BAB I PENDAHULUANA. Latar Belakang Masalah Menurut Jarwo Jacko, Geometri secara harfiah dapat diartikan sebagai ilmu pengukuran bumi. Kata geometri berasal dari bahasa Yunani, geo yang berarti bumi, dan metria yang berarti pengukuran. Geometri adalah salah satu ilmu tertua, ilmu yang menyangkut geometri telah ada sejak zaman Mesir Kuno, Lembah Sungai Indus dan Babilonia, sekitar 3.000 SM. Peradaban zaman dulu telah memiliki pengetahuan tentang irigasi, drainase dan dapat mendirikan bangunanbangunan raksasa yang tertinggal di masa kini. Seiring berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis. Menurut Kusno (2004:54), geometri dimulai dari istilah-istilah dasar yang tidak terdefinisikan, kemudian didefinisikan beberapa istilah penting yang sering digunakan dalam pembahasan geometri agar terhindar dari kerancauan arti. Hal berikutnya yaitu ditetapkan beberapa aksioma dan postulat dan selanjutnya teorema-teorema. Salah satu pembahasan dalam geometri yaitu tentang transformasi geometri. Istilah transformasi geometri dapat ditafsirkan sebagai geometri yang membahas mengenai transformasi. Transformasi geometri yang biasa dipelajari yaitu refleksi, rotasi, translasi, dan dilatasi. Dalam makalah ini akan diteliti lebih lanjut mengenai refleksi. Refleksi terhadap sebuah titik dan garis. Refleksi terhadap titik adalah suatu refleksi dengan cermin berupa titik. Refleksi terhadap garis adalah suatu refleksi dengan cermin berupa suatu garis. Jika titik P di refleksikan terhadap suatu titik atau garis, maka bayangannya yaitu titik P dengan titik Q atau garis s merupakan titik tengah. Sifatsifat refleksi titik dan garis yang ada pada dimensi dua antara lain adalah refleksi merupakan isometri yaitu bersifat kolineasi, mempertahankan besar sudut, dan mempertahankan kesejajaran. Refleksi merupakan involusi dan refleksi memiliki

titik tetap dan garis tetap. B. Rumusan Masalah Adapun Rumusan Masalah dalam makalah ini adalah; 1. Bagaimana menentukan Refleksi (pencerminan) pada Titik ? 2. Bagaimana menentukan Refleksi (pencerminan) pada Garis ? C. Tujuan Penulisan Adapun Tujuan Penulisan dalam makalah ini yaitu; 1. Menentukan Refleksi (pencerminan) pada Titik. 2. Menentukan Refleksi (pencerminan) pada Garis. D. Manfaat Penulisan Adapun manfaat dalam penulisan makalah ini yaitu: 1. Menambah wawasan bagi stake holder di bidang pendidikan terutama guru maupun calon guru tentang Refleksi (pencerminan) pada titik dan garis. 2. Sebagai referensi mata kuliah Geometri Transformasi khususnya bagi mahasiswa fakultas keguruan dan ilmu pendidikan.

BAB II KAJIAN TEORIA. Pengertian Geometri Sejak zaman Euclid ( 300 SM) sampai abad 17 M, geometri dipelajari dari perspektif syntesis, sebagai suatu ilmu. Selama abad 17 sejumlah ide dan diterapkan dalam mempelajari Misalnya dengan menerapkan baru dalam matematika dikembangkan

geometri, dengan efek yang bersifat revolusi. Rene Descartes (1596 1650) geometri dikembangkan geometri.

notasi-notasi dan konsep aljabar ke feometri. Fermat ( 1601 16650 dan menciptakan geometri analitik. Diferensial sebagai suatu konsep dan menggunakan notasi dari

kalkulus yang dikembangkan oleh Newton dan Leibniz diaplikasikan pada Alam abad 18 dan 19 , sejumolah geometri non Euclid dikebangkan, mengakibatkan beberapa orang menjadi ragu apakah geometri akan terpisah sesuai dengan teori-teorei yang bersaing satu dengan yang lain. Di tahun 1782, seorang ahli matematika berusia 23 tahun, Felix Klein ( 1849 1925) mengusulkan suatu prinsip pemersatu untuk mengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan hubungan-hubungan diantara mereka. dari gagasan atau konsep Klein itu adalah Geometri Transformasi. Geometri transformasi adalah pemetaan satu- satu, dengan menggunakan hinpunan titik-titik sebagai input dan returning points sebagai output. Untuk sederhananya, hinpunan-himpunan input dinamakan obyek dan outputnya yang bersesuaian dinamakan image. Tergantung dari konteks, transformasitransformasi dapat dipandang sebagai diterapkan pada obyek-obyek geomeri yang umum dikenal, misalnya garis, polygon, atau polihedra ataupun pada ruang dimana obyek-obyek itu ada. Geometri Transformasi menawarkan pandangan yang dalam terhadap hakekat dari banyak topik tradisional, termasuk kongruensi, kesebangunan, dan symetri. Geometri transformasi juga berfungsi sebagai basis bagi banyak aplikasi kontemporer dalam seni, arsitek, engenering, film dan televisi. Yang lebih berarti lagi adalah bagaimana Felix Klein memberi Inti

definisi tentang suatu geometri: Suatu geometry adalah suatu studi tentang sifat-sifat dari suatu himpunan S yang tetap tidak berubah bilamana elementelemen S ditransformasikan oleh sekelompok transformasi. Definisi ini cara memahami hubunganmenetapkan geometri transformasi sebagai suatu

hubungan diantara semua geometri, Euclid dan non Euclid. Transformasi adalah perpindahan dari suatu posisi ke posisi yang lain. Dalam geometri, transformasi merupakan pemetaan setiap bangun geometri pada suatu bidang ke bangun geometri lainnya pada bidang yang sama. Setiap benda atau bangun yang di transformasi akan mengalami perubahan bentuk, tempat, atau besarnya. B. Pengertian Refleksi (Pencerminan) Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang akan dipindahkan. Dalam sistem koordinat bidang, pencerminan terdiri atas beberapa jenis. Pencerminan dilambangkan dengan pencerminan. C. Pengertian Titik dan Garis 1.) Titik Di dalam matematika sebuah titik menggambarkan objek yang spesifik di dalam ruang yang diberikan, yang tidak melibatkan volume, luas, panjang, atau analog-analog lainnya pada dimensi yang lebih tinggi. Dengan demikian, titik adalah objek 0-dimensi. Karena sifatnya sebagai salah satu konsep geometri paling sederhana, ia sering digunakan di dalam satu bentuk atau bentuk lain sebagai konstituen dasar geometri, fisika, gambar vektor, dan banyak lapangan lainnya. Titik biasanya dideklarasi dengan (x, y).

M i dengan i menyatakan jenis

2.) Garis

Garis terdiri dari himpunan titik dan merupakan subhimpunan dari bidang. Sebuah ruas garis adalah bagian dari garis yang dikelilingi oleh dua ujung berbeda dan terdiri dari setiap titik di garis antara kedua ujungnya. Tergantung cara ruas garis ini didefinisikan, satu dari dua ujung tersebut bisa jadi atau bukan bagian dari ruas garis. Dua ruas garis atau lebih bisa memiliki hubungan yang sama seperti garis, seperti paralel, perpotongan, atau kemiringan. Di dalam matematika sebuah titik dan garis biasanya di gambarkan di dalam diagram Cartesius. Diagram cartesius adalah diagram yang terdiri dari 4 bagian yang dipisahkan oleh garis sumbu x dan sumbu y.

BAB III PEMBAHASAN

A. Refleksi (Pencerminan) pada Titik1) Refleksi terhadap sumbu x

Jika P (a, b) dicerminkan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah P (a, -b), dapat ditulis:x P (a, b) M P ' (a, -b)

2) Refleksi terhadap sumbu y Jika P (a, b) dicerminkan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah P (a, b), dapat ditulis:y P (a, b) P ' (-a, b)

M

3) Refleksi terhadap titik P (a, b)x Y

y'

Q'

b

R P (b - y)

R'

y

Q (a - x)X

O

x

a

x'

Perhatikan gambar di atas! Titik Q (x, y) dan R (x, b) direfleksikan terhadap titik P (a, b), menghasilkan bayangan Q (x, y) dan R (x, b). PQ = PQ, PR = PR = a x, dan QR = QR = b y, sehingga diperoleh:

x = x + 2(a x) x = -x + 2a x = -x + 0y + 2a (1)

y = y + 2(b y) y = -y + 2b y = 0x - y + 2b (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan matriks:

x' y'

=

1 0 x 2a + 0 1 y 2 b

Sehingga dapat disimpulkan bahwa:

-1 Mp= 0Jika

0 -1

adalah matriks pencerminan terhadap sembarang titik P (a, b).

M p : V (x, y)

V ' (x', y') dengan P(a, b) , maka:

x' y'

=

1 0 x 2a + 0 1 y 2 b

B. Refleksi terhadap Garis Refleksi terhadap garis terdiri dari:

1) Refleksi terhadap Garis y = k (k R)

Y

y'

P' (x', y')

k

R P (x, y)

y= k

y

O

x

X

PR = P'R, maka: y' - k = k - y y' = 2k - y

Berdasarkan gambar diatas; Titik P direfleksikan terhadap garis y = k menghasilkan bayangan P. Titik R pada garis y = k dan PR = PR, sehingga diperoleh hubungan: x = x y = 2k y x 0 = 1. x + 0. y y 2k = 0. x 1. y (2) (1)

Dari (1) dan (2) diperoleh persamaan matriks:

x ' 0 = y ' 2 k

1 0 x 0 1 y

x ' 0 1 0 x = y ' 2 k 0 1 y x' = y' 1 0 x 0 + 0 1 y 2 k

Sehingga dapat disimpulkan, Jika

M y = k :V (x, y)

V '(x',dengan y')

k R, maka:

x' y'

1 0 = 0 1

x y

0 + 2 k

2) Refleksi terhadap garis x = k (k R)

Titik Q direfleksikan terhadap garis x = k menghasilkan bayangan Q.

Y

x=k

y

Q (x, y)

S

Q' (x', y')

O

x

k

x'

X

QS = Q'S, maka: k - x = x' - k x' = 2k - x y

Titik S pada garis x = k dan QS = QS, sehingga diperoleh hubungan: x = 2k - x y = y x 2k = -1. x + 0. y

(1) (2)

y 0 = 0. x 1. y

Dari (1) dan (2) diperoleh persamaan matriks:

x ' 2 k 1 0 x = y ' 0 0 1 y x ' 2k y ' 0 1 0 x = 0 1 y

x ' 1 0 x = y ' 0 1 ySehingga dapat disimpulkan, Jika

2 k + 0

M x = k :V (x , y)

V '(xdengan ', y')

k R, maka:

x' = y'

1 0 x 2k + 0 1 y 0

3) Refleksi terhadap garis y = mxY

y '

T'

y = mx

y

T

O

R x x '

X

Keterangan: m = tan (gradien garis y = mx) = sudut antara garis y = mx dengan sumbu X + = sudut antara OT dengan sumbu x = OT cos y = OT sin ROT = 2( ) + = 2 Titik T (x, y) direfleksikan terhadap garis y = mx menghasilkan bayangan T (x, y). Dapat diperhatikan pada gambar diatas dalam ROT, berlaku: cos (2 - ) = x1' OT'

X+

x = OT cos (2 ) = OT (cos 2 cos + sin 2 sin ) = (OT cos ) cos 2 + (OT sin ) sin 2 = x cos 2 + y sin 2 y1' OT' (1)

sin (2 - ) =

y = OT sin (2 ) = OT (sin 2 cos - cos 2 sin ) = (OT cos ) sin 2 - (OT sin ) cos 2 = x sin 2 - y cos 2 Dari (1) dan (2) diperoleh persamaan matriks: (2)

x ' y '

cos 2 sin 2 = cos sin 2 2

x1 y 1

Sehingga dapat disimpulkan;

cos 2 sin 2 My = merupakan matriks pencerminan terhadap garis y = mx. sin 2 -cos 2 Jika

M

y = mx

:V(x, y)

V'(x', ,y') maka:

x' y' = Contoh soal:

cos 2 sin 2 x 1 sin 2 -cos 2 y 1

1. Garis l : 2x y = 5 direfleksikan terhadap garis y = 3x menghasilkan

bayangan l. Tentukan persamaan l ? Penyelesaian: Dari gambar dapat disimpulkan bahwa: tan = 3, sin = 3 dan cos = 10 1 . sin 2 = 2 sin cos = 103 10 1

2.

3 . 10

1 6 3 = dan = 10 10 5 9 8 4 ==10 10 5 tan = 3, maka cos 2 =

cos 2 = 1 2 sin = 1 - 2 .

Garis y = 3x mempunyai gradien m = 3 atau 4 dan sin 2 = 5

3 . Sehingga matriks refleksi terhadap garis y = 3x adalah 5

cos 2 sin 2 = sin 2 -cos 2

4 5 3 5

3 5 4 5

Misalkan titik (x, y) pada l dan (x, y) pada l, maka: 4 x' 5 = y' 3 5 3 5 x 4 y 5

Diberikan persamaan matriks AX = B atau B = AX, maka X = A -1B . Dari persamaan matriks diperoleh: 4 x 5 = y 3 5 4 3 5 x' = 1 5 -1 3 4 y' 5 5-1

3 - 5 x' 4 y' - 5

4 - 5 = 3 5

3 3 -4 x' 5 x' + 5 y' 5 = 4 y' 3 4 x' + y' 5 5 5

4 3 3 4 Sehingga diperoleh x = - x' + y' dan y = x' + y' . 5 5 5 5 Substitusi x dan y ke l diperoleh: 4 3 3 4 2.(- x' + y') - ( x' + y') = 5 5 5 5 5

8 6 3 4 - x' + y' - x' - y' = 5 5 5 5 5 11 2 x' + y' = 5 5 5

-11x' + 2y' = 25 Jadi, l : -11x + 2y = 25 . 4) Refleksi terhadap garis y = ax + b dengan a 0 dan b 0. Keterangan:Y P' y ' r y r Ab a

R P

O

Q' x '

Q x

X

QAR = adalah sudut antara garis y = ax + b dengan sumbu QAP = QAP = 2( ) + = 2 AP = AP = r PQ = r sin y = r sin AQ = r cos x + b = r cos a

X+

Titik P (x, y) direfleksikan terhadap garis y = ax + b menghasilkan

bayangan P (x, y). Dapat diperlihatkan pada gambar bahwa dalam APQ, berlaku: a) cos (2 - ) = AQ' = AP' x1' + r b a

x1' + x1' +

b = r cos (2 - ) a b = r cos 2 cos + r sin 2 sin a b ) cos 2 + y1 sin 2 a b b cos 2 a a b (cos 2 - 1) a (1)

= (x1' +

x1' = x1 cos 2 + y1 sin 2 +

= x1 cos 2 + y1 sin 2 + b) sin (2 - ) = P'Q' y' = 1 AP' r

y1' = r sin (2 - )

= r sin 2 cos - r cos 2 sin = (x1 + b ) sin 2 - y1 cos 2 a b sin 2 a (2)

= x1 sin 2 - y1 cos 2 +

Dari (1) dan (2) diperoleh persamaan matriks :

x1' cos 2 sin 2 x1 = y1' sin 2 -cos 2 y1Sehingga dapat disimpulkan; x = x1 cos 2 + y1 sin 2 + y = x1 sin 2 - y1 cos 2 +

b cos 2 - 1 + a sin 2

b (cos 2 - 1) dan a b sin 2 a

Jika

M y = ax + b :V (x, y)

V '(x', y') a 0 dan b 0, maka: dengan

x1 ' y1 '

cos 2 sin 2 = sin 2 -cos 2

x 1 cos 2 - 1 b + y 1 sin 2 a

BAB IV PENUTUPA. Kesimpulan Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang akan dipindahkan. Refleksi (pencerminan) yang di bahas dalam makalah ini yaitu: A. Refleksi (Pencerminan) pada Titik 1) Refleksi terhadap sumbu x Jika P (a, b) dicerminkan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah P (a, -b), dapat ditulis:x P (a, b) M P ' (a, -b)

2) Refleksi terhadap sumbu y Jika P (a, b) dicerminkan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah P (a, b), dapat ditulis:y P (a, b) P ' (-a, b)

M

3) Refleksi pada titik P (a, b) Jika

M p : V (x, y)

V' (x', y') dengan P(a, b) , maka:

x' y'

=

1 0 x 2a + b 0 1 y 2

B. Refleksi (Pencerminan) pada Garis 1) Refleksi terhadap Garis y = k (k R) Jika

M y = k :V (x, y)

V '(x',dengan y')

k R, maka:

x' y'

1 0 = 0 1

x y

0 + 2 k

2) Refleksi terhadap garis x = k (k R) Jika

M x = k :V (x , y)

V '(xdengan ', y')

k R, maka:

x ' 1 0 x = y ' 0 1 y

2k + 0

3) Refleksi terhadap garis y = mx Jika

M

y = mx

:V(x, y)

V'(x', ,y') maka:

x' y' =

cos 2 sin 2 x 1 sin 2 -cos 2 y 1

4) Refleksi terhadap garis y = ax + b dengan a 0 dan b 0 Jika

M y = ax + b :V (x, y)

V '(x', y') a 0 dan b 0, maka: dengan

x1 ' y1 'B. Saran

cos 2 sin 2 = sin 2 -cos 2

x 1 cos 2 - 1 b + y 1 sin 2 a

Demikianlah makalah ini diselesaikan penulis. Penulis berharap makalah ini bermanfaat bagi pembaca khususnya bagi calon guru yang mengambil bidang fakultas keguruan dan ilmu pendidikan matematika. Dan diharapkan makalah ini dapat menjadi bahan ajar bagi mahasiswa serta sebagai referensi dalam perkuliahan terutama mata Geometri Transformasi.

DAFTAR PUSTAKAHerynugroho. 2009. Matematika SMA kelas XII. Jakarta: Yudhistira Kartini. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam kelas XII. Klaten: Intan Pariwara