BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Struktur atom

Struktur atom merupakan satuan dasar materi yang terdiri dari inti atom beserta awan

elektron bermuatan negatif yang mengelilinginya. Inti atom mengandung campuran

proton yang bermuatan positif dan neutron yang bermuatan netral (terkecuali pada

Hidrogen-1 yang tidak memiliki neutron). Elektron-elektron pada sebuah atom terikat

pada inti atom oleh gaya elektromagnetik. Demikian pula sekumpulan atom dapat

berikatan satu sama lainnya membentuk sebuah molekul. Atom yang mengandung

jumlah proton dan elektron yang sama bersifat netral, sedangkan yang mengandung

jumlah proton dan elektron yang berbeda bersifat positif atau negatif dan merupakan

ion. Atom dikelompokkan berdasarkan jumlah proton dan neutron pada inti atom

tersebut. Jumlah proton pada atom menentukan unsur kimia atom tersebut, dan jumlah

neutron menentukan isotop unsur tersebut.

Relatif terhadap pengamatan sehari-hari, atom merupakan objek yang sangat

kecil dengan massa yang sama kecilnya pula. Atom hanya dapat dipantau menggunakan

peralatan khusus seperti mikroskop penerowongan payaran. Lebih dari 99,9% massa

atom berpusat pada inti atom, dengan proton dan neutron yang bermassa hampir sama.

Setiap unsur paling tidak memiliki satu isotop dengan inti yang tidak stabil yang dapat

mengalami peluruhan radioaktif. Hal ini dapat mengakibatkan transmutasi yang

mengubah jumlah proton dan neutron pada inti. Elektron yang terikat pada atom

mengandung sejumlah aras energi, ataupun orbital, yang stabil dan dapat mengalami

transisi di antara aras tersebut dengan menyerap ataupun memancarkan foton yang

sesuai dengan perbedaan energi antara aras. Elektron pada atom menentukan sifat-sifat

kimiawi sebuah unsur dan mempengaruhi sifat-sifat magnetis atom tersebut. (Beiser

Arthur,1987).

Universitas Sumatera Utara

2.2. Sifat Dasar Elektron

Elektron adalah partikel subatomik yang bermuatan negatif. Seperti semua partikel,

elektron dapat berperilaku seperti gelombang. Pernyataan De Broglie yang menyatakan

bahwa partikel dapat bersifat sebagai gelombang telah menginspirasi Schrodinger untuk

menyusun model atomnya dengan memperhatikan sifat elektron bukan hanya sebagai

partikel tetapi juga sebagai gelombang, artinya dia menggunakan dualisme sifat

elektron.

Perilaku elektron seperti gelombang dideskripsikan menggunakan fungsi

matematika yang disebut orbital elektron. Tiap-tiap orbital atom memiliki satu set

bilangan kuantumnya sendiri, yaitu energi, momentum sudut, dan proyeksi momentum

sudut. Tiap orbital hanya dapat diduduki oleh dua elektron, yang harus berbeda dalam

bilangan kuantum spinnya.

Untuk menentukan kedudukan suatu elektron di dalam atom digunakan 4

bilangan kuantum:

1. Bilangan kuantum utama (n)

Bilangan kuantum utama menyatakan kulit tempat ditemukannya electron yang

dinyatakan dalam bilangan bulat positif. Nilai bilangan itu dimulai dari 1,2,3 dan

sampai ke-n.

2. Bilangan kuantum azimuth (l)

Bilangan kuantum azimuth menyatakan subkulit tempat elektron berada dan

bentuk orbital, serta menentukan besarnya momentum sudut elektron terhadap

inti. Banyaknya sub kulit tempat electron berada bergantung pada nilai bilangan

kuantum utama (n). Nilai bilangan kuantum azimuth dari 0 sampai n-1.

Analisis mekanika kuantum menunjukkan bahwa besarnya momentum sudut

orbital sebuah electron dalam sebuah atom adalah:

3. Bilangan kuantum magnetik (m)

Bilangan kuantum magnetik menyatakan orbital tempat ditemukannya elektron

pada subkulit tertentu dan arah momentum sudut elektron terhadap inti.

Sehingga nilai bilangan kuantum magnetik berhubungan dengan bilangan

kuantum azimuth. Nilai bilangan kuantum magnetik antara – sampai .

Universitas Sumatera Utara

4. Bilangan kuantum spin (s)

Bilangan kuantum spin menyatakan arah rotasi elektron pada porosnya.

Selanjutnya penyelesaian Schrodinger khusus untuk atom hidrogen yang

menampilkan keadaan kuantum, sehingga membantu kita memahami sifat-sifat dasar

atom. Atom hidrogen terdiri dari inti bermuatan +e dan sebuah elektron (partikel yang

bermuatan –e). Untuk memudahkan, inti atom dianggap diam dan elektron mengelilingi

inti karena pengaruh gaya coulumb dari inti. Persamaan schrodinger untuk elektron

dalam sistim koordinat kartesian tiga dimensi sebagai berikut:

(2.1)

Dengan energi potensial listrik,

(2.2)

Karena energi potensial hanya merupakan fungsi dari maka persamaan

schrodinger lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan sistem koordinat bola.

Persamaan Schrodinger dalam sistem koordinat bola berbentuk,

(2.3)

Dan telah diketahui bahwa operator Laplacian adalah:

Dan dalam koordinat bola menjadi,

Dengan , yang dapat ditulis berbentuk,

Jika persamaan (2.3) diselesaikan, ternyata terdapat tiga bilangan kuantum yang

diperlukan untuk memerikan elektron dalam atom, sebagai pengganti dari bilangan

kuantum tunggal dalam teori Bohr. Bilangan kuantum utama (n) berkaitan dengan

pemecahan bagi fungsi radial . Bilangan kuantum ini sama dengan yang dipakai

untuk menamai tingkat-tingkat energi dalam model Bohr. Pemecahan bagi fungsi polar,

Universitas Sumatera Utara

memberikan bilangan kuantum l, dan bagi fungsi memberikan bilangan

kuantum (solusinya lihat pada lampiran I). (Krane Kenneth, 1992).

2.3. Definisi Hamburan

Ketika sebuah cahaya monokromatik mengenai atau menumbuk sebuah partikel, akan

terjadi interaksi tertentu antara cahaya tersebut dengan partikel yang ditumbuknya.

Cahaya akan direfleksikan (dipantulkan), diserap (dibiaskan), atau terjadi hamburan

(scattering). Sama halnya dengan elektron, ketika seberkas elektron menumbuk suatu

target maka elektron akan terjadi interaksi dengan atom target yang ditumbuknya.

Elektron akan dihamburkan oleh suatu target ke suatu arah tertentu.

Dalam fisika partikel, interaksi dan sifat-sifat partikel dapat diketahui dari

eksperimen hamburan yang meliputi hamburan dan peluruhan partikel (lihat gambar

2.2). Dalam proses hamburan yang diukur adalah penampang hamburan untuk sebuah

reaksi tertentu. Sedangkan dalam proses peluruhan yang diukur adalah waktu hidup (life

time) dari satu partikel yang meluruh menjadi dua, tiga atau lebih.

Untuk menghitung kedua besaran tersebut, penampang hamburan dan waktu

hidup mula-mula kita harus menghitung amplitudo mekanika kuantum dalam proses

yang dimaksud. Pada penelitian ini kita akan mempelajari bagaimana menghitung

penampang hamburan. Untuk itu, kita akan memahami kembali konsep-konsep dalam

mekanika kuantum. (Santoso, L.E, 2004).

2.3.1 Hamburan dua partikel

Interaksi antar partikel dapat dipahami dengan mengkaji proses hamburan. Dalam

hamburan, sebuah berkas partikel diarahkan ke sebuah material penghambur yang

dinamakan target, kemudian distribusi energi dan sudut partikel tersebut diamati. Proses

hamburan ini dapat dilakukan dengan menganggap target tidak mengalami perubahan

keadaan maka hamburan ini dinamakan hamburan elastis. Dan target mengalami

Universitas Sumatera Utara

perubahan keadaan dinamakan hamburan nonelastis (G.Aruldhas, 1984). Fenomena

hamburan ini tentu saja telah banyak dikenal, khususnya dalam fisika nuklir dalam

mengungkap karakteristik inti atau interaksi antar nukleon dalam inti. Penjelasan

tentang hamburan dalam bab ini hanya bersifat singkat sebagai dasar untuk formulasi

pada bab-bab selanjutnya.

2.3.2 Kinematika Hamburan Dua Partikel

Kerangka yang digunakan adalah kerangka laboratorium (Lab.) dan kerangka pusat

massa (P.M.). Misalkan m1 menyatakan massa partikel 1, digunakan sebagai proyektil,

dan m2 massa partikel 2 digunakan sebagai target. Di dalam kerangka Laboratorium

(Lab.) mula-mula ( sebelum mengalami hamburan ) m1 dan m2 masing-masing

mempunyai momentum k1 dan k2 dimana k2 = 0, dan pada keadaan akhir ( sesudah

mengalami hamburan ) momentum yang dimiliki m1 dan m2 adalah dan ′ ′1 2k k . Dalam

menghitung proses hamburan sangat memudahkan jika menggunakan momentum

relatif ( p ), yang didefinisikan sebagai :

2 1 2

1 2

m mm m

−=

+1k kp (2.4)

Pada keadaan awal, partikel target berada dalam keadaan diam, k2 = 0. Maka :

1

1

mµ

=kp (2.5)

Dimana µ adalah massa tereduksi.

1 2

1 2

m mm m

µ =+

(2.6)

Universitas Sumatera Utara

Gambar 2.1. Hamburan dalam kerangka laboratorium dan kerangka P.M (Sakurai J.J, 1994).

2.4. Teori Hamburan Elektron

2.4.1. Definisi Penampang Lintang Hamburan

Untuk dapat mendiskripsikan penampang lintang hamburan, maka dapat dimisalkan

kasus seperti ini. Anggap seberkas partikel bermassa m bergerak disepanjang sumbu-z

dengan kecepatan dan dihamburkan oleh potensial pusat hamburan (target) pada

titik asal. Partikel masuk mengalami suatu gaya ketika memasuki bola berjari-jari

,yang merupakan jarak potensial hamburan. Karena interaksi potensial hamburan,

partikel masuk dihamburkan ke semua arah. Sudut antara berkas partikel masuk dan

partikel terhambur dinamakan sudut hamburan .

Gambar 2.2. Eksperimen Hamburan partikel masuk dalam sudut

Universitas Sumatera Utara

Hasil eksperimen hamburan biasanya dinyatakan dalam bentuk tampang lintang

diferensial atau tampang lintang total. Misalkan adalah jumlah partikel yang masuk

per satuan luas per satuan waktu dan adalah jumlah partikel yang terhambur dalam

sudut ruang pada arah per satuan waktu. Maka tampang lintang diferensial

didefenisikan sebagai:

(2.7)

Dimana adalah jumlah partikel yang terhambur per satuan sudut ruang.

Sudut ruang dalam arah

Tampang lintang total adalah integral dari tampang lintang diferensial

terhadap sudut ruang .

(2.8)

Kedua besaran dan mempunyai dimensi luas dan oleh karena itu

dinamakan tampang lintang. Untuk suatu potensial symmetric spheris, tampang lintang

diferensial tidak bergantung kepada dan tampang lintang total menjadi:

(2.9)

(Ballentine E. Leslie, 1998)

2.4.2. Hamburan Elektron Oleh Atom

Untuk dapat menjelaskan penampang lintang hamburan secara teoritis, pertama-tama

dapat diambil suatu kasus sederhana yaitu hamburan elektron oleh satu inti atom yang

berada posisi tetap. Perlu diperhatikan pada kasus ini diasumsikan bahwa inti atom

berada pada posisi yang tetap, elektron tidak dapat memberikan energi energi kepada

inti sehingga besar nilai vektor gelombang elektron datang dan terhambur adalah sama.

Dengan kata lain hamburan dalam kasus ini adalah elastik, energi elektron serta nilai

adalah tetap. Setelah menjelaskan kasus yang paling sederhana tersebut, akan dibahas

yang lebih umum, yaitu kasus hamburan oleh sekumpulan partikel. Pada kasus ini

Universitas Sumatera Utara

digunakan dua pendeketan untuk memperoleh rumusan teoritis dari penampang lintang

hamburannya yaitu:

a. Pendekatan statis

Pada pendekatan statis, dianggap perubahan energi elektron yang terjadi dapat

diabaikan ( dan adalah besar vektor gelombang elektron setelah dan

sebelum hamburan), sehingga hamburan yang terjadi seolah-olah elastik. Namun

demikian pendekatan ini tidaklah sama persis dengan hamburan elastik. Pada

hamburan elastik, keadaan sistem hamburan sebelum dan setelah tumbukan

adalah sama, sedangkan pada pendekatan static, keadaan sistem hamburan

sebelum dan setelah tumbukan dapat berbeda, asalkan perubahan energi elektron

yang terjadi masih dapat diabaikan.

b. Hamburan hanya bergantung pada besar perubahan vektor gelombang elektron.

Untuk energi datang yang rendah konfigurasi elektron pada atom memiliki

cukup waktu untuk terpolarisasi oleh medan yang dihasilkan oleh elektron datang

tersebut. Juga untuk energi datang rendah terdapat kemungkinan bahwa elektron datang

terperangkap dalam atom dan sebagai gantinya sebuah elektron atomik terpancarkan,

yang disebut dengan pertukaran elektron.

2.5. Amplitudo hamburan

Persamaan Schrodinger untuk hamburan dua partikel dapat dituliskan sebagai berikut:

(2.10)

Pada kerangka pusat massa, hamburan ditentukan dengan Hamiltonian yang sama untuk

keadaan terikat sistem.

(2.11)

Dimana adalah massa sistem yang tereduksi. Dan adalah massa partikel

yang masuk, adalah massa target.

Universitas Sumatera Utara

Dalam persoalan ini energi dari sistem adalah positif dan memiliki spektrum yang

kontinu. Oleh karena itu kita mengangapnya hamburan elastik (energinya tidak

berubah).

Dan persamaan Schrodinger untuk hamburan dua partikelnya adalah:

(2.12)

Pada jarak yang sangat jauh dari penghambur, efek potensial dapat diabaikan dan berkas

sejajar partikel yang masuk dapat dinyatakan sebagai gelombang bidang.

(solusinya lihat pada lampiran G) (2.13)

Dimana vektor gelombang

Karena berkas partikel masuk bergerak di sepanjang sumbu-z

(2.14)

Detektor sangat jauh dari penghambur maka bentuk asimtot dari gelombang yang

terhambur dapat dinyatakan sebagai gelombang spheris

(2.15)

Dengan dinamakan amplitudo hamburan. Untuk potensial symmetrik spheris,

amplitudo hamburan hanya bergantung pada

(2.16)

Secara umum solusi asimtot gelombang dapat ditulis sebagai berikut:

(2.17)

Fungsi gelombang diatas memiliki dua suku. Suku pertama ialah fungsi gelombang

datang, yang merupakan fungsi gelombang bidang. Sedangkan suku kedua merupakan

fungsi gelombang yang terhambur.

Universitas Sumatera Utara

Selanjutnya kita akan melihat hubungan antara amplitudo hamburan dan tampang

lintang diferensial . Probabilitas rapat arus ditulis sebagai berikut:

(2.18)

Flux gelombang partikel yang masuk didefinisikan sebagai

(2.19.a)

(2.19.b)

Dan, flux gelombang partikel yang terhambur didefinisikan sebagai

(2.19.c)

Dengan menggunakan koordinat spheris, maka komponen radial dari flux gelombang

terhambur menjadi:

(2.19.d)

Atau

(2.19.e)

Persamaan(2.19.e) menunjukkan probabilitas partikel hamburan yang melewati area

bola berjari-jari (pada limit

(2.19.f)

Dimana adalah sudut ruang yang disubstansi pada titik asal oleh elemen luas.

Dari persamaan (2.19.b ) dan (2.19.f ) kita melihat bahwa tampang lintang diferensial

ditulis sebagai berikut:

Universitas Sumatera Utara

(lihat lampiran H) (2.20)

Jadi, secara eksperimen amplitudo hamburan dihubungkan dengan observable tampang

lintang diferensial.

(G.Aruldhas, 1984)

2.6. Solusi partikel bebas dalam koordinat bola

Kebanyakan fenomena hamburan memiliki potensial yang invarian secara rotasional.

Jadi fungsi gelombang total dapat kita tulis ke dalam eigenstate momentum sudut

seperti berikut:

(2.21)

Dengan

Substitusi ke persamaan (2.21) menghasilkan:

(2.22)

Dimana, adalah fungsi gelombang angular yang bergantung sudut. Ini cukup

diselesaikan dengan menggunakan fungsi associated Legendre.

(2.23)

Dimana untuk dan 1 untuk yang lainnya. Selanjutnya jika fungsi

dihubungkan ke persamaan partikel bebas seperti berikut:

(2.24)

Dan fungsi radialnya:

Universitas Sumatera Utara

(2.25)

Dengan syarat batas

karena

Untuk menyelesaikan persamaan (2.25) perlu dilakukan penyederhanaan, dengan

mendefenisikan suatu variabel baru:

(2.26)

Maka persamaan (2.25) menjadi:

(2.27)

Solusi persamaan ini dihubungkan ke fungsi spheris Bessel dan sebagai

berikut:

atau (2.28)

Maka solusi umumnya adalah:

(2.29)

Dari bentuk fungsi limit

Dengan syarat batas:

Maka solusi persamaan radialnya menjadi:

(2.30)

Oleh karena solusi partikel bebas dalam koordinat spheris maka persamaannya menjadi:

(2.31)

Universitas Sumatera Utara

(2.32)

Konstanta normalisasi diperoleh dari hubungan ortonormalitas

(2.33)

(2.34)

Konstansta normalisasi adalah:

(2.35)

Dalam hal ini phasenya adalah real. Oleh karena itu solusi partikel bebas

dinormalisasikan dalam koordinat spheris:

(2.36)

(Ashok Das,1994).

2.7. Perluasan gelombang bidang ke dalam gelombang spheris

Secara khusus,perluasan gelombang bidang yang masuk dalam komponen momentum

sudut dinyatakan sebagai berikut:

(2.37)

Hal ini tidak bergantung kepada sudut azimut , karena partikel yang masuk bergerak

di sepanjang sumbu-z. Oleh karena itu, perluasannya dalam gelombang spheris

dinyatakan sebagai berikut:

(2.38)

adalah fungsi Bessel spheris dalam orde-l dan adalah polinomial Legendre.

Bentuk pada ruas kanan menyatakan gelombang spheris. Gelombang bidang ekuivalen

dengan superposisi dari sejumlah gelombang spheris dan gelombang itu sendiri

dinamakan gelombang parsial. Secara asimtot,

(2.39)

Universitas Sumatera Utara

dapat kita tulis dalam bentuk eksponensial dan kita substitusikan ke

persamaan (2.38) maka diperoleh:

(2.40)

(lihat lampiran H).

Persamaan ini menunjukkan setiap gelombang parsial dapat dinyatakan sebagai jumlah

gelombang yang masuk dan gelombang yang keluar.

(G.Aruldhas, 1984)

Universitas Sumatera Utara