A. PENGERTIAN VEKTOR Vektor didefinisikan secara lengkap apabila kita mengetahui bukan saja nilainya (dengan satuan) tetapi juga arah kemana vektor itu beroperasi.Vektor juga dapat diartikan sebagai bilangan yang memiliki nialai satuan dan memiliki arah.Contoh Vektor:gaya,kecepatan,percepatanMisal:Kecepatan 10km/jam ke arah utara. Angin yang bertiup ke timur laut sebesar 20 knot.Vektor dapat direpresentasikan secara grafis,dengan garis yang ditarik sedemikian sehingga: Panjang garis menandakan besar vektor. Arah garis(ditunjukkan dengan mata panah)menandakan arah vektor.Suatu vektor biasanya digambarkan dengan sebuah garis yang salah satu ujungnya memiliki ujung panah sebagai arahnya. Sedangkan nilainya diwakili oleh panjang anak panah tersebut.Pada gambar di bawah

terlihat contoh-contoh vektor yaitu :

B. PENGERTIAN SKALAR Skalar dapat didefinisikan secara lengkap oleh bilangan tunggal dengan satuan yang sesuai.Skalar juga dapat diartikan sebagai bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa arah.Contoh Skalar: panjang,luas,volume,massa,waktuMisal: Temperatur 1000 Celcius Jumlah RP500 Membutuhkan waktu 08 jam 20 menit Kelajuan 10km/jam

C. ALJABAR VEKTOR1. Penjumlahan vectorDua vector dapat dijumlahkan terlebih dahulu memindahkan titik awal (tangkap) ke titik ujung (terminal) . Vektor hasil penjumlahan ini dapat diperoleh dengan menggambar sebuah vector baru yang titik tangkap berimpit dengan titik tangkap dan titik terminalnya berimpit dengan titik terminal Cara ini dapat digunakan untuk menjumlahkan beberapa buah vector, misalnya (gambar 4.3)

Dari penjumlahan vector ini dapat kita simpulkan: (sifat komutatif) (2.1) (sifat asosiatif) (2.2)Penjumlahan dengan cara ini disebut penjumlahan dengan cara jajaran genjang. Dengan cara ini, kita dapat melakukan pegurangan dua vector, gambar 4.4

Cara lain menjumlah atau mengurangkan vector adalah dengan melakukan penjumlahan atau pengurangan komponen-komponen vector yang terletak pada sumbu yang sama.Jika (2.3)Dan Maka penjumlahan dan pengurangan kedua vector dapat dituliskan: (2.4)Dan Contoh:Hitunglah jika: Penyelesaian:

2. Perkalian vectora. Perkalian titik (dot)Perkalian titik didefinisikan sebagai berikut: (2.5)Dengan adalah sudut antara .Persamaan (2.5) menunjukkan bahwa hasil perkalian titik dari dua vector adalah sebuah besaran scalar.Perhatikan gambar(4.5):

Gambar 4.5 adalah proyeksi , maka dapat dinyatakan sebagai perkalian antara besar dengan proyeksi ke , atau dapat juga dinyatakan sebagai perkalian antara besar dengan proyeksi . Jadi Sekarang mari kita lihat hasil perkalian titik dari vector-vektor satuan (2.7)

Karena vector dapat dinyatakan dalam komponennya,Maka Atau (2.8)Dan(2.9)Jika(2.10)Dan (2.11)Contoh 2Jika , hitung proyeksi dan sudut antara .Penyelesaian:Untuk menentukan sudut antara , maka:

Atau Atau Proyeksi adalah b. Perkalian silang (cross)Perkalian silang di definisikan sebagai berikut:(2.12)Persamaan titik 2.12 menunjukkan bahwa hasil adalah sebuah vector yang mempunyai besar = dan searah dengan vector satuan .vector harus tegak lurus terhadap bidang tempat terletak. Untuk menentukan arah vector ini, kita gunakan system sekrup. Arah gerak sekrup menunjukkan arah Perhatikan gambar (4.6). penulisan menyatakan bahwa sekrup diputar dari atau sekrup akan bergerak ke atas bidang kertas.

Gambar (4.7) memperlihatkan bahwa perkalian menghasilkan vector yang arahnya kebawah kertas. Ternyata dan mempunyai besaran scalar yang sama tapi arah berlawanan atau: (2.13)Jika dilakukan perkalian silang antar dua vektoe satuan, hasil yang diperoleh adalah

(2.14)Dan (2.15)Pada persamaan (2.15), kita dapat mengatakan bahwa vector satuan tegak lurus terhadap bidang tempat vector satuan terletak yakni bidang xy. Karena vector satuan dan tegak lurus pada bidang xy, maka = atau dengan cara yang sama diperoleh:

Untuk mempermudah mengingat hasil perkalian vector satuan, kita dapat menulis urutan seperti gambar berikut:

Jika perkalian silang dilakukan pada vector satuan yang berurutan dengan arah berlawanan arah jarum jam, maka hasilnya adalah vekor satuan berikutnya.Contoh . Untuk perkalian vector satuan yang berurutan dengan arah berlawanan arah jarum jam akan dihasilkan vector satuan berikutnya juga, tapi bertanda negative (-) misalnya dengan menggunakan persamaan (2.12) dan (2.16) diperoleh

Persamaan (2.17) dapat dinyatakan dalam bentuk determinan sebagai:

Contoh carilah sebuah unit vector yang tegak lurus bidang tempat terletak, jika Penyelesaian: sebab terletak pada sebuah bidang maka tegak lurus bidang tempat terletak. Hasil yang diperoleh adalah Dan vector satuan tegak lurus bidang adalah

D. OPERASI VEKTOR

1. Operasi Penjumlahan VektorPenjumlahan dua vektor dapat dikerjakan dalam dua cara yaitu cara grafis dan analitis.a. Cara Grafis1) Dengan cara penjumlahan segitiga atau segitiga vektor

+

Cara: pangkal vektor digeser ke ujung vektor maka vektor hasil + adalah vektor yang menghubungkan pangkal vektor dengan ujung vektor .2) Dengan cara penjumlahan jajar genjang atau jajar genjang vektor

+

Cara: pangkal vektor digeser ke pangkal vektor , dilukis jajar genjang, maka diagonal dari ujung persekutuan adalah +.

Untuk melakukan penjumlahan lebih dari dua vektor digunakan aturan segi banyak (potongan).

++

b. Cara Analitis1) Apabila kedua vektor diketahui mengapit sudut tertentu , maka dapat digunakan perhitungan dengan memakai rumus aturan cosinus seperti pada trigonometri.

Apabila sudut antara dan adalah , maka :

+ (+)2 = 2 +2 + 2Cos

(+) =

2) Jika vektor disajikan dalam bentuk komponen (dalam bidang kartesius) maka penjumlahan dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponennya.

Misalnya: = dan = maka + = Contoh:a)

Apabila dan maka + = b)

Diketahui panjang vektor = 2 dan panjang vektor = 4, sudut antara vektor dan adalah 60, maka :

+ =

=

=

= 2. Pengurangan Vektor

Memperkurangkan vektor dari vektor didefinisikan sebagai menjumlahkan vektor negatif pada vektor dan ditulis : = + (-).

-

Apabila vektor disajikan dalam bentuk komponen (dalam bidang kartesius) maka pengurangan dapat dilakukan dengan mengurangkan komponen-komponennya.

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika suatu vektor dan m adalah skalar (bilangan nyata), maka m atau m adalah suatu vektor dengan kemungkinan :a.

Jika m > 0 maka m adalah vektor yang besarnya m kali dan searah dengan .b.

Jika m < 0 maka m adalah vektor yang besarnya m kali dan arahnya berlawanan dengan .c. Jika m = 0 maka m adalah nektor nol.

Contoh perkalian vektor dan scalar

a. Vektor diberikan dalam bentuk gambar

2 -3

b. Vektor diberikan dalam bentuk komponen

Jika = maka 2 = 2 =

Jika = maka = =

Jika maka Apabila titik-titik dalam vektor dapat dinyatakan sebagai perkalian vektor yang lain, titik-titik itu disebut kolinier (segaris).4. Perkalian Dua vektorOperasi perkalian pada vektor dapat dikerjakan melalui dua cara sebagai berikut :

a. Sudut antara kedua vektor diketahui

Diberikan vektor =(a1, a2), =(b1, b2) dan sudut yang dibentuk oleh vektor dan adalah . Perkalian antara vektor dan dirumuskan sebagai berikut :

. = .. Cos Contoh:

Tentukan hasil kali kedua vektor = dan = serta sudut antara kedua vektor adalah 60!Jawab:Diketahui dua buah vektor sebagai berikut :

= a1 = 6 dan a2 = 1

= =

= b1 = 3 dan b2 = 6

= =

. = .. Cos

= .Cos 60

= .

=

Jadi, hasil kali kedua vektor adalah .b. Sudut antara kedua vektor tidak diketahui

Diberikan vektor =(a1, a2) dan =(b1, b2). Hasil kali kedua vektor dirumuskan sebagai berikut :

. = a1b1 + a2b2Contoh:

Diberikan vektor = dan = . Tentukan hasil kali vektor dan !Jawab:

Diketahui = a1 = 5 dan a2 = 7 , serta

= b1 = 3 dan b2 = -2

. = a1b1 + a2b2= 5.3 + 7(-2)= 15 + (-14)= 1

Jadi, hasil kali vektor dan adalah 1.Sementara itu, dari dua buah vektor pada sistem koordinat kartesius dapat kita cari besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor yang dirumuskan sebagai berikut :

Cos =

Sifat-sifat operasi vektora. Komutatifa + b = b + a b. Assosiatifa + ( b + c) = (a + b) + cc. Memiliki elemen satuan atau elemen identitasa + 0 = 0 + a = a d. Memiliki elemen inversea + (-a) = (-a) + a = 0e. Distributive dengan perkalian skalarK(a + b) = ka + kb , dengan k= skalar

MAKALAHVEKTOR

Disusun Oleh:IVAN SADA REGI 4013002IIN MARTINA 4013059RATNA JUWITA 4013004Dosen Pengampu RENY WAHYUNI, M.Pd

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA(STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAUTAHUN AKADEMIK 2015/2016