bab i. sistem bilangan real - jawahirnatsir | just another ... · web viewapabila seseorang mencoba...
TRANSCRIPT
Sistem Bilangan
Vmm b
SISTEM BILANGAN
1.1 Pendahuluan
pakah bilangan itu ?’, tampaknya tak seorangpun dapat memberikan jawaban yang memuaskan. Apabila seseorang mencoba menjawabnya dengan mengatakan bahwa bilangan adalah seperti -5, 1, 3, 4/3, tampaknya jawaban tersebut untuk sementara bisa
diterima, akan tetapi daftar (list) angka-angka tidak bisa membangun sebuah defenisi tentang ‘bilangan’. Ide tentang bilangan hanya bisa dipahami secara intuitif, persoalannya sekarang adalah bagaimana kita mencoba memberikan sebuah defenisi yang memuaskan. Sejarah tentang konsep bilangan dimulai bersamaan dengan lahirnya peradaban manusia, ketika mereka ingin mengetahui berapa banyak hewan peliharaannya, mereka tampaknya sudah mempunyai pengertian tentang bilangan (number sense). Ide peretama yang muncul adalah mencoba melakukan perbandingan dengan menggunakan “lebih sedikit daripada…., sama dengan …, dan lebih banyak dari….”, demikian juga untuk mengetahui posisi suatu obyek dari kelompok tertentu mereka membandingkan dengan posisi obyek dari kelompok tetentu, mereka membandigkannya dengan posisi objek pada kelompok lainnya.
A
Ide melakukan perbandingan pada dua kelompok / kumpulan mengilhami lahirnya “konsep bilangan ‘ yang kita kenal hari ini dan betolak dari pemikiran tersebut, kita bisa mengembangkan defenisi bilangan sebagai berikut:
Defenisi 1.1“Bilangan (Number)” : Bilangan adalah suatu “sifat abstrak” (abstrackt property) dari suatu himpungan yang menunjukkan suatu “kuantitatif atau posisi”.
Dari definisi (1) diatas terlihat bahwa bilangan adalah suatu pemikiran yang abstrak yang hanya ada dialam pemikiran (angan-angan), karena bilangan tidak dapat dilihat secara fisik. Hati-hati jangan dicampur aduk antara bilangan dengan angka , sebab angka hanya sebuah simbol untuk mempresentasikan sebuah bilangan, sesekali lagi itu hanya representative fisik dari ide tersebut.
Defenisi 1.2 “Angka (numeral)” : Sebuah angka adalah sebuah simbol untuk mempresentasikan sebuah bilangan.
1
Sistem Bilangan
Perhatikan sebuah “team bola volley”, mudah dipahami bahwa team ini adalah sebuah himpungan “(set) “ yang mempunyai sebuah bilangan Kita tahu bahwa dalam himpunan tersebut terdapat enam pemain, dan kita menggunakan angka “6” untuk merepresentasikan bilangan tersebut. Bilangan enam itu sendiri tidak eksist secara fisik, itu hanyalah sebuah sifat (property) dari team bola voly tersebut. Selanjutnya, untuk mengetahui ‘beberapa banyak” unsur/objek didalam suatu himpunan, digunakan “bilangan kardinal”.
Defenisi 1.3“Bilangan cardinal” (cardinal number) : sebuah “bilangan cardinal” adalah sebuah blangan yang menunjukkan sebuah kuantitas
Sedangkan untuk mengetahui “posisi relative” dari elemen-elemen suatu himpunan yangsudah disusun menurut urutan tertentu, dapat digunakan “ bilangan-bilangan ordinal (ordinal numbers) seperti ; pertama, kedua, ketiga, dst …
Defenisi 1.4“Bilangan ordinal” (ordinal numbers) : sebuah “bilangan ordinal” adalah sebuah bilangan yang menunjukkan posisi
Sampai sekarang sudah banyak system/cara yang telah dikembangkan orang untuk merepresentasikan bilangan, diantaranya adalah sebagai berikut Hindu- Arab 4 Romawi IV Mesir IIII Yunani Babilonia China
Tampak jelas bahwa bilangan empat direpresentasikan secara berbeda-beda oleh masing-masing Negara menurut kebudayaannya. Tetapi penting dicatat behwa meskipun simbol-simbol tersebut diatas berbeda-beda, namun mereka semuanya merepresentasikan sebuah ide atau bilangan yang sama yaitu bilangan empat. Jelaslah bahwa angka empat “4” (hindu-arab) hanyalah sebuah simbol yang secara fisik merepresentasikan “bilangan empat”, sedangkan “bilangan empat” itu sendiri tidak dapat dilihat secara fisik karena hanya ada dalam benak pemikiuran kita ( Roethel & Weinstein, Logic, Set and Numbers)
Dasar utama pengembangan matematika adalah teori bilangan dan geometri. Teori bilangan terus berkembang dan mendasari berbagai cabang matematika lanjut. Pentingnya bilangan untuk memahami alam semesta telah dirasakan oleh Phytagoras sejak 2500 tahun yang lalu dengan ungkapan “ the number rule the universe”, demikian pula Kronecker (1823 -1891) dengan ungkapannya “God made integers, all the rest is the work of man”. Pada pertengahan abad ke-19, pentinganya bilangan sebagai suatu pengertian bebas diwujudkan , sehinga studi tentang bilangan tidak bergantung lagi pada intuisi geometri. Sekarang kita akan membicarakan system bilangan real. Untuk praktisnya dalam pembahasan ini, istilah “bilangan” bebas diwujudkan.
2
Sistem Bilangan
1.2 Sistem Bilangan Real
“ Sistem bilangan real” adalah himpunan bilangan real R yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, dinotasikan dengan : “ ( R , + , x )”.
Pada system bilangan real, diperlukan tiga aksioma, yaitu aksioma lapangan, urutan dan kelengkapan.
“Aksioma Lapangan” adalah aksioma yang mengatur tentang ketertutupan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, sifat kumulatif, asosiatif, distributive, dan terdapatnya unsur kesatuan 0 dan 1, serta terdapatnya unsur invers terhadap penjumlahan dan perkalian. Dari aksioma ini dapat dibuktikan berbagai sifat yang mendasari operasi aljabar atas berbagai objek kalkulus, yaitu konstanta, peubah dan parameter.
“Aksioma Urutan” adalah aksioma yang mengatur tentang pemunculan bilangan positif dan negatif, sehingga setiap bilangan real dapat diurutkan dari sampai besar. Dari aksioma ini pula dapat diturunkan berbagai sifat yang mendasari penyelesaian suatu pertidaksamaan. Selanjutnya dirancang konsep nilai mutlak sebagai ukuran jarak dua bilangan real dan suatu alat untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang berkaitan dengan limit.
“Aksioma Kelengkapan”, aksioma ini mengatur tentang adanya batas atas terkecil atau batas bawah terbesar bagi setiap himpunan bagian R yang tidak kosong dan terbatas diatas atau dibawah. Selanjutnya terdapatnya korespondensi satu-satu diantara bilangan real dan titik pada garis, dan diantara dua bilangan real terdapat tak terhingga banyaknya bilangan rasional dan irrasional, kemudian diperkenalkan konsep selang hingga dan selang tak hingga, yang akan berperan dalam kalkulus.
1.2.1 Aksioma Lapangan
Pandang ( ) adalah system bilangan real, dan misalkan , maka berlaku sifat-sifat berikut :1. (Sifat ketertutupan terhadap operasi penjumlahan) dan
(Sifat ketertutupan terhadap operasi perkalian)2. (Sifat komutatif terhadap penjumlahan) dan
(Sifat komutatif terhadap perkalian)3. (Sifat assosiatif terhadap penjumlahan) dan
(Sifat assosiatif terhadap perkalian).4. (Sifat distributif)5. Terdapat unsur , sehingga dan
Terdapat unsur , sehingga .Bilangan 0 disebut unsur kesatuan terhadap penjumlahan dan Bilangan 1 disebut unsur kesatuan terhadap perkalian
6. Terdapat unsur invers sehingga dan
Terdapat unsur invers , sehingga .
Bilangan real dinamakan “lawan” atau “negative” dari , dan
Bilangan real dinamakan “kebalikkan “ dari .
3
Sistem Bilangan
Adapun operasi pengurangan dan pembagian pada himpunan bilangan real didefinisikan sebagai berikut :
Defenisi 1.5Misalkan Pengurangan dari dan disebut “selisih” dari dan , ditulis ,
didefenisikan sebagai bilangan real
Pembagian dari dan disebut “hasil bagi” dari dan , ditulis dan
didefenisikan sebagai bilangan real .
Berdasarkan aksioma lapangan diatas, kita dapat membuktikan berbagai sifat-sifat aljabar bilangan real berikut, yang sering digunakan sebagai operasi aljabar dalam menyelesaikan soal matematika, sebagaimana dalam teorema berikut :
Teorema 1.6 Misalkan , maka berlaku :(1 ). Jika dan (2 ). Jika (Hukum pencoretan untuk penjumlahan)(3 ). Jika (Hukum pencoretan untuk perkalian)(4 ). (5 ) (6 ) (7 ). Jika maka (8 ). Jika atau (Salah satunya sama dengan 0 atau dua-duanya
samadengan 0(9 ).
(10).
(11). dan
(12). dan
(13). dan =
(14).
1.2.2. Komponen Bilangan Real
4
Sistem Bilangan
Bilangan yang kita pergunakan sehari-hari adalah bilangan yang berbasis “sepuluh” yang dikenal dengan bilangan “decimal” (dikelompokkan sepuluh-sepuluh). Pada bilangan berbasis sepuluh angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9 yang disebut digit atau angka.
Sebuah bilangan merupakan susunan sekelompok angka yang memenuhi aturan tertentu,
misalnya 30, -70, dan sebagainya.
Perhatikan contoh berikut :1. 2375 (dua ribu tiga ratus tujuh puluh lima ), dapat diurai menjadi :
2375 = 2. (1000) + 3. (100) + 7. (10) + 5 . (1) 2375 = 2. 103
+ 3 . 102 + 7 .101 + 5. 100
(dua ribuan + 3 ratusan + 7 puluhan + 5 satuan).2. 432,069 (Empat ratus tiga puluh dua dan enampuluh sembilan perseribu)
432,069 = 4.(100) + 3.(10) + 2.(1) + 0.(1/10) + 6.(1/100) + 9 (1/1000) 432,069 = 4.102 + 3.101 + 2.100 + 0.10-1 + 6.10-2 + 9. 10-3
( 4 ratusan + 3 puluhan + 2 satuan + 0 ersepuluhan + 6 perseratusan + 9 perseribuan).
_._._._ __|__ __|__ __|__ __|__ . __|__ __|__ __|__ _._._._
103 102 101 100 10-1 10-2 10-3
(1000) (100) (10) (1) (1/10) (1/100) (1/1000)
Ribuan ratusan puluhan satuan persepuluhan perseratusan Perseribuan
Titik desimal
Bilangan Real dapat dikelompokan sebagai berikut: Bilangan Asli : 1, 2, 3, …, berfungsi sebagai bilanan kardinal
untuk menghitung banaknya objek suatu himpunan. Himpunan bilangan asli dinotasikan dengan huruf N dengan N ={ 1, 2, 3, …}. Bilangan “asli” atau “bilangan bulat positif” terdiri atas : Bilangan 1 adalah bilangan asli yang mempunyai tepat satu factor. Bilangan prima : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …, adalah bilangan asli yang mempunyai
tepat dua faktor. Bilangan komposisi : 4, 6, 8, 10, 12, 15 …, adalah bilangan asli yang mempunyai
lebih dari dua faktor. Bilangan Cacah : 0, 1, 2, 3, … adalah bilangan asli beserta unsur nol, biasanya
digunakan dalam kegiatan sensus . Bilangan cacah biasanya juga disebut “ blangan bulat non negatif”.
Bilangan Bulat Negatif ( lawan bilangan asli ) : -1, -2, -3, … Bilangan Bulat : ….-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … adalh bilangan bulat terdiri atasbilangan
genap dan bilangan ganjil.
5
Sistem Bilangan
Bilangan genap : …-4, -2, 0, 2, 4, 6 … adalah bilangan bulat kelipatan dua yang dinotasikan 2n , n bilangan bulat.
Bilangan ganjil : …-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9 …adaah bilangan bulat bukan kelipatan dua, yang dinotasikan 2n+1 atau 2n-1 dengan n bilangan bulat.
Bilangan Pecahan adalah bilangan berbentuk , dimana m bilangan bulat dan n bilangan asli dengan m tidak dapat dibagi n. Bilangan bulat antara 0 dan 1 disebut bilangan pecahan sejati.
Bilangan Rasional adalah bilangan bulat beserta bilangan pecahan. Bilangan rasional
adalah bilangan berbentuk , dimana p bilangan bulat dan q bilangan asli. Disini
x “bilangan bulat” bilamana p habis dibagi q dan x “pecahan” bila p tidak habis dibagi q.
Bilangan rasional bersifat selalu mempunyai bentuk decimal berakhir atau berulang, sebagaimana diperlihatkan pada contoh berikut :
a) 13 = 13, 0 (berakhir)b) - 2 = - 2,5 (berakhir)
c) 11 = 11, 6666……. = 11, (berulang)d) 0, 49999 …….. = 0,4 (berulang)
e) (berulang)
f) (berulang)
g)Catatan : Tanda bar yang dibubuhkan diatas angka pada contoh diatas menunjukkan bagian
decimal yang berulang.
Contoh : Tunjukkan bahwa a). 1,09090909………. b). -2,03333…………… adalah bilangan rasional.
Solusi : Ide adalah menunjukkan bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan p bilangan bulat dan g bilangan asli.a). Misal maka (dikalikan 100 karena ada dua digit yang berulang). Jadi (100x - x) = (109, - 1, ) 99x =108
jadi adalah bilangan rasional.
b). Misal x = -2,0333……. = -2,0 maka 10x = - 20,333 …..= -20, sehingga (10x - x) = -20, - (-2,0 ) 9x = -18,3
x = adalah bilangan rasional.
Diskusikan di kelas (Dosen + Mahasiswa)Tunjukkan bahwa bilangan 0,499999 ……adalah bilangan rasional.
6
Sistem Bilangan
Bilangan Irrasional adalah bilangan yang bukan rasional. Bilangan irrasional ini bukan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli, sehingga tidak dapat dinyatakan dalam
bentuk dan juga tidak mempunyai bentuk decimal berulang, sebagai contoh
bilangan irrasional.
(tidak berakhir dan tidak berulang)(tidak berakhir dan tidak berulang)
(tidak berakhir dan tidak berulang)
(tidak berakhir dan tidak berulang)(tidak berakhir dan tidak berulang)
Diskusikan dikelas (Dosen dan Mahasiswa)Tunjukkan bahwa bukan bilangan rasional.
Bilangan Real adalah gabungan bilangan rasional dan irrasional.Bilangan real dilambangkan dengan huruf kapital R. Semua himpunan bagian dari R dapat digambarkan dalam bentuk diagram pohon berikut
Himpunan Notasi Representasi/Contoh
7
BilReal
RBil. Rasional
Bil. Irrasional
Bilangan
Bulat
Bilangan
Pecah
BilGenap
Bil.Ganjil
0
Bil. Asli
NegatifBilangan
Asli
Bil. Prima
Bil. Komposisi
Bil. 1
B
N
Q
Bil. Irrasional
Bil. Real
Bil. Prima
Sistem Bilangan
Bilangan asli (Natural) NBilangan Prima( Prime numbers) -Bilangan Komposisi (Composite numbers) -Bilangan Bulat (integer) BNol (Zero)
O0
Bilangan genap (even numbers) 2nBilangan Ganjil ( Odd numbers) 2n 1Bilangan Cacah -Negatif Bilangan asli (Bil. Bulat negatif) -Bilangan Pecahan (Praction) -NBilangan Rasional (Rational number)
Q
Bilangan Irrasional (Irrational number) -
Bilangan Real (Real number) R
Kiranya jelas bahwa : Catatan : bukan bilangan real.
Beberapa catatan bilangan asli1. Setiap bilangan genap yang lebh besar 2, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua
bilangan prima.Contoh : 4 = 2 + 2 10 = 3 + 7
6 = 3 + 3 12 = 5 + 78 = 3 + 5 24 = 11 + 13 dst
2. Setiap bilangan komposit selalu dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima secara tunggal, yaitu :
. K = Bilangan komposisi ; Pi = bilangan prima ; ni = Bilangan asli Contoh :
4 = 22 15 = 3 . 56 = 2 . 3 16 = 24
8 = 23 18 = 2 . 32
9 = 32 72 = 23 . 32
10 = 2 . 5 540 = 22 .33. 5
Sifat- Sifat Bilangan Nol Bilangan 0 dalam bentuk pecahan muncul dalam 3 kasus :
Kasus (i) . Misal karena , maka haruslah
Jadi
8
Sistem Bilangan
Kasus (ii) Misal , berarti . Hal ini bertentangan dengan
pengandaian semula Jadi adalah “tak terdefenisi”,
Kasus (iii) Misalkan , berarti ruas kanan bernilai nol untuk semua x. Jadi
adalah “tidak tentu”
Catatan :Bilangan nol tidak termasuk bilangan positif maupun negatif..
1.2.3 Aksioma Urutan
Sampai disini kita belum dapat menyatakan apakah suatu bilangan lebih besar atau lebih kecil dari bilangan lainnya, sebab kita belum mendefenisikan istilah “lebih besar” atau “lebih kecil”. Aksioma lapangan yang sudah dibicarakan diatas belum dapat mengurutkan bilangan-bilangan real.
Pada himpunan bilangan real R terdapat suatu himpunan bagian yang unsur-unsurnya dinamakan “bilangan positif” yang memenuhi aksioma urutan berikut.(i). Jika bilangan real, maka hanya satu dari pernyataan- pernyataan dibawah ini yang benar
positif ; ; positif (ii). Jumlah dua bilangan positif adalah positif dan hasil kali dua bilangan positif adalah positif.
Sekarang pada himpunan bilangan real, kita defenisikan istilah “lebih besar” dan “lebih kecil” dengan menggunakan istilah “bilangan positif” yang telah dideskripsikan pada aksioma urutan.
Defenisi 1.7 Misalkan dan bilangan real, maka :a). lebih kecil dari , ditulis Jika dan hanya jika adalah bil. Positif.b). lebih besar dari , ditulis Jika dan hanya jika adalah bil. negatif.c). Lambang (lebih kecil atau sama dengan) dan (lebih besar atau sama
dengan) menyatakan relasi : jika atau jika atau d). Lambang-lambang < , > , dinamakan “tanda pertidaksamaan” dan
pernyataan yang dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan disebut “pertidaksamaan”
e). Bilangan real dikatakan “negatif” bila adalah bilangan positif
Contoh :1). 3< 5 oleh karena 5 -3 = 2 adalah bilangan positif
9
Sistem Bilangan
-7 < -3 oleh karena -3 – (-7) = 4 adalah bilangan positif2). 8 > -2 oleh karena -2 – 8 = -10 adalah bilangan negatif
oleh karena adalah bilangan negative
3). -0,35 adalah negatif, oleh karena – (-0,35) = 0,35 adalah bilangan positif.Jelaslah bahwa jika dan hanya jika
Untuk mempersingkat penulisan, maka kalimat panjang :“ bilangan positif “ dinotasikan dengan “ ” dan “ bilangan negatif’ dinotasikan dengan “ ”.
Keterkaitan antara bilangan real positif dengan tanda pertidaksamaan dan berbagai sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan diberikan dalam teorema berikut :
Teorema 1.8(a). bilangan positif. (c). (b). bilangan negatif (d).
Catatan Lambang “ ” dibaca “ jika dan hanya jika” atau “ekivalen”.
Bukti a) . Akan tetapi adalah bilangan positif. Jadi bilangan positif.
Bukti b) adalah bilangan positif. Jadi bilangan negatifBukti c) bilangan positif bilangan positif bilangan negatif .
Jadi Bukti d) bilangan negatif bilangan negatif bilangan positif
Jadi
Teorema 1.9Andaikan bilangan real, maka berlaku :
(a). jika dan maka (sifat transitif).(b). jika dan maka (c). jika dan bilangan real sembarang, maka (d). jika dan , maka (e). jika dan , maka (f). jika dan , maka
(g).jika , atau , maka
Catatan : Sifat-sifat diatas juga berlaku apabila tanda < diganti dengan atau tanda > diganti dengan .
Contoh :(a1). 2 < 5 dan 5 < 9 maka 2 <9(a2). -3 < -1 dan -1 < 0 maka -3 < 0(b ). 5 < 7 dan 4 < 6 maka 5 + 4 < 7 + 6 (d ). 3 < 5 dan c = 2
10
Sistem Bilangan
(e ). 3 < 5 dan (f ). 0 < 5 < 7 dan
(g1).
(g2).
Diatas sudah dibicarakan aksioma lapangan dan aksioma urutan. Namun demikian hal tersebut belum cukup untuk menggambarkan secara lengkap tentang sistem bilangan real. Misalnya himpunan bagian bilangan real R yang terdiri atas bilangan rasional adalah lapangan yang terurut yang tidak memuat bilangan real seperti , dsb. Oleh karena itu masih diperlukan satu aksioma lagi yaitu aksioma kelengkapan.
1.2.4 Aksioma Kelengkapan
Aksioma kelengkapan pada sistem bilangan real menyatakan bahwa setiap himpunan bagian dari R yang terbatas selalu mempunyai batas atas terkecil. Akibatnya setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas dibawah selalu mempunyai batas bawah terbesar. Sifat ini tidak dimiliki oleh himpunan bilangan rasional, dan inilah yang membedakan antara himpunan bilangan rasional dan bilangan real.
Defenisi 1.10Himpunan bilangan real adalah “lapangan (medan) terurut lengkap”
Bentuk-Bentuk Aljabar
Bentuk Perpangkatan Misalkan sebuah bilangan real,
(a). ; , n faktor
(b). Untuk berlaku
; ; ;
Contoh : ; .
Untuk setiap bilangan real a dan b yang tidak nol dan untuk setiap bilangan bulat p dan, n maka :(a) = Contoh * = = 32(b) = * = = 64(c) = * = = 1000
11
Sistem Bilangan
(d) = * = =
(e) = * = =
Kesamaan Istimewa
Misal , maka :
(a). Contoh *
(b). *
(c). *
(d).
. Bentuk Akar:
12
Sistem Bilangan
Definisi 1.11a) Akar Kuadrat dari bilngan positif a ditulis , dideenisikan sebagai bilangan
positif x yang memenuhi . Dengan kata lain, satu-satunya bilangan real positif yang memenuhi .Contoh. : , karena 5 adalah bilangan positif yang memenuhi . , karena 2 adalah bilangan positif yang memenuhi .
b) Akar kubik dari bilangan real a, ditulis , didefenisikan sebagai bilangan real x yang memenuhi . Contoh : = 2, karena 2 adalah bilangan real yang memenuhi
, karena adalah bilangan real yang memenuhi
, karena -3 adalah bilangan real yang memenuhi c) Jika “ n bilangan genap positif”, akar ke –n dari bilangan positif a, ditulis ,
didefenisikan sebagai bilangan positif x yang memenuhi Contoh : karena 3 bilangan positif yang memenuhi
d). Jika “n bilangan ganjil positif”, n > 1, akar ke-n dari bilangan real , ditulis didefenisikan sebagai bilangan real yang memenuhi Contoh : , karena -2 bilangan real yang memenuhi .
Sifat-Sifat Bilangan Bentuk Akar Kuadrat
Misal dan bilangan real positif, maka :
(a). Contoh : *
(b). *
(c). *
PENGURAIAN DAN FAKTORISASI
13
Sistem Bilangan
Defenisi 1.12(a). “Penguraian” adalah suatu transformasi bentuk perkalian ke dalam bentuk jumlahan Contoh : (b). “Faktorisasi” adalah suatu transformasi bentuk jumlahan ke dalam bentuk perkalian. Contoh :
Untuk memfaktorkan sebuah jumlah dapat ditempuh berbagai cara :(i ). Kita dapat membuat faktor bersama pada setiap suku jumlahan. Contoh : = .(ii). Kita dapat menggunakan kesamaan istimewa : Contoh : = , ingat bentuk (iii). Gabungan metode (i) dan (ii) dan berbagai manipulasi aljabar Contoh
, ingat bentuk
Berikut ini ditunjukkan beberapa cara menguraikan suatu bentuk aljabar atas faktor-faktor linier dan/atau kuadrat definit-positif. Berdasarkan Teorema 1.6 dan berbagai teknik manipulasi aljabar diperoleh uraian berikut:a). ; tambahkan dan kurangkan faktor ; kumpulkan faktor-faktor yang bersesuain ; keluarkan faktor yang sama, sehingga diperoleh faktorisasinya
b). = x
= c)
d). e).
14
Sistem Bilangan
Definit Positif dan Definit Negatif
Bentuk kuadrat ; dengan , dikatakan bersifat “definit positif” bilamana nilainya selalu positif . Perhatikan bahwa :
’dimana disebut deskriminan
maka bentuk kuadrat bersifat definitive positif jika dan hanya jika a>0 dan D<0.
Contoh: Bentuk kuadrat adalah definit positif’ karena a = 1>0 dan D = 4 – 12 = - 8 < 0.
Diskusikan Di Kelas ( Dosen Dan Mahasiswa)
1) Berikan defenisi bentuk kuadrat yang definit negative dan tentikan syarat-syarat- nya , kemudian berikan contohnya.
2) Uraikan bentuk Soal Latihan(1). Pada setiap pernyataan berikut, berikan argumentasinya bila pernyataannya benar, dan
berikan contoh penyangkal bila argumentasinya salaha) bilangan 27 adalah bilangan primab) setiap bilangan prima yang lebih besar dari 2 adalah bilangan ganjilc) bilangan 0 adalah bilangan yang tidak positif dan tidak negatifd) bilangan 0 adalah bilangan yang tidak genap dan tidak ganjile) kuadrat sebuah bilangan ganjil adalah bilangan ganjilf) jika x bilangan ganjil maka x2 juga bilangan ganjilg) jika x2 bilangan genap maka x juga bilangan genaph) setiap bilangan yang tidak positif adalah bilangan negatifi) jika x2 adalah bilangan bulat kelipatan 3, maka x bilangan bulat kelipatan 3j) bilangan 0 tidak dapat ditulis dalam bentuk decimal berulangk) himpunan bilangan real positif tidak mempunyai unsur terkecil
l) jika , maka himpunan tidak mempunyai unsur terbesar
m) bukan bilangan rasional
15
).2)(2( 222244 aaxxaaxxax
Sistem Bilangan
n) adalah bilangan irrasional.
(2). Apakah himpunan bilangan bulat B disertai operasi penjumlahan dan perkalian membentuk suatu lapangan (medan)? Jika tidak, sebutkan aksioma-aksioma mana saja yang tidak dipenuhi ?
(3). Dengan memberikan contoh-contoh, tunjukkan bahwa jika , maka dapat merupakan bilangan positif atau negatif. Hal ini tergantung daripada x.
(4). Ubahlah bilangan-bilangan rasional berikut sebagai hasil bagi bilangan bulat
. a. 21,212121…, d. 0,037037037…, b. -0,027027027…, e. 23,82037037037…, c. 13,153153153…, f. 4,157404040…,(5). Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk desimal a). b). (6). Uraikan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk seperti soal no 5 a). 20,0043 c). -4,72 e). 960 b). 304,607 d). 0,0019(7). Jika m , n , p , q adalah bilangan bulat dengan tunjukkan bahwa
a). c). apakah
b). Q = himpunan bilangan rasional.
(8). Hitung nilai tiap bentuk berikut (jika ada). Dalam tidak terdefenisi sebutkan.
a). 0 + 0 dan 0 – 0 c). dan e).
b). 0 . 0 dan d). 0 -
(9). Bilangan-bilangan manakah yang berikut rasional atau irrasional ? a). d). 3,7125 g). j).
b). e). h). k).
c). f). i). 2,718281... l). (10).Tentukan pernyataan berikut benar atau salah
a). 0 < -2 f).
b). 3 < -15 g).
c). h).
d). i).
16
Sistem Bilangan
e). -5 > -25
1.2.5 Garis Bilangan Dan Selang (Interval)
Hal-hal mengenai bilangan real yang telah dibicarakan diatas dapat diberikan interpretasi geometri, dengan mengkaitkan bilangan real dengan titik-titik pada sebuah garis.
Setiap bilangan real dapat digambarkan sebagai titik pada garis, dan setiap titik pada garis dapat dinyatakan sebagai representasi bilangan real. Hal ini berarti terdapat “korespondensi satui-satu” diantara bilangan real dan titik pada garis. Diantara dua bilangan real terdapat tak hingga banyaknya bilangan rasional dan irrasional. Akibatnya, kita dapat menggambarkan bilangan real R sebagai himpunan titik sepanjang suatu garis lurus, yang dikenal sebagai “garis bilangan real”, lihat gambar berikut :* mula-mula kita meletakkan titik 0 sebagai titik asal (origin), lihat gambar 1.a
* selanjutnya kita dapat memilih suatu titik sembarang disebelah kiri atau kanan titik asal yang mempunyai jarak tertentu dari titik asal, lihat gambar 1.b
* akhirnya kita dapat menggambarkan setiap bilangan real (rasional maupun irrasional) yang kita kehendaki pada garis bilangan, lihat gambar 1.c
CatatanPerhatikan bahwa bilangan real positif terletak disebelah kanan titik 0,dan bilangan real negatif terletak disebelah kiri titik 0.
Sekarang kita defenisikan himpunan bilangan real yang memenuhi suatu pertaksamaan tertentu, yang dikenal sebagai “selang hingga” dan “selang tak hingga”. “Selang hingga” adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas diatas dan
dibawah. “Selang tak hingga” adalah tidak terbatas diatas atau dibawah.Berikut ini diberikan defenisi selang (interval) sebagai himpunan titik dan representasinya pada garis bilangan.Tabel 1.
SELANG (INTERVAL) HINGGA
NoPertaksamaan yang dipenuhi
bil real x
Selang sebagai himpunan titik
Representasi selang pada garis bilangan.
17
|0
titik asal(titik nol) Gambar 1.a
| | | | | | -2 -1 0 1 2 3
Gambar 1.b
| | | | | | | | | | | -3 -2 -1½ -1 0 1 2 3 4 4½ 5
|5
2 5
2Gambar 1.cGambar Garis Bilangan
Sistem Bilangan
1
2
3
4
Catatan : Selang yang tidak memuat kedua titikujungnya dinamakan “selang terbuka” Selang yang memuat sekaligus kedua titik ujungnya dinamakan “selang tertutup” Selang yang hanya memuat salah satu ujungnya dinamakan “selang setengah
tutup/buka”.
Untuk selang tak hingga digunakan lambang dan - yang memenuhi relasi urutan untuk setiap . Berdasarkan hal tersebut, lambang digunakan untuk suatu
yang lebih besar dari setiap bilangan real (membesar tanpa batas) dan lambing digunakan untuk sesuatu yang lebih kecil dari setiap bilangan real (mengecil tanpa batas). Kedua lambang ini dan - bukan bilangan real.Tabel 2.
SELANG TAK HINGGA
NOPertaksamaan
yang dipenuhi bil real x
Selang sebagai Himpunan Titik
Representasi Selang pada garis bilangan
1
2
3
4
5
Catatan ; Selang dan adalah selang terbuka Selang dan adalah selang setengah tutup
Sebagai latihan, pembaca diharapkan melengkapi tabel berikut (diberikan contoh pada baris ketiga).
18
a b b
( ) a b
) a b
( a b
) b b
( a
a
I 0
Sistem Bilangan
Tabel 3.
No Pertaksamaan ygdipenuhi bil. real x
Notasi Selang
Representasi selang pada garis bilangan Himpunan Titik
1 … . . .2 . . . (
-1 0 1 2 3 4 . . .
3 -1 0 1 2 3 4
4 . . . . . . . . 5 . . . . (-1, 5) . . . . . . . . .6 . . . . . . . . .
7 . . . . . . .
8 . . . . . . . . . atau 2 x 3 }
GABUNGAN DAN IRISAN DUA BUAH SELANG Perhatikan soal 2 dan 3 pada tabel 3 diatas. Misalkan dan , maka
gabungan I2 dan I3 adalah Irisan I2 dan I3 adalah .
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : ( -1 0 3
I2
-1 0 2 3 4
I3
maka
( -1 0
I2 I3
dan 0 2 3
I2 I3
Dengan cara yang sama diperoleh: (titik -1 tidak masuk angota gabungan)
dan (himpunan kosong) lihat gambar
19
] ( 0 2
Sistem Bilangan
( -1 0 3
) -1 0 3
)( -1 0 3 0
Sebagai latihan, dibawah ini diberikan gabungan dan irisan beberapa selang (Tabel 4). Temukanlah jawabannya yang bersesuaian (misalnya 7 = a ; 8 = d ).
Tabel 4. Gabungan dan irisan beberapa selang, serta jawabannya yang diacak tempatnya. Ada beberapa soal yang mempunyai jawaban yang sama. Temukanlah pasangan yang bersesuaian.
No Gabungan/Irisan beberapa Selang Hasil Gabungan/Irisan beberapa Selang
1 = ? a2 = ? b3 = ? c4 = ? d
5 = ? e6 = ? f7 = a g
8 = d h9 = ? i
10 = ? j
11 = ? k
12 = ? l
13 = ? m
14 = ? n
15 = ? o
16 = ? p
17 = ?18 = ?
20
Sistem Bilangan
Diskusikan di kelas (dosen dengan mahasiswa).Berhubungan dengan konsep selang, pembaca diharapkan dapat menjawab pertanyaan
berikut dengan argumentasi yang tepat.1). Bandingkan sebuah bilangan dengan negatifnya, bilakah negatifnya sama,kapankah
negatifnya lebih besar dan kapankah negatifnya lebih kecil dari bilangan tersebut ?2). Bandingkan sebuah bilangan dengan kubiknya, kapankah kubiknya sama, kapankah
kubiknya lebih besar dan kapankah kubiknya lebih kecil dari bilangan tersebut ?3). Jika a sebuah bilangan real positif, bandingkan antara kuadrat dengan akar kuadratnya,
kapankah kuadratnya sama dengan akar kuadratnya, kapankah kuadratnya lebih kecil dari akar kuadratnya, dan kapankah kuadratnya lebih besar dari akar kuadratnya?
1.2.6 Pertaksamaan Dan Nilai Mutlak
Pertaksamaan
Kita ingat kembali aksioma urutan bilangan real :(i). (ii). (iii). Tepat satu dan hanya satu diantara ketiga kalimat berikut yang benar : : :
Kalimat-kalimat matematika yang berbentuk ; ; dan dinamakan “ketidaksamaan (pertaksamaan)”.Kalimat terbuka 2x -1 < 7 adalah benar untuk beberapa bilangan real tertentu, dan tidak benar untuk bilangan -bilangan real lainnya. Misalnya, apabila bilangan real 3 disubtitusikan untuk x maka kalimat tersebut menjadi benar yaitu 6 – 1 < 7 adalah benar, akan tetapi jika bilangan real 6 disubtitusikan untuk x, maka kalimat tersebut menjadi 12 – 1 < 7 yang tidak benar. Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi pertaksamaan (yaitu yang membuat kalimat pernyataan itu benar) dinamakan “himpunan penyelesaian (solusi) pertaksamaan”.
Bentuk umum pertaksamaan aljabar satu peubah real adalah
, M, N, R, S adalah suku banyak (polinom).
Catatan : Tanda < dapat diganti oleh >, atau
Prosedur/langkah-langkah baku menyelesaikan pertaksamaan ini adalah sebagai berikut : (i). Dengan menggunakan rumus aljabar elementer dan urutan, ubahlah bentuknya menjadi
, dengan P, Q suku banyak.
(ii). Uraikan P dan Q atas faktor-faktor linier dan/atau kuadrat definit positif.(iii). Tentukan tanda pertidaksamaan pada garis bilangan.(iv). Tentukan himpunan penyelesaiannya, dan tampilkan dalam bentuk selang.
21
Sistem Bilangan
Catatan : Jika uraian P dan Q atas faktor-faktornya sukar dikerjakan, langkah kedua dapat saja dilewati, asalkan tanda pertaksamaannya pada garis bilangan untuk P dan Q dapat ditentukan. Dalam beberapa kasus khusus, prosedur baku ini tidak perlu harus digunakan.
Contoh. 1.Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan
Solusi , titik-titik nolnya adalah x = -1 dan x = 3
# dalam hal ini, garis bilangan terbagi atas tiga daerah yaitu daerah I, II dan III.# uji tanda pertaksamaan, dapat dipilih sembarang nilai x pada tiap daerah (asalkan tidak
memilih titik-titik nolnya). Misalkan kita pilih x=0 pada daerah II, maka diperoleh tanda pertaksamaan adalah negatif,
karena (0+1) (0-3) = -3<0. Jadi pada daerah II diberi tanda negatif (-), pada daerah I dan III diberi tanda positif (+).
++++++ - - - - - - - - - - - - - ++++++-1 0 3
++++++ - - - - - - - - - - - - - - - - - - ++++++-1 0 3
Berdasarkan tanda pertidaksamaan diatas adalah negatif ( <0) maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir :
Catatan : Pertidaksamaan diatas selalu benar apabila x disubtitusikan bilangan real antara -1 dan
3, dan akan bernilai salah dalam hal lainnya.
Contoh . 2
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
Solusi
-
22
I II III | | | | | -1 0 1 2 3
- - - - - -+ + + + + + + + + - - - + + + + | | | | | -3 0 1
Tak terdefenisi
Sistem Bilangan
Himpunan penyelesaian = = atau
Contoh. 3Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan :
a). -3 <4x -9 <11 b).
c).
d).
Solusi : a. -3 <4x -9 <11 -3 <4x -9 dan 4x -9 <11 -3 <4x -9 dan 4x -9 <11
-3 + 9 <4x dan 4x < 11 + 9
6 < 4x dan 4x < 20
dan x <5
Himpunan penyelesaiannya adalah
b. dan dan dan dan atau dan
23
| | 5
| | | | | |-2 -1 2 3
Sistem Bilangan
Himpunan penyelesaiannya adalah irisan atau dengan
yaitu :
atau .
c).
Karena pembilang definit positif (bernilai positif untuk setiap x), maka pertaksamaan ini setara dengan :
, dalam hal ini
Himpunan Penyelesaiannya : (-3,2) = { x -3 < x < 2 }
d). (3x +1) (x – 4) <0 Jadi tanda (3x + 1) dan tanda ( x – 4) harus berbeda. Kasus I. Misal 3x +1 < 0 dan x-4 >0
Berarti x < dan x > 4...
Tetapi tidak mungkin ada bilangan real x yang kurang dari dan sekaligus
lebih dari 4. jadi kasus I tidak mungkin. (dengan kata lain irisannya ). Kasus II. Misal 3x +1 > 0 dan x – 4 < 0
berarti x > dan x < 4
sehingga :
Himpunan penyelesaiannya : =
Nilai Mutlak
24
| | -3 2
| | -1/3 4
Sistem Bilangan
Sebelum kita membahas konsep “nilai mutlak”, perhatikan dahulu konsep jarak antara dua titik pada garis bilangan berikut :
dari gambar 2. terlihat bahwa : - jarak dari titik A ke B adalah 3- (-1) = 4 dan jarak dari titik B ke C adalah 5 - 3 = 2.Secara umum perhatikan kasus berikut :* jarak titik b ke titik a adalah a-b, jika a > b b a
* jarak tititk a ke titik b adalah b –a , jika b > a a b
* jarak titik a ke titik b adalah 0, jika a=b a = b
Dari kenyataan tersebut diatas kita dapat menyimpulkan sebagai berikut :jarak titik a ke titik b pada garis bilangan adalah kasus khusus terjadi bila b = 0, maka jarak dari titik a ke 0 adalah : atau disingkat dengan : Konsep nilai mutlak dari bilangan real x mempunyai arti geometri sebagai jarak dari x ke 0 pada garis bilangan, sehingga ‘nilai mutlak” dapat digunakan sebagai ukuran jarak antara dua bilangan (titik) pada garis bilangan real, perhatikan gambar 3.
gbr. 3dari gambar 3, dapat disimpulkan bahwa : 1 ). – jarak dari 2 ke 0 adalah : d (2,0) = 2 -0 = 2 - jarak dari -2 ke 0 adalah : d (-2,0) = 0 – (-2) = 2 2). – jika x > 0, jarak dari x ke 0 adalah d(x,0) = x – 0 = x
_ jika y < 0, jarak dari y ke 0 adalah d (y ,0) = 0 – y = -y, dalam hal ini (-y) adalah bilangan positif, karena y < 0.
25
A B C
| | | | | | | | | -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
24
Jarak = b – a
Jarak = a – b
Jarak = 0
| | | | | | | | | y -3 0 3 x
Jarak = -y(y < 0)
Jarak = 3
Jarak = 3Jarak = x
Sistem Bilangan
3). dari kenyataan ini menunjukkan bahwa jarak dari x ke 0 adalah x, jika x 0, dan jarak dari x ke 0 adalah –x, jika x <0, yang dapat dituliskan dalam bentuk
Defenisi 1. 13“Nilai Mutlak” (nilai absolut) dari bilangan real x , ditulis , dan didefenisikan sebagai :
perhatikan gbr.4, titik 0 membagi garis bilangan atas dua daerah yaitu x dan x < 0. Pada daerah berlaku dan pada daerah berlaku Dalam hal ini
berganti tanda di titik 0.Contoh 1. , tetapi hasil ini sama dengan .Contoh 2. Ubahlah bentuk nilai mutlak berikut ke dalam bentuk tanpa nilai mutlak
Solusi :a). Besaran ini berubah tanda di . Jika maka , sehingga Jika maka , sehingga Sehingga hasilnya dapat dituliskan sebagai berikut : atau dinyatakan dalam gambar sebagai berikut :
3
b) Besaran berganti tanda di
Jika maka , sehingga =
Jika maka , sehingga =
Sehingga hasilnya dapat dituliskan sebagai berikut :
26
x = 0
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - | + + + + + + + + + + + + + + + +x < 0 0 x > 0 |x| = - x |x| = x
Gambar 4
Sistem Bilangan
Kita ingat kembali bahwa dengan , melukiskan bilangan real tak negatif yang kuadratnya adalah a. Jadi dan bukan dan Berdasarkan hal ini, kaitan antara bentuk akar dengan nilai mutlak adalah sebagai berikut ; Untuk setiap bilangan real x, berlaku :
Contoh :
SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK
Teorema 1.141). Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku : a). e). b). f). c). g).
d). h).
2). Untuk setiap bilangan real x dan jika , maka berlaku : 3). Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y, berlaku ; a). c). b). d).
Berikut ini diberikan bukti untuk beberapa bagian saja, selebihnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.Bukti 1). g. terbuktiBukti 3) .a. dari 1. c. kita punya sehingga dari 2.a. sehingga diperoleh terbukti.Bukti 3).b. bukti terbuktiBukti 3). c. bukti , sehingga terbukti.
27
////////////// /////////////// 1
Sistem Bilangan
Teorema Akibat 1.15 1). Andaikan dan adalah bilangan real sembarang maka a 2). Jika , serta dan bilangan real, berlaku a. b. yang dapat ditulis sebagai
Catatan Langkah-langkah penyelesaian pertaksamaan yang memuat nilai mutlak adalah sebagai berikut :
Ubahlah bentuk pertaksamaan sehingga tidak memuat lagi nilai mutlak. Selesaikan pertaksamaan yang muncul pada setiap kasus. untuk itu kita dapat
menggunakan sifat-sifat nilai mutlak (teorema akibat 1.15) atau mengkuadratkan bentuk pertaksamaan dengan nilai mutlak bila syaratnya terpenuhi.
Contoh 1. Selesaikan (Tentukan himpunan penyelesaian) pertaksamaan berikut : a). b). c) d).
Solusia). Berdasarkan Th 1.5 , 7. Jadi himpunan penyelesaianya adalah : (-3,7) = yaitu selang terbuka (-3,7).
b). atau atau 5x
. x atau x
Jadi Himpunan penyelesainya adalah:
=
c).
28
(//////////////////////////////////////////) -3 | x – 2 | < 5 7
Sistem Bilangan
definit positif Jadi himpunan penyelesaiannya =
d).
Himpunan solusinya adalah
Cara lain : oleh karena nilai mutlak suatu bilangan selalu tak negative, maka Jadi
, maka kedua ruas di bagi |x + 2| sehingga pertaksamaan diatas dapat dituliskan sebagai :
berdasarkan th.1.15, hasil tersebut ekivalen dengan :
, karena , maka
Jadi ada dua kasus yang perlu ditinjau yaitu dan Kasus (i) Andaikan , maka dan mengalikan ruas-ruas pertaksamaan dengan
, diperoleh :
, hal ini tidak mungkin sebuah bilangan
kurang dari sekaligus lebih besar dari 5. (dengan kata lain irisannya ). Jadi kasus (i)
tidak mungkin.Kasus (ii) Andaikan maka dan mengalikan ruas-ruas pertaksamaan dengan
, diperoleh :
, sehingga
29
///////////////////-1 2
///////////////////1/3 5
Sistem Bilangan
atau
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
Hal ini mudah dilihat irisannya pada garis bilangan sebagai berikut :
Hasil irisannya ;
Contoh 2. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan
a).
b). Solusi :
a).
Himpunan penyelesaiannya adalah
b). Tuliskan persamaannya tanpa bentuk nilai mutlak dengan menggunakan sifat : dan Titik 0 dan 1 membagi garis bilangan atas tiga daerah : Proses penyelesaiannya pada garis bilangan adalah sebagai berikut :
Subtitusi ke pertidaksamaannya pada
, diperoleh
Subtitusi ke pertidaksamaannya pada
, diperoleh
Subtitusi ke pertidaksamaannya pada
, diperoleh
30
(////////////////////////////////////////////////////////-2
/////////////////////////////////////////1/3
///////////////////////////////////////////////////////5
//////////////////////////////////1/3 5
(///////////////////)4/7 2
x < 0 x 00x10 1
Sistem Bilangan
iriskan dengan iriskan dengan iriskan dengan
Hp2 = Hp3=
= = =Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari ketiga himpunan penyelesaian diatas :
Hp =Hp1 Hp2 Hp3 Jadi Hp3
Contoh 3Sebuah kubus yang panjang rusuknya 3 meter. Dalam penggukuran panjang rusuknya
tentu saja terjadi galat/kesalahan. Tentukan besarnya toleransi S untuk galat pengukuran panjang rusuknya bila galat luas permukaannya tidak lebih dari 1%.Solusi Misalkan hasil pengukuran rusuk kubus adalah
x meter (lihat gambar) maka luas permukaannya adalah 6 , sedangkan nilai eksaknya
kita akan menentukan bilangan
Untuk menyelesaikan masalah ini, dapat kita mulai dengan suatu toleransi tertentu, katakanlah m. Ini mengakibatkan faktor dapat dibatasi oleh suatu konstanta yaitu :
= Ini berarti bahwa harus ditentukan sehingga memenuhi
Ambillah Min yaitu , maka apa yang diinginkan sudah tercapai dengan proses pembuktinya sebagai berikut :
Dalam hal ini tidak tunggal tergantung pengandaian awalnya. Pada kasus ini kita dapat memilih . Jadi besarnya toleransi untuk galat pengukuran panjang rusuk kubus agar galat luas permukaannya tidak lebih dari 1 % adalah
31
x
xx
Sistem Bilangan
SOAL-SOAL LATIHAN
A. Pertidaksamaan 1. Lengkapilah lingkaran pertidaksamaan berikut :
2. a). 5x + 1 < x – 3 b). 2 5 – 3x < 11 3. a). x2 – 3x – 2 = 0 b). 4x2 + 9x 9 c). 3x2 – 11x – 4< 0
4. a). b). c).
5. a). b).
6. a). b).
7. a). b).
8. a). b).
B. Nilai Mutlak 1. Tanpa melakukan penyederhanaan, tuliskan bilangan-bilangan berikut tanpa menggunakan tanda mutlak
a). b). c). d). e). f).
g). h).
2. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan berikut : a). b). |3x + 5| = 5x – 3 c). |x – 1| = |x + 1|
d). |2x + 4| = |x – 1| e). f).
3. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan berikut : a). |2x +3| 2 b). |2x + 4| < 5 – 4x c). |5x + 3| 9 d). |2x + 3| < |4x – 5| e). |x2 – 3x + 2| > |4x – 5| f).
32
…….. -x …..
.. 3x …
…… ¼ x – 1 …..
…….. +3….
…..x + 2 ….
x + ….
-4 x 6
Sistem Bilangan
g).
4. Tentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan berikut :
a). b). c).
d). e). f).
g). 5. Tentukan sebuah pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak yang ekivalen dengan
pertaksamaan b > a + c dan b > a – c 6. Tunjukkan bahwa |b| = maks{b,-b}; b
7. Buktikan bahwa
8. Buktikan ; dengan bilangan positif.9. Tunjukkan bahwa 0 < |x – a| < x (a - ; a + ); dengan x a 10. Tunjukkan bilangan positif sehingga |x – 3| < 6,9 < 4x – 5 < 7,1 11. Misal > 0, tentukan bilangan positif sehingga : |x – 4| < 18 - < 3x+6 < 18 + 12. Jika a, b bilangan rill positif, berlaku : |a – b| < k, > 0, Buktikan bahwa a = b.13. Jika a, b, c bilangan rill, buktikan bahwa : |a + b + c| |a| + |b| + |c|
33