33

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penaksir Robust MCD

Metode MCD mencari himpunan bagian dari himpunan X sejumlah h

elemen di mana 1 2n p h n di mana determinan matrik kovariansi

minimum. Misalkan himpunan bagian itu adalah hX . Terdapat nhC kombinasi

himpunan bagian yang harus dicari untuk mendapatkan penaksir MCD. Sebagai

ilustrasi Tabel 4.1 berikut menyajikan jumlah himpunan bagian yang harus

ditemukan (kolom ketiga) berdasarkan jumlah pengamatan n (kolom pertama) dan

jumlah variabel p tertentu (kolom kedua).

Tabel 4.1 Jumlah Himpunan Minimal untuk Menghitung Penaksir MCD

Jumlah Pengamatan (n) Jumlah Variabel(p)

Jumlah Kombinasi nhC

20 2 1679607 38760

50 2 1,2155x1014

10 4,7129x1013

100 2 9,8913x1028

20 1,3746x1028

Sumber: Hasil Perhitungan

Tampak pada Tabel 4.1 jumlah himpunan bagian yang harus ditemukan

untuk sejumlah n dan p tertentu sangat besar meskipun untuk jumlah n = 20 dan p

= 2. Untuk meningkatkan kecepatan pencarian penaksir MCD, dapat digunakan

Teorema C-Steps dari algoritma FAST-MCD. Untuk memperjelas teorema C-

Steps, berikut disajikan sebuah contoh.

Contoh 4.1 Diberikan himpunan data1 4 4 3 2 3 4 3 1 3

.4 4 4 4 4 3 5 5 2 3

T

X

34

Temukan MCD dari himpunan data X!

Pertama, himpunan awal 1hX ditentukan dengan jumlah elemen him-punan

bagian 1 2 10 2 1 2 6.h n p Misalkan pengamatan urutan ke-1, 4,

5, 8, 9, dan 10 merupakan elemen 1 .hX Elemen-elemen himpunan 1hX adalah

1

1 3 2 3 1 34 4 4 5 2 3

T

h

X .

Berdasarkan definisi 1 1,t C , diperoleh

1 1

2,17 0,97 0,47, ,

3,67 0,47 1,06

t C , 1det 0,81C , dan 11

1,31 0,570,57 1,19

C .

Jarak mahalanobis untuk setiap pengamatan terhadap rata-rata t1 dan kovariansi

C1 dinyatakan dengan 1 1,54;1,96;1,96;0,85;0,48;1, 44;1,93;1,32;1,69;1.44 .d

Enam pengamatan yang menghasilkan jarak terkecil adalah pengamatan ke-5, 4, 8,

6, 10, dan 1. Keenam pengamatan ini menjadi elemen himpunan 2hX yaitu

2

1 3 2 3 3 34 4 4 3 5 3

T

h

X .

Selanjutnya dihitung:

2 2

2,50 0,70 0,10, , ;

3,83 0,10 0,57

t C 2det 0,39;C 1

2

1, 46 0,26,

0,26 1,81

C

dan 2 1,79;1,86;1,86;0,68;0,61;1,19;2,58;1,77;3, 29;1,19 .d Tampak bahwa

det(C2) < det(C1) tetapi belum konvergen. Oleh karena itu, enam pengamatan

yang menghasilkan jarak terkecil yaitu pengamatan ke-5, 4, 6, 10, 8, dan 1 dicari

kembali. Keenam pengamatan ini menjadi elemen himpunan 3 .hX Sehingga

diperoleh 3

1 3 2 3 3 34 4 4 3 5 3

T

h

X .

Sampai dengan tahap ini telah diperoleh himpunan bagian yang konvergen. C-

Steps telah mempersingkat pencarian 106 210C himpunan bagian menjadi cukup

hanya dengan 3 pencarian himpunan bagian saja.

35

Akan tetapi, dengan hanya satu himpunan bagian permulaan tidak cukup.

Sebab, ada kemungkinan ditemukan himpunan bagian lain dengan determinan

kovariansi yang lebih kecil. Untuk itu, digunakan beberapa himpunan bagian awal

untuk memulai iterasi pencarian determinan kovariansi terkecil. Setelah

ditemukan konvergensi determinan terkecil dari masing-masing himpunan bagian

awal tersebut, dipilih himpunan bagian yang menghasilkan determinan kovariansi

terkecil. Untuk lebih jelasnya, pada Contoh 4.1 digunakan himpunan awal lainnya

dengan menggunakan pengamatan ke-2, 3, 4, 7, 8, dan 10. Selain itu juga

digunakan himpunan awal dengan menggunakan pengamatan ke-2, 3, 4, 6, 7, dan

10. Perbandingan konvergensi determinan kovariansi ketiga himpunan awal

disajikan pada Tabel 4.2.

Tabel 4.2 Perbandingan Konvergensi Determinan Kovariansi

No UrutanPengamatan Awal

DeterminanKovariansi

DeterminanKovariansi

Terkecil

UrutanPengamatan

Akhir1 1, 4, 5, 8, 9, 10 0,81 0,39 1, 4, 5, 8, 6, 102 2, 3, 4, 7, 8, 10 0,16 0,16 2, 3, 4, 6, 7, 83 2, 3, 4, 6, 7, 10 0,08 0,08 2, 3, 4, 6, 7, 10

Sumber: Hasil Perhitungan

Tabel 4.2 menampilkan proses pencarian himpunan bagian yang

menghasilkan determinan kovariansi terkecil. Kolom kedua menyatakan

himpunan bagian yang pertama kali digunakan. Determinan kovariansi dari

himpunan awal ini pada kolom ketiga. Setelah determinan kovariansi terkecil

mencapai konvergen, enam pengamatan yang menghasilkan determinan

kovariansi terkecil disajikan pada kolom terakhir. Tampak pada Tabel 4.2,

himpunan bagian yang menghasilkan determinan kovariansii terkecil adalah untuk

pengamatan ke- 2, 3, 4, 6, 7, dan 10 dengan determinan kovariansi sebesar 0.08.

Rata-rata dan kovariansi dari keenam pengamatan tersebut merupakan penaksir

MCD yaitu:

36

3,50 0,30 0,30

, , .3,83 0,30 0,57MCD MCD

t S

Berdasarkan taksiran rata-rata dan kovariansi dengan metode MCD dapat

dihitung jarak robust (robust distance) :

6,89;1,12;1,12;1,58;4,23;1,12;1,58;3,35;4,74;1,12 .id

Visualisasi dari jarak robust dapat diamati pada Gambar 4.1. Garis batas

menunjukkan 20.975, p = 2.716 sebagai batas pendefinisian outlier. Titik-titik

yang berada di atas garis menunjukkan outlier. Tampak jelas bahwa titik 1, 5, 8

dan 9 berada di atas garis yang berarti titik-titik ini berada relatif jauh dari

sebagian besar kelompok pengamatan.

Gambar 4.1 Plot Sebaran Data Berdasarkan Jarak Robust.

Berikut ini disampaikan breakdown point untuk Contoh 4.1 di atas.

Breakdown point untuk h = 6, n = 10, p = 2 adalah 1 2 5.n p Tabel 4.3 di

bawah menyajikan taksiran MCD untuk rata-rata dan kovariansi ,MCD MCDt S pada

beberapa persentase outlier. Indeks pada X menunjukkan jumlah pengamatan

ekstrim yang menggantikan data X0. Sebagai contoh elemen himpunan X1

diperoleh dari himpunan X0 dengan menggantikan satu pengamatan sembarang,

dalam hal ini pengamatan kesembilan, dengan nilai yang berbeda, misal 10 dan 20.

37

Taksiran ,MCD MCDt S yang dihasilkan melalui penggantian beberapa nilai

pengamatan dengan nilai yang berbeda dapat dilihat pada Tabel 4.3 kolom ketiga.

Sampai dengan baris kelima, ,MCD MCDt S tidak menunjukkan perbedaan yang

berarti. Perubahan ,MCD MCDt S mulai berbeda signifikan pada baris keenam.

Penggantian lima pengamatan dengan nilai ekstrim pada himpunan X0

menghasilkan taksiran ,MCD MCDt S yang berbeda signifikan.

Tabel 4.3 Taksiran Rata-rata dan Kovariansi MCD untuk Beberapa PersentaseOutlier.

No Data ,MCD MCDt S

1 0

1 4 4 3 2 3 4 3 1 34 4 4 4 4 3 5 5 2 3

X3,50 0,30 0,30

,3,83 0,30 0,57

2 1

1 4 4 3 2 3 4 3 10 34 4 4 4 4 3 5 5 20 3

X3,50 0,30 0,30

,3,83 0,30 0,57

3 2

1 4 4 3 2 3 40 3 10 34 4 4 4 4 3 50 5 20 3

X3,14 0, 48 0,02

,3,86 0,30 0, 48

4 3

1 4 4 3 2 30 40 3 10 34 4 4 4 4 30 50 5 20 3

X2,86 1,14 0,00

,4,00 0,00 0,33

54

1 4 40 3 2 30 40 3 10 34 4 40 4 4 30 50 5 20 3

X2,67 1,07 0,00

,4,00 0,00 0,40

65

10 4 40 3 2 30 40 3 10 340 4 40 4 4 30 50 5 20 3

X4,17 8,57 18,67

,6,67 18,67 43,07

Sumber: Hasil Perhitungan

4.2 Penaksir Robust MWCD

Pada bagian ini dibahas penaksir robust MWCD. Untuk lebih jelasnya

berikut disampaikan contoh penaksiran rata-rata dan kovariansi dengan MWCD

menggunakan data yang sama seperti Contoh 4.1. Himpunan awal dibutuhkan

sebagai langkah awal pencarian taksiran rata-rata dan kovariansi MWCD hingga

dicapai taraf konvergen. Untuk itu, digunakan pengamatan 1, 4, 5, 8, 9, dan 10;

38

pengamatan 2, 3, 4, 7, 8, dan 10.; dan pengamatan 2, 3, 4, 6, 7, dan 10. Langkah

rinci perhitungan hanya akan diberlakukan pada pengamatan 1, 4, 5, 8, 9, dan 10.

a. 1

1 3 2 3 1 34 4 4 5 2 3

T

h

X diperoleh dari matrik data X dengan

mengambil 1 2 10 2 1 2 6h n p pengamatan sebagaimana

jumlah minimal pengamatan dalam MCD dengan n = 10 dan p = 2.

Selanjutnya dihitung: 1 1

2,16 4,83 2,33, , .

3,67 2,33 5,33

t C

b. Dihitung 1 1 21 1 1

4,83 2,33 1,07 0,52ˆ det 20,33 .2,33 5,33 0,52 1,18

p

Σ C C

c. Dihitung rata-rata dan kovariansi dari data pada huruf a,

1 1

2,16 1,07 0,52ˆ,̂ , .3,67 0,52 1,18

μ Σ

d. Dihitung jarak setiap pengamatan terhadap rata-rata dengan persamaan

2 11 1 1 1

ˆˆ ˆTi id i x μ Σ x μ

21 2,13;3,46;3,46;0,65;0,21;1,87;3,35;1,58;2,57;1,87d i

e. Diurutkan jarak dari kecil ke besar.

1 6, 9, 10, 2, 1, 4, 8, 3, 7, 5R

f. Dihitung pembobotan untuk masing-masing pengamatan dengan persamaan

1

1 Norminv 1- ,2 1

iRa i

n

1 0,60;0,23;0,11;1,34;1,69;0,91;0,35;1,10;0,47;0,75 .a i

g. Pembobotan diulang dengan mengambil 1 0,50a i karena h yang

ditetapkan optimal.

1 0,60;0;0;1,34;1,69;0,91;0;1,10;0;0,75 .a i

h. Hitung fungsi objektif 21 1 1 1 1 1 1

1

ˆ ˆˆ ˆ, ,n

n i ii

D a R d

μΣ μΣ = 7,35.

39

i. Selanjutnya rata-rata baru dihitung dengan persamaan

11

2

11

2,543,91

n

n i ii

n

n ii

a R

a R

xt

dan

1 2 21

2

11

ˆ ˆ2,79 0, 25

.0,25 2,70

n T

n i i ii

n

n ii

a R R R

a R

x μ x μC

j. Dihitung

1 1 22 2 2

2,79 0, 25 1,02 0,09ˆ det 7,48 .0, 25 2,70 0,09 0,99

p

Σ C C

k. Rata-rata dan kovariansi dihitung pada tahap kedua ini:

2 2

2,54 1,02 0,09ˆ,̂ , .3,91 0,09 0,99

μ Σ

d. Jarak setiap pengamatan terhadap rata-rata dihitung dengan persamaan

2 12 2 2 2

ˆˆ ˆTi id i x μ Σ x μ

22 2,34;2,12;2,12;0,22;0,29;0,98;3,59;1,50;6,64;0,98d i

e. Jarak yang dihasilkan diurutkan dari kecil ke besar.

2 8, 6, 7, 1, 2, 3, 9, 5, 10, 4R

f. Pembobotan dihitung untuk masing-masing pengamatan dengan persamaan

2

2 Norminv 1-2 1

iRa i

n

2 0,35;0,60;0,47;1,69;1,34;1,10;0,23;0,75;0,11;0,91a i

g. Pembobotan diulang dengan mengambil 1 0,50a i ,

2 0,00;1,28;0,00;0,37;0,39;1,07;0,00;1,12;0,00;0,89a i

h. Hitung fungsi objektif 22 2 2 2 2 2 2

1

ˆ ˆˆ ˆ, , 5,12.n

n i ii

D a R d

μ Σ μ Σ

40

Tampak bahwa 2 2 2 1 1 1ˆ ˆˆ ˆ, ,D Dμ Σ μΣ . Karena nilai fungsi objektif

belum konvergen maka proses dilajutkan. Pada langkah selanjutnya diperoleh

3 3

2,88 0,86 0,07ˆ,̂ ,3,80 0,07 1,16

μ Σ dan 3 3 3̂,̂ 4,15D μ Σ .

Keseluruhan langkah pencarian penaksir rata-rata dan kovariansi dengan MWCD

disarikan pada Tabel 4.4 berikut ini.

Tabel 4.4 Fungsi Objektif Penaksir MWCD dari Enam Iterasi

Tahap Penaksir ˆ,̂i iμΣ FungsiObjektif

12,16 1,07 0,52

,3,67 0,52 1,18

7,35

22,54 1,02 0,09

,3,91 0,09 0,99

5,12

32,88 0,86 0,07

,3,80 0,07 1,16

4,15

42,95 0,75 0,04

,3,73 0,04 1,35

4,03

52,98 0,67 0,02

,3,76 0,02 1,48

4,01

62,98 0,67 0,02

,3,76 0,02 1,48

4,01

Sumber: Hasil Perhitungan.

Dengan demikian penaksir rata-rata dan kovariansi yang diperoleh dengan

menyertakan pengamatan ke-1, 4, 5, 8, 9, dan 10 sebagai himpunan awalnya

adalah

2.98 0.67 0.02ˆˆ , ,3.76 0.02 1.48opt opt

μ Σ .

41

Sampai dengan langkah ini belum menjamin taksiran yang dihasilkan memberikan

nilai fungsi objektif minimum. Perlu dilakukan pencarian taksiran lainnya dengan

menggunkan pengamatan awal yang berbeda.

Sebagaimana telah dikemukakan sebelumnya, pengamatan awal lainnya yang

dicoba adalah pengamatan ke-2, 3, 4, 7, 8, dan 10 dan pengamatan ke-2, 3, 4, 6, 7,

dan 10. Dengan mengikuti proses pencarian taksira MWCD sebelumnya diperoleh

hasil konvergensi untuk masing-masing himpunan pengamatan awal sebagaimana

tertera pada Tabel 4.5 di bawah ini.

Tampak pada Tabel 4.5 taksiran rata-rata dan kovariansi dengan MWCD

diperoleh dengan mengambil himpunan awal yang memuat pengamatan 2, 3, 4, 6,

7, dan 10. Pada tahap awal, rata-rata dan kovariansi yang dihasilkan adalah

1 1

3,50 1,06 1,06ˆ,̂ ,3,83 1,06 2,00

μ Σ ,

dengan fungsi jarak

21 13,44;0,35;0,35;0,71;5,07;0,35;0,71;3,18;6,36;0,35 ,d i dan

fungsi pembobot

1 0,00;1,10;0,91;0,75;0,00;1,69;0,60;0,00;0,00;1,34a i

serta nilai fungsi objektif 2,74. Pada tahap konvergen, taksiran rata-rata dan

kovariansi yang dihasilkan adalah

3,40 1,20 1,24ˆˆ , ,3,62 1,24 2,12MWCD MWCD

μ Σ ,

dengan

fungsi jarak 2 14,73;0,35;0,35;0,91:5,70;0,19;1,00;4,05;5,73;0,19optd i ,

fungsi pembobot

0,00;1,10;0,91;0,75;0,00;1,69;0,60;0,00;0,00;1,34opta i dan nilai fungsi

objektifnya 2,56. Pengamatan 1, 5, 8, dan 9 diberi bobot nol. Keempat pengamatan ini

memberikan jarak terhadap rata-rata yang besar sehingga memberikan bobot yang lebih

kecil daripada 0.50.

42

Tabel 4.5. Perbandingan Nilai Fungsi Objektif Penaksir MWCD.

No UrutanPengamatan Awal

NilaiObjektif

Awal

KonvergensiNilai Fungsi

Objektif

UrutanPengamatan

Akhir1 1, 4, 5, 8, 9, dan 10 7,35 4,01 2, 4, 5, 6, 8, dan 102 2, 3, 4, 7, 8, dan 10 3,65 3,58 2, 3, 4, 6, 7, dan 83 2, 3, 4, 6, 7, dan 10 2,74 2,56 2, 3, 4, 6, 7, dan 10

Sumber: Hasil Perhitungan.

Baik taksiran MCD maupun MWCD menghasilkan pengamatan 2, 3, 4, 6,

7, dan 10 sebagai pengamatan yang memberikan determinan kovariansi terkecil

dan nilai fungsi objektif MWCD terkecil. Hal ini disebabkan karena MWCD

sesungguhnya perluasan dari MCD yang membrikan bobot yang didasarkan pada

urutan jarak terhadap rata-rata. Dalam thesis ini fungsi pembobot jarak MWCD

yang digunakan adalah berupa fungsi menurun (non-increasing). Fungsi

pembobot menurun memberikan bobot yang lebih besar pada jarak yang lebih

dekat dengan rata-ratanya dan memebrikan bobot terkecil pada jarak yang paling

jauh dari rata-rata data. Dengan fungsi ini taksiran MWCD menjadi serupa dengan

taksiran MCD.

4.3 Analisis Diskriminan Kuadratik

4.3.1 Simulasi Data

Perbandingan kinerja penaksir robust MCD dan MWCD dalam analisis

dsikriminan kuadratik melalui simulasi data dimaksudkan untuk mencari penaksir

mana yang menghasilkan rata-rata proporsi salah pengelompokkan terkecil. Untuk

maksud tersebut dibangkitkan berbagai variasi simulasi data sebagaimana telah

dijelaskan pada BAB 3 Metodologi Sub Bab 3.1.1. Hasil keseluruhan simulasi

data dapat diamati pada Lampiran 1.A sampai dengan Lampiran.L. Kedua belas

gambar pada Lampiran 1.A-L menunjukkan perbandingan kinerja tiga penaksir

yaitu klasik (garis merah dengan simbol segitiga), MCD (garis terputus biru

dengan simbol lingkaran) dan MWCD (garis hijau dengan simbol lingkaran).

43

Sumbu absis menunjukkan persentase outlier dan sumbu ordinat menunjukkan

rata-rata proporsi salah pengelompokkan dari fungsi diskriminan kuadratik.

Semakin rendah posisi garis semakin kecil rata-rata proporsi salah

pengelompokkan yang berarti semakin baik kinerja suatu penaksir dalam analisis

diskriminan kuadratik. Untuk lebih jelasnya, berikut dibahas perbandingan kinerja

ketiga penaksir dalam diskriminan kuadratik pada data terkontaminasi shift outlier.

(a) (b)

(a) (b)

Gambar 4.2 Perbandingan Kinerja Penaksir Klasik, MCD, dan MWCD dalamAnalisis Diskriminan Kuadratik pada Data Terkontaminasi ShiftOutlier 5pvQ (a) dan 10pvQ (b) dan n1 = n2 = 100 (atas)dan n1 = n2 = 1000 (bawah) .

Gambar 4.2 di atas menggambarkan kondisi data terkontaminasi shift

outlier pada sampel kecil dan sampel besar serta jumlah pengamatan pada kedua

kelompok sama. Tampak bahwa terdapat kesamaan pola perubahan kenerja fungsi

diskriminan yang dihasilkan. Kinerja penaksir klasik dan MWCD dalam

diskriminan kuadratik tampak tidak robust. Setiap persentase outlier bertambah,

44

bertambah pula rata-rata proporsi salah pengelompokan. Berbeda dengan penaksir

MCD, penambahan persentase outlier sampai dengan 25 persen tidak

mempengaruhi rata-rata proporsi salah pengelompokkan. Rata-rata proporsi salah

pengelompokkan dari penaksir MCD di bawah 10 persen sama seperti kondisi

data tanpa outlier bahkan lebih kecil.

(a) (b)

(a) (b)

Gambar 4.3 Perbandingan Kinerja Penaksir Klasik, MCD, dan MWCD dalamAnalisis Diskriminan Kuadratik pada Data Terkontaminasi ShiftOutlier 5pvQ (a) dan 10pvQ (b) dan n1 = 150, n2 = 50(atas) dan n1 = 1500, n2 = 500 (bawah) .

Sementara itu, dibandingkan ketika jumlah pengamatan pada kedua

kelompok sama, Gambar 4.3 menunjukkan kinerja ketiga penaksir dalam

diskriminan kuadratik menunjukkan pola yang berbeda. Gambar 4.3

menggambarkan data terkontaminasi shift outlier pada saat jumlah pengamatan

45

pada kedua kelompok berbeda. Dalam penelitian ini diamati perbandingan jumlah

pengamatan kelompok satu dan dua sebesar 3:1. Pada kondisi ini tampak fungsi

diskriminan kuadratik dengan penaksir MWCD sangat tidak robust. Di sisi lain,

fungsi diskriminan kuadratik dengan penaksir MCD sangat robust pada persentase

outlier kurang dari 25 persen. Bahkan pada persentase 50 persen sekalipun, rata-

rata proporsi salah pengelompokkan dari fungsi diskriminan kuadratik yang

dihasilkan masih di bawah 15 persen.

Pada kasus data terkontaminasi shift outlier ini, tidak satupun simulasi

data yang menunjukkan kinerja penaksir MWCD lebih baik daripada metode

klasik. Rata-rata proporsi salah pengelompokkan dari fungsi diskriminan

kuadratik dengan penaksir MWCD cenderung lebih besar daripada penaksir klasik.

Berbeda dengan penaksir MWCD, penaksir MCD senantiasa menghasilkan fungsi

diskriminan kuadratik yang meminimumkan rata-rata proporsi salah

pengelompokkan khususnya pada data terkontaminasi shift outlier kurang dari 25

persen.

Lampiran 1.E sampai dengan Lampiran 1.H menggambarkan data

terkontaminasi scale outlier dengan faktor pengali K = 9 (atas) dan K = 100

(bawah). Pada faktor pengali K = 9, kinerja penaksir robust MCD dalam fungsi

diskriminan kuadratik terbaik dibanding kinerja dua penaksir lainnya. Rata-rata

proporsi salah pengelompokkan dari fungsi diskriminan kuadratik yang dihasilkan

dengan menggunkan penaksir robust MCD selalu lebih rendah. Sementara itu,

kinerja penaksir robust MWCD lebih baik daripada penaksir klasik pada data

terkontaminasi scale outlier dengan jumlah sampel pada kedua kelompok sama

dengan 1000. Pada data dengan jumlah sampel kecil kinerja penaksir MWCD

sama dengan penaksir klasik bahkan lebih buruk. Rata-rata proporsi salah

pengelompokkan yang dihasilkan fungsi diskriminan kuadratik dengan penaksir

MWCD hampir sama dengan penaksir klasik. Begitu juga pada data dengan

sampel besar tetapi jumlah kedua kelompok tidak sama (perhatikan Lampiran 1.H

bawah).

Pada data dengan kontaminasi scale outlier dengan faktor pengali K = 100

kinerja ketiga penaksir berbeda nyata. Tampak kinerja penaksir klasik dalam

fungsi diskriminan kuadratik buruk meskipun persentase scale outlier hanya lima

46

sampai sepuluh persen. Rata-rata proporsi salah pengelompokkan fungsi

diskriminan kuadratik klasik 20 - 44 persen.

Sementara itu, rata-rata proporsi salah pengelompokkan dari penaksir

robust MCD dalam fungsi diskriminan kuadratik sangat rendah pada persentase

outlier kurang dari 25 persen. Kinerja penaksir MCD lebih baik dari penaksir

klasik pada persentase scale outlier kurang dari 39 persen dengan jumlah sampel

pada kelompok sama. Jika jumlah sampel pada kedua kelompok berbeda, kinerja

penaksir MCD lebih baik daripada penaksir klasik dan MWCD pada persentase

scale outlier berapapun.

Berbeda dengan kasus data terkontaminasi shift outlier, kinerja penaksir

MWCD pada kasus data terkontaminasi scale outlier lebih baik daripada metode

klasik khususnya pada faktor pengali K = 9 dan jumlah sampel n1 = n2 = 1000.

Pada faktor pengali K = 100 terdapat perpotongan daris antara penaksir MWCD

dan penaksir klasik. Pada persentase scale outlier kurang dari 40 persen,

perbedaan rata-rata proporsi salah pengelompokkan antara penaksir MWCD dan

penaksir klasik cukup besar baik pada sampel besar maupun sampel kecil. Kinerja

penaksir MWCD lebih baik daripada MCD pada persentase scale outlier antara 29

dan 39 persen (Lampiran 1.H atas).

Kontaminasi radial outlier (Lampiran 1.I-L), mengandung sifat shift

outlier dan scale outlier. Pada saat shift outlier ± 5 dan scale outlier K = 9, kinerja

penaksir MCD mengikuti kasus data terkontaminasi scale outlier K = 9. Begitu

juga dengan kasus data terkontaminasi shift outlier ± 10 dan scale outlier K = 100,

perbandingan kinerja ketiga penaksir mengikuti pola data terkontaminasi scale

outlier K = 100. Perbedaannya terletak pada perpotongan garis penaksir MCD dan

MWCD terjadi pada n1 = n2 = 1000. Kinerja penaksir MCD lebih baik daripada

MWCD pada persentase radial outlier kurang dari 30 persen (Lampiran 1. K).

Sebaliknya di atas persentase outlier lebih dari 30 persen, kinerja penaksir

MWCD lebih baik daripada MCD. Meskipun demikian, rata-rata proporsi salah

pengelompokkan masih tetap tinggi yaitu di atas 20 persen. Rata-rata proporsi

salah pengelompokkan rendah hanya ditemui pada kinerja penaksir MCD dengan

persentase outlier kurang dari 25 persen.

47

2,236,51

9,395,17

4,138,34

5,744,54

9,948,94

22,7221,02

11,547,17

1,075,29

7,665,62

7,981,77

9,538,62

8,005,92

3,165,07

29,4611,28

13,001,32

5,743,08

1,782,88

1,483,45

2,307,53

- 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00

01.Pacitan02.Ponorogo

03.Trenggalek04.Tulungagung

05.Blitar06.Kediri

07.Malang08.Lumajang

09.Jember10.Banyuwangi11.Bondowoso12.Situbondo

13.Probolinggo14.Pasuruan15.Sidoarjo

16.Mojokerto17.Jombang18.Nganjuk19.Madiun

20.Magetan21.Ngawi

22.Bojonegoro23.Tuban

24.Lamongan25.Gresik

26.Bangkalan27.Sampang

28.Pamekasan29.Sumenep

71.KotaKediri72.KotaBlitar

73.KotaMalang74.KotaProbolinggo

75.KotaPasuruan76.KotaMojokerto

77.KotaMadiun78.KotaSurabaya

JawaTimur

Kab

up

aten

/Ko

ta

Persen

4.3.2 Penglompokkan Rumah Tangga Miskin di Propinsi Jawa Timur

Tahun 2002 dengan Analisis Diskriminan Kuadratik.

Pada bagian ini dibahas penerapan analisis diskriminan kuadratik baik

metode klasik maupun metode robust. Pertama dikemukankan penentuan rumah

tangga miskin. Selanjutnya, pemilihan variabel-variabel determinan yang dapat

membedakan secara nyata antara rumah tangga miskin dan rumah tangga tidak

miskin di Propinsi Jawa Timur pada tahun 2002. Langkah berikutnya adalah me-

Gambar 4.4 Persentse Rumah Tangga Miskin di Propinsi Jawa Timur Tahun2002 Berdasarkan 8 Variabel Kemiskinan.

48

0,00

100.000,00

200.000,00

300.000,00

400.000,00

500.000,00

600.000,00

01.P

acita

n

02.P

onor

ogo

03.T

reng

gale

k

04.T

ulun

gagu

ng

05.B

litar

06.K

ediri

07.M

alan

g

08.L

umaj

ang

09.J

embe

r

10.B

anyu

wan

gi

11.B

ondo

wos

o

12.S

itubo

ndo

13.P

robo

lingg

o

14.P

asur

uan

15.S

idoa

rjo

16.M

ojok

erto

17.J

omba

ng

18.N

ganj

uk

19.M

adiu

n

20.M

aget

an

21.N

gaw

i

22.B

ojon

egor

o

23.T

uban

24.L

amon

gan

25.G

resi

k

26.B

angk

alan

27.S

ampa

ng

28.P

amek

asan

29.S

umen

ep

71.K

ota

Ked

iri

72.K

ota

Blit

ar

73.K

ota

Mal

ang

74.K

ota

Pro

bolin

ggo

75.K

ota

Pas

urua

n

76.K

ota

Moj

oker

to

77.K

ota

Mad

iun

78.K

ota

Sur

abay

a

Kabupaten/Kota

Rup

iah

Ruta Miskin Ruta Tidak Miskin

0,00

100.000,00

200.000,00

300.000,00

400.000,00

500.000,00

600.000,00

700.000,00

01.P

acita

n

02.P

onor

ogo

03.T

reng

gale

k

04.Tu

lung

agun

g

05.B

litar

06.K

ediri

07.M

alan

g

08.L

umaj

ang

09.Je

mbe

r

10.B

anyu

wan

gi

11.B

ondo

wos

o

12.S

itubo

ndo

13.P

robo

lingg

o

14.P

asur

uan

15.S

idoa

rjo

16.M

ojok

erto

17.J

omba

ng

18.N

ganj

uk

19.M

adiu

n

20.M

aget

an

21.N

gaw

i

22.B

ojon

egor

o

23.Tu

ban

24.La

mon

gan

25.G

resi

k

26.B

angk

alan

27.S

ampa

ng

28.P

amek

asan

29.S

umen

ep

71.K

ota

Ked

iri

72.K

ota

Blit

ar

73.K

ota

Mal

ang

74.K

ota

Pro

bolin

ggo

75.K

ota

Pas

urua

n

76.K

ota

Moj

oker

to

77.K

ota

Mad

iun

78.K

ota

Sur

abay

a

Kabupaten/Kota

Rup

iah

Ruta Miskin Ruta Tidak Miskin

nerapkan analisis diskriminan kuadratik robust untuk mengelompokkan rumah

tangga di Propinsi Jawa Timur menurut status kemiskinan. Kinerja kebaikan

model diskriminan yang terbentuk diukur dari perbandingan prediksi

pengelompokkan dengan kelompok sebenarnya. Fungsi diskriminan terbaik

adalah fungsi diskriminan yang menghasilkan total proporsi salah

pengelompokkan minimum.

Gambar 4.5 Rata-rata Pengeluaran Makanan (atas) dan Non Makanan (bawah)per Bulan oleh Rumah Tangga Miskin dan Tidak Miskin diPropinsi Jawa Timur tahun 2002.

49

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

01.P

acita

n

02.P

onor

ogo

03.T

reng

gale

k

04.T

ulun

gagu

ng

05.B

litar

06.K

ediri

07.M

alan

g

08.L

umaj

ang

09.J

embe

r

10.B

anyu

wan

gi

11.B

ondo

wos

o

12.S

itubo

ndo

13.P

robo

lingg

o

14.P

asur

uan

15.S

idoa

rjo

16.M

ojok

erto

17.J

omba

ng

18.N

ganj

uk

19.M

adiu

n

20.M

aget

an

21.N

gaw

i

22.B

ojon

egor

o

23.T

uban

24.L

amon

gan

25.G

resi

k

26.B

angk

alan

27.S

ampa

ng

28.P

amek

asan

29.S

umen

ep

71.K

ota

Ked

iri

72.K

ota

Blit

ar

73.K

ota

Mal

ang

74.K

ota

Pro

bolin

ggo

75.K

ota

Pas

urua

n

76.K

ota

Moj

oker

to

77.K

ota

Mad

iun

78.K

ota

Sur

abay

a

Kabupaten/Kota

Luas

Lant

aiP

erK

apit

a(m

eter

per

segi

)

Ruta Miskin Ruta Tidak Miskin

Gambar 4.5 di atas menggambarkan perbandingan rata-rata pengeluaran

makan dan non makanan per bulan dari rumah tangga miskin dan rumah tangga

tidak miskin di Propinsi Jawa Timur tahun 2002. Keterbandingan rata-rata

pengeluaran makanan dan non makanan dari rumah tangga miskin dan rumah

tangga miskin ditunjukkan oleh garis putus-putus dengan simbol lingkaran dan

garis tebal dengan simbol kotak. Tampak bahwa rata-rata pengeluaran per bulan

rumah tangga tidak miskin lebih besar daripada rumah tangga miskin baik untuk

konsumsi makanan maupun non makanan. Dengan demikian rata-rata pengeluaran

rumah tangga per bulan dapat dijadikan sebagai variabel pembeda antara rumah

tangga miskin dan tidak miskin.

Gambar 4.6 Perbandingan Luas Lantai per Kapita Rumah Tangga Miskin danRumah Tangga Tidak Miskin di Propinsi Jawa Timur Tahun 2002.

Karakteristik lainnya yang biasa ditemui pada rumah tangga miskin adalah

sebagian besar mereka menempati rumah dengan kepadatan cukup tinggi.

Fenomena ini dapat diukur dengan menghitung luas lantai per kapita. Semakin

kecil luas lantai per kapita semakin padat tingkat hunian rumah. Perbandingan

luas lantai per kapita antara rumah tangga miskin dan rumah tangga tidak miskin

50

ditampilkan pada Gambar 4.6 di atas. Sumbu absis menyatakan kabupaten/kota

dan sumbu ordinat menyatakan luas lantai per kapita dalam satuan meter persegi.

Tampak pada Gambar 4.6 rumah tangga miskin di Propinsi Jawa Timur

menempati tempat tinggal dengan luas lantai perkapita yang lebih kecil

dibandingkan dengan rumah tangga tidak miskin khususnya di kota-kota di Jawa

Timur. Perbedaan luas lantai per kapita antara rumah tangga miskin dan tidak

miskin tidak tampak nyata di tingkat kabupaten.

Sebelum dilakukan analisis diskriminan kuadratik, perlu dilakukan

pendeteksian outlier pada data SUSENAS Jawa Timur tahun 2002. Langkah ini

penting untuk mengetahui struktur data. Pendeteksian outlier melalui pendekatan

perbandingan jarak robust setiap pengamatan dengan jumlah variabel

sebagaimana pendeteksian outlier pada (2.13). Level signifikansi yang digunakan

sebesar 2,5 persen. Dengan demikian, outlier yang terdeteksi dapat diyakini

dengan tingkat kepercayaan 97.5 persen.

Berdasarkan pendeteksian outlier diketahui bahwa 343 dari 2.138 (16,04

persen) rumah tangga miskin dan 5.309 dari 26.886 (19,75 persen) rumah tangga

tidak miskin terdeteksi sebagai outlier. Dilihat dari jenis outlier, data ketiga

variabel penelitian terkontaminasi radial outlier. Rata-rata dan kovariansi antara

data outlier dan bukan outlier baik pada rumah tangga miskin dan tidak miskin

berbeda nyata (lihat Lampiran 2.A-B).

Dengan ditemukannya sejumlah outlier dalam pengelompokkan rumah

tangga miskin, ulasan selanjutnya difokuskan pada penerapan analisis diskriminan

kuadratik pada pengelompokkan rumah tangga miskin di Propinsi Jawa Timur

tahun 2002. Total proporsi salah pengelompokkan fungsi diskriminan kuadratik

dengan menggunakan penaksir klasik, MWCD dan MCD akan dibandingkan.

Pengelompokkan rumah tangga dikatakan salah apabila terdapat perbedaan

alokasi kelompok antara sebelum dan sesudah pengelompokkan dengan fungsi

diskriminan yang dibentuk.

Fungsi diskriminan kuadratik adalah suatu fungsi yang dapat memisahkan

beda dua kelompok atau lebih. Fungsi diskriminan kuadratik klasik adalah fungsi

diskriminan kuadratik yang taksiran rata-rata dan kovariansi data diperoleh

51

dengan metode MLE. Istilah klasik mengacu pada penggunaan metode MLE yang

telah digunakan sejak fungsi diskriminan diperkenalkan.

Taksiran rata-rata dan kovariansi dengan metode klasik untuk kelompok

rumah tangga miskin dan tidak miskin dinyatakan oleh indeks 1 untuk rumah

tangga miskin dan indeks 2 untuk rumah tangga tidak miskin. Kolom pertama,

kedua, dan ketiga dari vektor M̂LEμ masing-masing menyatakan rata-rata luas

lantai per kapita, rata-rata pengeluaran makanan perbulan, dan rata-rata

pengeluaran non makanan per bulan. Tampak bahwa rata-rata luas lantai per

kapita, rata-rata pengeluaran konsumsi makanan dan non makanan rumah tangga

miskin lebih kecil daripada rumah tangga tidak miskin.

1

2

ˆ 21,70 240.350,00 88.130,00ˆ 23,19 388.860,00 260.820,00

MLE

MLE

μμ

,

Di sisi lain, variansi pengeluaran makanan dan non makanan di antara

rumah tangga miskin dan tidak miskin sangat besar. Variansi pengeluaran rumah

tangga miskin yang besar sejalan dengan ditemukannya beberapa pengamatan

outlier. Matrik kovariansi selengkapnya sebagai berikut:

2 6 5

6 10 91

5 9 9

4,54 10 -1,15 10 -2,42 10ˆ -1,15 10 1,98 10 4,58 10

-2,42 10 4,58 10 5,84 10MLE

x x x

x x x

x x x

Σ dan

2 5 5

5 10 102

5 10 11

4,58 10 -6,48 10 5,76 10ˆ -6,48 10 4.60 10 4,42 10

5,76 10 4,42 10 3.43 10MLE

x x x

x x x

x x x

Σ .

Dengan terbentuknya rata-rata dan kovariansi, selanjutnya dibentuk fungsi

diskriminan kuadratik. Fungsi diskriminan kuadratik dapat dinyatakan dalam

bentuk persamaan:

T TMLE MLE MLE MLEQ c x x A x b x

dengan

-4 -8 -9

1 1 -8 -11 -112 1

-9 -11 -10

-1,65 10 -5,62 10 1,82 101 ˆ ˆ -5,62 10 -2,26 10 2,29 102

1,82 10 2,29 10 -1,03 10MLE MLE MLE

x x x

x x x

x x x

A Σ Σ

52

2

1 1 61 1 2 2

6

2.60 10ˆ ˆˆ ˆ 6.00 10

6.99 10MLE MLE MLE MLE MLE

x

x

x

b Σ μ Σ μ

2 1

2 1 1 -122 2 1 1

11

ˆ ˆ1 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlog log -5,48 10 .ˆ ˆ2 2 MLE MLE

MLE T TMLE MLE MLE MLE MLE

MLE

pc x

p

Σμ Σ μ μ Σ μ

Σ

Aplikasi penaksir MCD pada fungsi diskriminan kuadratik sangat sesuai

dengan struktur data dalam penelitian ini. Sebagaimana telah dikemukakan

sebelumnya, data SUSENAS Propinsi Jawa Timur tahun 2002 terkontaminasi

radial outlier. Dengan menerapkan penaksir MCD pada fungsi diskriminan

kuadratik diharapkan prediksi kelompok tidak dipengaruhi oleh pengamatan

outlier.

Taksiran rata-rata dan kovariansi data dengan MCD sebagai berikut:

5 41

5 52

ˆ 1,80 10 2,31 10 7,66 10ˆ 1,93 10 3,57 10 1,75 10

MCD

MCD

x x x

x x x

μμ

,

2 5 5

5 10 91

5 9 9

1,42 10 -7,02 10 -1,70 10ˆ -7,02 10 1,38 10 2,53 10

-1,70 10 2,53 10 1,41 10MCD

x x x

x x x

x x x

Σ ,

2 5 5

5 10 92

5 9 10

1,15 10 -4,88 10 -1,32 10ˆ -4,88 10 2,36 10 8,99 10

-1,32 10 8,99 10 1,06 10MCD

x x x

x x x

x x x

Σ .

Fungsi diskriminan kuadratik robust yang terbentuk dinyatakan dalam

bentuk persamaan:

T TMCD MCD MCD MCDQ c x x A x b x

dengan:

5 8 7

1 1 8 11 112 1

7 11 10

-2,30 10 -9,32 10 -2,46 101 ˆ ˆ -9,32 10 -2,91 10 6,12 102

-2,46 10 6,12 10 -4,70 10MCD MCD MCD

x x x

x x x

x x x

A Σ Σ

53

2

1 1 61 1 2 2

5

4,84 10ˆ ˆˆ ˆ 3,97 10

4,59 10MCD MCD MCD MCD MCD

x

x

x

b Σ μ Σ μ

2 1 1 22 2 2 1 1 1

11

ˆ ˆ1 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlog log 2,69.ˆ ˆ2 2

MCD T TMCD MCD MCD MCD MCD MCD MCD

MCD

pc

p

Σμ Σ μ μ Σ μ

Σ

Sebagai pembanding, fungsi diskriminan kuadratik dengan menggunakan

penaksir MWCD diterapkan pada pengelompokkan rumah tangga miskin di

Propinsi Jawa Timur. Taksiran rata-rata dan kovariansi data dengan MWCD

diperoleh

5 41

5 52

ˆ 1,46 10 2,02 10 6,67 10ˆ 1,56 10 2,66 10 3,09 10

MWCD

MWCD

x x x

x x x

μμ

,

5 5

5 9 91

5 9 9

4, 46 10 -2,97 10 -7,68 10ˆ -2,97 10 5,08 10 1, 20 10

-7,68 10 1, 20 10 1, 41 10MWCD

x x x

x x x

x x x

Σ ,

5 4

5 9 92

4 9 9

3,08 10 -1,51 10 -3,59 10ˆ -1,51 10 8,07 10 2,12 10

-3,59 10 2,12 10 1,87 10MWCD

x x x

x x x

x x x

Σ .

Berdasarkan rata-rata dan kovariansi MWCD di atas, fungsi diskriminan kuadratik

yang terbentuk adalah:

T TMWCD MWCD MWCD MWCDQ c x x A x b x

dengan

2 7 7

1 1 7 11 112 1

7 11 10

1,91 10 2,40 10 7,13 101 ˆ ˆ 2,40 10 -1,84 10 -6,38 102

7,13 10 -6,38 10 4,11 10MWCD MWCD MWCD

x x x

x x x

x x x

A Σ Σ

1

1 1 51 1 2 2

4

-8,05 10ˆ ˆˆ ˆ 4,52 10

-2,22 10MWCD MWCD MWCD MWCD MWCD

x

x

x

b Σ μ Σ μ

MWCDc

54

2 1 1 22 2 2 1 1 1

11

ˆ ˆ1 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlog log 32, 4.ˆ ˆ2 2

MWCD T TMWCD MWCD MWCD MWCD MCD MCD

MWCD

pp

Σμ Σ μ μ Σ μ

Σ

Tahap selanjutnya, rumah tangga dikelompokkan ulang menurut masing-

masing fungsi diskriminan. Perbandingan hasil pengelompokkan rumah tangga

disajikan selengkapnya pada Tabel 4.6. Berdasarkan Tabel 4.6 di bawah dapat

diketahui kinerja fungsi diskriminan kuadratik klasik, MWCD dan MCD. Dengan

menggunakan fungsi diskriminan kuadratik, sebanyak 706 dari 2.138 rumah

tangga miskin diprediksi sebagai rumah tangga tidak miskin dan 6.738 dari

26.886 rumah tangga tidak miskin digolongkan sebagai rumah tangga miskin.

Proporsi salah pengelompokkan dari fungsi kuadratik dengan pendekatan metode

klasik sebesar: 706 6.738 29.024 100% 25,64x persen.

Tabel 4.6 Perbandingan Pengelompokkan Rumah Tangga Berdasarkan FungsiDiskriminan Kuadratik Klasik dan MCD.

Klasik MWCD MCDStatusRumahTangga Miskin Tidak

Miskin Miskin TidakMiskin Miskin Tidak

MiskinTotal

Miskin 1.432 706 1.208 930 4 2.134 2.138TidakMiskin 6.738 20.148 4.692 22.194 4 26.882 26.886

Total 8.170 20.854 5.900 23.124 8 29.016 29.024

Sumber: Hasil Perhitungan

Dengan langkah serupa, total proporsi salah pengelompokkan dari fungsi

diskriminan kuadratik dengan MWCD dan MCD dapat dihitung. Hasil

perbandingan total salah pengelompokkan rumah tangga disajikan selengkapnya

pada Tabel 4.7. Berdasarkan Tabel 4.7 di bawah, kinerja penaksir MCD dalam

analisis diskriminan kuadratik menghasilkan proporsi salah pengelompokkan

paling kecil (7,37 persen). Meskipun demikian, proporsi salah pengelompokkan

secara parsial sangat besar hampir 100 persen. Jarak masing-masing pengamatan

dari kelompok rumah tangga miskin lebih dekat ke pusat data kelompok rumah

tangga tidak miskin yang ditaksir dengan rata-rata MCD. Akibatnya, sebanyak

55

2.134 rumah tangga miskin dialokasikan sebagai kelompok tidak miskin dan

hanya empat rumah tangga tidak miskin yang dialokasikan sebagai kelompok

miskin.

Tabel 4.7 Perbandingan Proporsi Salah Pengelompokkan Fungsi DiskriminanKuadratik Menurut Metode Penaksir MLE, MCD, dan MWCD.

Proporsi Salah Pengelompokkan Rumah Tangga (%)MetodePenaksir Miskin Tidak Miskin Total

MLE 33,02 25,06 25,64MCD 99,81 1,50 7,37

MWCD 43,50 17,45 19,37

Sumber: Hasil Perhintungan.

Di sisi lain, meskipun total proporsi salah pengelompokkan rumah tangga

dari fungsi diskriminan kuadratik klasik paling besar tetapi proporsi salah

pengelompokkan rumah tangga miskin relatif lebih kecil daripada metode

penaksir robust. Sementara itu, kinerja penaksir MWCD dalam diskriminan

kuadratik berada di antara penaksir klasik dan MCD. Hal ini sesuai dengan hasil

simulasi data terkontaminasi radial outlier pada sampel besar dengan jumlah

pengamatan pada kedua kelompok berbeda (lihat Lampiran 1.L). Total proporsi

salah pengelompokkan rumah tangga dengan menggunakan penaksir MWCD

19,37 persen lebih kecil daripada penaksir MLE tetapi lebih besar daripada

penaksir MCD.

Dengan demikian, penerapan penaksir robust MCD dalam analisis

dikriminan kuadratik menghasilkan total proporsi salah pengelompokkan terkecil

baik melalui simulasi data maupun dalam pengelompokkan rumah tangga miskin

dan tidak miskin di Propinsi Jawa Timur tahun 2002. Meskipun demikian,

proporsi salah pengelompokkan secara parsial pada kelompok rumah tangga

miskin masih sangat tinggi.

56