BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep teori permainan pada permainan

berstrategi murni dan campuran dari dua pemain dengan yang akan

digunakan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini. Juga

akan dibahas Keseimbangan Nash (Nash Equilibrium) yang akan menjadi

pertimbangan dalam mengambil keputusan dari permainan dari dua pemain.

Beberapa konsep dan metode teori permainan dalam menentukan

keseimbangan atau titik optimal dari permainan berstrategi murni dan aturan

dominansi dengan Nash Equilibrium akan dipergunakan pada bab

pembahasan.

2.1 Riset Operasi

Permasalahan yang dihadapi pada dunia industri, perdagangan,

pemerintahan, dan sebagainya semakin hari semakin komplek dan rumit.

Dari permasalahan tersebut diperlukan pengembangan dalam metodologi

permecahan masalah tersebut. Cara yang baik dalam memecahkannya

menimbulkan kebutuhan akan teknik-teknik riset operasi (operation

research).

Riset operasi diartikan sebagai peralatan manajemen yang menyatukan ilmu

pengetahuan, matematika, dan logika dalam rangka memecahkan

masalahmasalah yang dihadapi sehari-hari, sehingga akirnya permasalahan

tersebut dapat dipecahkan secara optimal (Subagyo,1993:4).

Operation Research juga diartikan sebagai aplikasi metode ilmiah pada

permasalahan yang kompleks yang muncul dalam manajemen sistem yang

besar yang mungkin melibatkan manusia, mesin, material dan uang yang

ditemukan antara lain pada industri, bisnis, pemerintahan, dan pertahanan.

Penerapan riset operasi didasarkan pada kebutuhan untuk mengalokasikan

Universitas Sumatera Utara

sumber daya yang terbatas sehingga lebih efektif dan efisien. Tujuan utama

adalah membantu manajemen menentukan kebijakan dan tindakan ilmiah.

Riset operasi merupakan suatu metode untuk memecahkan masalah

optimasi. Dalam riset operasi yang dibahas meliputi dynamic programing,

network analis, markov chain, games theory, nonlinier programing, dan

interger linier programing.

Suatu model dikatakan baik jika model tersebut bermanfaat dalam menjawab

permasalahan yang menjadi perhatian. Hal ini perlu diperhatikan dalam

membangun model dalam Operasi Riset. Prinsip dasar itu sebagai berikut. :

1. Jangan membangun model yang rumit jika dapat dibuat model yang lebih

sederhana.

2. Jangan mengubah permasalahan agar cocok dengan teknik atau metoda yang

ingin digunakan.

3. Proses deduksi harus dilakukan secara baik.

4. Proses validasi terhadap model harus dilakukan sebelum model tersebut

diimplementasikan.

5. Jangan memaksakan untuk menjawab suatu pertanyaan (permasalahan)

tertentu dari suatu model yang akan dirancang untuk menjawab pertanyaan

itu.

6. Suatu model punya karakteristik tertentu, sehingga jangan terlalu menjual

model yang dikembangkan. Suatu model sering kali menghasilkan suatu

kesimpulan yang sederhana dan menarik.

7. Suatu model yang dikembangkan memerlukan input /entry (data) yang

cermat.

2.2 Program Linear

Program Linear adalah suatu alat yang digunakan untuk menyelesaikan

masalah optimasi suatu model linear dengan keterbatasan-keterbatasan

sumber daya yang tersedia. Masalah program linear berkembang pesat

setelah ditemukan suatu metode penyelesaian program linear dengan

metode simpleks yang dikemukakan oleh George Dantzig pada tahun

Universitas Sumatera Utara

1947. Selanjutnya berbagai alat dan metode dikembangkan untuk

menyelesaikan masalah program linear bahkan sampai pada masalah riset

operasi hingga tahun 1950 an sepertipemrogramandinamik,teori antrian, dan

teori persediaan.

Program Linear banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah

optimasi didalam industri, perbankkan, pendidikan dan masalah-masalah

lain yang dapat dinyatakan dalam bentuk linear. Bentuk linear di sini

berarti bahwa seluruh fungsi dalam model ini merupakan fungsi linear.

Secara umum, fungsi pada model ini ada dua macam yaitu fungsi

tujuan dan fungsi pembatas. Fungsi tujuan dimaksudkan untuk menentukan

nilai optimum dari funsi tersebut yaitu nilai maksimal untuk masalah

keuntungan dan nilai minimal untuk masalah biaya. Fungsi pembatas

diperlukan berkenaan dengan adanya keterbatasan sumber daya yang

tersedia, misalnya jumlah bahan baku yang terbatas, waktu kerja,

jumlah tenaga kerja, luas gudang persediaan. Tujuan utama dari program

linear ini adalah menentukan nilai optimum (maksimal/minimal) dari fungsi

tujuan yang telah ditetapkan.

Banyak cara untuk menyelesaikan masalah dalam program linear yaitu dari

cara manual yaitu menggunakan perhitungan biasa sampai menggunakan

bantuan komputer untuk penyelesaian masalah yang cukup rumit. Apabila

banyaknya variabel (peubah) hanya dua buah, maka kita dapat

menyelesaikan masalah program linear dengan metode grafik, tetapi

dengan keterbatasan metode ini, maka untuk masalah dengan banyaknya

variabel yang lebih dari dua, metode ini kurang cocok. Untuk langkah

awal ini kita akan menyelesaikan masalah program linear dua peubah

dengan menggunakan metode grafik.

Universitas Sumatera Utara

2.3 Teori Permainan

Teori permainan (Game Theory) merupakan teori yang menggunakan

pendekatan matematis dalam merumuskan situasi persaingan dan konflik

antara berbagai kepentingan (Fien Zulkariyah: 2004). Teori ini

dikembangkan dengan menganalisa proses pengambilan keputusan dari

situasi-situasi persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih

kepentingan.

Ide dasar dari teori permainan adalah tingkah laku strategis dari pemain atau

pengambil keputusan (player or decision maker). Setiap pemain diasumsikan

mempunyai suatu seri rencana atau model tingkah laku dari mana pemain

bisa memilih, kalau memiliki suatu himpunan strategi. Pemain dimaksudkan

sebagai gerakan khusus yang harus dipilih dari himpunan strategi yang ada.

Anggapannya bahwa, setiap pemain mempunyai kemampuan untuk

mengambil keputusan secara bebas dan rasional. Konsep teori permainan

menyediakan sebuah bahasa untuk memformulasi, menstruktur, menganalisa

dan mengerti scenario strategi.

Tujuan teori ini adalah menganalisa proses pengambilan keputusan dari

persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih

pemain/kepentingan. Kegunaan dari teori permainan adalah metodologi

yang disediakan untuk menstruktur dan menganalisa masalah pemilihan

strategi. Untuk menggunakan teori permainan, maka langkah pertama adalah

menentukan secara explicit pemain, strategi ayng ada, dan juga menentukan

preferensi serta reaksi dari stiap pemain.

Teori permainan dapat diterapkan dalam berbagai bidang, meliputi

kemiliteran, bisnis, social, ekonomi dan ekologi. Sebagai contoh pada dunia

bisnis, seorang direktur suatu perusahaan didalam memperkenalkan sebuah

produk baru berusaha mengetahui kemungkinan strategi paling baik atau

suatu kombinasi strategi untuk merebut market share yang lebih besar,

sementara saingannya juga mencoba meperkenalkan produk sejenis dengan

strategi yang berbeda dengan direktur pemasaran tersebut, antara lain :

Universitas Sumatera Utara

penurunan harga, pemberian hadiah, peningkatan mutu produk, memilih

media advertasi yang efektif. Disinilah peranan teori permainan untuk

menentukan strategi mana yang akan diputuskan oleh dirktur pemasaran

tersebut untuk merebut pasar.

Persaingan yang dicontohkan diatas dapat diidentifikasi untuk menjelaskan

konsep teori permainan yang terdiri dari beberapa unsur-unsur dasar, yaitu:

1. Angka-angka dalam matriks pay-off, atau biasa disebut matriks permainan,

menunjukkan hasil-hasil (pay-off) dari strategi–strategi permainan yang

berbeda-beda, hasil-hasil ini dinyatakan dalam suatu bentuk ukuran

efektifitas seperti uang, persentase market share, atau utilitas.

2. Maximizing player adalah pemain yang berada di baris dan yang

memenangkan/memperoleh keuntungan permainan, sedangkan minimizing

player adalah pemain yang berada di kolom dan yang menderita

kekalahan/kerugian.

3. Strategi permainan adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang menyeluruh

dari seorang pemain, sebagai reaksi atas perilaku pesaingnya. Dalam hal ini,

strategi atau rencana tidak dapat dirusak oleh pesaing lainya.

4. Aturan-aturan permainan adalah pola dimana para pemain memilih strategi

mereka

5. Nilai permainan adalah hasil pay-off yang diperkirakan oleh pemain

sepanjang rangkaian permainan dimana masing-masing pemain

menggunakan strategi terbaiknya. Permainan dikatakan adil apabila nilai

permainan sama dengan nol dan sebaliknya.

6. Dominan adalah kondisi dimana pemain dengan setiap pay-offnya dalam

strategi superior terhadap setiap pay-off yang berhubungan dalam suatu

strategi alternative. Aturan dominan digunakan untuk mengurangi ukuran

matriks pay-off dan upaya perhitungan.

7. Strategi optimal adalah kondisi dimana dalam rangkaian kegiatan permainan

seorang pemain berada dalam posisi yang paling menguntungkan tanpa

menghiraukan kondisi pesaingnya.

8. Tujuan dari model adalah mengidentifikasi strategi atau rencana optimal

untuk setiap pemain

Universitas Sumatera Utara

Dengan demikian, terlihat bahwa unsur-unsur diatas menunjukkan nilai

praktis teori keputusan agak terbatas. Tetapi ide dan konsep teori permainan

ini untuk beberapa hal berikut :

a. Mengembangkan suatu kerangka untuk analisis pengambilan keputusan

dalam situasi-situasi persaingan.

b. Menguraikan suatu metoda kuantitatif yang sistematis yang memungkinkan

para pemain yang terlibat persaingan untuk memilih strategi-strategi yang

rasional dalam pencapaian tujuan mereka.

c. Memberikan gambaran dan penjelasan situasi-situasi persaingan atau

konflik, seperti tawar-menawar dan perumusan koalisi.

Model-model teori permainan dapat diklasifikasikan dengan sejumlah cara,

seperti jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian, dan jumlah strategi

yang diganankan dalam permainan. Sebagai contoh, bila jumlah pemain ada

dua, maka permainan disebut sebagai permainan dua-orang. Begitu juga,

bila jumlah pemain adalah N (dengan N>2), maka disebut permainan N-

orang.

Sebelum kasus game theory diselesaikan dengan mengunakan salah satu

metode game theory, diidentifikasi terlebih dahulu berdasarkan jumlah

pemain, jumlah keuntungan dan kerugiaan atau yang biasa disebut nilai

permainan, dan jenis strategi yan digunakan. Pada game theory berdasarkan

jumlah pemainnya terbagi menjadi dua jenis games yang terkenal, yaitu two

person games dan N person games. Two person games jumlah pemainnya

sebanyak dua orang, sedangkan N person games jumlah pemainnya lebih

dari dua orang. Berdasarkan jumlah keuntungan dan kerugiaan dikenal dua

jenis games, yaitu zero sum games dan non zero sum games. Nilai

permainan pada zero sum games adalah nol, sedangka non zero sum games

nilai permainannya tidak sama dengan nol.

Pada game theory terdapat dua jenis strategi permainan yang dapat

digunakan, yaitu pure strategy (setiap pemain mempergunakan strategi

tunggal) dan mixed strategy (setiap pemain menggunakan campuran dari

Universitas Sumatera Utara

berbagai strategi yang berbeda-beda). Pure strategy digunakan untuk jenis

permainan yang hasil optimalnya mempunyai saddle point (semacam titik

keseimbangan antara nilai permainan kedua pemain). Sedangkan mixed

strategy digunakan untuk mencari solusi optimal dari kasus game theory

yang tidak mempunyai saddle point.

2.3 Unsur-Unsur Dasar Teori Permainan

Ada beberapa unsur atau konsep dasar yang sangat penting dalam

penyelesaian setiap kasus dengan teori permainan yaitu:

a) Jumlah Pemain

Permainan diklasifikasikan menurut jumlah kepentingan atau tujuan yang

ada dalam permainan tersebut. Dalam hal ini perlu dipahami, bahwa

pengertian “ jumlah pemain” tidak selalu sama artinya dengan “jumlah

Orang” yang terlibat dalam permainan. jumlah pemain disini berarti jumlah

kelompok pemain berdasarkan masing-masing kepentingan atau tujuannya.

Dengan demikian dua orang atau lebih yang mempunyai kepentingan yang

sama dapat diperhitungkan sebagai satu kelompok pemain.

b) Ganjaran /Payoff

Ganjaran/payoff adalah hasil akhir yang terjadi pada akhir permainan

berkenaan dengan ganjaran ini, permainan digolongkan menjadi 2 macam

kategori, yaitu permainan jumlah-nol (zero-sum games) dan permainan

jumlah-bukan-nol (non-zero-sum games). permainan jumlah-nol terjadi jika

jumlah ganjaran dari seluruh pemain adalah nol, yaitu dengan

memperhitungkan setiap keuntungan sebagai bilangan positif dan setiap

kerugian sebagai bilangan negatif. selain dari itu adalah permainan jumlah –

bukan-nol.

Dalam permainan jumlah-nol setiap kemenangan bagi suatu pihak pemain

merupakan kekalahan bagi pihak pemain lain. letak arti penting dari

perbedaan kedua kategori permainan berdasarkan ganjaran ini adalah bahwa

permainan jumlah-nol adalah suatu sistem yang tertutup. sedangkan

permainan jumlah-bukan-nol tidak demikian halnya. hampir semua

Universitas Sumatera Utara

permainan pada dasarnya merupakan permainan jumlah-nol. berbagai situasi

dapat dianalisis sebagai permainan jumlah-nol.

c) Strategi Permainan

Strategi permainan dalam teori permainan adalah suatu siasat atau rencana

tertentu dari seorang pemain, sebagai reaksi atas aksi yang mungkin

dilakukan oleh pemain yang menjadi saingannya. permainan diklasifikasikan

menurut jumlah strategi yang tersedia bagi masing-masing pemain. jika

pemain pertama memiliki m kemungkinan strategi dan pemain kedua

memiliki n kemungkinan strategi, maka permainan tersebut dinamakan

permainan m x n. letak arti penting dari perbedaan jenis permainan

berdasarkan jumlah strategi ini adalah bahwa permainan dibedakan menjadi

permainan berhingga dan permainan tak berhingga.

Permainan berhingga terjadi apabila jumlah terbesar dari strategi yang

dimiliki oleh setiap pemain berhingga atau tertentu, sedangkan permainan

tak berhingga terjadi jika setidak-tidaknya seorang pemain memiliki jumlah

strategi yang tak berhingga atau tidak tertentu.

d) Matriks Permainan

Setiap permainan yang dianalisis dengan teori permainan selalu dapat

disajikan dalam bentuk sebuah matriks permainan. matriks permainan

disebut juga matriks ganjaran yaitu sebuah matriks yang semua unsur

berupa ganjaran dari para pemain yang terlibat dalam permainan tersebut.

baris-barisnya melambangkan strategi –strategi yang dimiliki pemain

pertama, sedangkan kolom-kolomnya melambangkan strategi-strategi yang

dimiliki pemain lain. dengan demikian, permainan berstrategi mxn

dilambangkan dengan matriks permainan m x n .

Teori permainan berasumsi bahwa strategi yang tersedia bagi masing-

masing pemain dapat dihitung dan ganjaran yang berkaitan dengannya dapat

dinyatakan dalam unit, meskipun tidak selalu harus dalam unit moneter . hal

ini penting bagi penyelesaian permainan, yaitu untuk menentukan pilihan

strategi yang akan dijalankan oleh masing-masing pemain, dengan

menganggap bahwa masing-masing pemain berusaha memaksimumkan

Universitas Sumatera Utara

keuntungannya yang minimum (maksimin) atau meminimumkan

kerugiannya yang maksimum (minimaks).

Nilai dari suatu permainan adalah ganjaran rata-rata/ganjaran yang

diharapkan dari sepanjang rangkaian permainan, dengan menganggap kedua

pemain selalu berusaha memainkan strateginya yang optimum. secara

konvensional , nilai permainan dilihat dari pihak pemain yang strategi-

strateginya dilambangkan oleh baris-baris matriks ganjaran, dengan kata lain

dilihat dari sudut pandang pemain tertentu. pemain dikatakan adil (fair)

apabila nilainya nol, dimana takseorang pemain pun yang memperoleh

keuntungan atau kemenangan dalam permainan yang tidak adil (unfair)

seorang pemain akan memperoleh kemenangan atas pemain lain, yaitu jika

nilai permainan tersebut bukan nol, dalam hal ini nilai pemain adalah positif

jika pemain pertam (pemain Baris) memperoleh kemenangan, sebaliknya

nilai permainan negatif jika pemain lain (pemain kolom ) memperoleh

kemenangan.

e) Titik Pelana (Saddle Poin )

Titik pelana adalah suatu unsur didalam matriks permainan yang sekaligus

sebagai maksimin baris dan minimaks kolom. permainan dikatakan bersaing

ketat (Strictly determined) jika matriksnya memiliki titik pelana. strategi

yang optimum bagi masing-masing pemain adalah strategi pada baris dan

kolom yang mengandung titik pelana tersebut. dalam hal ini baris yang

mengandung titik pelana merupakan strategi optimum bagi pemain pertama,

sedangkan kolom yang mengandung titik pelana merupakan strategi

optimum bagi pemain lain.

Langkah pertama penyelesaian sebuah matriks permainan adalah memeriksa

ada atau tidaknya titik pelana . Bila terdapat titik pelana permainan dapat

segera dianalisis untuk diselesaikan. Untuk menentukan titik pelana biasanya

dilakukan dengan menuliskan nilai-nilai minimum dan Maksimum masing-

masing kolom, kemudian menentukan maksimun diantara minimum baris

dan minimum diantara maksimum kolom. jika unsur maksimum dari

minimum baris sama dengan unsur minimum dari maksimum kolom, atau

jika maksimin =minimaks, berarti unsur tersebut merupakan titik pelana.

Universitas Sumatera Utara

Contoh:

Terdapat sebuah titik pelana pada perpotongan baris kedua dengan kolom

ketiga. Nilai permainan adalah 5, mengingat titik plananya 5. Baris kedua

merupakan strategi optimum bagi pemain pertama atau pemain baris,

sedangkan kolom ketiga merupakan stragi optimum bagi pemain lain atau

pemain kolom.

Terdapat sebuah titik pelana pada perpotongan baris ketiga (strategi

optimum bagi pemain pertama) dengan kolom ketiga (strategi optimum bagi

pemain lain), nilai permainan adalah -2.

Tidak terdapat titik pelana, karena maksimin ≠ minimaks.

Universitas Sumatera Utara

2.5 Permainan Berjumlah Nol Dari Dua Orang Pemain

Ada dua jenis persoalan Two-person, zero-sum game. Pertama, pemain yang

posisi pilihan terbaiknya bagi bagi setiap pemain dicapai dengan memilih

satu strategi tunggal sehingga permainannya disebut permainan strategi

murni (pure-strategi game). Kedua, permainan yang kedua pemainnya

melakukan pencampuran terhadap strategi-strategi yang berbeda dengan

maksud untuk mencapai posisi pilihan terbaik. Disebut strategi permainan

campuran (mixed-strategygame) pure-strategigame pemain yang akan

memaksimumkan dan mengidentifikasi strategi optimumnya dengan

menggunakan criteria maksimum, sedangkan pemain yang meminimumkan

akan mengidentifikasi starategi optimumnya dengan menggunakan criteria

minimaks. Jika nilai sama maka permainan telah terpecahkan. Dalam kasus

seperti itu, maka telah terjadi titik keseimbangan, disebut saddle point. Jika

nilai maksimin tidak sama dengan minimaks, maka titik keseimbangan tidak

akan tercapai dan berarti tidak dapat diselesaikan dengan strategi murni

sebaliknya dilakukan dengan strategi campuran. Kriteria maksimin (untuk

pemain yang memaksimumkan) dapatkan nilai minimum dari masing-

masing baris. Nilai terbesar (nilai maksimum) dari nilai-nilai minimum ini

adalah nilai maksimin. Dengan demikian, maka untuk permainan dengan

strategi murni ini, strategi optimumnya adalah baris tempat nilai maksimin

terletak.criteria minimaks (untuk permainan yang meminimumkan)dapatkan

nilai maksimum pada masing-masing kolom. Nilai terkecil (nilai minimum)

dari nilai-nilai maksimum ini adalah nilai minimaks. Dengan demikian,

maka untuk permainan dengan strategi murni ini, strategi optimumnya

adalah kolom tempat nilai minimaks terletak. Mixed-strategy game pada

game yang tidak memiliki saddle point, penyelesainannya harus dilakukan

dengan menggunakan strategi campuran. Para pemain dapat memainkan

seluruh strateginya sesuai dengan set probabilitas yang telah ditetapkan.

Solusi persoalan strategi campuran ini masih didasarkan pada kriteria

maksimin dan minimaks. Perbedaanya adalah kolom memaksimumkan

ekspektasi payoff terkecil, sedangkan baris meminimumkan ekspektasi

payoff terbesar pada suatu baris. Seperti halnya strategi murni, pada strategi

Universitas Sumatera Utara

campuran berlakunya hubungan. Ada beberapa metode untuk menyelesaikan

permainan jenis ini, diantaranya adalah dengan cara grafis dengan

menggunakan program linier.

Permainan dengan 2 pemain dengan perolehan (keuntungan)bagi salah satu

pemain merupakan kehilangan (kerugian) bagi pemain lainnya. Konsep dari

game ini dapat dilihat dari aturan yang berlaku dalam permainan ini . Pada

dasarnya jenis ini adalah game dengan interaksi antar pemain yang

berkelanjutan. Zero-Sum Game berakibat setiap aksi dari satu pemain selalu

berdampak pada pemain lain. Sebagai contoh adalah suatu permanan kartu

dengan taruhan. Dengan memisalkan terdapat 2 orang pemain, bila suatu

pemain A memenangkan sebanyak 5 poin maka pemain B akan kehilangan

sebanyak 5 poin juga. Dengan menganggap bahwa kekalahan adalah suatu

minus dari menang, maka pada permainan tadi hanya akan menghasilkan nol

pada akhirnya karena (5 – 5 = 0). Berikut ini adalah gambarannya :

Ada dua macam two person zero sum games, pertama jenis permainan

startegi murni (pure strategy game) dimana setiap pemain hanya

menjalankan strategi tunggal, dan kedua permainan strategi campuran

Universitas Sumatera Utara

(mixed strategy game) dimana kedua pemain menjalankan strategi yang

berbeda-beda.

1. Metode Pure Stategy (Strategi Murni)

Hasil yang optimal dari suatu permainan yang mempunyai saddle point

dapat diperoleh dengan menggunakan pure strategy. yang dimaksud dengan

saddle point adalah semacam titik keseimbangan antara nilai permainan

kedua pemain Dalam pure strategy digunakan criteria maksimin dan

minimaks. Maksimin adalah nilai maksimum dari nilai-nilai minimum, dan

minimaks adalah nilai minimum dari nilai-nilai maksimum

Langkah-langkah penyelesaian dengan pure strategy

1. Terjemahkan setiap kasus ke dalam bentuk matriks segi, dimana satu pemain

berperan sebagai pemain baris dan yang lain berperan sebagai pemain

kolom.

2. Pay-off bernilai positif berarti keuntungan bagi pemain baris

3. Pay-off bernilai negative berarti keuntungan bagi pemain kolom

4. Tentukan nilai minimum setiap baris

5. Tentukan nilai maksimum dari langkah ke-4

6. Tentukan nilai maksimum setiap kolom

7. Tentukan nilai minimum dari langkah ke-6

jika nilai maksimin = minimaks, maka ada saddle point, yaitu nilai

maksimin atau minimaks = a. Bisa juga dilakukan penyederhanaan matriks

pay-off terlebih dahulu dengan berdasarkan pada criteria superioritas, baru

kemudian dianalisa dengan menggunakan criteria minimaks dan maksimin.

Superioritas adalah suatu criteria penghilangan suatu kolom atau baris dari

suatu matriks pay-off sehingga menjadi lebih sederhana berdasarkan pada

pendominasian suatu baris/kolom oleh baris/kolom lainnya.

- Untuk pemain baris >> if pay-off dari suatu strategi > strategi lain

- Untuk pemain kolom >> if pay-off dari satu strategi < strategi lain

maksimin

minimaks

Universitas Sumatera Utara

contoh kasus 1 (Kartono. 1994)

Tentukan strategi terbaik dari masing-masing pemain!!

Contoh kasus 2 (Teguh Akbar, 2006)

Dua buah perusahan yang memiliki produk yang relatif sama, selama ini

saling bersaing dan berusaha untuk mendapatkan keuntungan dari pangsa

pasar yang ada. Untuk keperluan tersbut, perusahaan A mengandalkan 2

strategi dan perusahaan B menggunakan 3 macam strategi, dan hasilnya

terlihat pada tabel berikut ini :

Universitas Sumatera Utara

Dari kasus di atas, bagaimana strategi yang harus digunakan oleh masing-

masing pemain atau perusahaan, agar masing-masing mendapatkan hasil

yang optimal (kalau untung, keuntungan tersebut besar, dan kalau harus rugi

maka kerugian tersebut adalah paling kecil).

Seperti telah dijelaskan di atas, bagi pemain baris akan menggunakan aturan

maximin dan pemain kolom akan menggunakan aturan minimax.

Langkah 1

Untuk pemain baris (perusahaan A), pilih nilai yang paling kecil untuk

setiap baris (Baris satu nilai terkecilnya 1 dan baris dua nilai terkecilnya 4).

Selanjutnya dari dua nilai terkecil tersebut, pilih nilai yang paling baik atau

besar, yakni nilai 4.

Langkah 2

Untuk pemain kolom, (perusahaan B), pilih nilai yang paling besar untuk

setiap kolom (kolom satu nilai terbesarnya 8, kolom dua nilai terbesarnya 9,

dan kolom tiga nilai terbesarnya 4). Selanjutnya dari tiga nilai terbesar

tersebut, pilih nilai yang paling baik atau kecil bagi B, yakni nilai 4 (rugi

yang paling kecil).

Universitas Sumatera Utara

Langkah 3

Karena pilihan pemain baris-A dan pemain kolom-B sudah sama, yakni

masingmasing memilih nilai 4, maka permainan ini sudah dapat dikatakan

optimal à sudah ditemukan nilai permainan (sadle point) yang sama.

Hasil optimal di atas, dimana masing-masing pemain memilih nilai 4

mengandung arti bahwa pemain A meskipun menginginkan keuntungan

yang lebih besar, namun A hanya akan mendapat keuntungan maksimal

sebesar 4, bila ia menggunakan strategi harga mahal (S2). Sedangkan

pemain B, meskipun menginginkan kerugian yang dideritanya adalah sekecil

mungkin, namun kerugian yang paling baik bagi B adalah sebesar 4, dan itu

bisa diperoleh dengan merespon strategi yang digunakan A dengan juga

menerapkan strategi harga mahal (S3).

2. Metode strategi campuran (Mixed Strategy)

Setelah pemain baris menggunakan aturan maximin dan pemain kolom

menggunakan aturan minimax, andaikan bahwa pilihan pemain baris A dan

pemain kolom-B tidak sama, dimana pemain atau perusahaan A memilih

nilai 푎 dan perusahaan B memilih nilai 푎 , dengan demikian maka

permainan ini dapat dikatakan belum optimal atau stabil, karena belum

ditemukan saddle point yang sama. Karena penggunaan strategi murni

belum mampu menemukan nilai permainan yang sama, maka penyelesaian

masalah permainan/persaingan di atas dilanjutkan dengan digunakannya

strategi campuran. Penggunaan strategi campuran mampu menemukan nilai

permainan yang sama, strategi campuran juga mampu memberikan hasil

yang lebih baik bagi masing-masing perusahaan.

Universitas Sumatera Utara

John von Neumann mengatakan bahwa kalau himpunan kemungkinan

strategi dari para pemain diperluas sampai diluar strategi murni yang

mencakup seluruh kemungkinan strategi campuran, selalu ada beberapa

strategi campuran untuk pemain pertama yang minimum pay off-nya akan >

dari nilai maksimin dan selalu ada beberapa strategi campuran untuk pemain

kedua yang maksimum pay off-nya < dari nilai minimaks dan dua nilai pay

off itu sama.

Suatu srategi campuran untuk pemain pertama (P1) adalah sebuah vector A

= (푎 ,푎 , … , 푎 ) dimana entri-entrinya adalah bilangan riil positif. Sehingga

푎 + 푎 + ⋯+ 푎 = 1, dengan pengertian bahwa P1 akan memainkan

strategi S1 dengan peluang 푎 , 1≤ 푖 ≤m. (Suprapto, Johannes. 1988).

Mixed strategy digunakan untuk mencari solusi optimal dari kasus game

theory yang tidak mempunyai saddle point (jika permainan tidak seimbang).

Pemilihan strategy dilakukan dengan mengevaluasi kombinasi strategy

lawan menggunakan prinsip peluang. Ciri permaian dengan strategy

campuran :

1. Nilai maximin tidak sama dengan nilai minimax

2. Tidak ada saddle point

3. Permainan tekstabil (unstable game)

Penyelesaian masalah dengan strategi campuran dilakukan apabila strategi

murni yang digunakan belum mampu menyelesaikan masalah permainan

atau belum mampu memberikan pilihan strategi yang optimal bagi masing-

masing pemain/perusahaan. Dalam strategi ini seorang pemain atau

perusahaan akan menggunakan campuran/lebih dari satu strategi untuk

mendapatkan hasil optimal.

Contoh kasus : Dari kasus di atas (contoh kasus 2 pada pure strategy), dan

karena adanya perkembangan yang terjadi di pasar, maka perusahaan A,

yang tadinya hanya memiliki produk dengan harga murah dan mahal,

sekarang menambah satu lagi strategi bersainganya dengan juga

Universitas Sumatera Utara

mengeluarkan produk berharga sedang, dan hasil yang diperoleh tampak

pada tabel berikut ini :

Langkah 1

Mula-mula akan dicoba dulu dengan menggunakan strategi murni. Seperti

telah dijelaskan di atas, bagi pemain baris akan menggunakan aturan

maximin dan pemain kolom akan menggunakan aturan minimax. Untuk

pemain baris, pilih nilai yang paling kecil untuk setiap baris (Baris satu nilai

terkecilnya 2 , untuk baris kedua nilai terkecilnya -1 dan baris tiga nilai

terkecilnya 1). Selanjutnya dari dua nilai terkecil tersebut, pilih nilai yang

paling baik atau besar, yakni nilai 2.

Langkah 2

Untuk pemain kolom, pilih nilai yang paling besar untuk setiap kolom

(kolom satu nilai terbesarnya 6, kolom dua nilai terbesarnya 5, dan kolom

tiga nilai terbesarnya 9). Selanjutnya dari tiga nilai terbesar tersebut, pilih

nilai yang paling baik atau kecil bagi B, yakni nilai 5 (rugi yang paling

kecil).

Langkah 3

Dari tabel di atas terlihat bahwa pilihan pemain baris-A dan pemain kolom-

B tidak sama, dimana pemain atau perusahaan A memilih nilai 2 dan

perusahaan B memilih nilai 5, dengan demikian maka permainan ini dapat

dikatakan belum optimal à karena belum

ditemukan nilai permainan (sadle point) yang sama. Oleh karena itu perlu

dilanjutkan dengan menggunakan strategi campuran, yang langkahnya

adalah sebegai berikut :

Universitas Sumatera Utara

Langkah 4

Masing-masing pemain akan menghilangkan strategi yang menghasilkan

keuntungan atau kerugian paling buruk. Bila diperhatikan pada tabel

sebelumnya, untuk pemain A, strategi S2 adalah paling buruk, karena bisa

menimbulkan kemungkinan kerugian bagi A (ada nilai negatif / -1 nya). Dan

bagi pemain B, strategi S3 adalah paling buruk karena kerugiannya yang

bisa terjadi paling besar (perhatikan nilai-nilai kerugian di strategi S3

pemain/perusahaan B)

Langkah 5

Setelah pemain A membuang strategi S2 dan pemain B membuang stretgi

S3, diperoleh tabel sebagiai berikut :

Perhatikan bahwa setelah masing-masing membuang strategi yang paling

buruk, maka sekarang persaingan atau permainan dilakukan dengan kondisi,

perusahaan A menggunakan strategi S1 dan S3, sementara perusahaan B

menggunakan strategi S1 dan S2.

Langkah 6

Langkah selanjutnya adalah dengan memberikan nilai probabilitas terhadap

kemugkinan digunakannya kedua strategi bagi masing-masing perusahaan.

Untuk perusahaan A, bila kemungkinan keberhasilan penggunaan strategi S1

adalah sebesar p, maka kemungkinan keberhasilan digunakannya strategi S3

adalah (1-p). Begitu pula dengan pemain B, bila kemungkinan keberhasilan

penggunaan strategi S1 adalah sebesar q, maka kemungkinan keberhasilan

digunakannya strategi S2 adalah (1-q).

Langkah 7

Selanjutnya mencari nilai besaran probabilitas setiap strategi yang akan

digunakan dengan menggunakan nilai-nilai yang ada serta nilai probalitas

Universitas Sumatera Utara

masing-masing strategi untuk menghitung sadle point yang optimal, dengan

cara sebagai berikut :

Untuk perusahaan A

Bila, apapun strategi yang digunakan A, perusahaan B meresponnya dengan

strategi S1, maka :

2p + 6(1-p) = 2p + 6 – 6p = 6 – 4p ………...(1)

Bila, apapun strategi yang digunakan A, perusahaan B meresponnya dengan

strategi S2, maka :

5p + 1(1-p) = 5p + 1 – 1p = 1 + 4p…………(2)

Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung, maka :

6 – 4p = 1 + 4p

5 = 8p

P = 5/8 = 0,625

Dan apabila nilai p = 0,625, maka nilai (1-p) adalah (1 – 0,625) = 0,375,

sehingga kedua nilai probabilitas untuk strategi S1 dan S3 milik perusahaan

A sudah diketahui nilainya. Apabila kedua nilai probabilitas tersebut

dimasukkan dalam kedua persamaan di atas, maka keuntungan yang

diharapkan oleh perusahaan A adalah :

Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2

= 2p + 6(1-p) = 5p + 1(1-p)

= 2 (0,625) + 6 (0,375) = 5 (0,625) + 1 (0,375)

= 3,5 = 3,5

Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan keuntungan yang diharapkan

adalah sama, yakni sebesar 3,5. Coba diingat di atas, bahwa sebelum

menggunakan strategi campuran ini keuntungan perusahaan A hanya sebesar

2, berarti dengan digunakan strategi campuran ini, keuntungan perusahaan

A bisa meningkat 1,5 menjadi 3,5.

Bagaimana dengan perusahaan B ?

Untuk perusahaan B

Bila, apapun strategi yang digunakan B, perusahaan A meresponnya dengan

strategi S1,maka :

Universitas Sumatera Utara

2q + 5(1-q) = 2q + 5 – 5q = 5 – 3p …………………..(1)

Bila, apapun strategi yang digunakan B, perusahaan A meresponnya dengan

strategi S3, maka :

6q + 1(1-q) = 6q + 1 – 1q = 1 + 5p …………………..(2)

Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung, maka :

5 – 3q = 1 + 5q

4 = 8q

q = 4/8 = 0,5

Dan apabila nilai p = 0,5, maka nilai (1-p) adalah (1 – 0,5) = 0,5, sehingga

kedua nilai probabilitas untuk strategi S1 dan S2 milik perusahaan B sudah

diketahui nilainya. Apabila kedua nilai probabilitas tersebut dimasukkan

dalam kedua persamaan di atas, maka kerugian minimal yang diharapkan

oleh perusahaan B adalah :

Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2

= 2q + 5(1-q) = 6q + 1(1-q)

= 2 (0,5) + 5 (0,5) = 6 (0,5) + 1 (0,5)

= 3,5 = 3,5

Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan kerugian minimal yang

diharapkan adalah sama, yakni sebesar 3,5. Coba diingat di atas, bahwa

sebelum menggunakan strategi campuran ini kerugian minimal perusahaan

B adalah sebesar 5, berarti dengan digunakan strategi campuran ini, kerugian

minimal perusahaan B bisa menurun sebesar 1,5 menjadi 3,5.

2.6 Nash Equilibrium (Keseimbangan Nash)

Titik ekuilibrium adalah keadaan dimana kedua pihak sudah mencapai

kesepakatan. Dalam game theory, Nash equilibrium adalah konsep solusi

menggunakan serangkaian strategi dalam negosiasi yang melibatkan 2 pihak

atau lebih dimana masing-masing pihak diasumsikan telah mengetahui

strategi lawan, dan masing-masing pihak hanya dapat memperoleh

keuntungan dengan mengubah strateginya sendiri. Bila pihak yang terlibat

lebih dari 2, maka masing-masing pihak dapat mempertimbangkan alasan

rasional dengan cara membentuk koalisi dengan pihak lain.

Universitas Sumatera Utara

Jadi untuk menuju titik ekuilibrium dalam pendekatan Nash, pertanyaan

utama yang harus dijawab kedua pihak adalah apakah dengan mengetahui

strategi lawan, dengan asumsi bahwa strategi lawan adalah konstan, apakah

negosiator itu dapat memperoleh keuntungan dengan cara mengubah

strateginya? Negosiator berada dalam titik ekuilibrium jika perubahan

strategi oleh salah satu pihak akan membawa dampak yang menguntungkan

dengan biaya yang lebih rendah jika dibandingkan dengan jika negosiator itu

tetap pada strategi semula. Negosiasi yang ideal menurut Nash tidak harus

menguntungkan kedua belah pihak, yang penting dalam pendekatan ini

adalah ketika kedua pihak mendapat bagian dalam pencapaian

kepentingannya, tidak mempermasalahkan prosentase kepentingan yang

terakomodasi. Jadi dalam hal ini keadaan win-lose dapat diterima.

Nash Equilibrium mengakomodasi keadaan negosiasi yang non-cooperatif

dan dilaksanakan secara terbuka. Di katakan non cooperatif karena dianggap

tidak membentuk dan menjaga suatu urutan alur, tidak memperhatikan

variabel diluar fokus pada kepentingan masing-masing, langsung pada

sasaran dan telah ada pertukaran informasi dan strategi pada fase pre-

negosiasi.

Gagasan utamanya adalah negosiator dapat memperjuangkan kepentingan

secara rasional, dimana hasil akhirnya adalah tercapainya sebuah

kesepakatan. Dalam negosiasi non-cooperatif ada tiga karakteristik khusus

yaitu adanya informasi secara terbuka dengan terbukanya kepentingan yang

mengarah pada bentuk koalisi bila pihak yang terlibat lebih dari dua,

sifatnya tidak mengikat, dan adanya pemaksaan pada dirinya sendiri untuk

melakukan suatu tindakan yang diinginkan (self enforcing).

Karena menitikberatkan pada pengambilan dan pengubahan strategi,

negosiasi dalam Nash Equilibrium berlangsung dalam dua tahap. Tahapan

pertama sekaligus tahapan yang paling menentukan adalah pre-negosiasi

dimana kedua pihak saling menginformasikan semua alternatif, penawaran

dan permintaan ke lawan sehingga masing-masing pihak dapat menganalisis

posisi diri sendiri dan lawan. Selanjutnya tahapan kedua adalah negosiasi itu

Universitas Sumatera Utara

sendiri dimana negosiator menganalisis strategi lawan dan menentukan

perubahan strategi yang dianggap lebih baik.

Pendekatan kedua adalah A Coalition-Proof Nash Equilibrium (CPNE).

CPNE ini muncul ketika negosiator tidak dapat melakukan hal yang lebih

baik lagi walaupun mereka dapat saling bertukar informasi pada tahap pre-

negosiasi. Nilai lebih dari teori ini adalah untuk merevisi asumsi dan

pandangan dangkal dari gagasan mengenai bukti keseimbangan Nash dalam

koalisi serta proses negosiasi yang disusun dengan grafik untuk membantu

perluasan sifat dasar pendekatan dari model persiapan komunikasi dengan

permainan yang lebih variatif.

Ketika pemain-pemain meramalkan secara benar dan masuk akal akan strategi

dari lawan-lawan mereka, mereka tidak hanyalah memainkan tanggapan-

tanggapan terbaik kepada kepercayaan-kepercayaan mereka tentang

permainan lawan mereka; mereka sedang memainkan tanggapan-tanggapan

terbaik kepada permainan yang nyata dari lawan-lawan mereka. Ketika semua

pemain secara benar meramalkan strategi lawan mereka, dan tanggapan-

tanggapan permainan terbaik untuk peramalan-peramalan ini, profil strategi

yang hasilnya adalah suatu keseimbangan Nash. (Ratliff, Jim. 1992)

Contoh Dasar: Dilema Narapidana

Dilema narapidana adalah yang sangat popular sebagai dasar atau ilustrasi

contoh dari teori permainan Nash. Ada dua tahanan, Jack dan Tom, yang baru

saja ditangkap untuk merampok bank. Polisi tidak memiliki cukup bukti untuk

menghukum mereka, tetapi tahu bahwa mereka melakukan kejahatan. Mereka

menempatkan Jack dan Tom di kamar interogasi secara terpisah dan berbeda

konsekuensi.

Jika kedua Jack dan Tom mengaku mereka masing-masing akan mendapatkan

10 tahun penjara.

Jika seseorang mengaku dan yang lainnya tidak, orang yang mengaku akan

bebas dan yang lain akan menghabiskan 20 tahun di penjara.

Universitas Sumatera Utara

Jika tidak ada yang mengaku, mereka akan sama-sama mendapatkan hukuman

5 tahun untuk kejahatan yang berbeda yang mereka inginkan.

Lebih mudah untuk melihat dan membandingkan hasil ini jika kita masukkan

ke dalam matriks:

Jack

TOM

C NC

C -10,-10 0,-20

NC -20, 0 -5,-5

Karena strategi Tom terdaftar dalam baris, atau sumbu x, dengan hadiah

pertama terdaftar. Jack terdaftar hadiah kedua karena strategi-nya di kolom,

atau pada sumbu-y. "C" berarti "mengaku" dan "NC" berarti "tidak

mengaku.". Matriks ini disebut "Normal Form" dalam teori permainan.

Bergerak yang simultan, yang berarti bahwa baik pemain tahu keputusan yang

lain dan keputusan yang dibuat pada waktu yang sama (dalam contoh ini,

kedua tahanan tersebut di kamar terpisah dan tidak akan dibiarkan keluar

sampai mereka memiliki membuat keputusan mereka).

Pada pandangan pertama, tampaknya bahwa kedua pemain tidak mengaku

adalah pilihan terbaik karena setiap tahanan hanya akan mendapatkan 5 tahun,

tetapi yang lebih mendalam akan tampak menunjukkan bahwa hal ini tidak

terjadi.

Dominan Strategi

Dengan melihat setiap tahanan secara individual, kita dapat menemukan

strategi murni yang dominan. Pertama lihat Tom. Mari kita asumsikan bahwa

Jack akan mengakui, apa strategi terbaik untuk Tom?. Jika Jack mengaku dan

Tom tidak, Tom akan masuk penjara selama 20 tahun, tetapi jika ia tidak

mengaku dia akan hanya pergi selama 10. Dalam kasus ini, sebaiknya bagi

Universitas Sumatera Utara

Tom untuk mengaku. Mari kita menyoroti hasil ini dalam matriks untuk

melacak.

JACK

TOM

C C NC

C -10 ,-10 0,-20

NC -20, 0 -5,-5

Sekarang mari kita asumsikan bahwa Jack tidak akan mengaku. Kalau Tom

mengaku, ia akan bebas, jika ia tidak mengaku, dia akan mendapatkan 10

tahun. Sekali lagi, pilihan terbaiknya adalah dengan mengakui, tidak peduli

apa yang Jack pilih. Karena dalam kedua kasus nya adalah pilihan terbaik

untuk mengaku, mengakui adalah murni dominan strategi (itu juga benar

untuk mengatakan tidak mengakui didominasi oleh mengaku). Sebuah strategi

dominan adalah strategi yang memiliki hasil terbaik tidak peduli apa pilihan

pemain lain.

JACK

TOM

C NC

C -10 ,-10 0 ,-20

NC -20,0 -5,-5

Sejak Tom dan Jack keduanya memiliki pilihan yang sama dan hukuman yang

sama, dominan strategi murni bagi jack juga adalah mengaku. Setelah melalui

langkah-langkah yang sama, Anda dapat menyorot matrix anda sebagai

berikut:

Universitas Sumatera Utara

JACK

TOM

C NC

C -10 , -10 0 ,-20

NC -20, 0 -5,-5

Nash Equilibrium

Anda akan melihat bahwa hukuman untuk (mengaku, mengaku) keduanya

disorot. Karena kedua tahanan yang sama dominan memiliki strategi murni,

mengaku, mereka akan sama-sama mengaku dan masing-masing akan

mendapatkan 10 tahun penjara. Ini adalah Nash Equilibrium, (John F. Nash)

Sebuah Nash Equilibrium adalah setiap hasil di mana tidak ada penyimpangan

menguntungkan sepihak - yaitu, memegang semua pemain lain secara konstan,

satu pemain tidak dapat memilih strategi yang akan membuatnya lebih baik.

Dalam kasus ini, jika salah satu pemain tidak mengaku, dia akan mendapatkan

20 tahun bukan 10. Kotak hasilnya (5,5) yang dihasilkan dari (NC, NC) adalah

bukan Nash Equilibrium, karena ada pemain yang mempunyai pilihan yang

lebih baik karena bisa mengakui (mendominasi) dan pergi bebas daripada

menghabiskan 5 tahun di penjara. Dalam beberapa permainan ada beberapa

kesetimbangan Nash, tapi yang akan dibahas kemudian.

Universitas Sumatera Utara