BAB IIIVEKTOR

3.1 Pengertian Vektor

• Vektor adalah ruas garis berarah atau segmen garis yang mempunyai arah. Vektor dinotasikan dengan sebuah huruf dengan anak panah diatasnya misalnya A, atau dicetak dengan huruf tebal misal A atau yang lain sesuai perjanjian (pada tulisan ini digunakan huruf biasa tanpa anak panah dan tidak dicetak tebal). Besar vector A dinyatakan dengan |A| atau A. Vektor A dapat pula dinyatakan dengan OP dan besarnya |OP|.

A O P

Definisi dasar vektor :

• Dua buah vektor A dan B sama jika memiliki besar dan arah yang sama

• Sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor A, tetapi berlawanan arah dengan vektor A dinyatakan dengan vektor -A

• Jumlah atau resultan dari vektor A dan B adalah vektor yang didefinisikan dengan vektor C.

• Selisih dari vektor A dan B dinyatakan dengan A-B, adalah vektor C jika A=B maka A-B adalah vektor (0). Untuk vektor tak nol disebut dengan vektor sejati (proper vektor).

• Hasil kali vektor A dengan skalar m adalah sebuah vektor sebesar mA.

Penjumlahan dan pengurangan vektora. Cara segitiga

A

A B A B

C=A+B -B

C=A-B

b. Cara jajar genjang

A

A

B

B

C=A+B

Vektor A+B adalah diagonal dengan pangkal A dan ujung B.

Vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah poligon tertutup senantiasa sama dengan nol jika arah sisi-sisi tersebut beraturan(lihat gambar)

Perkalian Vektor dengan Skalar

A 2A -2A

Jika h adalah bilangan dan A adalah vektor, maka hA didefinisikan sebagai sebuah vektor yang besarnya h dikalikan dengan besarnya A dan mempunyai arah yang sama dengan A jika h positif dan hA berlawanan dengan A jika H negatif.

A

hA

Vektor Satuan dan Vektor komponen

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya 1

satuan. Jika A sebuah vektor dengan |A|= 0 maka

A dibagi |A| adalah vektor satuan yang searah

dengan A.

Vektor A dalam ruang dimensi tiga, maka vektor

vektor

Hukum-hukum Aljabar Vektor

• Jika A,B dan C adalah vektor-vektor dan m,n adalah skalar-skalar maka:

• A+B=B+A (Hukum komunikatif untuk penjumlahan)

• A+(B+C)=(A+B)+C (Hukum assosiatif untuk penjumlahan)

• mA=Am (Hukum komunikatif untuk perkalian)

• m(nA)=(mn)A (Hukum assosiatif untuk perkalian)

• (m+n)A=mA+nA (hukum distributif)

• m(A+B)=mA+mB (hukum distributif)

• A+B=C B=C-A• A+0=A dan A-A=0

Hasil Kali Titik (Dot Product)

adalah sudut antara a dan b dan terletak antara

Hasil kali titik atau hasil kali skalar dari dua buah vektor a dan b yang dinyatakan oleh a.b didefinisikan sebagai hasil kali besarnya vektor - vektor a dan bdan cosinus sudut antara keduanya,ditulis a.b =

0

,cosba 0

a

b

Jika a,b,c adalah vektor dan m adalah skalar, maka berlaku :

1. Hukum komutatif,2. Hukum distributif,

(a dan b bukan vektor nol maka )

jika a=a1i+a2j+a3k dan b=b1i+b2j+b3k,maka:

abba cabacbba )(

mbabmabam

0

0

1

ki

ji

ii

0

1

0

kj

jj

ij

0

0

0

kk

jk

ik

3

4.

.

.5 0 ba

.6ba

233

22

21

223

22

21

332211

bbbbbb

aaaaaa

babababa

Hasil Kali Silang (Cross Product)

Hasil kali silang atau vektor dari a dan b adalah sebuah vektor c=axb.

Besarnya axb didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya a dan b dan sinus antara keduanya.

Arah vektor c=axb tegak lurus pada bidang yang mengapit a dan b sedemikian hingga a,b dan c membentuk sebuah sistem tangan kanan,ditulis , dimana u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari axb.

a

b

axbc

bxac 1ubaaxb sin 0

Jika a dan b adalah vektor dan m adalah skalar maka hukum-hukum berikut berlaku pada cross

product:

• axb=-bxa (tidak komutatif)• Hukum distributif : ax(b+c)=(axb):(axc)• m(axb)=(ma)xb=ax(mb)=(axb)m

• Jika a=a1i+a2j+a3k dan b=b1i+b2j+b3k, maka:axb=

• Besarnya axb sama dengan luas jajar genjang dengan sisi-sisi a dan b.

• axb=0,a dan b 0,maka a dan b sejajar.

1

1

b

a

i

2

2

b

a

j

3

3

b

a

kikxj

ijxk

jxj

0

kjxi

kixj

ixi

0

jixk

jkxi

kxk

0

Soal-Soal1.Tentukan harga a sehingga a=2i+aj+k dan

b=4i-2j-2k tegak lurus!2.Jika a=4i-j+3k,b=2i+j-2k,tentukan vektor

satuan tegak lurus a dan b!3.Tentukan sebuah vektor satuan yang tegak

lurus bidang a=2i-6j-3k dan b=4i+3j-k!4.Carialah sudut antara a=2i+2j-k dan b=6i-

3j+2k!5.Carilah persamaan untuk bidang yang tegak

lurus vektor a=2i+3j+6k dan melalui titik terminal dari vektor b=i+5j+3k!

6.Carilah luas segitiga yang titik – titik sudutnya berada di P(1,3,2),Q(2,-1,1) dan R(-1,2,3)!

7.Tentukan vektor satuan yang tegak lurus bidang dari a=2i-6j-3k dan 4i+3j-k!

15

TerimakasihTerimakasih

*******************************“Selamat Berkarya dan Berprestasi

”

“ do thing right at the first chance, so you don’t have to repeat again.”