6. Metode Pengintegralan Residu

6. METODE PENGINTEGRALAN

RESIDU

Pada bagian ini akan dibahas mengenai integral dari fungsi kompleks

sepanjang lintasan tertutup C apabila fungsi tersebut tidak analitik pada satu atau

beberapa titik di dalam C, dengan terlebih dahulu memperkenalkan pengertian

singularitas dan residu. Setelah membaca Bab 6, mahasiswa diharapkan

dapat :

Mengerti pengertian singularitas, definisi residu dan jenis

singularitas.

Menggunakan teorema residu dalam perhitungan integral

60

6. Metode Pengintegralan Residu

6.1 Singularitas

Jika tidak analitik di dan

sehingga f analitik di z maka titik singular . Terdapat

dua macam titik singular, yaitu

(i). Titik singular terasing.

titik singular terasing f jika sehingga f analitik kecuali

di sendiri.

Contoh 6.1

, titik singular yaitu merupakan titik singular terasing.

(ii). Titik singular tak terasing.

titik singular tak terasing titik singular f dan setiap persekitaran

memuat paling sedikit satu titik singular f yang lain dari .

Contoh 6.2

(setiap titik pada sumbu riil negatif merupakan titik singular tak

terasing).

6.2 Residu

Jika titik singular terasing fungsi f maka sehingga f analitik di dalam

daerah . Selanjutnya, fungsi f dapat dinyatakan dalam deret

Laurent di dalam D, yaitu

=

61

6. Metode Pengintegralan Residu

dengan dan C adalah sebarang lintasan

tertutup berarah positif di dalam D yang mengelilingi .

Khusus untuk n = 1 diperoleh,

……..… (6.1)

Bilangan kompleks yaitu koefisien dari pada deret Laurent fungsi f di

sekitar titik singular terasing disebut residu f di titik singular terasing , ditulis

.

Setiap fungsi mempunyai residu di titik singularnya.

Contoh 6.3

Diketahui . mempunyai titik singular terasing , sehingga f

analitik di dalam daerah . Deret Laurent fungsi f di dalam D

yaitu

Diperoleh . □

Deret Laurent fungsi di sekitar titik singular terasing yaitu

Bagian utama f di titik singular digunakan untuk membedakan jenis titik singular

terasing.

62

6. Metode Pengintegralan Residu

1. Jika bagian utama f di titik singular terasing memuat paling sedikit satu

suku tak nol dan jumlah suku tak nol tersebut berhingga, maka terdapat bilangan

asli m sehingga , sedangkan . Deret Laurent fungsi f

menjadi

.

Selanjutnya disebut kutub (pole) tingkat m. Jika m = 1 maka disebut kutub

tunggal (simple pole).

Contoh 6.4

a. , mempunyai titik singular terasing .

Jadi merupakan kutub tunggal.

b. , mempunyai titik singular terasing .

Jadi merupakan kutub tingkat 2.

2. Jika bagian utama f di titik singular terasing mempunyai tak berhingga

banyak suku , maka disebut titik singular terasing essensial.

Contoh 6.5

, mempunyai titik singular terasing .

63

6. Metode Pengintegralan Residu

Jadi merupakan titik singular terasing essensial.

3. Jika koefisien pada bagian utama f di titik singular terasing semuanya

nol, maka disebut titik singular yang dapat dihapus (removable).

Contoh 6.6

, mempunyai titik singular terasing .

Jadi merupakan titik singular yang dapat dihapus (removable).

Teorema 6.1

Misalkan diberikan fungsi dengan titik singular . Jika terdapat bilangan asli m sehingga fungsi dapat ditulis

sebagai dan analitik di dengan

maka mempunyai kutub tingkat m di dan

.

Jika maka . □

Contoh 6.7

, mempunyai titik singular terasing dan .

Untuk titik singular terasing .

dapat ditulis sebagai dengan .

analitik di dan .

Jadi merupakan kutub tunggal dan

.

Untuk titik singular terasing .

dapat ditulis sebagai dengan .

analitik di dan .

Jadi merupakan kutub tingkat 2, dan

64

6. Metode Pengintegralan Residu

sehingga diperoleh .

6.3 Penggunaan Teorema Residu

Pada bab sebelumnya, perhitungan integral dilakukan hanya untuk satu titik

singular dalam lintasan tertutup C. Residu dapat digunakan untuk menghitung

integral sepanjang lintasan tertutup C di dalam daerah D yang memuat satu atau

lebih titik singular.

Apabila lintasan tertutup C di dalam daerah D hanya memuat satu titik

singular maka menggunakan persamaan (6.1) diperoleh

.

Contoh 6.8

Jika , hitung .

Penyelesaian :

mempunyai titik singular terasing , sehingga dapat diperoleh deret Laurent

pada daerah , yaitu

Diperoleh , sehingga dengan .

□

Apabila lintasan tertutup C di dalam daerah D memuat satu satu atau lebih

titik singular, maka integral sepanjang lintasan tertutup C dapat ditentukan

menggunakan teorema berikut.

Teorema 6.2

Jika f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C yang berarah

positif kecuali di titik singular terasing maka

65

6. Metode Pengintegralan Residu

(Teorema Residu Cauchy)

. □

Contoh 6.9

Hitung , .

Penyelesaian :

mempunyai titik singular terasing dan di dalam C, sehingga

dan

Jadi,

Ringkasan

Apabila lintasan tertutup C di dalam daerah D memuat satu satu atau lebih titik singular, maka integral sepanjang lintasan tertutup C dapat ditentukan menggunakan teorema Residu Cauchy.

Soal-soal Hitung nilai integral berikut dengan menggunakan metode pengintegralan residu, apabila sebarang lintasan tertutup (counterclockwise) sehingga semua titik singular di dalam .

1. .

2. .

3. .

Hitung nilai integral berikut dengan menggunakan metode pengintegralan residu, apabila .

4. .

66

6. Metode Pengintegralan Residu

5. .

6. .

67