5/14/2018 BAB I - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-55a9318d5b2c7 1/9

 

Bab 1

Dinamika kisi kristal

Fonon dalam fisika adalah kuantum kuantum moda vibrasi pada kisi kristal tegar, seperti

kisi kristal pada zat padat. Kristal dapat dibentuk dari larutan, uap, lelehan atau gabungan dari

ketiganya. Pembentukan kristal sangat dipengaruhi oleh laju nukleasi dan pertumbuhan. Bila

pertumbuhan lambat, kristal yang terbentuk akan cukup besar, disertai dengan penataan atom – 

atom atau molekul-molekul secara teratur dengan berulang sehingga sehingga energi

potensialnya minimum. Fisika zat padat sangat berkaitan erat dengan kristal dan elektron di

dalamnya.

Fisika zat padat mengalami perkembangan pesat setelah ditemukan Sinar-X dan

keberhasilan di dalam memodelkan susunan atom dalam kristal. Atom-atom atau molekul – molekul dapat berbentuk kisi kristal melalui gaya tarik menarik (gaya coulomb). Kisi – kisi

tersebut tersusun secara priodik membentuk kristal. Atom – atom yang menyusun zat padat

bervibrasi terhadap posisi keseimbanganya sehingga kisi – kisi kristal pun ikut bervibrasi.

Fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem fisika zat padat tetapi memiliki perbedaan energi

dengan panjang gelombang lebih panjang dibanding gelombang elektromagnetik disebut fonon.

Energi kuantum dari vibrasi gerak dalam medan gelombang elastis dapat dianalogikan seperti

dalam foton dalam gelombang elektromagnetik.Konsep fonon tersirat dalam teori Debye yang sangat penting dan jauh mencapai

konsepnya. Kita telah melihat bahwa energi setiap mode adalah terkuantisasi, energi dari unit

kuantum menjadi ћω. Karena mode yang kita miliki adalah gelombang elastis, yang pada

kenyataannya, terkuantisasi energi gelombang suara elastis. Prosedur ini analog dengan yang

digunakan dalam mengkuantisasi energi medan elektromagnetik, di mana sel hidup alam

lapangan diungkapkan dengan memperkenalkan foton. Dalam kasus ini, partikel seperti entitas

yang membawa energi unit bidang elastis dalam modus tertentu disebut sebuah Fonon. Energi

fonon tersebut yaitu:

є = ћω 

Sedangkan Fonon juga merupakan gelombang berjalan, ia membawa momentum sendiri.

Analogi foton (sama seperti persamaan de Broglie), momentum Fonon diberikan oleh p = h / λ,

5/14/2018 BAB I - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-55a9318d5b2c7 2/9

 

dimana λ adalah panjang gelombang. Ditulis λ = 2π / q, dimana q adalah vektor gelombang, kita

memperoleh momentum untuk Fonon tersebut:

 p = ћq 

Sama seperti kita berpikir tentang gelombang elektromagnetik sebagai aliran foton,

sekarang kita melihat sebuah gelombang suara elastis sebagai aliran fonon yang membawa

energi dan momentum gelombang. Kecepatan perjalanan Fonon sama dengan kecepatan suara

dalam medium.

Jumlah fonon dalam mode pada kesetimbangan termal dapat ditemukan dari pemeriksaan

Persamaan. Karena energi per Fonon sama dengan ћω, dan karena energi rata-rata fonon dalam

modus diberikan oleh є dalam, berarti rata-rata jumlah fonon dalam modus diberikan oleh

 

Jumlah ini tergantung pada suhu pada T = 0, n = 0, tetapi dengan meningkatnya T, n juga

meningkat, akhirnya meraih nilai n = kT / ћω pada suhu tinggi. Di sini kita melihat hal yang

menarik: fonon diciptakan hanya dengan meningkatkan suhu, dan karenanya jumlah mereka

dalam sistem ini tidak kekal. Ini tidak seperti kasus pada partikel lebih dikenal fisika-misalnya,

elektron atau proton di mana jumlah ini kekal.

Konsep fonon merupakan salah satu yang sangat penting dalam fisika zat padat, dan kita

akan perdalam lagi dalam buku ini. Sebagai contoh, pada bagian 3.10, kita akan mempelajariinteraksi fonon dengan bentuk-bentuk lain dari radiasi, seperti sinar-X, neutron, dan cahaya.

Hubungan persamaan-persamaan diatas tidak hanya akan memvalidasi persamaan untuk energi

dan momentum Fonon, tetapi juga akan memberikan informasi berharga tentang keadaan getaran

padat.

  GELOMBANGA KISI

  Kisi diatomik satu dimensi

Sekarang mempertimbangkan kisi satu dimensi diatomik. selain memiliki sifat-

sifat kisi monoatomik, diatomik kisi juga menunjukkan fitur penting sendiri. Gambar 1

menunjukkan kisi diatomik di mana sel satuan terdiri atas dua atom massa

 M 1 dan M 2, dan jarak antara dua atom tetangga adalah a. misalnya di NaCl, dua massa

adalah dari atom natrium dan chlorine.

5/14/2018 BAB I - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-55a9318d5b2c7 3/9

 

gambar 1. kisi diatomik satu dimensi. sel satuan memiliki panjang 2a

Gerak kisi ini dapat diperlakukan dengan cara yang sama dengan gerakan kisi

monoatomik. Karena ada dua jenis atom, kita akan menulis dua persamaan gerak. Maka

kita memiliki persamaan :

M2

= - α (2u2n+1 – u2n – u2n+2),

M1

= - α (2u2n+2 – u2n+1 – u2n+3),

dimana n adalah indeks integral, dan perpindahan adalahseperti yang semua atom dengan massa M 1 diberi label sebagai bahkan dan mereka

dengan M 2 massa sebagai aneh.

Dua persamaan diatas jika digabungkan, dengan menulis satu set yang sama

untuk setiap sel dalam kristal, kita memiliki total 2N persamaan diferensial

digabungkan dan harus dipecahkan secara simultan (N adalah jumlah sel unit dalam

kisi). Untuk melanjutkan dengan solusi, kami mengandalkan pembahasan kisi

monoatomik, dan mencari mode normal untuk kisi diatomik. Dengan demikian kita

mencoba solusi dalam bentuk gelombang berjalan , 

=     

Dicatat bahwa semua atom massa M 1 memiliki amplitude yang sama  A1, dan

semua M 2 massa memiliki amplitude A2. Jika kita sekarang mengganti persamaan gerak 

dalam bentuk matrik, dengan membuat beberapa penyederhanaan langsung, kami

menemukan

[ ] [  ] = 0

yang merupakan persamaan matriks setara satu set dari dua persamaan simultan

(menulis ini) tidak diketahui A1 dan  A2. Persamaan homogeny solusi trivialada hanya

 jika determinan matriks lenyap. Ini mengarah ke persamaan sekuler ,

- 2n 2n+1

M1 M2 

a

5/14/2018 BAB I - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-55a9318d5b2c7 4/9

 

[ ] = 0

Gambar 2. cabang-cabang dispresion dua dari kisi diatomic M1 <M2 

yang menunjukkan kesenjangan frekuensi

Ini adalah persamaan kuadrat di ω2, yang dapat dengan mudah dipecahkan.

Dua akar adalah berkoresponden ke dua tanda di persamaan sebelumnya, dengan

demikian ada dua relasi dispresion, dan akibatnya kurvadispresion dua atau cabang yang

terkait dengan kisi diatomik.

Gambar 2 menunjukkan kurva ini. kurva yang lebih rendah sesuai dengan tanda

minus adalah cabang akustik, sedangkan bagian atas adalah cabang optik. Cabang

akustik dimulai paa titik q=0, ω = 0. Sebagai meningkatkan q. kurva meningkat secara

linier pada awalnya (yang menjelaskan mengapa cabang ini disebut akustik), tetapi laju

akan menurun meningkat. Akhirnya kurva yang jenuh pada nilai q = π/2a seperti dapat

dilihat dari (3.61) pada frekuensi (2α/M 2)1/2

. Diasumsikan bahwa  M 1 < M 2. Seperti

untuk cabang optik, dimulai pada q = 0  dengan frekuensi yang terbatas ω = [ 2α(

)]1/2 dan kemudian menurun perlahan menjenuhkan di q = π/2a dengan

frekuensi (2α/M 2)1/2

. Frekuensi cabang ini tidak berbeda jauh dengan rentang

seluruh q, dan bahkan sering kali dianggap kurang lebih konstan.

-π/2a π/2a0

Gapoptical

(2α/M1)1/2

(2α/M2)1/2

[ 2α (

)]1/2 ω 

Acoustic

5/14/2018 BAB I - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-55a9318d5b2c7 5/9

 

Rentang frekuensi antara bagian atas cabang akustik dan bawah cabang optic

adalah dilarang, dan kisi-kisi tidak dapat mengirimkan seperti ombak, gelombang di

wilayah ini sangat dilemahkan. Seseorang berbicara di sini tentang celah frekuensi.

Maka kisi diatomic bertindak sebagai sebuah band -pass filter mekanik.

Perbedaan dinamis antara cabang akustik dan optik dapat dilihat paling jelas

dengan membandingkan mereka di nilai q = 0 (panjang gelombang tak terbatas). Kita

dapat menggunakan persamaan tersebut untuk mencari rasio amplitudo  A2 /A1.

Memasukkan ω = 0 untuk cabang akustik kita menemukan persamaan yang merasa

puas hanya jika sehingga untuk cabang dua atom

dalam sel, atau molekul memiliki amplitudo yang sama dan juga

dalam tahap/fase. Dengan kata lain, molekul (dan memang seluruh kisi) berosilasi

sebagai badan kaku, dengan pusat massa bergerak maju-mundur. Sebagai q

meningkatkan dua atom dalam molekul tidak lagi memuaskan persis, tapi mereka masih

bergerak disekitar fase satu sama lain.

Di sisi lain, jika kita mengganti ω =[ 2α (

)]1/2

untuk cabang optik kita

menemukan bahwa M1A1 + M2A2 = 0.

Ini berarti bahwa osilator optik berlangsung sedemikian rupa sehingga pusat

massa sel tetap. Dua atom π bergerak keluar dari fase satu

sama lain, dan rasio amplitudo mereka -M1 /M2 = A2 /A1. Jenis osilasi di sekitar pusat

massa dikenal dalam studi getaran molekul. Sebagai meningkatkan q luar nol, frekuensi

getaran berkurang diatomik, namun menurun tidak besar karena atom terus berosilasi di

sekitar π keluar dari fase satu sama tanpa keluar dari rentang q.

Alasan untuk merujuk ke cabang atas sebagai optik adalah: Pertama, frekuensi

cabang ini diberikan disekitar oleh (2α/M 2)1/2, yang memiliki nilai khas tentang (2 x 5 x

103 /10

-23)1/2

 ≈ 3 x 1013s

-1, menggunakan nilai khas untuk α dan M. Frekuensi ini terletak 

didaerah inframerah. Selanjutnya jika atom dibebankan sepertidalam NaCl, sel membawa momen dipol listrik yang kuat pada

kisi berosilasi dalam modus optik, dan ini menghasilkan refleksi yang kuat dan

penyerapan sinar inframerah oleh kisi-kisi. 

Akhirnya, kami mencatat bahwa kurva disperse untuk kisi

diatomik memenuhi sifat simetri yang sama dalam ruang q dibahas dalam kaitannya

5/14/2018 BAB I - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-55a9318d5b2c7 6/9

 

dengan kisi satu dimensi. Misalnya gelombang dispersi periodik dengan periode π/α,

dan memiliki simetri refleksi tentang q = 0. Dicatat bahwa disini zona Brillouin pertama

terletak pada kisaran  –π/2a < q < π/2a, sejak periode kisi riil 2a dan bukan a.

Itu juga dapat ditampilkan, dengan menggunakan kondisi batas periodik yang jumlah

nilai q diperbolehkan dalam zona pertama adalah N dan akibatnya jumlah mode di

dalam zona ini adalah 2N, sejak dua mode -satu akustik dan yang lain optik sesuai

dengan setiap q. Sehingga jumlah mode di dalam zona pertama adalah sama dengan

 jumlah derajat kebebasan dalam kisi, seperti yang harus terjadi.

Ini menunjukkan bahwa kita dapat membatasi perhatian kita pada zona pertama

saja, seperti dalam kisi monoatomik, prosedur kita telah diikuti secara implisit. 

  Kisi Tiga Dimensi

Pertimbangkan pertama kali untuk kisi monoatomik Bravais, di mana setiap sel

satuan memiliki atom tunggal. Persamaan gerak setiap atom dapat ditulis dengan cara

yang sama. Di sini juga atom-atom yang berpasangan mengalami interaksi bersama

yang saling menguntungkan. Dalam upaya solusi yang normal, kita menulis :

Un = A ei(qr-ωt)

 

Di mana vektor gelombang q menentukan panjang gelombang dan arah

propagasi. Vektor A diperlukan di sini karena propagasi terjadi dalam tiga dimensi.Vektor A menentukan amplitudo serta arah getaran atom. Dengan demikian vektor ini

menentukan polarisasi gelombang, yaitu apakah gelombang adalah longitudinal (A

sejajar dengan q) atau transversal (A  ┴ q). (Pada umumnya dalam gelombang, suatu kisi

tidak mungkin murni longitudinal maupun transversal, namun campuran dari

keduanya).

Ketika kita substitusi ke dalam persamaan gerak, kita akan mendapatkan tiga

persamaan yang melibatkan Ax, Ay dan Az dari komponen A. Persamaan ini

berpasangan dan menggunakan persamaan matriks 3 x 3. Dalam menulis persamaan

sekuler untuk matriks ini, kita sampai pada persamaan determinan 3 x 3, dimana ini

terjadi pada kubik di ω2. Akar persamaan ini mengarah kepada tiga hubungan dispersi

yang berbeda, atau tiga kurva dispersi, seperti ditunjukkan pada Gambar 3. Semua tiga

cabang melewati asal, yang berarti bahwa dalam kisi ini semua cabangnya adalah

5/14/2018 BAB I - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-55a9318d5b2c7 7/9

 

akustik. Hal ini tentu saja diharapkan, karena kita berhadapan dengan kisi Bravais

monoatomik.

Perhatikan bahwa dalam situasi tiga dimensi, hubungan dispersi tidak selalu

isotropik di ruang q, dan kurva dispersi dalam Gambar 3 hanya "profil" dari dispersi

pada arah q tertentu. Jika hubungan dispersi diplot ke arah lain, suatu profil baru akan

dihasilkan dan akan terlihat sangat berbeda dari yang sebelumnya. Dalam kasus tiga

dimensi, representasi lengkap dari hubungan dispersi memerlukan pemberian frekuensi

untuk titik-titik di seluruh ruang q tiga dimensi. Hal ini sering dilakukan dengan

memetakan kontur frekuensi dalam ruang ini.

5/14/2018 BAB I - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-55a9318d5b2c7 8/9

 

 

Gambar 3.(a) Tiga cabang akustik di suatu kisi Bravais tiga dimensi.

(b) Dispersi kurva untuk Al dalam arah [100] (bagian kanan) dan arah [110] pada bagian kiri.

Cabang TA dalam arah [100] benar-benar mewakili dua pertemuan dan arahnya merosot

(turun). (Perhatikan bahwa masing-masing cabang secara individual simetris relatif 

terhadap asal, hanya setengah dari masing-masing cabang diplot.).

(c). Kurva dispersi Ge di arah [100] dan [111].

Tiga cabang pada Gambar 3(a) berbeda dalam polarisasi mereka. Ketika q

terletak sepanjang arah simetri yang tinggi - misalnya, arah [100] atau [110] -

gelombang ini dapat diklasifikasikan sebagai gelombang longitudinal murni atau

gelombang transversal murni. Namun dalam kasus ini, dua dari cabang-cabang ini

adalah transversal dan yang lainnya longitudinal. Kita biasanya mengacu pada ini, yang

masing-masing adalah cabang TA (akustik transversal) dan LA (akustik longitudinal).

Namun, seiring arah dari gelombang yang tidak simetri tidak mungkin gelombang

tersebut murni longitudinal atau murni transversal, namun memiliki karakter yang

campuran. Salah satu mungkin masih merujuk pada cabang sebagai TA atau LA

berdasarkan polarisasi mereka sepanjang arah simetri tinggi.

Gambar 3(b) menunjukkan kurva dispersi untuk Al dalam arah [100] dan [111].

Perhatikan bahwa dalam arah yang simetri tinggi tertentu, seperti [100] di Al, dua

cabang adalah transversal. Cabang-cabang tersebut kemudian dikatakan merosot.

Sebagaimana telah kita lihat, polarisasi dan degenerasi dari kurva dispersi sangat erat

terkait dengan simetri kristal relatif terhadap arah propagasi.

5/14/2018 BAB I - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-55a9318d5b2c7 9/9

 

Kami mengalihkan perhatian kami sekarang untuk kisi non-Bravais tiga dimensi.

Di sini sel satuan mengandung dua atau lebih atom. Jika ada r atom per sel, maka

berdasarkan pengalaman kami sebelumnya kami menyimpulkan bahwa ada 3r kurva

dispersi. Dari jumlah tersebut, tiga cabang yang akustik, dan sisanya (3r-3) yang optik.

Pembenaran matematika untuk pernyataan ini adalah sebagai berikut: kita menulis

persamaan gerak untuk setiap atom dalam sel, yang menghasilkan persamaan r. Karena

ini adalah persamaan vektor, mereka setara dengan 3r persamaan skalar, atau persamaan

matriks tunggal orde (3r x 3r). Oleh karena itu persamaan sekuler dari 3r adalah ω2, dan

memiliki tiga akar, yang mengarah ke 3r cabang. Hal ini dapat menunjukkan bahwa

ketiga dari akar-akarnya selalu lenyap pada q = 0, yang menghasilkan tiga cabang

akustik. Sisanya akar (3r-3), diketahui berasal dari cabang optik, seperti yang

dinyatakan di atas.

Cabang-cabang akustik dapat diklasifikasikan berdasarkan polarisasi mereka

yaitu sebagai TA1, TA2, dan LA. Cabang-cabang optik juga dapat diklasifikasikan

sebagai longitudinal atau transversal ketika q terletak di sepanjang arah simetri tinggi,

dan salah satunya cabang LO dan TO. Seperti dalam kasus satu dimensi, kita juga dapat

menunjukkan bahwa untuk cabang optik, atom dalam sel satuan bergetar keluar dari

fase yang relatif terhadap satu sama lain. Sebagai contoh dari kisi non-Bravais, kurva

dispersi untuk Ge ditunjukkan pada Gambar. 3(c). Terdapat dua atom per unit selgermanium, ada enam cabang: tiga akustik dan tiga optik. Perhatikan bahwa dua cabang

transversal merosot sepanjang arah [100], seperti ditunjukkan sebelumnya.

Kurva kisi dispersi diukur oleh sinar-X yang tidak elastis atau metode hamburan

neutron. Kurva tersebut juga dapat dihitung secara teoritis dengan prosedur yang sama

dengan yang digunakan dalam kasus satu dimensi. Kita asumsikan gaya yang kontinu

sesuai dengan interaksi atom dengan lingkungannya. Substitusikan ke dalam persamaan

gerak, dan solusi dari persamaan sekuler yang sesuai adalah mengarah ke kurva

dispersi. Kami kemudian membandingkannya dengan yang diukur secara eksperimen,

dan gaya kontinu dipilih sehingga mencapai kesepakatan antara hasil eksperimen dan

teoritis.