5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Economic Dispatch

Pada industri pembangkit tenaga listrik permasalahan efisiensi agar suatu unit

pembangkit dapat beroperasi dengan biaya yang murah/ekonomis menjadi salah

satu faktor yang sangat wajib diperhitungkan. Semakin ekonomis dan efisien suatu

unit pembangkit maka biaya yang harus dikeluakan untuk mengoperasikan sistem

tersebut menjadi semakin kecil. Biaya operasi pembangkit meliputi biaya bahan

bakar yang menghabiskan sekitar 60% dari biaya operasi secara keseluruhan. Biaya

operasi menentukan jumlah daya yang dibangkitkan, dimana terdapat banyak

pembangkit termal dengan dengan karakteristik dan biaya operasi yang berbeda-

beda. Unit pembangkit yang beroperasi secara optimal dan efisien terhadap

konsumsi bahan bakar dapat menekan biaya operasinya.

Pada saat ini umumnya pembangkit tenaga listrik memiliki lebih dari satu

pusat pembangkit yang saling terhubung (interkoneksi), sehingga timbul

permasalahan pembagian beban di antara unit-unit pembangkit agar daya yang

dihasilkan sesuai dengan kebutuhan beban. Selain itu pembagian beban pada unit-

unit pembangkit harus mempertimbangkan biaya operasi pembangkit agar dapat

beroperasi secara ekonomis dan efisien. Permasalahan ini umumnya disebut dengan

istilah Economic Dispatch atau singkatnya disebut dengan permasalahan ED.

Economic Dispatch (ED) merupakan cara membagi pembebanan pada setiap

unit pembangkit sehingga biaya operasinya menjadi ekonomis/murah, serta tetap

terpenuhinya batasan-batasan yang terdapat pada unit generator dan andal sesuai

dengan permintaan beban/ konsumen, lebih jelasnya dapat dilihat Gambar 2.1.

6

Gambar 2.1 Pemodelan Pembangkit Mensuplai Beban Melalui Jaringan

Transmisi Dengan Rugi-Rugi Daya

(Sumber: Abdul Rahman, 2017)

pada Gambar 2.1 digambarkan suatu sistem pembangkit tenaga listrik

sederhana yang terdiri atas n unit pembangkit. Bila F1,F2,…, Fn adalah biaya

pembangkitan masing-masing unit, dan daya keluaran n unit pembangkit tersebut

adalah P1,P2,.. Pn yang mensuplai beban PD melalui suatu jaringan transmisi dengan

rugi-rugi transmisi PL, maka economic dispatch harus dapat menentukan besarnya

P1,P2,.., Pn agar beban sistem PD terpenuhi dan total biaya pembangkitan seluruh

unit (Ft=F1+F2+...Fn) seminimal mungkin.

2.2 Persamaan Economic Dispatch (ED) dengan Rugi-Rugi Daya

Salah satu faktor yang mempengaruhi optimalnya pengiriman daya dari suatu

unit pembangkit yaitu terjadinya rugi-rugi daya nyata pada saluran transmisi. serta

untuk memasukkan rugi daya dan pengaruh pada saluran transmisi kedalam

perhitungan, dalam bentuk keluarannya daya nyata generator menggunakan

persamaan berikut :

𝑃𝐿 = ∑ ∑ 𝑃𝑖𝐵𝑖𝑗𝑃𝑗𝑛𝑔

𝑗=1

𝑛𝑔

𝑖=1 (2.1)

Persamaan rugi daya kron yang lebih umum seperti dittampilkan

Persamaan sebagai berikut:

𝑃𝐿 = ∑ ∑ 𝑃𝑖𝐵𝑖𝑗𝑃𝑗 + ∑ 𝐵0𝑖𝑝𝑖 + 𝐵00𝑛𝑔

𝑖=1

𝑛𝑔

𝑗=1

𝑛𝑔

𝑖=1 (2.2)

PD

7

Koefisien 𝐵𝑖𝑗 merupakan koefisien rugi-rugi daya B. Optimalnya

cost/biaya suatu unit pembangkit dapat diketahui dari pengiriman daya nyata pada

masing-masing unit pembangkit yang beroperasi secara optimal, 𝐶𝑡, merupakan

fungsi total biaya pembangkitan, dapat dilihat pada Persamaan 2.3 berikut:

𝐶𝑡 = ∑ 𝐶𝑖𝑛𝑔

𝑖=1

= ∑ 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑃𝑖 + 𝛾𝑖𝑃𝑖2𝑛

𝑖=1 (2.3)

Daya keluaran unit pembangkit diperoleh dari total jumlah beban

ditambahkan total rugi-rugi daya sesuai dengan persamaan berikut ini:

∑ 𝑃𝑖 = 𝑃𝐷 + 𝑃𝐿𝑛𝑔

𝑖=1 (2.4)

𝑃𝐿 = 𝑟𝑒𝑎𝑙(∑ 𝑉𝑖𝑌𝑖𝑗∗𝑛

𝑗=1 𝑉𝑗), 𝑖 = 1,2,3… , 𝑛 (2.5)

𝑄𝐿 = 𝑖𝑚𝑎𝑔(∑ 𝑉𝑖𝑌𝑖𝑗∗𝑛

𝑗=1 𝑉𝑗), 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 (2.6)

Daya keluaran serta tegangan dari unit pembangkit diberi batasan seperti berikut:

𝑉𝑖(𝑚𝑖𝑛) ≤ 𝑉𝑖 ≤ 𝑉𝑖(𝑚𝑎𝑘𝑠) 𝒊 = 1,… , 𝑛𝑔 (2.7)

𝑃𝑖(min) ≤ 𝑃𝑖 ≤ 𝑃𝑖(𝑚𝑎𝑘𝑠) 𝑖 = 1,… , 𝑛𝑔 (2.8)

𝐿𝐹𝑖𝑗 ≤ 𝐿𝑖𝑛𝑒 𝑓𝑙𝑜𝑤 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑠 (2.9)

Dengan Pi(min) dan Pi(maks) merupakan minimal dan maksimal daya nyata

dari stasiun unit pembangkit i .

Economic Dispatch (ED) pada sistem pembangkit listrik digunakan untuk

menentukan kombinasi daya output tegangan yang optimal untuk semua unit

pembangkitan, dengan meminimalkan total biaya bahan bakar dan memenuhi

batasan (constraint). Fungsi objektif dari masalah economic dispatch dijelaskan

dalam model matematika pada persamaan berikut [7] ;

𝑓𝑇 = ∑ 𝐹𝑖(𝑃𝑖)𝑁𝑖=1 (2.10)

dengan

Fi(Pi) = ai + biPi + 𝑐𝑖𝑃𝑖2 (2.11)

8

Dimana :

FT = Biaya total unit pembangkit/generator (Rp/Jam)

Fi(Pi) = Fungsi cost/biaya input-output unit generator t i (Rp/Jam)

Pi = Daya keluaran generator i (MW)

N = Jumlah unit generator yang bekerja

i = Indeks jumlah total unit pembangkit yang bekerja

ai,bi,ci = Koefisien biaya konsumsi bahan bakar unit pembangkit i

dimana satuan dari masing-masing koefisien sebagai berikut:

ai = Rp/jam,

bi = Rp/MW.jam

ci = Rp/MW2.jam.

Terdapat batasan-batasan atau constraint tertentu yang harus dipenuhi

dalam mengoperasikan suatu unit pembangkit sehingga dapat beroperasi secara

ekonomis dan efisien. Batasan (constraints) pada penelitian ini menggunakan dua

constrants yaitu equality constraints (persamaan kendala) serta inequality

constraints (pertidaksamaan kendala).

Persamaan kendala (equality constraints) yaitu batasan keseimbangan daya,

yang mengharuskan jumlah total daya yang dihasilkan/dibangkitkan unit-unit

pembangkit wajib sama seperti jumlah total daya beban yang dibutuhkan setelah

dijumlah dengan rugi-rugi daya pada saluran transmisi, dituliskan pada Persamaan

2.12 berikut:

∑ 𝑃𝑖𝑁𝑖=1 = 𝑃𝐷 + 𝑃𝐿 (2.12)

Faktor utama yang dapat mempengaruhi pengiriman daya pada unit

pembangkit sehingga dapat bekerja optimal yaitu fungsi rugi-rugi daya nyata pada

saluran transmisi. Dapat dilihat pada persamaan berikut:

𝑃𝐿−𝑘 = 𝐺𝑘(𝑉𝑖2 + 𝑉𝑗

2 − 2𝑉𝑖𝑉𝑗 cos(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗)) (2.13)

Dimana :

Gk = Reaktansi admitansi (k), (p.u).

Vi = Tegangan bus (i), (V).

Vj = Tegangan bus (j), (V).

9

𝛿𝑗 = Sudut fasa bus (j), (rad).

𝛿𝑖 = Sudut fasa bus (i), (rad).

Dari persamaan 2.1 dan 2.4 diperoleh fungsi multiobjektif yang dapat dioptimalkan.

Persamaan fungsi multiobjektif dapat dilihat pada persamaan 2.14 berikut:

F(x) = ∑ 𝐹𝑖 (𝑃𝑖)𝑛𝑖 + 1000 *abs ( ∑ 𝑃𝑖 – 𝑃𝐷 𝑛

𝑖 - ∑ 𝑃𝐿𝑛𝑖 ) (2.14)

Nilai 1000 merupakan faktor skala dilantasi, yakni suatu transformasi mengubah

ukuran (memperbesar atau memperkecil) bentuk bangunan geometri tetapi tidak

mengubah bentuk bangunan tersebut.

Dimana :

Pi = Daya yang dibangkitkan pembangkit i (MW).

PD = Total daya beban yang dibutuhkan (MW).

PL = Rugi-rugi daya pada saluran transmisi (MW).

Pertidaksamaan kendala (Inequality constraints) yaitu batasan yang

mewajibkan daya keluaran yang dihasilkan/dibangkitkan setiap unit pembangkit

wajib kurang dari ataupun sama dengan daya maksimum yang dapat dibangkitkan

oleh unit pembangkit, dan wajib lebih dari ataupun sama dengan daya minimum

yang dapat dibangkitkan unit pembangkit. constraint yang harus dipenuhi dapat

dinyatakan dalam persamaan berikut [7] :

𝑃𝑖 min ≤ 𝑃𝑖 ≤ 𝑃𝑖 𝑚𝑎𝑥 (2.15)

Dimana :

i = Indeks dari banyaknya unit pembangkit yang beroperasi.

Pi min = Daya keluaran minimum generator i

Pi max = Daya keluaran maksimum generator i

Dalam perhitungan economic dispatcth juga memperhitungkan rugi-rugi

daya pada saluran transmisi yang didapatkan dari aliran daya pada jaringan

transmisi, serta nilainnya dinyatakan akibat nilai daya yang bergerak/mengalir di

saluran transmisi tersebut. karena unit pembangkit dan beban umumnya terpisah

10

dengan jarak yang jauh sehingga dapat mengurangi daya yang akan disalurkan ke

konsumen.

Untuk itu agar dapat menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan

rugi-rugi transmisi tersebut, maka studi aliran daya yang mengalir pada jaringan

transmisi tersebut wajib dilakukan agar mendapatkan daya yang lebih optimal.

2.3 Studi Aliran Daya Menggunakan N-R (Newton-Raphson)

Perhitungan aliran daya (loadflow analisys) menggunakan metode N-R

(Newton Raphson) apabila dibandingkan dengan metode Gauss-Seidel

memperoleh hasil yang lebih baik, efisien dan praktis dalam menyelesaikan

permasalahan aliran daya jika digunakan pada sistem yang besar. Ukuran pada

sistem menentukan jumlah/banyaknya iterasi yang diperlukan sehingga dapat

menyelesaiakn perhitungan. Persamaan loadflow pada metode ini diformulasikan

ke dalam bentuk polar [8].

Gambar 2.2 Pemodelan Saluran Transmisi Untuk Perhitungan Aliran Daya Dan

Rugi Daya Pada Saluran

(Sumber: Cekmas, 2010)

Dari gambar pemodelan saluran diatas, bisa dihitung arus yang

menuju/memasuki bus i menggunakan persamaan sebagai berikut :

𝐼𝑖 = ∑ 𝑌𝑖𝑗 𝑛𝑖=1 𝑉𝑗 (2.16)

Dari persamaan diatas, apabila dirubah ke dalam bentuk polar, maka dituliskan

persamaan sebagai berikut:

𝐼𝑖 = ∑ |𝑌 𝑖𝑗| 𝑛𝑖=1 |𝑉𝑗|∠𝜃𝑖𝑗 + 𝛿𝑗 (2.17)

I1

Vj Vi

Iji

Ii0

Iij

Ij0

Yi0 Yj0

11

Daya kompleks pada bus i, menggunakan persamaan :

𝑃𝑖 − 𝑗𝑄𝑖 = 𝑉𝑖 ∗ 𝐼𝑖 (2.18)

Sehingga apabila persamaan 2.17 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.18,

didapatkan persamaan :

𝑃𝑖 − 𝑗𝑄𝑖 = |𝑉𝑖|∠ − 𝛿𝑖 ∑ |𝑌𝑖𝑗| 𝑛𝑖=1 |𝑉𝑗|∠𝜃𝑖𝑗 + 𝛿𝑗 (2.19)

Memisahkan bagian real dan imajinernya didapatkan persamaan sebagai

berikut :

𝑃𝑖 = ∑ |𝑌𝑖𝑗| 𝑛𝑖=1 |𝑉𝑗| |𝑉𝑖|cos (𝜃𝑖𝑗 − 𝛿𝑖 + 𝛿𝑗) (2.20)

𝑄𝑖 = ∑ |𝑌𝑖𝑗| 𝑛𝑖=1 |𝑉𝑗| |𝑉𝑖|sin (𝜃𝑖𝑗 − 𝛿𝑖 + 𝛿𝑗) (2.21)

Kedua persamaan diatas diperoleh dari pengembangan menggunakan deret taylor

seperti yang ditampilkan pada persamaan 2.22, kedua persamaan tersebut

menghasilkan persamaan menggunakan variabel sendiri pada persamaan aljabar

nonlinear, radian untuk satuan besaran sudut fasa sedangkan per unit (p.u)

merupakan satuan untuk besaran tiap tegangan..

[ ∆𝑃2(𝑘)

⋮∆𝑃𝑛(𝑘)

−∆𝑄2(𝑘)

⋮∆𝑄𝑛(𝑘)]

=

[ Ә𝑃2(𝑘)

Әδ2 …

Ә𝑃2(𝑘)

Әδn ⋮ ⋱ ⋮

Ә𝑃𝑛(𝑘)

Әδ2 …

Ә𝑃𝑛(𝑘)

Әδn

Ә𝑃2(𝑘)

Ә|𝑉2| …

Ә𝑃2(𝑘)

Ә|𝑉𝑛| ⋮ ⋱ ⋮

Ә𝑃𝑛(𝑘)

Ә|𝑉2| …

Ә𝑃𝑛(𝑘)

Ә|𝑉𝑛|

Ә𝑄2(𝑘)

Әδ2 …

Ә𝑄2(𝑘)

Әδn ⋮ ⋱ ⋮

Ә𝑄𝑛(𝑘)

Әδ2 …

Ә𝑄𝑛(𝑘)

Әδn

Ә𝑄2(𝑘)

Ә|𝑉2| …

Ә𝑄2(𝑘)

Ә|𝑉𝑛| ⋮ ⋱ ⋮

Ә𝑄𝑛(𝑘)

Ә|𝑉2| …

Ә𝑄𝑛(𝑘)

Ә|𝑉𝑛| ]

[

∆𝛿2(𝑘)

⋮∆𝛿𝑛(𝑘)

−∆|𝑉2(𝑘)|

⋮∆|𝑉𝑛(𝑘)|]

Pada permasalahan ini, bus 1 diumpamakan sebagai slack bus. Matriks

jakobian memberikan perbandingan yang linear diantara perubahan pada sisi sudut

teganagan ∆𝛿𝑖(𝑘) dan besarnya tegangan ∆|𝑉𝑖(𝑘)| dengan perubahan kecil pada

daya reaktif (∆𝑄𝑖(𝑘)) dan daya aktif (∆𝑃𝑖(𝑘)). dapat ditulis dalam bentuk singkat

seperti berikut :

[∆𝑃

∆𝑄] = [

𝐽1 𝐽2𝐽3 𝐽4

] [∆δ

∆|𝑉|] (2.23)

(2.22)

12

Banyaknya elemen matriks jackobian dari persamaan (2.13) ditentukan dengan (2n-

2-m) x (2n-2-m) dimana n merupakan banyaknya bus pada sistem. Sedangkan m

merupakan banyaknya voltage-controlled buses pada sistem.

Untuk elemen J1 memiliki ukuran matriks (n-1) x (n-1), dan persamaan elemen

sebagai berikut:

Elemen diagonal dari J1 adalah :

Ә𝑃ᵢ

Әδj = ∑ |𝑉i ||𝑉j||𝑌ij| 𝑛

𝑖=1 sin(θij − δi + δj) (2.24)

Elemen diagonal luar dari J1 adalah :

Ә𝑃ᵢ

Әδj = −|𝑉i ||𝑉j||𝑌ij|𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑖𝑗 − 𝛿𝑖 + 𝛿𝑗) , 𝑗 ≠ 𝑖 (2.25)

Untuk elemen J2 memiliki ukuran matriks (n-1) x (n-1-m), dan persamaan elemen

sebagai berikut:

Elemen diagonal dari J2 adalah :

Ә𝑃ᵢ

Ә|Vi |= 2|𝑉j||𝑌ii| cos 𝜃𝑖𝑖 +∑ |𝑉𝑗||𝑌𝑖𝑗|𝑛

𝑗≠1 cos(𝜃𝑖𝑗 − 𝛿𝑖 + 𝛿𝑗) (2.26)

Elemen diagonal luar dari J2 adalah :

Ә𝑃ᵢ

Ә|Vj |= |𝑉𝑖||𝑌𝑖𝑗| cos(𝜃𝑖𝑗 − 𝛿𝑖 + 𝛿𝑗) , 𝑗 ≠ 𝑖 (2.27)

Untuk elemen J3 memiliki ukuran matriks (n-1-m) x (n-1), dan persamaan elemen

sebagai berikut:

Elemen diagonal dari J3 adalah :

Ә𝑄ᵢ

Әδj = ∑ |𝑉i ||𝑉j||𝑌ij| 𝑛

𝑗≠1 𝑐𝑜𝑠 (𝜃𝑖𝑗 − 𝛿𝑖 + 𝛿𝑗) (2.28)

Elemen diagonal luar dari J3 adalah :

Ә𝑄ᵢ

Әδj = – |𝑉𝑖 ||𝑉𝑗||𝑌𝑖𝑗|𝑐𝑜 𝑠(𝜃𝑖𝑗 − 𝛿𝑖 + 𝛿𝑗) , 𝑗 ≠ 𝑖 (2.29)

Untuk elemen J4 memiliki ukuran matriks (n-1-m) x (n-1-m), dan persamaan

elemen sebagai berikut:

Elemen diagonal dari J4 adalah :

Ә𝑃ᵢ

Ә|Vj |= −2|𝑉j||𝑌ii| sin 𝜃𝑖𝑖 +∑ |𝑉𝑗||𝑌𝑖𝑗|𝑛

𝑗≠1 sin(𝜃𝑖𝑗 − 𝛿𝑖 + 𝛿𝑗) (2.30)

Elemen diagonal luar dari J4 adalah :

Ә𝑃ᵢ

Ә|Vj |= −|𝑉i 𝑌ij |𝑠𝑖 𝑛(𝜃𝑖𝑗 − 𝛿𝑖 + 𝛿𝑗) , 𝑗 ≠ 𝑖 (2.31)

13

Berdasarkan referensi aliran daya dalam sistem tenaga listrik, dapat digambarkan

aliran kesetimbangan daya pada bus i , untuk mendapatkan daya penjadwalan

(scheduling), daya sisa (power mismach) dan perhitungan untuk sudut fasa dan

tegangan bus baru.

Gambar 2.3 Kesetimbangan Daya bus i pada daya aktif dan reaktif

(Sumber: Abdul Rahman, 2017)

Berdasarkan Gambar 2.3 diatas, maka persamaan daya penjadwalan (scheduling)

yaitu:

𝑃𝑖𝑠𝑐ℎ = 𝑃𝑔𝑖 − 𝑃𝑑𝑖 (2.32)

𝑄𝑖𝑠𝑐ℎ = 𝑄𝑔𝑖 − 𝑄𝑑𝑖 (2.33)

Kemudian persamaan sisa daya (power residuals) adalah :

∆𝑃𝑖(𝑘) = 𝑃𝑖𝑠𝑐ℎ − 𝑃𝑖(𝑘) (2.34)

∆𝑄𝑖(𝑘) = 𝑄𝑖𝑠𝑐ℎ − 𝑄𝑖(𝑘) (2.35)

Sehingga perhitungan untuk sudut fasa dan tegangan bus baru adalah :

𝛿𝑖(𝑘+1) = 𝛿𝑖(𝑘) + ∆𝛿𝑖(𝑘) (2.36)

|𝑉𝑖(𝑘+1)| = |𝑉𝑖(𝑘) + ∆𝑉𝑖(𝑘)| (2.37)

Dalam Persamaan Aliran Daya Beban diasumsikan memiliki impedansi

konstan dan daya konstan pada diagram impedansi.

Rumus yang digunakan untuk merubah nilai impedansi saluran transmisi

dari satuan ohm menjadi satuan pu adalah sebagai berikut ini :

𝑍𝑝𝑢 =𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒

𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 (2.38)

Sedangkan rumus yang digunakan untuk mendapatkan nilai Zbase adalah

sebagai berikut :

𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 =(𝑘𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒)2

𝑀𝑉𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 (2.39)

14

2.4 Karakteristik Ekonomis Pembangkit Termal

Terdapat beberapa parameter yang harus diperhatikan dalam menganalisis

permasalahan yang berhubungan dengan pengoperasian unit pembangkit agar

dapat beroperasi secara ekonomis dan efisien. Hal utama yang harus diperhatikan

yakni karakteristik dari unit pembangkit itu sendiri, antara lain karakteristik input-

output pembangkit, tingkat panas (heat rate), tingkat panas tambahan

(incremental heat rate), serta biaya tambahan bahan bakar (incremental fuel cost)

pada pembangkit [2].

2.4.1 Karakteristik Input-Output

Merupakan karakteristik yang menjelaskan hubungan antara banyaknya

input/masukan bahan bakar (Mkal/jam atau Rp/jam) yang digunakan pembangkit

sebagai fungsi dari output/keluaran pembangkit, umumnya unit pembangkit

termal menggunakan fungsi polynomial orde dua dikerenakan peningkatan harga

bahan bakar pada setiap pembangkit tidak sama serta memiliki karakteristik yang

berbeda-beda, dapat dilihat pada persamaan 2.40 berikut [7]:

𝐻𝑖 =𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑃𝑖 + 𝛾𝑖𝑃𝑖2 (2.40)

dengan:

𝐻𝑖 = masukkan bahan bakar generator termal ke-i (Mkal/jam)

𝑃𝑖 = keluaran generator termal ke-i (MW)

𝛼𝑖, 𝛽𝑖, 𝛾𝑖 = konstanta masukkan-keluaran generator termal ke - i

Gambar 2.4 Kurva Karakteristik Input-output

(Sumber: wood and wollenberg (1996))

15

Membuat persamaan biaya operasional atau pembangkitan energi listrik

menggunakan rumus :

𝐹𝑖 = 𝑅𝑖 𝑥 𝐻𝑖 (2.41)

dengan:

𝐹𝑖 = persamaan biaya pembangkitan dalam Rp/jam

𝑅𝑖 = harga bahan bakar dalam Rp/Mkal

𝐻𝑖 = fungsi karakteristik masukkan-keluaran dalam Mkal/jam.

Karakteristik input-output berfungsi untuk mengetahui efisiensi maksimal

pada setiap unit pembangkit termal. Suatu unit pembangkit dikatakan memiliki

efisiensi tinggi apabila memiliki kurva dengan lengkungan yang landai. Hal ini

berarti dengan input bahan bakar tetap dapat melayani kebutuhan daya yang

meningkat.

2.4.2 Karakteristik Heat Rate (Tingkat Panas)

Merupakan karakteristik yang menjelaskan mengenai effisiensi pembangkit

dalam penggunaan bahan bakar. Pada suatu unit pembangkit agar dapat

menghasilkan energi Mkal/jam setiap MW (Megawatt) dari output, pembangkit

harus diberikan input panas yang merupakan karakteristik heat rate dari

pembangkit itu sendiri. Dapat dilihat pada contoh kurva karakteristik heat rate

yang ditunjukan pada Gambar 2.5 berikut ini :

Gambar 2.5 Contoh Kurva Karakteristik heat rate.

(Sumber: wood and wollenberg (1996))

16

2.4.3 Karakteristik Incremental Heat Rate (IHC) dan Incremental Fuel Cost

(IFC)

Merupakan karakteristik yang menjelaskan hubungan antara perubahan

input-output pada unit pembangkit. Perubahan/peningkatan daya output beban

pada unit pembangkit akan mempengaruhi besarnya input biaya bahan bakar yang

dibutuhkan pembangkit, semakin besar permintaan beban maka biaya yang

dikeluarkan akan semakin besar pula, begitupun sebaliknya. Gambar 2.6

merupakan contoh kurva dari karakteristik incremental heat rate dan incremental

fuel cost.

Gambar 2.6 Contoh Kurva Karakteristik incremental heat rate dan incremental

fuel cost

(Sumber: wood and wollenberg (1996))

Sedangkan, persamaan incremental heat rate (IHR) dan incremental fuel cost

(IFC) dapat dilihat pada persamaan berikut ini [7]:

IHC = ∆H

∆P (

Mkal

MWjam) (2.42)

IFC = ∆F

∆P (

Rupiah

MWjam) (2.43)

jika harga ∆ sangat kecil, maka persamaaan diatas dapat dunyatakan sebagai

berikut[7]:

IHC = dH

dP (

Mkal

MWjam) (2.44)

IFC = dF

dP (

Rupiah

MWjam) (2.45)

17

2.5 Gaussian Particle Swarm Optimization (GPSO)

sebelum membahas lebih dalam mengenai metode GPSO, alangkah baiknya

terlebih dahulu mengenal dasar dari metode GPSO itu sendiri, yakni metode PSO

(Particle Swarm Optimization). Metode PSO awal mulanya diperkenalkan pada

tahun 1995 oleh Kennedy dan Eberhart dimana metode ini terinspirasi dari perilaku

bermasyarakat binatang, seperti segerombolan ikan dan burung ketika mencari

makanan. Jika salah satu individu memperoleh jumlah makanan terbanyak, maka

individu yang lain akan mengikuti/mencontoh perilaku individu tersebut.

Metode ini menganut teori social kognitif menurut Kennedy dan Eberhart, yang

dijelaskan dalam prinsip berikut:

a. Evaluate (evaluasi) :

setiap individu memiliki kecenderungan untuk mempertimbangkan dan

kemudian menyimpulkannya rangsangan yang diperoleh sebagai sesuatu yang

menarik maupun yang ditolak.

b. Compare (membandingkan) :

Setiap individu mengevaluasi dengan cara membandingkan dirinya sendiri

dengan individu lain, kemudian mencontoh individu yang dianggap lebih baik.

c. Imitate (mencontoh):

Perilaku imitate/mencontoh merupakan cara yang efektif dalam mempelajari

suatu perilaku/kebiasaan agar dapat melakuka hal tersebut. Meniru merupakan

sifat alami manusia dan berperan besar dalam penerimaan dan pembaharuan

mental dalam kehidupan bersosial. Metode PSO juga memiliki sifat meniru

seperti manusia.

Persamaan matematis metode PSO dapat dirumuskan sebagai berikut [6]:

Rumus update velocity:

𝑉𝑖𝑟+1 = 𝑤 𝑉𝑖𝑟 + 𝑐1. 𝑟𝑎𝑛𝑑 (𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟− 𝑋𝑖𝑟)_ + 𝑐2. 𝑟𝑎𝑛𝑑(𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟

− 𝑋𝑖𝑟) (2.46)

Rumus update posisi :

𝑋𝑖𝑟+1 = 𝑋𝑖𝑟 + 𝑉𝑖𝑟+1 (2.47)

18

Rumus inertia weight :

𝑤𝑖𝑡 = 𝑤𝑚𝑎𝑥 −(𝑤𝑚𝑎𝑥 − 𝑤𝑚𝑖𝑛) 𝑖𝑡

𝑖𝑡𝑚𝑎𝑥 (2.48)

dengan:

Xir : posisi kecepatan partikel saat ini.

Vir : kecepatan partikel saat ini.

Xir + 1 :.posisi partikel iterasi selanjutnya.

Vir + 1 : posisi dan kecepatan partikel iterasi selanjutnya.

c1 : konstanta kognitif.

c2 : konstanta social acceleration.

rand : nilai acak dengan yang terdistribusi antara [0,1].

𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟 : Posisi terbaik dari partikel.

𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟 : Posisi terbaik dari seluruh populasi yang ada.

w : parameter inertia weight.

wmin : koefisien inersia weight minimal.

wmax : koefisien inersia weight maksimal.

It : iterasi yang selalu berubah dari 1,2,3 … Itmax.

tmax : jumlah iterasi maksimum.

Dalam metode PSO terdapat istilah-istilah umum yang sering digunakan, antara

lain sebagai berikut:

1. Particle : anggota (individu) pada suatu swarm. Setiap partikel

memperesentasikan suatu solusi yang potensial pada permasalahan yang

diselesaikan. Posisi dari suatu partikel adalah ditentukan oleh representasi

solusi saat itu.

2. Swarm (kawanan) : populasi dari suatu algoritma.

3. Pbest (Personal best) : posisi pbest suatu partikel yang menunjukkan posisi

partikel yang dipersiapkan untuk mendapatkan suatu solusi yang terbaik.

4. Gbest (Global best) : posisi terbaik partikel pada swarm.

19

5. Velocity (kecepatan) : kecepatan gerakan partikel diwakili oleh n vector

yang menggerakkan proses optimasi yang menentukan arah dimana suatu

partikel diperlukan untuk berpindah agar memperbaiki posisinya semula.

6. Inertia Weight : disimbolkan w, digunakan untuk menyesuaikan kecepatan

partikel. Sebuah nilai rendah inertia weight mengarahkan pencarian lokal,

sementara nilai yang tinggi mengarah ke pencarian global.

Dalam teori probabilitas dan statistik, proses Gaussian adalah proses stokastik

(kumpulan variabel acak yang diindeks berdasarkan waktu atau ruang), sehingga

setiap koleksi terbatas dari variabel-variabel acak memiliki distribusi normal

multivariat, yaitu setiap kombinasi linear terbatas dari mereka biasanya

didistribusikan. Distribusi proses Gaussian adalah distribusi gabungan dari semua

variabel acak (tak terhingga banyaknya), dan dengan demikian, merupakan

distribusi atas fungsi dengan domain kontinu, misal waktu atau ruang.

Proses Gaussian berguna dalam pemodelan statistik, mengambil manfaat dari

properti yang diwarisi dari normal. Misalnya, jika proses acak dimodelkan sebagai

proses Gaussian, distribusi berbagai jumlah turunan dapat diperoleh secara

eksplisit. Kuantitas tersebut termasuk nilai rata-rata proses selama rentang waktu

dan kesalahan dalam memperkirakan rata-rata menggunakan nilai sampel pada set

kecil waktu.

Gaussian Particle Swarm Optimization (GPSO) [8] merupakan kombinasi atau

penggabungan metode PSO standar dengan fungsi distribusi probabilitas Gaussian,

yang bertujuan untuk membangkitkan bilangan random (acak), sehingga dapat

memperoleh kovergensi pada pencarian lokal yang lebih cepat. Penambahan

distribusi Gaussian bertujuan untuk menghasilkan bilangan acak dalam dalam

interval [-1,1].

Yang mana persamaan, matematis metode GPSO dapat dirumuskan sebagai

berikut [9] :

Rumus penyesuaian kecepatan partikel :

−𝑘(𝑃𝑖𝑗(𝑚𝑎𝑘𝑠) − 𝑃𝑖𝑗(min)) ≤ 𝑉𝑖𝑗 ≤ 𝑘(𝑃𝑖𝑗(𝑚𝑎𝑘𝑠) − 𝑃𝑖𝑗(min)) (2.49)

20

Rumus update velocity:

𝑉𝑖𝑟+1 = 𝑤 𝑉𝑖𝑟 . +. 𝑐1. 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑔1 (𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟− 𝑋𝑖𝑟)_ + 𝑐2. 𝑟𝑎𝑛𝑑𝐺2(𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟

− 𝑋𝑖𝑟) (2.50)

Rumus inertia weight :

𝑤𝑖𝑡 = 𝑤𝑚𝑎𝑥 −(𝑤𝑚𝑎𝑥 − 𝑤𝑚𝑖𝑛) 𝑖𝑡

𝑖𝑡𝑚𝑎𝑥 (2.51)

Rumus update posisi :

𝑋𝑖𝑟+1 = 𝑋𝑖𝑟 + 𝑉𝑖𝑟+1 (2.52)

Update Pbest dan Gbest

𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡𝑘+1 = {𝑋𝑘+1, 𝑖𝑓 𝑇𝐶𝑘+1 < 𝑇𝐶𝑘

𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡𝑘 , 𝑖𝑓 𝑒𝑙𝑠𝑒 (2.53)

dengan:

Xir : posisi kecepatan partikel sekarang/saat ini.

Vir : kecepatan partikel sekarang/saat ini.

Xir + 1 :.posisi partikel iterasi yang akan datang/selanjutnya.

Vir + 1 : posisi dan kecepatan partikel iterasi selanjutnya.

c1 : konstanta kognitif.

c2 : konstanta social acceleration.

randg1,randG2 : nilai random dengan Gaussian distribusi pada [-1,1]

𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟 : Posisi terbaik dari partikel.

𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟 : Posisi terbaik dari seluruh populasi yang ada.

w : parameter inertia weight.

wmin : koefisien inersia weight minimal.

wmax : koefisien inersia weight maksimal.

It : iterasi yang selalu berubah dari 1,2,3 … Itmax.

tmax : jumlah iterasi maksimal.

k : faktor transisi antara [0.01,0.1]).

𝑃𝑖𝑗(𝑚𝑎𝑘𝑠) : batas output daya masimal generator.

𝑃𝑖𝑗(𝑚𝑖𝑛) : batas output daya minimal generator.

𝑇𝐶𝑘+1 : total biaya setiap iterasi.