bab 5 kuantor dan teori kuantifikasi baru

8/19/2019 Bab 5 Kuantor Dan Teori Kuantifikasi Baru

1/17

KUANTOR DAN TEORI KUANTIFIKASI

TERM DAN VARIABEL• Variabel/peubah adalah pemegang empa

!emenara dalam !uau ung"apan# unu" "emudiandigani dengan nilai $ang pa!i

• Variabel diuli! dengan hurup "e%il & '# $# ( aau p# ) #r

• Kumpulan *ariabel membenu" !uau erm & ' + $ ,REDIKAT• ,andang "alima & Semua maha!i!-a iena! adalah

lulu!an SMA• Unu" !eiap '# .i"a ' maha!i!-a iena! ma"a '

lulu!an SMA• Ada dua predi"a unu" ' & ' maha!i!-a iena! dan 'lulu!an SMA

• ,redi"a diuli! dengan hurup be!ar &• M' & ' maha!i!-a iena! L' & ' lulu!an SMA

• Kalima diaa! diuli! & Unu" !eiap '# M' → L'


2/17

KUANTOR• Kuanr Uni*er!al dimana erdapa ung"apan!eperi &

0 Unu" !eiap# unu" iap0iap# unu" !emua

• Kuanr E"!en!ial dimana erdapa ung"apan !eperi& 0 erdapa# ada# !e"urang0"urangn$a ada !au Kuantor Universal• Diuli! dengan lambang ∀

• ,andang "alima & Semua rang Indne!ia adalahrang A!ia• Dier.emah"an men.adi & Unu" !emua '# .i"a L'ma"a A' L' & ' rang Indne!ia

A' & ' rang A!ia• Dalam "alima lgi"a diuli! & 1∀'2 3L' → A'4• Benu" ini di!ebu A5rmai6 umum

• ,andang "alima & Semua rang Indne!ia bu"an


3/17

Kuantor Ekstensial• Diuli! dengan lambang ∃ • ,andang "alima & Ada rang Indne!ia $ang ma"anna!i

Ada beberapa rang Indne!ia$ang ma"an na!i

• Dier.emah"an men.adi & Ada ' $ang memenuhi !i6a& ' rang Indne!ia dan

' ma"an na!iAda ' !ehingga ' rang Indne!ia dan ' ma"an na!iL' & ' rang Indne!iaN ' & ' ma"an na!i

• Dalam "alima lgi"a diuli! & 1∃'2 3L' ∧ N'4•Benu" ini di!ebu A5rmai6 "hu!u!• •,andang "alima &

Ada ' !ehingga .i"a ' rang Indne!ia ma"a '

ma"an na!i•


4/17

• ,andang "alima &Beberapa i"an pau! ida" erma!u" he-anmen$u!ui

•Dier.emah"an & Ada paling !edi"i !au '# !ehingga

.i"a ' i"an pau! ma"a ' bu"an he-an men$u!ui• Diuli! 1∃'2 38' → 7 M'4• Benu" ini di!ebu Negaip "hu!u!

Variabel terikat dan variabel bebas

• Sebuah *ariabel dalam !uau 6rmula di"aa"an*ariabel eri"a .i"a dan han$a .i"a mun%ul dalam%a"upan "uanr $ang mengandung *ariabel er!ebu &

1∀ ' 2 3M' ∧ N'4

• Variabel beba! ida" mempun$ai "uanr1∀'2 3'9$4 $ *ariabel beba!

• Dalam "alima & 1∀'2 3M'4 ∧ ,': $ang perama *ariabel eri"a !edang"an ' $ang"edua *ariabel beba!


5/17

NE;ASI KALIMAT BERKUANTOR• Nega!i dari "uanr uni*er!al !ebuah 6ung!i prp!i!ie"i*alen lgi! dengan "uanr e"!en!ial dari nega!i6ung!i prp!i!in$a

• Nega!i dari "uanr e"!en!ial !ebuah 6ung!iprp!i!i e"i*alen lgi! dengan "uanr uni*er!al darinega!i 6ung!i prp!i!in$a

Pernyataan(kalimat)

Arti kalimat Negasi daripernyataan

Arti darikalimat negasi

1∀'2 3M'4 M' benar unu"!eiap '

7 1∀'2 3M'4 ↔ 1∃'2

37M'4

Ada !uau '!ehingga M'ida" benar

1∃'2 3M'4 Ada aau erdapa!uau ' !ehingga

M' benar

7 1∃'2 3M'4 ↔ 1∀'2

37M'4

Unu" !eiap '#M' ida" benar

No.

Kalimat berkuantor Negasi kalimat berkuantor

< Semua maha!i!-a ida"!u"a menganggur

Ada paling !edi"i !au maha!i!-a $angida" !u"a menganggur

= Tida" ada guru $ang!enang .aipngan

Beberapa guru ada $ang !enang .aipngan

> 1∀'2 31'+


6/17

AKU,AN KUANTOR 3Nested Quantifer 2• a"upan "uanr ini bia!an$a mun%ul padamaemai"a dan %mpuer !%ien%e

No

.

Pernyataan (kalimat )

dengan cakupankuantor

Arti kalimat

< ∀'∀$ 1'+$?$+'2 Unu" !emua bilangan n$aa ' dan $berla"u '+$?$+'1 8u"um "mai6 bilangan n$aa2

= ∀'

∃

$ 1'+$?2Unu" !eiap bilangan n$aa 'ada/erdapa bilangan n$aa $ !ehingga '+ $ ?

> ∀'∀$ ∀ ( 3'+

1$+(2?1'+$2+(4

Unu" !eiap bilangan n$aa '#$ dan (berla"u'+1$+(2?1'+$2+( 18u"um a!!iai6

bilangan n$aa2@ ∀'∀$ 31' 9 ∧ $ C 2 →

1'$C24

Unu" !emua bilangan n$aa ' dan $# .i"a' p!iip dan $ negaip# ma"a ha!il "ali"eduan$a negaip

∀' 31'2 ∨ ∃$ 1$ ∧ F'$24 ' & ' mempun$ai "mpuer

F'$& ' dan $ beremanUnu" !eiap rang ' di iena!# '


7/17

NE;ASI DARI AKU,AN KUANTOR

KUANT!KA" #A$ #UA VA$A%E& (QUANTIFICATION OF TWOVARIABEL)

,ern$aaan1"alima2

Ari "alima Nega!i dari pern$aaan Ari lalimanega!i

∀' ∀$

,'$

∀$ ∀','$

,'$ benar unu"!eiap pa!angan

' dan $

71∀' ∀$ ,'$2 ⇔ ∃'∃$ 17

,'$2

Ada !uaupa!angan 1'#$2

!ehingga ,'$!alah

∀'∃$ ,'$ Unu" !eiap '#ada !uau $#!ehingga ,'$

benar

7 1∀'∃$ ,'$2 ⇔ ∃'∀$ 17

,'$2

Ada !uau '#!ehingga ,'$!alah unu"

!eiap $

∃'∀$ ,'$ Ada !uau '!ehingga ,'$benar unu"!eiap $

7 1∃'∀$ ,'$2 ⇔ ∀'∃$

17,'$2

Unu" !eiap '#ada !uau $!ehingga ,'$!alah

∃'∃$ ,'$∃ ∃ ,'

Ada !uaupa!angan 1'#$2

71∃'∃$ ,'$2 ⇔ ∀'∀$17,'$2

Unu" !eiappa!angan 1'#$2


8/17

URUTAN KUANTOR 1The Order o Quantifer 2• Ban$a" pern$aaan dalam maemai"a $ang erdiridari ban$a" "uani5"a!i dari 6ung!i prp!i!i $angerdiri dari lebih dari !au *ariabel

nh < &Mi!al"an ,'$ & ' + $ ? $ + 'Apa"ah nilai "ebenaran dari "uani5"a!i 1∀'21∀$ 2 ,'$ Ga-ab &1∀'21∀$2 ,'$ arin$a unu" !emua bilangan n$aa ' danunu" !emua bilangan n$aa $ berla"u '+$?$+'H ,'$benar unu" !eiap ' dan $Gadi ∀'∀$ ,'$ benar


9/17

nh = &Mi!al"an '$ & ' + $ ? Apa"ah nilai "ebenaran dari "uani5"a!ia2H 1∀'21∃$ 2 '$

b2H 1∃' 2 1∀$2'$ Ga-ab &a2H 1∀'21∃$2 '$ arin$a &unu" !emua bilangan n$aa 'ada !uau bilangan n$aa $ !ehingga ' +$ ? H Mi!al"an

"ia mengambil !embarang nilai '# ma"a !elalu ada 1$?0'2 !ehingga 1∀' 21∃$2'$ benarb2H 1∃' 21∀$2'$ arin$a & ada !uau bilangan n$aa '!ehingga unu" !emua bilangan n$aa $ berla"u '+$ ?#padahal han$a $?0' !a.a $ang memenuhi '+$?H Gadi 1∃'21∀$2 '$ !alahnh = memperliha"an bah-a "eduan$a ida" e"i*alenlgi!


10/17

BA;AIMANA MENTERGEMA8KAN KALIMAT BERKUANTOR• ' & bilangan ira!inal• R' & bilangan n$aa

N' !'$U&A "A$AN TE$EA*AN< ∀'A' Semua 1b$e"2 memenuhi !i6a A

= ∃' A' Ada 1b$e"2 $ang memenuhi !i6a A

> ∀' ∼A' Tida" ada 1b$e"2 $ang memenuhi !i6aA

@ ∃' ∼A' Ada 1b$e"2 $ang ida" memenuhi !i6aA

∀' 1' →R'2

A5rmai6 umum

Seiap bilangan ra!inal adalah bilangann$aa

∀'1'→ ∼ R'2

Negai6 umum

Seiap bilangan ra!inal bu"an bilangan

n$aa

J ∃' 1' ∧ R'2

A5rmai6 "hu!u!

Ada bilangan ra!inal $ang bilangann$aa

∃' 1' ∧ ∼ R'2

Negai6 "hu!u!

Ada bilangan ra!inal $ang bu"anbilangan n$aa


11/17

N' !'$U&A "A$AN TE$EA*AN

< ∀'3,' →1' ∨ R'24 Semua , adalah aau R

= ∀'31,' ∧ '2 →1R' ∨

S'24

Semua , dan adalah R aau S

> Rab a ber0rela!i dengan b

@ Rba B ber0rela!i dengan a

∀' 1,' →Ra'2 a ber0rela!i dengan !emua ,

∀'∀$31,' ∧ $2→ ∼

R$'24

Semua , ber0rela!i dengan !emua

J ∀' 1,' ∧ R'a2 Semua , ber0rela!i dengan a

∃' ∃$1,' ∧ $ ∧ R'$2 Beberapa , ber0rela!i denganbeberapa

∀'3,' →∃$1$

→R'$24aau

∃$3$ ∧ ∀'1,' →R'$24

Semua , ber0rela!i dengan beberapa


12/17

Laihan Sal <Lambang"an pern$aaan0pern$aaan dalam abeldimana &B' & ' adalah !erang binang 5lm

M' & ' mempe!naT' & ' erlaih dengan bai"

No.

"'A& A+A%AN

< Beberapa binang 5lmmempe!na dan erlaihdengan bai"

= Beberapa binang 5lmmempe!na han$a .i"aerlaih dengan bai"

> Tida" ada binang 5lm $angmempe!na "e%uali .i"a

mere"a erlaih dengan bai"


13/17

Laihan Sal =Ter.emah"an lambang0lambang dalam abel dimana &,' & ' adalah bilangan primaE' & ' adalah bilangan genap

A' & ' adalah bilangan gan.ilB'$& ' habi! membagi $

No

.

"'A& A+A%AN

< 1∀'21B=' → E'2

= 1∃'2 1E' ∧ B'2

> ∀' 3,' → 1∃$21E$ ∧

B'$24@ ∃' 3A' →1∀$21,$2 →

7B'$2 4


14/17

Laihan Sal >Tenu"an nilai "ebenaran dari "uanr dalan abel dimana' dan $ adalah bilangan real

No.

"'A& A+A%AN dan alasannya

< ∀'∀$ 1'= ? $2

= ∃' ∀$ 1'$?2

> ∀'∃$31'+$?= 2∧1='0

$?


15/17

MENENTUKAN VALIDITAS KALIMAT BERKUANTOR• Uni*er!al "uani5"a!i ∀' & : • p1'2 ⇔ p1'


16/17

• E"!en!ial "uani5"a!i ∃' & : • p1'2 ⇔ p1'


17/17

)E*REMA+)E*REMA PAA -*./0A PRE/0A)

, • p(,) ∧ /(, ) ⇔ 0 ,• p(,)1 0 , •

/(,)1

= ∃' • 3p1'2 ∨ )1' 24 ⇔ 3∃' • p1'24 ∨ 3∃' •

)1'24

> ∼ ∃' • p1'2 ⇔ ∀' • ∼ p1'2

@ ∼ ∀' • p1'2 ⇔ ∃' • ∼ p1'2

3∀' • p1'24 ∨ 3∀' •

)1'24

⇔ ∀' • p1'2 ∨ )1' 2

∃' • p1'2 ∧ )1' 2 ⇔ 3∃' • p1'24 ∧ 3∃' •

)1'24

J ∃' • p1$2 ∧ )1' 2 ⇔ p1$2 ∧ 3∃' • )1'24

∃'#$ • p1'#$2 ⇔ ∃$#' • p1'#$2Pernyataan yang salah :

, • 0p(,) ∨ /(,)1 ⇔ 0 , • p(,)1 ∨ 0 , • /(,)1

= ∃' • 3p1'2 ∧ )1' 24 ⇔ 3∃'• p1'24 3∃' • )1'24

bab 5 kuantor dan teori kuantifikasi baru

Documents