata-rata dari 1f dan 2f .

1

22f ff +

= (3.16)

Kemudian,

( ) ( ) [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 21 1 1 1 , .2 4 4 2

Var f Var f f Var f Var f Cov f f⎡ ⎤= + = + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Jika kovariansi, [ ]1 2,Cov f f , antara 1f dan 2f adalah negatif maka estimasi dari

variansi dari teknik ini akan semakin mengecil dari pada teknik biasa. [5]


29


3.3.2 Teknik control variate

Dalam teknik ini, kita menggantikan penilaian terhadap ekspektasi yang tidak

diketahui dengan penilaian dari perbedaan antara kuantitas yang tidak diketahui

dan sebuah kuantitas yang berkaitan, yang ekspektasinya diketahui.

control variate menggunakan estimasi kedua yang memiliki suatu korelasi tinggi

positif dengan estimasi suku bunga. Kita lakukan simulasi dengan alur bilangan

yang sama dan dengan tδ yang sama. Misalkan Af dan Bf adalah nilai dari A

dan B. Lalu kita dapat menuliskan *

AAf E f⎡ ⎤= ⎣ ⎦ dan *

BBf E f⎡ ⎤= ⎣ ⎦ dengan *A

f dan

*B

f adalah nilai estimasi dari A dan B.

Opsi A memiliki nilai Af . Opsi B memiliki nilai Bf , sama seperti opsi A tetapi

memiliki solusi analitik. Suatu variate acak Bf adalah control variate untuk Af

dengan Bf berkorelasi dengan Af , maka:

( )*ˆ ,A A B B

*f f f f= + − (3.17) Dengan Bf adalah nilai yang diketahui dari opsi B. Error ( )*

B Bf f− digunakan

sebagai control pada estimasi Af . Kita bertujuan untuk menurunkan variansi, dan

dengan membandingkannya dengan nilai opsi A dan B, maka:

[ ]* *ˆ 2 ,A A B B AVar f Var f Var f Var f Cov f f⎡ ⎤ * *B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= + + − ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦ ⎦ (3.18)

dan [ ] 0BVar f = karena Bf adalah nilai B yang diketahui dan bukan suatu peubah

acak. Teknik control variate ini efektif digunakan jika kovariansi antara *Af dan

*Bf besar, sehingga, jika * * * *2 ,A B A BCov f f Var f Var f⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡> + ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , maka variansi

akan mengecil. [5]


30

bab iii simulasi monte carlo - powered by gdl4.2 · pdf filedengan meniru sebuah situasi...

Documents