bab 4

5/14/2018 Bab 4 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab-4-55a822cad9a6d 1/11

BAB 4: PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN MATLAB

4.2 Kuliah: Penjumlahan aturan untuk integrasi numerik

Trapesium, Simpson dan aturan titik tengah untuk integral:

Masalah: Diberikan himpunan titik data:

(X 0, y 0); (x 1, y 1), (x 2, y 2); ... (x n, y n)

Misalkan titik data merupakan fungsi y = f (x) Misalkan juga bahwa titik data yang sama spasi dengan

ukuran langkah konstanta h = x 1 -. X 0. Cari pendekatan numerik untuk integral, yang merupakan daerah

ditandatangani di bawah kurva y = f (x) antara titik akhir (x 0, y 0) dan (x n, y n).

Contoh: sirkuit listrik Linear dapat dengan mudah miniatur jika mereka tidak termasuk induktor besar

dan besar. Ketika arus I = I (t) diterapkan ke port masukan dari sebuah kapasitor resistor-sederhana

satu-port jaringan, tegangan V = V (t) mengembangkan di terminal pelabuhan. Pada contoh waktu t =

T, output tegangan ditentukan sebagai jumlah dari jatuh tegangan resistor (yang RI (T)) dan jatuh

tegangan kapasitor (yang adalah V 0 + / C), dimana V 0 adalah tegangan awal. Jika input arus I (t)

dapat diukur pada waktu yang berbeda t = t k untuk k = 0,1,2, ..., n, sehingga t 0 = 0 dan t n = T, mereka

integral harus dievaluasi numerik dari set data yang diberikan.

Solusi: fungsi y = f (x) adalah didefinisikan baik analitis atau diberikan dalam bentuk tabular. Integrasi

numerik didasarkan pada penggunaan numerik interpolasi y = P n (x) dipasang pada titik-titik data yang

diberikan dan integrasi analitis n P polinomial (x). Ini adalah yang disebut algoritma Newton-Cotes

integrasi. Newton-Cotes paling penting formula integrasi trapesium, Simpson dan aturan titik tengah.

Trapezoidal aturan:

Sebuah interpolasi linier antara titik-titik (x 0, y

0) dan (x 1, y 1) mendekati daerah di bawah

kurva y = f (x) dengan daerah trapesium:

Saya trapesium (f; x 0, x 1) = (Y 1

+ y 0)

Aturan trapesium ini populer di integrasi

numerik karena merupakan metode

sederhana. Meskipun akurasinya rendah,

akurasi dapat dikontrol dengan

menggandakan jumlah subinterval SD



(trapezoids).

Aturan Simpson:

Sebuah interpolasi kuadrat antara titik-titik (x

0,y

0)(x

1,y

1),dan (x

2,y

2)mendekati daerah di

bawah kurva y = f (x) dengan luas di bawah

interpolant ini:

Saya Simpson (f; x 0, x 2) = (Y 0 +

1 + y 4y 2)

Simpson aturan adalah populer karena akurasi

tinggi integrasi numerik dibandingkan dengan

aturan trapesium.

Mid-point aturan:

Sebuah interpolasi konstan antara titik (x 1, y 1),

berpusat di interval antara (x 0, y 0) dan (x 2, y 2),

mendekati daerah di bawah kurva y = f (x)

dengan daerah persegi panjang berpusat pada

titik tengah:

Aku mid point (f; x 0, x 2) = 2h y 1

Mid-point aturan adalah populer di integrasi

numerik fungsi dengan singularitas pada akhir

interval. Ini memiliki akurasi yang sama

dengan aturan trapesium dan sering

digunakan dalam kombinasi dengan aturan

trapezoidal untuk perhitungan integral dekat

singularitas.

h = 0,1; x0 = 0; x1 = x0 + h; x2 = x0 2 * h;

% Tiga titik data yang diambil pada [0,1] dengan ukuran langkah yang sama

y0 = sqrt (1-x0 ^ 2); y1 = sqrt (1-x1 ^ 2); y2 = sqrt (1-x2 ^ 2);

yIexact = quad ('sqrt (1-x ^ 2).', x0, x2); 'jawaban yang tepat'% dihitung dengan Matlab



yItrap = h * (y0 + y1 y1 y2) / 2;% aturan trapezoidal untuk dua subinterval dengan h

yIsimp = h * (y0 +4 * y1 + y2) / 3; % Simpson aturan untuk dua subinterval dengan h

yImid = 2 * h * y1; % Titik tengah aturan untuk dua subinterval dengan h

fprintf ('% 6.6f Akurat = \ =% 6.6f nTrapezoidal \ nSimpson =% 6.6f \ nMid-point =% 6.6f', yIexact, yItrap,

yIsimp, yImid);

Persis = 0.198659

Trapezoidal = 0.198489

Simpson = 0.198658

Mid-point = 0.198997

Komposit aturan penjumlahan:

Aturan Penjumlahan yang diperluas untuk beberapa interval, ketika fungsi y = f (x) adalah diwakili oleh

(n +1) titik data dengan ukuran langkah h konstan. Aturan komposit diperoleh dengan summating

daerah dari semua daerah masing-masing n.

· Komposit trapesium aturan:

Saya trapesium (f; x 0, x 1, ..., x n) = (Y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + ... + 2 y n-1 + y n)

· Komposit Simpson aturan:

Saya simpson (f; x 0, x 1, ..., x n) = (Y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + 2 y 4 + ... + 2 y n-2 + 4 y n-1 + y n)

· Komposit titik tengah aturan:

Aku mid point (f; x 0, x 1, ..., x n) = 2h (y 1 + y 3 + ... + Y n-3 + y n-1)

Untuk Simpson komposit dan titik tengah aturan, interval total antara x [X 0, x n] harus dibagi menjadi

bahkan jumlah subinterval.

Kesalahan integrasi numerik:

Integrasi numerik jauh lebih dapat diandalkan dibandingkan dengan proses diferensiasi numerik.

Pembulatan kesalahan dalam jumlah komputasi dalam integrasi numerik selalu konstan, yang



independen baik dari aturan integrasi maupun dari jumlah subinterval untuk penjumlahan. Kesalahan

pemotongan dapat dikurangi dengan menggunakan aturan penjumlahan lebih akurat untuk integrasi

numerik.

Mempertimbangkan data sama spasi poin dengan ukuran langkah yang konstan: h = x 2 - x 1 = x 1 - x 0.

Teori berdasarkan metode ekspansi Taylor menunjukkan kesalahan pemotongan lokal berikut:

· Trapezoidal aturan:

f (x) dx - Aku trapesium (f; x 0, x 1) = - f''(x), x [X 0, x 1]

Kesalahan pemotongan dari aturan trapesium sebanding dengan jam 3, yaitu memiliki urutan O (h 3).

Kesalahan ini juga sebanding dengan turunan kedua dari fungsi f (x) pada titik x interior interval

integrasi. Dengan demikian, aturan trapesium tepat untuk fungsi linear f (x).

· Aturan Simpson:

f (x) dx - Aku Simpson (f; x 0, x 2) = - f''''( x), x [X 0, x 2]

Kesalahan pemotongan dari aturan Simpson adalah sebanding dengan jam 5 bukan jam 3, yaitu memiliki

urutan O (h 5). Kesalahan ini juga sebanding dengan turunan keempat dari fungsi f (x) pada titik x interior

dari interval integrasi. Aturan Simpson yang tepat untuk fungsi polinomial f (x) dari order m = 0,1,2,3.

· Mid-point aturan:

f (x) dx - Aku mid point (f; x 0, x 2) = f''(x), x [X 0, x 2]

Kesalahan pemotongan dari aturan pertengahan titik seburuk itu dari aturan trapesium.

Kesalahan pemotongan global dihitung untuk aturan integrasi komposit ketika suatu interval antara x

[X 0, x n] adalah dibagi menjadi n selang bagian parsial. Kesalahan pemotongan global diperoleh dengan

penjumlahan dari kesalahan pemotongan lokal dan semua kesalahan pembulatan lokal:

· Komposit trapesium aturan:

e trapesium = | - Aku trapesium (f; x 0, x 1, ..., x n) | < M 2 (X n - x 0) + eps (x n - x 0),

di mana M 2 = max | f''(x) | Kesalahan pemotongan global sebanding dengan panjang interval integrasi

dan merupakan aturan dari O (h 2)..



· Komposit Simpson aturan:

e Simpson = | - Aku Simpson (f; x 0, x 1, ..., x n) | < M 4 (X n - x 0) + eps (x n - x 0),

di mana M 4 = max | f''''( x) | Kesalahan pemotongan global sebanding dengan panjang interval integrasi

dan merupakan aturan dari O (h4)..

h = 0,1; k = 1;

sementara (h> 0.0000001)

x = 0: h: 1, y = sqrt (1.-x. ^ 2); n = panjang (x) -1;

yIexact = pi / 4; terpisahkan% tepat, 1 / 4 dari area disk Unit

yItrap = h * (y (1) 2 * sum (y (2: n)) + y (n +1)) / 2; aturan trapezoidal komposit%

yIsimp = h * (y (1) +4 * sum (y (2:2: n)) 2 * sum (y (3:2: n-1)) + y (n +1)) / 3;

yImid = 2 * h * sum (y (2:2: n)); % Komposit titik tengah aturan

eItrap (k) = abs (yItrap-yIexact); eIsimp (k) = abs (yIsimp-yIexact);

eImid (k) = abs (yImid-yIexact); HST (k) = h; h = h / 2; k = k +1;

akhir,

plot (HST, eItrap, 'g:', HST, eIsimp, 'b -', HST, eImid, 'r');



.

Jika ukuran langkah h antara dua titik menjadi lebih kecil, kesalahan pemotongan dari aturan

penjumlahan menurun. Ini menurun lebih cepat untuk Simpson aturan dan lambat untuk aturan

trapesium dan titik tengah. Misalnya, jika h adalah dibelah dua, kesalahan pemotongan global aturan

Simpson dikurangi dengan faktor dari 16, sedangkan kesalahan pemotongan global aturan trapesium

dan mid point dikurangi hanya oleh faktor dari 4.

Karena kesalahan pembulatan dibatasi oleh interval integrasi dikalikan dengan presisi eps mashine,

kesalahan integrasi numerik dapat dikurangi dengan jumlah global konstan.

Contoh: perkiraan numerik dari integral , Di mana saya (t) adalah arus dalam jaringan resistor-

kapasitor, yang diperoleh dengan ukuran langkah h = 10 (plus hijau) dan dengan ukuran langkah h = 5

(titik biru), versus yang tepat terpisahkan (kurva padat merah). Kesalahan aturan trapezoidal komposit

yang mengurangi dengan langkah ukuran lebih kecil h (titik biru lebih dekat ke kurva merah yang tepat

dibandingkan dengan plus hijau). Angka ini juga menunjukkan bahwa kesalahan pemotongan global

untuk integral tumbuh dengan panjang T interval.



MATLAB numerik integrasi:

· quad: mengevaluasi numerik integral dari sebuah fungsi dengan menggunakan adaptif Simpson

kuadratur

· quadl: mengevaluasi numerik integral dari sebuah fungsi dengan menggunakan adaptif Lobatto

kuadratur

· dblquad: mengevaluasi integral ganda dari fungsi dua variabel dalam sebuah domain persegi

panjang

% Fungsi untuk integrasi numerik harus ditulis sebagai M-file MATLAB

% Functon harus menerima argumen vektor X dan mengembalikan hasil Y vektor

fungsi [Y] = integran (X)

% Ini M-file set up fungsi y = f (x) = sqrt (1 + exp (x))

% Yang merupakan integran untuk integral untuk dievaluasi oleh fungsi "quad"

Y = sqrt (1 + exp (X));

% Hitung integral: I = int_0 ^ 2 sqrt (1 + exp (x)) dx

format panjang; I1 = quad (@ integran, 0,2)

% Toleransi default adalah 10 ^ (-6) untuk kesalahan absolut dari integrasi numerik

toleransi = 10 ^ (-8); I2 = quad (@ integran, 0,2, toleransi)



toleransi = 10 ^ (-12); i3 = quad (@ integran, 0,2, toleransi)

I4 = quadl (@ integran, 0,2)

h = 0,0001; x = 0: h: 2; y = feval (@ integran, x); n = panjang (y) -1;

I5 = h * (y (1) 2 * sum (y (2: n)) + y (n +1)) aturan / 2% trapezoidal komposit

I6 = h * (y (1) +4 * sum (y (2:2: n)) 2 * sum (y (3:2: n-1)) + y (n +1)) / 3% komposit aturan Simpson

I7 = 2 * h * sum (y (2:2: n)) % Komposit titik tengah aturan

I1 = 4.00699422404935

I2 = 4.00699422326706

I3 = 4.00699422325470

I4 = 4.00699422322700

I5 = 4.00699422402304

I6 = 4.00699422325470

I7 = 4.00699422171802

W1 = quad ('sin (pi * x. ^ 2)', 0,1), W2 = quad (inline ('sin (pi * x. ^ 2)'), 0,1)

% Standar MATLAB fungsi dapat digunakan untuk integrasi numerik sebagai string

W1 = 0.5049

W2 = 0.5049

Romberg integrasi tingkat tinggi Newton-Cotes formula integrasi:

Rumus integrasi yang lebih akurat dengan kesalahan pemotongan yang lebih kecil dapat diperoleh

dengan interpolasi beberapa titik data dengan orde yang lebih tinggi interpolasi polinomial. Sebagai

contoh, polinomial orde ketiga interpolasi P 3 (x) antara empat poin data menyebabkan Simpson 3 / 8

aturan:

Saya Simpson 3 / 8 (f; x 0, x 3) = (Y 0 + 3y 1 + 3y 2 + y 3)

sedangkan urutan keempat-interpolasi polinomial P 4 (x) antara lima titik data mengarah ke aturan

Booles:



Saya Booles (f; x 0, x 4) = (7 y 0 + 32 + 12 y 1 y 2 y 3 + 32 + 7 y 4)

Semakin tinggi-order formula integrasi dapat dipulihkan dengan menggunakan algoritma integrasi

Romberg berdasarkan ekstrapolasi Richardson algoritma.

· Rekursif integrasi formula:

Aturan trapesium komposit memiliki kesalahan pemotongan global agar O (h 2). Mendenotasikan

aturan trapezoidal komposit untuk integral dari f (x) antara [x 0, x n] sebagai . R 1 (h) Hitung dua

perkiraan numerik dari integral dengan dua langkah ukuran jam dan 2h:

f (x) dx = R 1 (h) + h2

; f (x) dx = R 1 (2h) + 4 jam4;

mana adalah koefisien diketahui untuk kesalahan pemotongan global. Jumlah trapezoids harus

bahkan dalam rangka pendekatan numerik dengan dua langkah-ukuran (2h) dapat dihitung. Dengan

membatalkan kesalahan pemotongan order O (h 2), kita mendefinisikan aturan integrasi baru untuk

integral yang sama:

f (x) dx = = R2 (h)

Aturan integrasi baru R 2 (h) untuk integral yang sama lebih akurat karena kesalahan pemotongan

adalah agar O (h 4). Hal ini sebenarnya aturan Simpson sebagai komposit dapat diperiksa secara

langsung. Jika ukuran langkah yang cukup kecil, aturan Simpson komposit yang memberikan

pendekatan numerik yang lebih baik untuk terpisahkan, dibandingkan dengan aturan trapesium

komposit.

Proses ini dapat dilanjutkan untuk menemukan tingkat tinggi integrasi formula R m (h) dengan

kesalahan pemotongan O (h2m)

Rumus formula rekursif untuk Romberg integrasi.:

R m +1 (h) = R m (h) +

· Algoritma numerik

Ada dua modifikasi dari algoritma integrasi Romberg: dengan menggandakan ukuran langkah h dan

dengan mengurangi separuh ukuran langkah. Modifikasi pertama digunakan ketika sejumlah nilai

data yang tersedia. Modifikasi kedua lebih disukai jika fungsi y = f (x) tersedia analitis dan nilai-nilai

data (x k, y k) dapat dihitung untuk ukuran setiap langkah h. Dalam rangka untuk menghitung aturan

integrasi yang lebih tinggi-urutan integral dari f (x) antara x 0 x x n sampai m pesanan, jumlah n



harus dicocokkan dengan m sebagai: n = 2 m-1 Dalam hal ini, ada sejumlah titik untuk menghitung

integrasi aturan yang lebih rendah dengan ukuran lebih besar langkah:. h, 2h , 4h, 8h, ..., (m-1) h.

perkiraan numerik untuk integral dapat diatur dalam tabel formula rekursif integrasi dimulai dengan

pendekatan sederhana R 1 (h) (aturan trapezoidal komposit):

ukuranlangkah

R 1 R 2 R 3 R 4 R 5

h R 1 (h)

2h R 1 (2h) R 2 (h)

4h R 1 (4h) R 2 (2h) R 3 (h)

8h R 1 (8h) R 2 (4h) R 3 (2h) R 4 (h)

16h R 1 (16h) R 2 (8h) R 3 (4h) R 4 (2h) R 5 (h)

Entri-entri diagonal adalah nilai dari orde yang lebih tinggi aturan integrasi untuk integral dari f (x)

antara x 0 x x n. Semakin tinggi-order aproksimasi R k (h) memiliki kesalahan pemotongan O (h 2k).

Jika h adalah kecil, kesalahan pemotongan cepat menurun dengan k besar. Namun, kesalahan

pembulatan adalah konstan dengan nilai lebih besar dari k. Akibatnya, tidak ada peningkatan lebih

lanjut dalam akurasi integrasi numerik dapat diperoleh setelah beberapa m jumlah M. Algoritma

dapat dihentikan jika kesalahan relatif turun di bawah toleransi kesalahan.

Contoh: Gambar di bawah ini menyajikan perkiraan numerik R 1 (h) dan R 2 (h) untuk integral dari arus

I (t) dengan ukuran langkah h = 10. Lingkaran biru ditemukan oleh aturan Simpson komposit R 2 (h),

plus hijau diperoleh dengan aturan trapezoidal komposit R 1 (h), dan integral tepat dari I (t) adalah

ditunjukkan oleh kurva yang solid merah. Aturan Simpson komposit R 2 (h) jelas lebih akurat daripada

aturan trapezoidal komposit R 1 (h).

bab 4

Documents