bab 6

Lukmanulhakim Almamalik VI- 1

6 RUANG VEKTOR EUCLIDEAN

6.1 RUANG RN

Bila n adalah bilangan bulat positif, maka tupel berorde n adalah urutan n bilangan real yang

berbentuk (a1, a2, a3,…, an)

Himpunan semua tupel berorde n dinamakan ruang n (disimbolkan dengan Rn).

Contoh 6.1

Untuk R1 contohnya bilangan -2, 0, 1, 2, -1,…

Untuk R2 contohnya bilangan (-2, 0),(1, 2), (-1,3),…

Untuk R3 contohnya bilangan (-2, 0, 1),( 2, -1,7),…

Untuk R4 contohnya bilangan (-2, 0, 1, 2),( -1,3,5,1), …

Misalkan u = (u1, u2, u3,…, un) dan v = (v1, v2, v3,…, vn) adalah dua vektor di ruang n (Rn)

a. Kita katakan u dan v sama jika u1=v1 u2=v2 … un=vn

b. Penjumlahan u dan v didefinisikan u + v = (u1+ v1, u2 +v2, u3+ v3,…, un+ vn)

c. Negatif dari u adalah -u = (-u1,- u2,- u3,…,- un)

d. Perbedaan (selisih) vektor u dan v adalah u - v = (u1- v1, u2 -v2, u3- v3,…, un- vn)

e. Jika k adalah skalar, maka perkalian u dengan skalar : ku = (ku1, ku2, ku3,…, kun)

f. Vektor nol dalam Rn dinyatakan dengan 0 dan didefinisikan sebagai 0 = (0,0,…,0)

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi n, dan k dan l adalah skalar,

maka hubungan-hubungan berikut berlaku.

(a) u + v = v + u

(b) (u + v) + w = u + (v + w)

(c) u + 0 = 0 + u = u

(d) u + (-u) = 0

(e) k(lu) = (kl)u

(f) k(u + v) = ku + kv

(g) (k + l)u = ku + lu

(h) lu = u

Misalkan diketahui dua buah vektor u = (u1, u2, u3,…, un) dan v = (v1, v2, v3,…, vn) berada di

ruang n dimensi, maka

u.v = u1.v1+ u2.v2 + u3.v3+…+ un.vn


NORMA VEKTOR

Jika v adalah sebuah vector di ruang berdimensi n, maka panjang (magnitude) vektor sering

disebuat norma v dan disimbolkan dengan ||v||.

||v|| = 2

n

2

3

2

2

2

1 v...vvv ++++++++++++++++

Misalkan u = (u1, u2, u3,…, un) dan v = (v1, v2, v3,…, vn) adalah dua vektor di ruang n (Rn)

Maka jarak Euclidean antara dua vektor tersebut adalah

d(u,v)=||u-v|| = 2

nn

2

33

2

22

2

11 )v-(u...)v-(u)v-(u)v-(u ++++++++++++++++

Contoh 6.2

Diberikan u = (9,3,−4,0,1) dan v = (0,−3, 2,−1,7)

Teorema Pythagoras pada Rn

Jika u dan v adalah vektor-vektor orthogonal pada Rn dengan hasil kali euclidean, maka

Contoh 6.3

Diketahui dua vector u dan v berikut.

,

Buktikan bahwa kedua vector tersebut orthogonal

Penyelesaian:


Jadi

VEKTOR BASIS STANDAR

Vektor basis standar di R3 adalah i, j, k.

Di dalam ruang n (Rn), vector basis standar adalah e1 e2 e3 --- en

e1= (1,0,0,…,0) e2= (0,1,0,…,0) e3= (0,0,1,…,0) en= (0,0,0,…,1)

Vektor u = (u1, u2, …, un) dalam bentuk vektor basis standar.

Vektor u = (u1, u2, …, un) dapat dituliskan dalam bentuk matriks baris atau matriks kolom

berikut.

u.v = vT.u


6.2 TRANSFORMASI LINIER

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah sebuah relasi (perkawanan) dimana setiap

anggota himpunan A hanya dipasangkan dengan satu dan hanya satu kali dengan anggota

himpunan B.

f : A � B

A merupakan daerah asal (Domain) : himpunan elemen-elemen tempat fungsi tersebut

mendapat nilai.

B merupakan daerah nilai (Codomain): himpunan nilai-nilai yang diperoleh dari hasil

operasi suatu fungsi.

Fungsi dari Rn ke R

m

Jika domain dari fungsi f adalah Rn dan kodomainnya adalah R

m, maka f disebut peta atau

transformasi dari Rn ke R

m, dan kita menyatakan bahwa fungsi f memetakan R

n ke R

m.

Misalkan fungsi f1, f2,…, fn adalah fungsi-fungsi bernilai real dari n variabel, misalkan

Sejumlah m persamaan ini menunjuk suatu titik tertentu (w1, w2, w3, …, wm) pada Rm untuk

setiap titik (x1, x2, x3,…, xn) pada Rn dan kemudian mendefinisikan transformasi dari R

n ke

Rm. Jika kita menotasikan transformasi ini dengan T, maka

T: Rn � R

m

Contoh 6.4

Diberikan

didefinisikan T: R2 � R

4


Contoh 6.5

Didefinisikan T: R3 � R

2 sebagai

Transformasi Linier

Suatu transformasi T : Rn � R

m adalah linear jika dan hanya jika hubungan - hubungan

berikut ini berlaku untuk semua vector u dan v pada Rn dan setiap skalar k.

a. T(u + v)=T(u) + T(v)

b. T(ku) = kT(u)

Contoh 6.5

Diketahui

T : R2 � R

3 dengan

Apakah T merupakan Transformasi Linier?

Misalkan

Syarat 1

Syarat 2

Kedua syarat terpenuhi


Contoh 6.6

Diketahui F:R2 � R

3 adalah sebuah fungsi yang didefinisikan oleh :

F(v) = (x, x+y, x-y)

Jika u=(x1, y1) dan v=(x2, y2) maka u + v = (x1 + x2 , y1 + y2)

Sehingga ,

F(u + v) = (x1 + x2, [x1 + x2]+[ y1 + y2], [x1 + x2]-[ y1 + y2])

= (x1, x1 + y1, x1 - y1) + (x2, x2 + y2, x2 – y2)

= F(u) + F(v)

Demikian juga jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx1, ky1) sehingga

F(ku) = (kx1, kx1 + ky1, kx1 - ky1)

= k(x1, x1 + y1, x1 - y1)

= k F(u)

Jadi F adalah sebuah transformasi linier

Contoh 6.7

Diketahui

T : R2 � R

3 dengan

Apakah T merupakan Transformasi Linier?

Diketahui ruang vektor V, W

• Transformasi linear yang bekerja pada ruang vektor yang sama, T : V�V disebut

operator linear .

• Transformasi linear T : V � W dengan dengan T(u) = 0 disebut transformasi nol . • Transformasi linear T : V � W dengan dengan T(u) = Au disebut transformasi

matriks sedangkan A disebut matriks transformasi.

6.3 Transformasi Linier dari Rn �� R

m

Misalkan e1, e2, . . . , en adalah basis baku untuk Rn dan misalkan A adalah sebuah matrik m

x n yang mempunyai T(e1), T(e2), . . . , T(en) sebagai vektor – vektor kolomnya.

Misal jika T:R2 � R

2 diberikan oleh :


T

2

1

x

x =

−

+

21

21 2

xx

xx

Maka

T(e1) = T

0

1 =

1

1 dan T(e2) = T

1

0 =

−1

2

Jadi A =

−11

21 adalah matrik baku untuk T di atas.

Jika T : Rn � R

m adalah suatu transformasi linear, dan e1,e2,. . . . . ,en adalah vektor-vektor

basis standar untuk Rn , maka matriks standar untuk T adalah

[T]=[T(e1)|T(e2)]|. . . |T(en)]

Jika A merupakan matriks m x n, maka transformasi induksi TA: Rn � R

m didefinisikan

sebagai

TA (x) = Ax

merupakan suatu transformasi linier.

6.4 Jenis – jenis Transformasi Linier bidang

Refleksi (Pencerminan)

Refleksi terhadap sebuah garis l adalah transformasi yang memetakan masing – masing titik

pada bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap l

Matrik baku untuk :

a. refleksi terhadap sumbu y ( yang mengubah

y

x menjadi

−

y

x ) adalah :

−

10

01

b. refleksi terhadap sumbu x ( yang mengubah

y

x menjadi

− y

x ) adalah :

−10

01


c. refleksi terhadap garis y = x ( yang mengubah

y

x menjadi

x

y ) adalah :

01

10

Rotasi (Perputaran)

Matrik baku untuk T adalah :

−

θθθθ

cossin

sincos


Ekspansi dan kompresi

Jika koordinat x dari masing – masing titik pada bidang dikalikan dengan konstanta k yang

positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas gambar bidang dalam arah x. Jika 0

< k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi gambar bidang dalam arah x. Disebut dengan

ekspansi (kompresi) dalam arah x dengan faktor k

Matrik baku untuk transformasi ini adalah :

10

0k

Demikian juga , jika koordinat y dari masing – masing titik pada bidang dikalikan dengan

konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas gambar bidang

dalam arah y. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi gambar bidang dalam arah

y. Disebut dengan ekspansi (kompresi) dalam arah y dengan faktor k


k0

01

Geseran

Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang menggerakkan

masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu x sebanyak ky menuju kedudukan yang

baru (x + ky, y)


10

1 k

Sebuah geseran dalam arah y dengan faktor k adalah transformasi yang menggerakkan

masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu y sebanyak kx menuju kedudukan yang

baru (x , y + kx)


1

01

k

Jika dilakukan banyak sekali transformasi matrik dari Rn ke R

m secara berturutan, maka

hasil yang sama dapat dicapai dengan transformasi matrik tunggal.

Jika transformasi - transformasi matrik

T1(x) = A1x, T2(x) = A2x, , .... , Tn(x) = Anx,


Dari Rn ke R

m dilakukan berurutan, maka hasil yang sama dapat dicapai dengan

transformasi matrik tunggal T(x) = Ax, dimana

A = Ak . . . A2 A1

Contoh 6.8

a. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R

2 yang mula – mula menggeser dengan faktor

sebesar 2 dalam arah x dan kemudian merefleksikannya terhadap y = x

b. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R

2 yang mula – mula merefleksikannya terhadap

y = x dan kemudian menggeser dengan faktor sebesar 2 dalam arah x

Penyelesaian :

a) Matrik baku untuk geseran adalah A1 =

10

21

Dan untuk refleksi terhadap y = x adalah A2 =

01

10

Jadi matrik baku untuk geseran yang diikuti dengan refleksi adalah

A2. A1 =

01

10

10

21 =

21

10

b) Matrik baku untuk refleksi yang diikuti dengan geseran adalah

A1. A2 =

10

21

01

10 =

01

12

Dari contoh di atas, perhatikan bahwa A2. A1 ≠ A1. A2

Jika T:R2 � R2 adalah perkalian oleh sebuah matrik A yang punya invers, dan misalkan T

memetakan titik (x,y) ke titik (x’, y’), maka

'

'

y

x = A

y

x

Dan

y

x = A

-1

'

'

y

x

Contoh 6.9

Carilah persamaan bayangan sebuah garis y = 2x + 1 yang dipetakan oleh matrik A =

12

13


Jawab :

'

'

y

x =

12

13

y

x

Dan

y

x =

1

12

13−

'

'

y

x =

−

−

32

11

'

'

y

x

Sehingga

x = x’ – y’

y = -2x’ + 3y’

Substitusikan ke y = 2x + 1 maka dihasilkan :

-2x’ + 3y’ = 2(x’ – y’) + 1

-2x’ + 3y’ = 2x’ – 2y’ + 1

5y’ = 4x’ + 1

y’ = 54 x’ + 5

1

Latihan

Tentukan apakah F linier untuk masing – masing latihan berikut :

1. F(x,y) = (2x, y)

2. F(x,y) = (2x+y, x-y)

3. F(x, y, z) = (2x+y, 3y-4z)

4. F(x,y,z) = (1, 1)

5. Carilah matrik bakunya

a. T

2

1

x

x=

−

+

−

21

21

1

2

3

xx

xx

x

x

b. T

4

3

2

1

x

x

x

x

=

−

+

+−+

1

32

4321 27

x

xx

xxxx

6. Carilah matrik baku untuk transformasi linier bidang T:R2 � R2 yang memetakan titik

(x,y) ke dalam :


(a). Refleksi terhadap garis y = -x

(b). Refleksi melalui titk pusat

(c). Proyeksi ortogonal pada sumbu x

(d). Proyeksi ortogonal pada sumbu y

7. Gambarkan bayangan bujursangkar dengan titik – titik sudut (0,0), (1,0), (0,1), dan (1,1)

di bawah perkalian oleh A =

−

10

03

8. Carilah persamaan bayangan garis y = -4x + 3 di bawah perkalian oleh A =

−

−

23

34

bab 6

Documents