bab 2-kalkulus-ok1

BAB IIKALKULUS

Tujuan

Setelah mengikuti praktikum ini, diharapkan mahasiswa dapat melakukan operasi-operasi hitung yang berkai-

tan dengan kalkulus menggunakan paket program Mathematica dengan baik, dan dapat mengembangkan untuk

operasi hitung yang lebih kompleks.

Sebagian besar pengertian-pengertian dalam kalkulus yang diberikan pada bab ini diambil dari Purcell & Varberg

(1987).

Kompetensi :

2.1 Fungsi

2.2 Grafik fungsi

2.3 Limit

2.4 Kekontinuan

2.5 Turunan Fungsi

2.6 Integral

2.7 Contoh Aplikasi

2.8 Latian Soal

Alokasi Waktu : 3 x 150 menit

MATERI PRAKTIKUM (PROSEDURE KERJA) :

2.1 Fungsi

Ÿ 2.1.1 Pendefinisian Fungsi

: = (SetDelay)

Lambang " : = " (SetDelay) menyatakan bahwa suku di sebelah kanannya tidak dievalusi saat pendefini-

sian, tetapi baru dievaluasi setiap saat suku di sebelah kirinya (fungsi f) dipanggil.

Contoh:

Fungsi f akan menghasilkan pangkat tiga dari argumennya

f@x_D := x3

f@2D

f@aD

f@-1D

= ( Set )

Contoh:

f@x_D = x2 + 2 x

f@2D

f@aD

Coba fikirkan apa beda penggunaan SetDelay dan Set ?

Clear

Seringkali definisi fungsi atau ekspresi mengalami modifikasi. Nilai maupun definisi fungsi atau ekspresi

sebelumnya dapat dihapus dari memori dengan menggunakan perintah Clear.

Contoh:

Perintah Clear[ f, x ] berikut akan menghapus nilai maupun definisi f dan x yang mungkin sudah pernah didefinisikan

sebelumnya.

Clear@f, xD

f@x_D := 2 x + 3

f@a + bD

f@1D

/ ; (Condition)

Simbul " / ; " dapat digunakan untuk menyatakan domain fungsi.

Contoh:

Berikut ini pendefinisian suatu fungsi susun beserta grafiknya.

f@x_D := x �; 0 £ x < 1

f@x_D := 1 �; 1 £ x < 2

f@x_D := 3 - x �; 2 £ x £ 3

Plot@f@xD, 8x, 0, 3<D

Ÿ 2.1.2 Fungsi Matematik

Berikut ini diberikan beberapa fungsi matematik yang penting.

Sqrt [ x ] : akar kuadrat ( x )

Exp [ x ] : eksponensial ( ex )

Log [ x ] : Logaritma asli ( loge x )

Log [ b, x ] : Logaritma basis b ( logbx )

Sin [ x ], Cos[ x ], Tan [ x ] : fungsi-fungsi trigonometri ( argumen dalam radian)

Round [ x ] : bilangan bulat terdekat ke x

Max [ x, y, ... ] , Min [ x, y, ... ] : maksimum / minimum dari x, y, ...

Floor [ x ] : bilangan bulat terbesar yang £ x

Ceiling [ x ] : bilangan bulat terkecil yang ³ x

Ÿ 2.1.3 Penyelesaian Persamaan

Mathematica menggunakan tanda " ==" (Equal) pada persamaan yang akan dicari penyelesaiannya.

Contoh-contoh:

25 Modul Komputasi Matematika bab 2 Kalkulus.nb

DIII Teknik Informatika FMIPA UNS

Solve@x^2 Š 9, xD

Solve@Sin@xD Š 1, xD

NSolve@x^2 Š 10, xD

NSolve@x^2 + x - 2 Š 0, xD

Coba fikirkan apa perbedaan penggunaan Solve dan NSolve ?

Solve juga dapat digunakan untuk menentukan solusi persamaan simultan. Perhatikan dua cara berikut:

Solve@8x Š 1 + 2 y, y Š 3 + 2 x<, 8x, y<D

pers = 8x Š 1 + 2 y, y Š 3 + 2 x<; Solve@pers, 8x, y<D

LATIHAN: Kerjakan Soal Latihan 2.8 nomor 1 s/d 3........ (3 POIN)

2.2 Grafik Fungsi

Ÿ 2.2.1 Grafik Dua Dimensi

Ÿ 2.2.1.1 Plot

Cara termudah untuk menampilkan grafik fungsi dalam dua dimensi adalah dengan perintah Plot. Perintah

berikut akan menghasilkan grafik fungsi f dengan domain ( xmin, xmax)

Plot@f@xD, 8x, xmin , xmax<D

Contoh :

Grafik fungsi f(x) = x2 dengan domain -1£x£1.

PlotAx2, 8x, -1, 1<E

Grafik 2 fungsi pada domain yang sama.

Plot@8Sin@xD, Cos@xD<, 8x, -p, p<D

Ÿ 2.2.1.2 Opsi dan Gaya Tampilan

Opsi Grafik

Tampilan grafik dapat diatur sesuai dengan yang diinginkan, dengan memberikan opsi tertentu. Setiap opsi

dituliskan dalam sintaks:

Nama Option ® nilai

Jika terdapat lebih dari satu opsi, masing-masing opsi dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh:

Grafik f(x) = x2dengan domain -1£x£1 berikut diberi label, garis grid dengan bingkai, dan juga interval tampilan x Î

(-2, 2) dan y Î (-1, 2). Untuk keempat keperluan tersebut, berturut-turut dinyatakan dengan opsi PlotLabel, Grid-

Lines, Frame,dan PlotRange.

PlotAx2, 8x, -1, 1<, PlotLabel ® "Grafik fHxL=x2",

GridLines ® Automatic, Frame ® True, PlotRange ® 88-2, 2<, 8-1, 2<<E

Gaya Tampilan Grafik

Opsi grafik yang digunakan untuk mengatur gaya tampilan grafik adalah PlotStyle. Dengan opsi ini, dapat

diatur mengenai warna ( RGBColor [ . . . ]), jenis garis ( Dashing[ . . . ]), ketebalan garis (Thickness[ . . . ]), dll.

Contoh:

Grafik sin(x) ditampilkan dengan ketebalan garis 1% dari lebar grafik, sedangkan grafik cos(x) ditampilkan dengan

garis terputus-putus dan panjang 2% dari lebar grafik. Kedua grafik tersebut ditampilkan pada domain -3 £ x £ 3.

bab 2 Kalkulus.nb 26

Plot@8Sin@xD, Cos@xD<, 8x, -3, 3<, PlotStyle ® [email protected], [email protected]<D<D;

Ada beberapa cara untuk memberikan efek warna. Perintah RGBColor[ r , g , b] menyatakan warna yang tersusun dari

r , g, dan b persen warna merah, hijau, dan biru. Misalnya: RGBColor[1,0,0] adalah warna merah, sedangkan RGBCol-

or[1,0,1] adalah warna ungu (campuran warna merah dan biru). Parameter r, g , dan b harus bernilai mulai dari 0

hingga 1.

Contoh:

Grafik x2, - x2, dan x digambarkan masing-masing dengan warna ungu, merah, dan hijau.

Plot@8x^2, -x^2, x<, 8x, -3, 3<,

PlotStyle ® 8RGBColor@1, 0, 1D, RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 1, 0D<D;

Ÿ 2.2.2 Grafik Tiga Dimensi

Perintah untuk menampilkan grafik permukaan pada ruang berdimensi tiga menggunakan Plot3D. Argumen-

nya berupa fungsi dua variabel beserta masing-masing domainnya.

Contoh:

Berikut ini ditampilkan grafik fungsi z = sin( x2 + y2 ) dengan domain -p £ x £ p dan -p £ y £ p, dan meberikan

label x , y, dan z pada masing-masing sumbunya.

Plot3DBSinB x2 + y2 F, 8x, -p, p<, 8y, -p, p<, AxesLabel ® 8"x", "y", "z"<F

LATIHAN: Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 4...................(1 POIN)

2.3 Limit

Ÿ 2.3.1 Limit Fungsi

Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi f jika x mendekati nilai tertentu, misal x0, Mathematica menyedi-

akan perintah dengan sintaks:

Limit [ f , x ® x0]

Contoh:

Berikut ini plot fungsi x2 + 2 x - 3 yang diberi warna merah dengan domain -2 £ x £ 2, kemudian ditentukan nilai

limit fungsi tersebut untuk x ® 0 dan x ® 1

Clear@f, xD

PlotAx2 + 2 x - 3, 8x, -2, 2<, PlotStyle ® 8RGBColor@1, 0, 0D<E

LimitAx2 + 2 x - 3, x ® 0E

LimitAx2 + 2 x - 3, x ® 1E

Jika fungsi f didefinisikan lebih dahulu, langkahnya sebagai berikut:

f@xD := x2 + 2 x - 3

Limit@f@xD, x ® 0D

Limit@f@xD, x ® 1D

Ÿ 2.3.2 Limit Kiri dan Limit Kanan

Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi f jika x mendekati x0 dari arah bawah (kiri), digunakan sintaks:

Limit [ f , x ® x0 , Direction ® 1]



Jika x mendekati x0 dari arah atas (kanan), digunakan sintaks:

Limit [ f , x ® x0 , Direction ® -1]

Contoh:

Fungsi f(x) = 1 � x ditentukan nilai limitnya untuk x mendekati x0= 0 dari kiri maupun kanan.

Limit@1 � x, x ® 0, Direction ® 1D

Limit@1 � x, x ® 0, Direction ® -1D

Jika di cek dengan melihat grafiknya, terlihat sebagai berikut:

Plot@1 � x, 8x, -3, 3<D

Terlihat nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan, menurut kuliah teori, apa kesimpulannya ?

Sekarang , jika fungsi f(x) = x2 + 2 x - 3 ditentukan limit kiri/ kanannya untuk x mendekati 1, sebagai berikut:

LimitAx2 + 2 x - 3, x ® 1, Direction ® 1E

LimitAx2 + 2 x - 3, x ® 1, Direction ® -1E

Terlihat limit kiri = limit kanan , di dalam kuliah teori, diperoleh kesimpulan apa ?

Ÿ 2.4 KekontinuanDalam kehidupan sehari-hari, istilah kontinu digunakan untuk menjelaskan suatu proses yang berjalan tanpa

terputus oleh gangguan. Dalam matematika istilah kontinu mempunyai arti yang serupa dan didefinisikan sebagai

berikut.

Definisi: Kekontinuan fungsi di satu titik.

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Fungsi f dikatakan kontinu di a jika limx®a f(x) =

f(a).

Catatan: Jika fungsi f kontinu di a, maka grafik fungsi f merupakan suatu kurva yang tidak terputus di sekitar a.

Contoh:

Diketahui f(x) = | x+2 | x. Berikut ini diselidiki kekontinuan fungsi f di x = -2.

Clear@fD

f@x_D := Abs@x + 2D x

f@-2D

Diperoleh f (-2) = 0. Selanjutnya diselidiki nilai limitnya dengan melihat nilai limit kiri dan limit kanannya.

Limit@f@xD, x ® -2, Direction ® 1D

Limit@f@xD, x ® -2, Direction ® -1D

Terlihat nilai limit kiri = nilai limit kanan = 0, sehingga disimpulkan limx®-2 f(x) = 0. Dari hasil-hasil di atas, diper-

oleh limx®-2 f(x) = f(-2), sehingga menurut definisi di atas, f kontinu di x = -2.

Terlihat pada grafik, fungsi f tersambung di sekitar x = -2.

Plot@f@xD, 8x, -5, 3<D

Konsep kekontinuan di satu titik dapatdiperluas menjadi kekontinuan fungsi pada selang.

Definisi: Kekontinuan pada selang.

1. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a, b) jika fungsi f kontinu di setiap titik x Î (a, b).


2. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup [a, b] jika fungsi f kontinu pada (a, b) dan limx®a+ f(x) = f(a) serta

limx®b-f(x) = f(b).

Contoh: Diketahui fungsi f(x) = x +2

x- 1 . Berikut ini ditentukan nilai-nilai x sehingga fungsi f kontinu.

Daerah definisi fungsi f, yaitu Df , adalah himpunan semua nilai x sehingga f(x0 bernilai real, yang dipenuhi jika x +

2

x- 1 ³ 0.

Dengan menggunakan Mathematica, dipanggil dulu paket program InequalitySolve pada folder Algebra.

<< Algebra`InequalitySolve`

InequalitySolveBx +2

x- 1 ³ 0, xF

Diperoleh Df = (0,¥). Selanjutnya dilihat nilai f(a) untuk setiap a Î (0,¥).

Clear@fD

f@x_D := x +2

x- 1

f@aD

Kemudian ditentukan nilai limit fungsi f(x) untuk x®a.

Limit@f@xD, x ® aD

Diperoleh limx®a f(x) = -1 + 2

a+ a = f(a). Jadi f kontinu pada selang (0, ¥).

Dari grafik terlihat fungsi f tersambung (kontinu) pada selang (0, ¥).

Plot@f@xD, 8x, 0, 10<D

LATIHAN : Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 5b, 6, 7a dan 7b......................( 4 POIN)

Ÿ 2.5 Turunan FungsiUntuk menentukan turunan suatu fungsi, Mathematica menyediakan perintah dengan D

Contoh:

Berikut ini ditentukan turunan fungsi f(x) = x2+ 2x - 1 terhadap variabel x

DAx2 + 2 x - 1, xE

Cara lain menentukan turunan dapat menggunakan tanda '. Untuk cara ini, fungsi f perlu didefinisikan lebih dahulu.

Clear@f, xD

f@x_D := x2 + 2 x - 1

f'@xD

Dengan menggunakan perintah D, sebagai berikut:

D@f@xD, xD

Cara lain untuk menentukan turunan fungsi, dengan mengklik simbul ¶ƒ ƒ pada Palletes

¶x H2 x + 1L



¶t It2 + 2 tM

Untuk menentukan turunan tingkat ke-n , digunakan perintah dengan sintaks : D [ f , {x , n}]

Clear@f, xD

f@x_D := x3 + 2 x2 - x

D@f@xD, xD

D@f@xD, 8x, 2<D

Ÿ 2.6 Integral Fungsi

Ÿ 2.6.1 Integral Tak Tentu

Untuk menentukan nilai integral tak tentu suatu fungsi f , Mathematica menyediakan perintah dengan sin-

taks:

Integrate [ f , x ]

Selain itu, juga dapat mengklik simbul Ù ƒ âƒ pada Palletes.

Contoh:

IntegrateAx2 + 2 x - 1, xE

à Ix2 + 2 x - 1M âx

Jika fungsi f didefinisikan lebih dahulu, langkahnya sebagai berikut:

f@x_D := x2 + 2 x - 1

Integrate@f@xD, xD

à f@xD âx

Ÿ 2.6.2 Integral Tertentu

Untuk menentukan nilai integral tertentu suatu fungsi f terhadap variabel x , dengan batas bawah integral

adalah xmin dan batas atas integral adalah xmax, digunakan sintaks:

Integrate [ f , {x , xmin , xmax}]

Selain itu juga dapat dengan cara mengklik simbul Ùƒƒƒ âƒ yang ada pada Palletes.

IntegrateA3 x2 - 2 x, 8x, 0, 1<E

à0

1

I3 x2 - 2 xM âx

LATIHAN : Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 8a, 9a, 9b.......................(3 POIN)

Ÿ 2.7 Contoh Aplikasi

Ÿ 2.7.1 Contoh Aplikasi Turunan

Keuntungan hasil penjualan komputer suatu pabrik (dalam ribu $) untuk waktu tertentu t (tahun) dapat

disajikan sebagai suatu fungsi f dengan f(t) = t3 - 9 � 2 t2 + 23 � 4 t - 15 � 8 . Akan ditentukan waktu kapan hasil

penjualan mencapai maksimum atau minimum serta berapa nilai keuntungan tersebut. Kemudian hasilnya di cek

dengan menunjukkan grafik fungsinya.


Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut:

Didefinisikan fungsi f terlebih dahulu

Clear@f, tD

f@t_D := t3 - 9 � 2 t2 + 23 � 4 t - 15 � 8

Selanjutnya ditentukan turunan pertama dari f

trn1 = D@f@tD, tD

Untuk menentukan titik-titik ekstrimnya (titik maksimum/ minimum) dilakukan dengan cara menyelesaikan turunan

pertama yang sama dengan nol

NSolve@trn1 Š 0, tD

Diperoleh titik ekstrim di t = 0.92265 dan t = 2.07735. Selanjutnya untuk menentukan apakah titik-titik ekstrim

tersebut merupakan titik maksimum atau minimum, ditentukan lebih dahulu turunan kedua dari fungsi f. Kemudian

titik-titik ekstrim tersebut disubstitusikan ke fungsi yang merupakan turunan kedua f. Jika diperoleh nilai yang positif,

maka berarti titik ekstrim tersebut merupakan titik minimum. Tetapi jika nilainya negatif, maka berarti titik ekstrim

tersebut merupakan titik maksimum.

trn2 = D@f@tD, 8t, 2<D

6 t - 9 �. t ® 0.92265

Karena pada t = 0.92265 nilai turunan keduanya adalah -3.4641 (yaitu negatif), maka titik t = 0.92265 adalah titik

maksimum. Jadi keuntungan hasil penjualan mencapai maksimum pada waktu t = 0.92265 (tahun). Hasil keuntungan

tersebut adalah nilai fungsi pada titik tersebut, ditentukan sebagai berikut:

[email protected]

Jadi hasil keuntungannya adalah 0.3849 ribu $.

6 t - 9 �. t ® 2.07735

Karena pada t = 2.07735 nilai turunan keduanya adalah 3.4641 (yaitu positif), maka titik t = 2.07735 adalah titik

minimum. Jadi keuntungan hasil penjualan mencapai minimum pada waktu t = 2.07735 (tahun). Hasil keuntungannya

adalah:

[email protected]

Jadi perusahaan mengalami kerugian sebesar 0.3849 ribu $ pada saat t = 2.07735 (tahun)

Selanjutnya di cek dengan melihat grafiknya.

Plot@f@tD, 8t, 0, 3<D

Ÿ 2.7.2 Contoh Aplikasi Integral

Salah satu aplikasi integral adalah untuk menghitung luas daerah yang dibatasi dua grafik fungsi. Pada contoh

ini akan ditentukan luas daerah yang terletak diantara grafik fungsi y1 = x2- 2 dan y2 = - x2+6 pada domain fungsi

-2 £ x £ 3.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

Diplot lebih dahulu grafik fungsi y1= x2-2 (dengan warna merah) , dan y2 = -x2+6 (dengan warna biru). Dengan

perintah FilledPlot, daerah antara grafik fungsi y1 dan fungsi y2 akan diwarnai dengan warna tertentu.Untuk menggu-

nakan perintah tersebut, perlu dipanggil lebih dahulu paket FilledPlot pada folder Graphics.

<< Graphics`FilledPlot`

FilledPlotA9x2 - 2, -x2 + 6=, 8x, -2, 3<, PlotStyle ® 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<E



Selanjutnya ditentukan titik potong kedua grafik tersebut.

SolveAx2 - 2 Š -x2 + 6, xE

Ternyata titik potong kedua grafik pada x = -2 dan x = 2. Untuk menentukan luas daerah antara kedua grafik pada -2

£ x £ 3 , menggunakan rumus (dari kuliah teori) :

Luas daerah = Ù-2

2II-x2 + 6M - Ix2 - 2MM dx + Ù2

3IIx2 - 2M- I-x2 + 6MM dx

Dengan Mathematica, dilakukan sebagai berikut:

IntegrateAII-x2 + 6M - Ix2 - 2MM, 8x, -2, 2<E + IntegrateAIIx2 - 2M - I-x2 + 6MM, 8x, 2, 3<E

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh grafik y1 dan y2 pada domain -2 £ x £ 3 adalah 26 (satuan luas).

LATIHAN: Kerjakan Soal latihan 2.8 no. 11 .........(1 POIN)

2.8 Soal-Soal Latihan

Kerjakan soal-soal berikut:

1. Definisikan fungsi f(x) = x3+ 2x2- 10 , kemudian tentukan f(5) dan f(-4).

2. Selesaikan persamaan 2 x2 - 4x + 2 = 0, berikan solusi eksak maupun numeriknya.

3. Gambarkan grafik f yang memenuhi f(x) = :x2 + 1 , untuk 0 £ x < 2

x + 3 , untuk 2 £ x £ 5

4. Gambarkan grafik y1 = 2 x2+ 4 dan grafik y2 = 6 - x2 pada domain 0 £ x £ 2 , dengan y1 dan y2 masing-masing

diberi warna merah dan biru , diberi bingkai dan label "Grafik Fungsi".

5. Tentukan nilai limit dari fungsi f(x) berikut untuk x ® 1, kemudian gambarkan fungsinya untuk domain -2 £ x £ 5 :

a. f(x) = x2+ 2x -1

b. f(x) = x3- 1

x - 1

6. Diketahui fungsi f(x) = x-3

x2-9

. Tentukan limit kiri maupun limit kanan fungsi f(x) untuk x ® 3. Apa kesimpulan

yang saudara peroleh ?

7. Apakah fungsi f berikut kontinu di x = 2 ? Jika tidak, jelaskan alasannya.

a. f(x) = 4x2- 2x + 12

b. f(x) = 8

x-2

Cek lah dengan menggambar grafik fungsinya.

8. Tentukan turunan pertama maupun kedua dari fungsi-fungsi berikut:

a. f(x) = 10x3+ 2x2- 5x

b. g(x) = 9 - x

c. h(x) = sin2(2x)

d. l(x) = sin ( cos 3x )

9. Tentukan nilai integral berikut:

a. Ù I4 x3 - 2 x2 + x - 5M â x

b. Ù0pHsin x + cos x L â x

c. Ù Iex + x M â x


d. Ù12I

1

2x3 +

1

2 xM â x

10. Diketahui fungsi f(x) = -2x3+ 3x2

a. Tentukan titik-titik kritis f(x)

b. Tentukan titik maksimum/ minimumnya (gunakan turunan kedua)

11. Tentukan 2 bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan yang hasil kalinya maksimum.

12. Dono mempunyai 200m kawat duri yang ia rencanakan untuk memagari ladang berbentuk persegi panjang. Jika

diinginkan agar luas maksimum, berapa ukuran panjang dan lebarnya ?

13. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x4 dan y = 2x - x2. Gambarkan bidang datar

tersebut.

14. Tentukan luas daerah R di bawah kurva y = x4- 2 x3 + 2 antara x = -1 dan x = 2

15. Seorang manajer perusahaan komputer memperhitungkan bahwa penggunaan seperangkat peralatan akan meng-

hasilkan penghematan operasi pada perusahaan. Dari data yang lalu, untuk jangka waktu pemakaian sampai dengan 10

tahun, kecepatan penghematan operasi adalah f(x) dolar per tahun bila peralatan tersebut telah dipakai selama x tahun,

dengan f(x) = 4000x + 1000.

a. Berapa jumlah penghematan ongkos operasi dalam 5 tahun pertama ?

b. Jika harga peralatan tersebut $36.000, dalam berapa tahun harga peralatan tersebut kembali ?



2.7 APLIKASI TURUNAN DAN INETGRAL

APLIKASI turunan, misalkan di bidang penjualan.

Suatu perusahaan komputer.keuntungan penjualan dituliskan dengan f t

t3 9

2t2

23

4t

15

8.. akan ditentukan waktu kapan penjualan tertinggi dan terendah,

dan berapa keuntungan yg bisa diperoleh pada saat itu?

penyelesaian :

berarti menggunakan konsep titik maksimum dan minimum.

1. mendefiniskan fungsi f(x)

2. mennetukan turunan pertama dari f.

3. cari peyelesaian turunan pertama.

4. mengecek apakah t merupakan titik maksimum atau minimum.(jika f'(t)>0--> titik balik minimum

dan sebaliknya)

maka :

Clearf, x

ft_ : t3 9

2t2

23

4t

15

8

trn1 Dft, t

23

4 9 t 3 t2

NSolve23

4 9 t 3 t2, t

t 0.92265, t 2.07735

trn2 D23

4 9 t 3 t2, t

9 6 t

maka dimasukkan untuk nilai : t0.92265,t2.07735 ke dalam trn2, diperoleh :

9 6 t . t 0.92265

3.4641

9 6 t . t 2.07735

3.4641

didapatkan nilai trn2 (0.92265) < 0, maka t = 0.92265 merupakan titik balik maksimum, atau pen-

jualan tertinggi pada tahun ke - 1. dan penjulan tertendah pada tahun ke - 2. di bulan bulan awal.

dengan keuntungan/kerugian :

f0.92265

0.3849

f2.07735

0.3849

perusahaan akan mencapai kerugian sebebsar $384,9dan dipresikai akan mencapai kerugian sebesar $384 di tahun

ke-2.

2.7 .2 APLIKASI INTEGRAL

diaplikasikan untuk menghitung luas daerah. misal,

tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y1 x2 2, y2 x2 6, domain 2 x 3

penyelesaian :

1. plot grafik y1 dan y2

2. tentukan titik potong kedua grafik

3.tentukan luas daerah

maka :

Plotx2 2, x2 6, x, 2, 3, PlotStyle RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1, Filling 1 2

35 | 02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2013.nbModul Komputasi Matematika


Plotx2 2, x2 6, x, 2, 3, PlotStyle RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1,

Filling 1 2, Epilog Blue, Text"y1x22", 2.5, 5, Text"y2x26", 2.5, 1,

Red, Text"Luas I", 0, 2, Text"Luas II", 2.4, 2

Solvex^2 2 x^2 6, x

x 2, x 2

maka luas

daerah : Luas I Luas II yaitu2

2

x^2 6 x^2 2 x 2

3

x^2 2 x^2 6 x

maka dengan mathematica:

LuasI 2

2

x^2 6 x^2 2 x

LuasII 2

3

x^2 2 x^2 6 x

64

3

14

3

luasdaerah LuasI LuasII

26

atau dengan cara langsung :

Integratex^2 6 x^2 2, x, 2, 2 Integratex^2 2 x^2 6, x, 2, 3

26

jadi luasan daerahnya adlah : 26 satuan

02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2013.nb | 36

PlotSinx, x, 0, 2 Pi, Filling Axis, FillingStyle Red

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

ListLinePlot1, 3, 2, 5, 2, Filling Axis

Plotx2 2, x2 6, x, 2, 3, PlotStyle RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1,

Filling 1 2, Frame True, FillingStyle Orange

2 1 0 1 2 3

2

0

2

4

6

37 | 02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2013.nbModul Komputasi Matematika


*** PEMROGRAMAN DENGAN MATHEMATICA(HOW TO SOLVE FUNCTION)

Clearp1, p2, d, e;

HEADING PROGRAM

Print""

Print"program latihan 03"

Print"mathematica programming"

Print"solusi"

Print""

MAIN PROGRAM

p1 Input"persamaan 1:"; Print"pers1", p1

p2 Input"persamaan 2:"; Print"pers2", p2

d Solvep1, p2, x, y;

e NSolvep1, p2, x, y;

hasilcetak PROGRAM

Print"penyelesainnya adalah adalah:", d

Print"penyelesainnya numerik adalah:", e

02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2013.nb | 38

bab 2-kalkulus-ok1

Education