STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

Keluar

Masuk

LOGIKA MATEMATIKA

BAB 7

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

Keluar

STANDAR KOMPETENSI4. Menggunakan logika matematika

dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor

STANDAR KOMPETENSI

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

Keluar

KOMPETENSI DASAR4.1 Memahami pernyataan dalam matematika dan

ingkaran atau negasinya4.2 Menentukan nilai kebenaran dari suatu

pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor4.3. Merumuskan pernyataan yang setara dengan

pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan

4.4 Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah

KOMPETENSI DASAR

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

Keluar

INDIKATOR Menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan dan

kalimat terbuka, serta menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan

Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan beserta nilai kebenarannya

Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.

Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi

INDIKATOR

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

Keluar

INDIKATOR Menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari

pernyataan berbentuk implikasi beserta nilai kebenarannya

Menentukan nilai kebenaran dan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor

Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor

Menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi atau bukan kontradiksi

INDIKATOR

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

Keluar

INDIKATOR Menentukan kesimpulan dari beberapa

premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens, modus tolens dan silogisme

Memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika

Membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan bukti langsung, bukti tak langsung atau induksi matematika

INDIKATOR

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMaju

MATERI

Pilihan Materi

PernyataanHalaman (253-257)

Pernyataan MajemukHalaman (258-269)

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Halaman (272-273)

Tautologi, Kontradiksi, dan KontingensiHalaman (274-275)

Pernyataan BerkuantorHalaman (276-280)

Penarikan KesimpulanHalaman (282-286)

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMaju

MATERI

A. Pernyataan

Pernyataan (kalimat tertutup): suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benardan salah

Kalimat terbuka: suatu kalimat yang belum dapat ditentukannilainya benar saja atau salah saja. Karena terdapat variabel

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMundur

MATERI

Negasi dari pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari pernyataan semula sedemikian sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pernyataan semula benarNegasi dari suatu pernyataan dilambangkan p p

Menuliskan negasi suatu kalimat artinya menuliskan kata tidak atau bukan sesudah subjek atau sebelum predikat kalimat yang dinegasikan.

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMaju

MATERI

B. Pernyataan Majemuk

Tabel kebenarannya sebagai berikut.

1. Disjungsi (atau)

Dua pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “p atau q”. Dinotasikan p q

Cara menentukan nilai kebenaran dengan cara rangkaian listrik paralel

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Contoh soal Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut!a. 3 bilangan prima atau 5 bilangan genapb. 7 ‒ 2 = 9 atau 7 + 2 = 5a. 3 bilangan prima bernilai BENAR

5 bilangan genap bernilai SALAHKarena ada yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk “3 bilangan prima atau 5 bilangan genap” bernilai BENAR

b. 7 ‒ 2 = 9 bernilai SALAH7 + 2 = 5 bernilai SALAH

Karena tidak ada yang bernilai benar maka pernyataan majemuk “7 ‒ 2 = 9 atau 7 + 2 = 5” bernilai SALAH

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

2. Konjungsi (dan)

Dua pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “p dan q”. Dinotasikan p q

Cara menentukan nilai kebenaran dengan cara rangkaian listrik seri

Tabel kebenarannya sebagai berikut.

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Contoh soal Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut!a. 6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjilb. 2 bilangan prima dan 2 bilangan genapa. 6 bilangan prima bernilai SALAH

3 bilangan ganjil bernilai BENARKarena ada yang bernilai SALAH, maka pernyataan “6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil” bernilai SALAH

b. 2 bilangan prima bernilai BENAR2 bilangan genap bernilai BENAR

Karena tidak ada yang bernilai SALAH, maka pernyataan “2 bilangan prima dan 2 bilangan genap” bernilai BENAR

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

2. Negasi dari Disjungsi dan KonjungsiNegasi dari disjungsi dan konjungsi adalah pernyataan baru yang nilai kebenarannya berlawanan dengan disjungsi dan konjungsi

Berlawanan Berlawanan

Dengan demikian

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Contoh soal

Tentukan negasi dari:a. Ali makan atau Tuti menangisb. 2 + 3 = 5 dan 2 × 3 = 6

a. Negasi dari “Ali makan atau Tuti menangis” adalah “Ali tidak makan dan Tuti tidak menangis”

b. Negasi dari “2 + 3 = 5 dan 2 × 3 = 6” adalah “2 + 3 ≠ 5 atau 2 × 3 ≠ 6”

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

4. Implikasi

Dua pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “jika p maka q”. Dinotasikan p q

Tabel kebenarannya sebagai berikut.

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Contoh soal

Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk berikut!a. Jika 2 + 3 = 5, maka 4 + 5 = 7b. Jika 2 + 2 = 6, maka 3 + 2 = 5

Karena berbentuk B S maka pernyataan "Jika 2 + 3 = 5, maka4 + 5 = 7 " bernilai SALAH

Karena berbentuk S B, maka pernyataan "Jika 2 + 2 = 6, maka3 + 2 = 5" bernilai BENAR

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

5. Biimplikasi

Dua pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”. Dinotasikan p q

Tabel kebenarannya sebagai berikut.

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Contoh soal

Karena tidak bernilai sama maka pernyataan pernyataan "2 + 2 = 4 3 + 4 = 8" bernilai salah

Karena bernilai sama, maka pernyataan 2 + 3 = 6 2 + 4 = 8 bernilaibenar

Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut!a. 2 + 2 = 4 3 + 4 = 8b. 2 + 3 = 6 2 + 4 = 8

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Biimplikasi mempunyai makna ekuivalen. Ekuivalen dinotasikan “ ≡ ”Contoh soal Dengan menggunakan tabel kebenaran, manakah diantara pernyataanmajemuk berikut yang saling ekuivalen:

, ~ ~ , ~ ~p q p q q p

Dari tabel di atas terlihat bahwa pernyataan majemuk ekuivalen dengan ~ ~ dan ditulis sebagai ~ ~

p qq p p q q p

sama

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Negasi dari pernyataan adalah pernyataan majemuk baru yangnilai kebenarannya berlawanan dengan

p qp q

6. Negasi dari Implikasi dan Biimplikasi

Dengan menggunakan tabel kebenaran maka diperoleh

sama

berlawananDengan demikian

p q p q

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Biimplikasi ekuivalen dengan ( ) ( ). Dengandemikian,

p q p q q p

~ ( ) ~[( ) ( )]p q p q q p ~ ( ) ( )p q q p ( ) ( )p q q p

Agar lebih yakin, coba buatlah tabel kebenaran dari dan( ~ ) ( ~ )

p qp q q p

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMundur

MATERI

Contoh soal

b. Negasi dari "2 + 2 = 4 3 + 3 = 6" adalah(2 + 2 = 4 3 + 3 6) (3 + 3 = 6 2 + 2 4)

Tentukan negasi dari :a. Jika Ali pergi maka Tuti menangisb. 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6

a. Negasi dari “Jika Ali pergi, maka Tuti menangis” adalah “Ali pergi dan Tuti tidakmenangis”

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMaju

MATERI

Dari pernyataan implikasi tersebut kita dapat membentuk tiga pernyataan implikasi lain yang berkaitan dengannya, yaitu:

Suatu pernyataan implikasi dapat ditulis dalam bentuk “p q” atau dalam bentuk ”Jika p maka q”.

Pernyataan asal : p qKonvers : q p

Invers : p q Kontraposisi : q p

C. Konvers, Invers, Kontraposisi

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Contoh soal

Tuliskan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan “Jika saya makan, maka saya kenyang”!

Pernyataan asal : Jika saya makan, maka saya kenyang

Konvers : Jika saya kenyang, maka saya makan

Invers : Jika saya tidak makan, maka saya tidak kenyang

Kontrapositif : Jika saya tidak kenyang, maka saya tidak makan

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMundur

MATERI

Tunjukkan dalam tabel kebenaran bahwa implikasi dan kontraposisi mempunyai nilai kebenaran yang sama (ekuivalen)

Implikasi ekuivalen kontraposisi.

Karena kontraposisi dari adalah ~ ~ ,maka konvers dan invers juga ekuivalen

q p p q

sama

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMaju

MATERI

Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar disebut tautologi dan yang selalu bernilai salah disebut kontradiksi. Pernyataan majemuk yang bukan tautologi atau kontradiksi disebut kontingensi.

D. Tautologi, Kontradisi, dan Kontingensi

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMundur

MATERI

Contoh soal Nyatakan pernyataan-pernyataan di bawah ini merupakan tautologi, kontradiksi, atau kontingensi!

a. Semua nilai kebenarannya salah sehingga merupakan kontradiksib. Pada pernyataan terdapat nilai benar dan salah sehingga kontingensic. Semua nilai keberarannya benar sehingga merupakan tautologi

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMaju

MATERI

E. Pernyataan Berkuantor

Kuantor berarti pengukur kuantitas atau jumlah. Kata yang merupakan kuantor di antaranya semua, seluruh, setiap, tanpa kecuali, ada, beberapa, dan sebagainya

KUANTOR

KUANTOR KHUSUS (EKSISTENSIAL)

KUANTOR UMUM (UNIVERSAL)

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

1. Kuantor Khusus (eksistensial)

Kuantor khusus (kuantor eksistensial) artinya pengukur jumlah yang menunjukkan keberadaan. Contohnya ada, beberapa, terdapat, atau sekurang-kurangnya satu. Kuantor khusus dilambangkan dengan

Jika P(x) adalah kalimat terbuka pada suatu himpunan semesta S, maka dengan menambahkan kuantor khusus akan diperoleh pernyataan:

dibaca ada x anggota S sehingga berlaku P(x).

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Contoh soal Tentukan nilai kebenaran dari:

Tentukan nilai kebenaran dari:“Beberapa binatang berkaki dua”

Karena beberapa binatang seperti ayam, bebek,merpati berkaki dua, maka pernyataan “Beberapa binatang berkaki dua” bernilai benar.

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

2. Kuantor Umum (universal)

Contoh kuantor umum(kuantor universal) di antaranya untuk semua, untuk setiap, untuk tiap-tiap, seluruh, atau tanpa kecuali. Kuantor umum dilambangkan dengan

Jika P(x) adalah kalimat terbuka pada suatu himpunan semesta S, maka dengan menambahkan kuantor umum akan diperoleh pernyataan:

dibaca semua x anggota S sehingga berlaku P(x).

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Contoh soal Tentukan nilai kebenaran dari:

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

3. Negasi Pernyataan Kuantor

Negasi (ingkaran) pernyataan berkuantor dapat ditentukan dengan mudah yakni dengan menambahkan kata tidak di depan kuantor.

Tentukan negasi dari pernyataan:a. Semua siswa memakai seragamb. Ada bilangan prima yang genap

Contoh soal

a. p : Semua siswa memakai seragam~p : Tidak semua siswa memakai seragam

b. q : Ada bilangan prima yang genap

~q : Tidak ada bilangan prima yang genap

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Bentuk lain dari negasi pernyataan berkuantor dapat diperoleh dengan bantuan diagram venn

Tentukan negasi dari pernyataan :a. Semua A adalah Bb. Ada A merupakan B

a. Misalkan: p = Semua A adalah B ~p = Tidak semua A adalah B

Dari diagram venn di atas: pernyataan “tidak semua A adalah B” ekuivalen dengan “ada A yang bukan B”.

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

b. Misalkan: q = Ada A merupakan B ~q = Tidak ada A merupakan B

Dari diagram venn di atas: pernyataan “tidak ada A merupaka B” ekuivalen dengan “semua A bukan merupakan B”.

Dari contoh di atas dapat disimpulkan:

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Contoh soal Tentukan negasi pernyataan:a. Semua segitiga sama sisi merupakan segitiga sama kakib. Ada pohon pisang sedang berbuah

a. p : Semua segitiga sama sisi merupakan segitiga sama kaki

~p : Tidak semua segitiga sama sisi merupakan segitiga sama kaki

~p : Ada segitiga sama sisi bukan merupakan segitiga sama kaki

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMundur

MATERI

Lanjutan

b. q : Ada pohon pisang sedang berbuah

~q : Tidak ada pohon pisang sedang berbuah

~q : Semua pohon pisang tidak sedang berbuah

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMaju

MATERI

F. Penarikan Kesimpulan

Proses penarikan kesimpulan dikatakan sah (valid) jika implikasi dari konjungsi premis-premis dengan kesimpulan atau konklusi merupakan tautologi

1. Modus PonensJika p q bernilai benar dan p bernilai benar, maka dari tabel didapatbahwa q bernilai benar. Rumusan modus ponens tersebut ditulis sebagai:

Premis 1 : Jika p maka q (benar)

Premis 2 : p (benar)

Konklusi : q (benar)atau

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Contoh soal Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut!Jika x bilangan prima maka x mempunyai dua faktor, 7 bilangan prima.

Premis 1 : Jika x bilangan prima maka x mempunyai dua faktor

Premis 2 : 7 bilangan prima

Konklusi : 7 mempunyai dua faktor.

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

2. Modus TollensJika p q bernilai benar dan ~q bernilai benar (q bernilai salah), maka dari tabel didapat bahwa ~p bernilai benar. Rumusan modus tollens tersebut ditulis sebagai:

Premis 1 : Jika p maka q (benar)

Premis 2 : ~q (benar)

Konklusi : ~q (benar)atau

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMajuMundur

MATERI

Contoh soal Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut!Jika suatu segitiga sama sisi maka segitiga tersebut sama kaki, segitiga ABC tidak sama kaki

Premis 1 : Jika suatu segitiga samasisi, maka segitiga tersebut samakaki

Premis 2 : Segitiga ABC tidak samakaki

Konklusi : Segitiga ABC tidak samasisi

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMundur

MATERI

3. SilogismeJika p maka q bernilai benar dan jika q maka r bernilai benar, maka jika p maka r bernilai benar. Rumusan silogisme tersebut ditulis sebagai berikut

Premis 1 : Jika p maka q (benar)

Premis 2 : Jika q maka r (benar)

Konklusi : Jika p maka r (benar)atau

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

KeluarMaju

Latihan Kerjakan latihan 1 sampai dengan

latihan 7

LATIHAN SOAL

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

MATERI

LATIHAN SOAL

TUGAS

Keluar

TUGAS Kerjakan uji latih pemahaman 7A dan 7B

TUGAS