pma 50006 kalkulus 2

22
Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012 ================================================================================== PMA 50006 Kalkulus 2 (2 SKS) Prasyarat : PMA 50005 Kalkulus 1 1 Kompetensi : Setelah mempelajari mata kuliah ini mahasiswa mampu: 1. menguasai konsep-konsep integral tak tentu dan integral tentu 2. menerapkan (mengaplikasikan) perhitungan integral pada berbagai topik yang diberikan dan dalam kehidupan sehari- hari 3. mengerjakan (menyelesaikan) soal-soal dalam berbagai bentuk pengintegralan. Kaitan dengan mata ajar lain : 1. Persamaan Diferensial 2. Grafika Komputer 3. Pengolahan Citra 4. Teori Informasi Dosen Pengampu : Budi Irwansyah, MSi Sinopsis : Mata kuliah ini membahas: Integral tak tentu sebagai anti turunan, penerapan integral tak tentu, teorema dasar kalkulus untuk integral dan penerapannya, penggunaan integral tentu, fungsi logaritma, fungsi substitusi peubah baru, pengintegralan parsial, pengintegralan fungsi rasional, pengintegralan dengan substitusi fungsi trigonometri, teorema (Hospital dan bentuk tak tentu integral tak wajar. Buku Rujukan : Wajib : 1. Edwin, J.Purcell, kalkulus dan Geometri Analitik, Jilid 2 (Edisi kelima). Anjuran : 1. Lois Leithold, Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Jilid 2 2. Koko Martono, Kalkulus dan Differensial. Penjelasan umum Kalkulus merupakan bagian matematika yang mempelajari gerak dan perubahan, hal ini yang membedakannya dengan Aljabar. Pertama Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si 1

Upload: budi-irwansyah-msi

Post on 27-Oct-2015

64 views

Category:

Documents


6 download

TRANSCRIPT

Page 1: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

PMA 50006 Kalkulus 2 (2 SKS)

Prasyarat : PMA 50005 Kalkulus 11

Kompetensi : Setelah mempelajari mata kuliah ini mahasiswa mampu:

1. menguasai konsep-konsep integral tak tentu dan integral tentu2. menerapkan (mengaplikasikan) perhitungan integral pada berbagai

topik yang diberikan dan dalam kehidupan sehari-hari3. mengerjakan (menyelesaikan) soal-soal dalam berbagai bentuk

pengintegralan.

Kaitan dengan mata ajar lain : 1. Persamaan Diferensial2. Grafika Komputer3. Pengolahan Citra4. Teori Informasi

Dosen Pengampu : Budi Irwansyah, MSi

Sinopsis :

Mata kuliah ini membahas:

Integral tak tentu sebagai anti turunan, penerapan integral tak tentu, teorema dasar kalkulus untuk integral dan penerapannya, penggunaan integral tentu, fungsi logaritma, fungsi substitusi peubah baru, pengintegralan parsial, pengintegralan fungsi rasional, pengintegralan dengan substitusi fungsi trigonometri, teorema (Hospital dan bentuk tak tentu integral tak wajar.

Buku Rujukan :

Wajib :

1. Edwin, J.Purcell, kalkulus dan Geometri Analitik, Jilid 2 (Edisi kelima).

Anjuran :

1. Lois Leithold, Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Jilid 22. Koko Martono, Kalkulus dan Differensial.

Penjelasan umumKalkulus merupakan bagian matematika yang mempelajari gerak dan perubahan, hal ini yang membedakannya dengan Aljabar. Pertama kali dipelajari orang secara intensif pada abad 17 untuk menjawab masalahmasalah laju perubahan dan luas daerah diantara kurva.Dua masalah yang menjadi akar perkembangan Kalkulus adalah masalah garis singgung dan luas. Pembahasan kedua masalah tersebut berkembang ke dalam dua cabang Kalkulus yaitu Kalkulus Deferensial dan Kalkulus Integral. Mata ajaran Kalulus di Fasilkom diberikan dalam dua semester berturut-turut. Materi dasar Kalkulus I adalah fungsi nyata dengan satu perubah bebas. Sedang pada mata ajar Kalkulus II, dibahas turunan parsial dan integral lipat unuk fungsi-fungsi dengan lebih dari satu perubah bebas. Kalkulus II juga mencakup fungsi bernilai vektor dan barisan dan deret yang merupakan fungsi dengan domain bilangan asli. Pada pembahasan deret, penekanan pada bagaimana menyajikan fungsi-fungsi tertentu dengan deret Taylor dan McLaurin. Deret Fourier diberikan untuk membekali mahasiswa dalam mengambil mata ajar lain terkait. Irisan kerucut pada bidang juga

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si1

Page 2: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

menjadi salah satu topik di Kalkulus II, disamping mengenalkan berbagai sistem koordinat. Sebagaimana tujuan pemelajaran Matematika secara umum, mata ajar ini membekali mahasiswa dengan berbagai metode penyelesaian masalah dan mengenalkan pada penalaran matematis. Oleh karena itu, mata ajar ini menuntut keterlibatan aktif mahasiswa. Untuk membantu mahasiswa fokus pada topik pemelajaran, pada setiap sesi pemelajaran, mahasiswa dilibatkan antara lain dengan mengerjakan lembar-lembar kerja. Pertanyaan-pertanyaan pada lembar kerja disusun sedemikian rupa sehingga membantu mahasiswa dalam mengkonstruksi pengetahuannya. Lembar kerja menpunyai fungsi-fungsi penting lain, seperti internalisasi, latihan, evaluasi, dan membantu mahasiswa dalammembuat catatan kuliah.

Petunjuk umum pembelajaranDalam setiap sesi pemelajaran, mahasiswa diharuskan membawa lembar kerja yang sesuai. Mahasiswa diharapkan untuk terlibat aktif, mengerjakan tugas pada lembar kerja yang sesuai dengan sequence. Dalam mengerjakan tugas rumah, mahasiswa diperkenankan untuk bekerja sama, tidak diperkenankan menyalin buta. Kerja sama akan memperkaya wawasan.

Sasaran PembelajaranDalam Kalkulus, mahasiswa tidak hanya mempelajari bagaimana menghitung dengan angka-angka, bagaimana menyederhanakan ekspresi aljabar, menghitung dengan perubah, bernalar tentang titik dan kurva serta mengenalkan konsep-konsep baru dengan lebih mendalam. Setelah mengikuti kuliah Kalkulus II, mahasiswa diharapkan memiliki keterampilan dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan deret tak hingga, irisan kerucut, penurunan dan pengintegralan fungsi dengan dua atau lebih perubah bebas, dan fungsi bernilai vektor. Secara lebih rinci, sasaran pemelajaran terminal adalah sebagai berikut.

Sasaran Pemelajaran Terminal:Setelah mengikuti mata ajaran ini diharapkan mahasiswa mempunyai kemampuan sebagai berikut.1. Mahasiswa mampu menyajikan beberapa fungsi dalam suku banyak dan menghitung kesalahan atas pemenggalan suku banyak tersebut secara tepat.2. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah yang dapat dimodelkan dalam deret.3. Mahasiswa mampu mengidentifikasi berbagai bentuk geometri dari persamaan kuadratnya.4. Mahasiswa mampu menyajikan fungsi sederhana dalam bebagai sistem koordinat.5. Jika menemui masalah yang terkait dengan fungsi perubah banyak, mahasiswa dapat menggunakan konsep turunan dan integral lipat untuk menyelesaikannya.

Sasaran Pemelajaran Penunjang1. Jika diberikan barisan-barisan tak hingga, mahasiswa dapat menguji konvergensinya.2. Mahasiswa dapat menyusun diagram alur uji konvergensi deret positif, dan mampu menerapkannya untuk deret-deret sederhana.3. Jika diberikan fungsi sederhana, mahasiswa mampu menyajikannya dalam suku banyak Taylor dan deret McLaurin, dan mampu menentukan interval konvergensinya.4. Mahasiswa mampu menerapkan deret-deret tertentu untuk menyelesaikan masalah terkait sederhana.6. Mahasiswa mampu mengidentifikasi sifat-sifat irisan kerucut dua dimensi, dan menggambar grafiknya jika persamaan diberikan.7. Mahasiswa mampu mengaitkan representasi grafik sederhana ke dalam berbagai system koordinat dan konversi dari satu

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si2

Page 3: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

8. Mahasiswa mampu menjeaskan fungsi dalam bentuk polar, parametrik, dan vektor.9. Jika diberikan fungsi dengan beberapa perubah bebas, mahasiswa mampu menjelaskan secara geometris turunan parsialnya terhadap salah satu perubah.10.Jika diberikan fungsi sederhana dengan beberapa bebas mahasiswa mampu menghitung luas permukaan, dan volume benda yang grafik fungsi tersebut dan bidang-bidang sejajar bidang koordinat.11.Mahasiswa mampu menerapkan integral dengan koordinat kutub untuk menyelesaikan masalah-masalah sederhana yang sesuai.12.Jika diberikan fungsi dengan dua perubah bebas, mahasiswa mampu menentukan domain naturalnya dan rangenya, menggambar grafiknya, menentukan limit fungsi di suatu titik, dan menentukan kontinuitas di suatu titik. 13.Jika diberikan fungsi dengan dua perubah bebas sederhana, mahasiswa mampu meninterpretasikan secara geometris turunan parsialnya terhadap salah satu perubah, dan menghitung turunan parsial di suatu titik.14.Jika diberikan fungsi dengan dua atau tiga perubah bebas, mahasiswa mamahami prosedur penentuan integral lipat tertentu, dan menerapkannya pada penghitungan sederhana.15.Jika diberikan fungsi tertentu, mahasiswa dapat menghitung integral dalam koordinat kutub.

TURUNAN DAN INTEGRAL FUNGSI TRANSENDEN

1.1 PENDAHULUAN

Salah satu fungsi non aljabar adalah fungsi transenden. Fungsi transenden mencakup antara lain fungsi logaritma, fungsi eksponen, fungsi trigonometri, dan fungsi hiperbolik

1.2 FUNGSI LOGARITMA NATURAL

Logaritma natural adalah logaritma yang berbasis e, dimana e adalah 2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural terdefinisikan untuk semua bilangan real positif x dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan 0.

Ahli matematika biasanya menggunakan "ln(x)" atau "log(x)" untuk menotasikan loge(x), atau logaritma natural dari x, dan menggunakan "log10(x)" untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.

Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya menggunakan "ln(x)" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas) "loge(x)" untuk menotasikan logaritma natural dari x, dan "log(x)" digunakan untuk logaritma berbasis 10, log10(x) atau, dalam konteks teknik komputer, log2(x).

Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC, "log" atau "LOG" berarti logaritma natural.

Pada kalkulator, tombol ln berarti logaritma natural, sedangkan tombol log adalah untuk logaritma berbasis 10.

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si

Tujuan Instruksional Khusus: Mahasiswa memahami fungsi transenden, yaitu fungsi logarima natural, fungsi eksponen, fungsi inversi trigonometri, fungsi hiperbolik, dan fungsi inversi hiperbolik, serta cara mendiferensialkan dan mengintegralkan fungsi tersebut agar mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut

3

Page 4: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

Lihat juga logaritma.

Ln sebagai invers fungsi eksponensial natural

Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial:

     untuk semua x yang positif dan

     untuk semua x yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

Mengapa disebut "natural"

Sekilas, tampaknya yang lebih "natural" tentunya adalah logaritma yang berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10. Namun, ada dua alasan mengapa ln(x) disebut logaritma natural: pertama, persamaan-persamaan yang variable tak diketahuinya merupakan pangkat dari e jauh lebih sering dijumpai dibanding yang merupakan pangkat dari 10 (karena sifat-sifat "natural" dari fungsi eksponensial yang dapat menggambarkan growth/pertumbuhan dan decay/penurunan), dan kedua, karena logaritma natural dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan integral yang dasar atau Deret Taylor (lihat penjelasan di bawah), dan logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.

Sebagai contoh, lihat turunan dibawah ini:

Jika basis b adalah e maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1, kemiringan kurva adalah 1.

Definisi

Secara formal, ln(a) dapat didefinisikan sebagai luas dibawah grafik (integral) dari 1/x dihitung dari 1 ke a, atau,

Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental logaritma, yaitu:

Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan φ(t) = at dan dengan menggunakan rumus substitusi:

Bilangan e, selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real yang unik a dimana ln(a) = 1.

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si4

Page 5: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

Bila diberikan suatu fungsi f(x) = xn, maka perhitungan integral dari fungsi tersebut secara umum adalah:

∫ xn dx= 1n+1

xn+1+ C untuk n – 1

Namun integrasi tersebut tidak berlaku untuk n = – 1. Artinya, 1x tidak dapat

diintegrasikan dengan rumus seperti di atas. Perhatikan bentuk logaritma

natural : ln x = e log x

dimana :e = limn→∞

(1+ 1n)n=lim

k→0(1+k )1/k

= 2,7182818284589…….bilangan e adalah irasional dan tak terukur

a. Menentukan turunan fungsi logaritma natural

Untuk mencari turunan fungsi logaritma natural y = ln x dapat dilakukan sebagai berikut:dydx

= limΔx→0

ln ( x+Δx )−ln xΔx

= limΔx→0

1Δx

ln ( x+Δxx

) = limΔx→0

1Δx

ln (1+ Δxx

)

= limΔx→ 0

1xxΔx

ln (1+ Δxx) = limΔx→ 0

1xln (1+ Δx

x)x / Δx

=1xlimΔx→0

ln (1+ Δxx)x / Δx

misalkan Δxx=k

sehingga xΔx

=1k dan

(1+ Δxx

)x / Δx = (1+k )

1/k

dan untuk x 0 maka k 0, sehinggalimΔx→0

(1+ Δxx)x / Δx

= limk→0

(1+k )1/k = e

Dengan demikian dydx

=1xlimΔx→0

ln (1+ Δxx)x / Δx

= 1x ln e =

1x

Jadi: jika y = ln x maka turunannya dydx =

1x

Secara umum, jika y = ln u maka turunannya dydx =

1ududx

Aturan dalam logaritma natural mirip logaritma biasa, yaitu:

a. ln (ab) = ln a + ln b c. ln ab = b ln a

b. ln ab = ln a – ln b d. ln e = 1

Contoh soal:

Tentukan turunan dari 1. y = ln (x2 – 1) 3. y = ln (x – 1)2

2. y = ln {2x2 (4x – 1)} 4. y = ln xx+1

Jawab:

1. y = ln (x2 – 1) misal u = x2 – 1, maka dudx = 2x

y = ln u, maka dydx =

1ududx =

1

x2−12x

=

2 x

x2−1

2. y = ln {2x2 (4x – 1)} misal u = 2x2 (4x – 1), maka dudx = 4x(4x – 1) +

2x2 . 4 = 24 x2 – 4x

Jadi dydx =

1

2x2 (4 x−1 )(24 x2−4 x )

=

2 (6 x−1)x (4 x−1 )

3. y = ln (x – 1)2 = 2 ln (x – 1) Jadi dydx =

2x−1

4. y = ln xx+1 misal u =

xx+1 maka

dudx =

( x+1)−x( x+1 )2

= 1( x+1)2

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si5

Page 6: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

Jadi dydx =

x+1x

1

( x+1 )2 =

1x (x+1 )

Tugas: Tentukan turunan dari:

1. y = ln {(4x2 + 3) (2x – 1)} 6. y = ln cos2x

2. y = ln (x3 + 2) (x2 + 3) 7. y = (x2 – 2) ln sin x

3. y = ln

x4

(3 x−4 )2 8. xy + y ln x – ln y = 04. y = {ln (x3 – 4)2}3 9. xy (ln y + ln x) = 1

5. y = ln√ x ( x3+3 ) 10. y = ( ln x2 ) x

2

b. Diferensiasi menggunakan logaritma natural

Jika diketahui suatu fungsi y = f(x), maka diferensiasi secara logaritmik adalah dengan membuat kedua ruas menjadi fungsi logaritma natural, sehingga menjadi ln y = ln f(x). Kedua ruas lalu diturunkan menjadi:

1ydydx

= 1f ( x )

f ' ( x ) diperoleh

dydx

= yf ' ( x )f ( x )

Contoh soal:

Tentukan turunan dari

1. y = (x3 + 1)7 (2 – x2)3 2. y =

√ 1−x23√ ( x+1)2

Jawab:1. y = (x3 + 1)7 (2 – x2)3 kedua ruas dijadikan fungsi logaritma natural ln

y = ln ( x3+ 1)7 (2−x2 )3

ln y = 7 ln (x3 + 1) + 3 ln (2 – x2) kedua ruas diturunkan, diperoleh

1ydydx =

7 (3 x2 )x3+1 +

3 (−2x )2−x2

sehingga

dydx = y (

7 (3 x2 )x3+1 +

3 (−2x )2−x2 ) = ( x

3+1 )7(2−x2)3{21 x2

x3+1 +

−6 x2−x2 }

= ( x3+1 )7(2−x2)3{

42 x2−21x4−6 x4−6 x( x3+1) (2−x2 ) } = ( x

3+1 )6(2−x2)2 3x (– 9x3 + 14x – 2)

2. y =

√ 1−x23√ ( x+1)2 kedua ruas dijadikan fungsi logaritma natural ln y =

12ln (1−x2)−2

3ln ( x+1)

kedua ruas dikalikan 6, menjadi 6 ln y = 3 ln (1−x2 )−4 ln ( x+1 ) lalu kedua ruas diturunkan

6ydydx =

3 (−2x )1−x2

− 4x+1

dydx =

y6 (

3 (−2x )1−x2

− 4x+1 )

dydx =

16

√ 1−x23√ ( x+1)2 (

−6 x2−6 x−4+4 x2

(1−x2 ) ( x+1 ) ) = 16

√ 1−x23√ ( x+1)2 (

−2 x2−6 x−4(1−x2 ) ( x+1) )

dydx =

13

√ 1−x23√ ( x+1)2 (

−( x+2)( x+1)(1−x2 ) ( x+1 ) ) =

−( x+2)

33√( x+1)2 √1−x2

Tugas: Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si6

Page 7: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

1. y=√ x2+1x2−1 3.

y=3√ x2 ( x2−3 )2x2−3 x+5

2. y=

3√ x2+1√ x3−4 4. y =

x (1−x2 )2

√ 1+x2

c. Diferensiasi Fungsi y = alog x

Fungsi y = alog x sama dengan ay = x, jika diubah menjadi fungsi ln maka menjadi

ln ay = ln x y ln a = ln x y =

ln xln a dimana ln a = konstan

Untuk y =

ln xln a maka

dydx =

1x ln a

Jadi untuk fungsi y = alog x, turunannya dydx =

1x ln a

Atau secara umum,

Untuk fungsi y = alog u, turunannya

dydx =

1u ln a

dudx

Contoh soal: Tentukan turunan dari

1. y = 2 log (x2 – 1) 2. y = log (x4 + 3x2)

Jawab:

1. y = 2 log (x2 – 1) dydx =

2 x

( x2−1 ) ln 2

2. y = log (x4 + 3x2) dydx =

4 x3+6 x( x4+3 x2 ) ln 10

Tugas: Tentukan turunan dari

1. y = alog (3x2 – 5) 4. y = log (ln x)

2. y = log3√(2x+5 )2 5. y = ln (log x)3

3. y = 5 log sin2 x

d. Menentukan integrasi ∫ 1x dx dan

∫ 1u duSebagaimana dijelaskan di muka bahwa untuk fungsi y = ln x, turunannya dydx

=1x

dan untuk fungsi y = ln u, turunannya

dydx

=1ududx , maka untuk integrasinya

adalah kebalikannya, yaitu:

∫ 1xdx = ln x + C

atau secara umum ∫ 1udu = ln u + C

Contoh soal: Tentukan integrasi dari

1. ∫ 12 x+1

dx 2.

∫ 2x+3x2+3 x+1

dx

Jawab:

1. ∫ 12 x+1

dx misal u = 2x + 1 maka du = 2 dx atau dx =

12 du, sehingga

∫ 12 x+1

dx =

∫ 1u12du

= 12 ∫

1udu

= 12 ln u + C =

12 ln (2x + 1) + C

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si7

Page 8: PMA 50006 Kalkulus 2

y = ln xy = ex

y = x

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

2.∫ 2x+3x2+3 x+1

dx, misal u = x2 + 3x + 1, maka du = (2x + 3) dx, sehingga

∫ 2x+3x2+3 x+1

dx =

∫ duu = ln u + C = ln (x2 + 3x + 1) + C

Tugas : Tentukan integrasi dari:

1. ∫ tan x dx 4. ∫cot x dx

2.∫ dx( x+2 ) ( x−3) 5.

∫ dx

x3+5 x2+6 x

3. ∫ 2 x+33 x2+4 x−7

dx6.

∫ x+3x+2dx

1.3 FUNGSI EKSPONEN

Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, yang didefinisikan sebagai:y = ex jika dan hanya jika x = ln y

Grafik y = ex dan y = ln x simetris terhadap y = xFungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, dan sebaliknya.

Teorema: Jika a dan b adalah bilangan real maka berlaku:

ea + b = ea . eb

ea – b = ea / eb

eab = (ea)b = (eb)a

Jika a sebarang bilangan real positip dan x adalah bilangan real maka:

ax = ex ln a sehingga ln ax = x ln a

Fungsi eksponen ada 2 jenis, yaitu:

1. y = ex atau y = eu 2. y = ax atau y = au

Catatan e adalah singkatan dari nama seorang ahli matematika dan fisika berkebangsaan Swiss, Leonhard Euler. Bilangan ini adalah bilangan transeden, artinya tidak bisa dinyatakan sebagai akar dari suatu polinomial dengan koefisien polinomial berupa bilangan bulat.

a. Turunan dan integrasi fungsi y = ex

Fungsi y = ex diubah menjadi fungsi logaritma natural yaitu ln y = ln ex ln y = x ln e ln y = x. Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat,1ydydx

=1 atau

dydx

= y = ex

Jadi y = ex turunannya adalah

dydx

= ex

y = eu turunannya adalah

dydx

= eu

dudx

∫ ex dx = ex + C atau ∫ eu du = eu + C

Contoh Soal :

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si8

Page 9: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

1. Tentukan turunan dari y=e1

x2

Jawab: misal u =

1

x2 maka

dudx

=− 2

x3

dydx

= eu

dudx = e

1

x2

. (− 2

x3 ) = −2 e

1

x2

x3

2. Hitung ∫ e

√ x

√ xdx

Jawab: misal u = √ x maka du =

12 √ x dx atau dx = 2√ x du = 2 u du

∫ e√ x

√ xdx

= ∫ e

u

u 2u du = 2 ∫ eu du = 2 eu + C = 2 e√ x

+ C

Tugas: Tentukan turunan dari fungsi berikut

1. y = ex2

4. y = e− x

sin 2x

2. y = ex2 ln x

5. y = e− x

ln x

3. y =

ex−e−x

ex+e−x 6. y =

eax−e−ax

eax+e−ax

b. Turunan dan integrasi fungsi y = ax

Fungsi y = ax diubah menjadi fungsi logaritma natural yaitu ln y = ln ax ln y = x ln a. Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat,

1ydydx

= ln a atau

dydx

= y ln a = ax ln a

Jadi y = ax turunannya adalah dydx

= ax ln a

y = au turunannya adalah

dydx

= au ln a

dudx

∫ ax dx =

ax

ln a + C atau ∫ au du =

au

ln a + C

Contoh soal:

1. Tentukan turunan dari y = 24 x−1

2. Hitung ∫√ 103 xdxJawab:

1. y = 24 x−1

maka turunannya

dydx

= 24 x−1

ln 2 . 4 = 24 x+1

ln 2

2. ∫√ 103 xdx= ∫103 x /2 dx , misal u = 3x2 maka

dudx

=32 atau dx =

23 du, maka

∫√ 103 xdx=23 ∫10

u du =

2310u

ln 10 + C =

2310

3 x2

ln 10 + C =

2 √ 103 x3 ln 10 + C

Tugas: Tentukan turunan dari

1. y = 5√ x

3. y =

2x−12x+1

2. y = x2 3x 4. Y = (4 x2−3 x ) 3x

2

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si9

Page 10: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

c. Turunan fungsi y = xx dan f(x) = g(x)h(x)

Ada perbedaan antara fungsi pangkat dan fungsi eksponen, yaitu:

Fungsi pangkat : y = xa atau y = ua dimana bilangan pokok x atau u adalah variabel dan bilangan pangkat a tetap

Fungsi eksponen : y = ex atau y = eu dan y = ax atau y = au dimana bilangan pokok e atau a tetap dan bilangan pangkat x atau u adalah variabel

Namun, fungsi y = xx dan f(x) = g(x)h(x) bukanlah fungsi pangkat maupun eksponen, sebab bilangan pokok dan bilangan eksponen adalah variabel. Oleh karena itu, turunan untuk fungsi ini tidak boleh menggunakan turunan untuk fungsi pangkat maupun eksponen. Untuk menurunkannya kedua ruas harus dijadikan logaritma natural.

Contoh soal: Tentukan turunan fungsi berikut

1. y = xx Jawab: Ubah menjadi logaritma natural ln y = x ln x, turunkan 1ydydx

=ln x+ xx = ln x + 1 Jadi

dydx

= y ( ln x+1)=x x( ln x+1)

2. y = xx 2−2 x

ln y = (x2 – 2x) ln x diturunkan1ydydx

=(2 x−2) ln x+(x2−2 x ) 1x

dydx

= xx 2−2 x

(2x ln x – 2 ln x + x – 2)

Tugas: Tentukan turunan dari

1. y = ( x2+1)sin x 4. y = 3

√ x 7. y = 5

3 x−410. y = x

e+e x

2. y = xe−x

2

5. y = ( x2−3 )x+1 8. y = x

ln x

3. y = (2 x−1)x2+4

6. y = ( ln x2 )2 x+3 9. y = ( x

2+1)10+10x2+1

Contoh soal esai:

1. Dalam suatu kondisi tertentu, laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebanding dengan jumlah bakteri yang ada. Jika ada 1000 bakteri saat ini, lalu 12 menit kemudian bertumbuh menjadi 2000 bakteri. Berapa lamakah bakteri tersebut menjadi 1.000.000?

Jawab:

Misal A = jumlah bakteri saat t, t = waktu, k = konstanta, dan dAdt = laju

pertumbuhan bakteri, maka laju pertumbuhan bakteri dinyatakan

sebagai

dAdt = k.A atau

dAA = k dt.

Kedua ruas diintegralkan menjadi:

∫ dAA =∫ k dt menghasilkan ln A = kt + C1 atau A = e

kt+C1 = e

kt eC1

Jika eC1

= C, didapat persamaan A = C ekt

Untuk t = 0 dan A = 1000, maka 1000 = C.e0, didapat C = 1000Untuk t = 12, A = 2000, dan C = 1000, maka

2000 = 1000.e12 k sehingga e12 k = 2 12k = ln 2 k = ln 212 =

0,05776Jadi untuk A = 1.000.000, C = 1.000, dan k = 0,05776,

1.000.000 = 1.000 e0 ,05776 t

e0 ,05776 t

= 1000 0,05776 t = ln 1000

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si10

Page 11: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

t =

ln 10000 ,05776 = 119, 6. Jadi waktu yang diperlukan = 119, 6 menit

2. Sebatang besi panjangnya L meter pada suhu t dengan persamaan L = 60 e0,0001t. Hitung pertambahan panjang batang besi tersebut jika suhunya berubah dari 00 menjadi 250.Jawab:

L = 60 e0,0001t turunannya adalah

dLdt = 60 e0,0001t. 0,0001

Jadi perubahan panjang terhadap suhu dL = 0,006 e0,0001t dtDiketahui t1 = 00 , t2 = 250, maka dt = 250 – 00 = 250, makadL = 0,006 e0,0001x0 25 = 0,150 meter

Tugas:

Laju pertumbuhan penduduk di suatu kota dinyatakan sebanding dengan jumlahnya pada setiap saat. Jika jumlah penduduk bertambah dari 40.000 menjadi 60.000 dalam 40 tahun, kapankan jumlah penduduk mencapai 100.000?

TURUNAN DAN INTEGRAL

FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI DAN FUNGSI INVERS HIPERBOLIK

1.4 TURUNAN DAN INTEGRAL FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

Definisi untuk fungsi inversi trigonometri sebagai berikut:a. y = sin-1 x jika dan hanya jika x = sin y untuk – /2 y /2b. y = cos-1 x jika dan hanya jika x = cos y untuk 0 y c. y = tan-1 x jika dan hanya jika x = tan y untuk – /2 y /2d. y = cot-1 x jika dan hanya jika x = cot y untuk 0 y e. y = sec-1 x jika dan hanya jika x = sec y untuk – y – /2, 0 y /2f. y = csc-1 x jika dan hanya jika x = csc y untuk – y – /2, 0 y /2

Catatan:

cot-1 x = 1/2 – tan-1 x untuk x = bilangan realsec-1 x = cos-1 (1/ x) untuk x 1csc-1 x = sin-1 (1/ x) untuk x 1

Contoh soal:

Buktikan cos-1 x = 1/2 – sin-1 x untuk x 1Jawab: misal w = 1/2 – sin-1 x maka sin-1 x = 1/2 – w sin ( sin-1 x) = sin (1/2 – w) x = cos w w = cos-1 x terbukti

a. Turunan Fungsi y = sin-1 x

Bentuk y = sin-1 x diubah menjadi x = sin y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi

dx = cos y dy atau

dydx

= 1cos y Menurut rumus sin2y + cos2 y = 1 atau

cos2y = 1 – sin2y.

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si

Tujuan Instruksional Khusus: Mahasiswa memahami fungsi invers trigonometri dan fungsi invers hiperbolik, serta cara mendiferensialkan dan mengintegralkan fungsi tersebut agar mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut

11

Page 12: PMA 50006 Kalkulus 2

y x

11x2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

x = sin y maka cos2y = 1 – sin2y = 1 – x2 dan cos y = √ 1−x2 maka,

dydx

= 1cos y =

1

√ 1−x2

Jadi: y = sin-1 x turunannya adalah

dydx

=

1

√ 1−x2

Secara umum y = sin-1 u turunannya adalah dydx

=

1

√ 1−u2dudx

b. Turunan Fungsi y = cos-1 x

Karena cos-1 x = 1/2 – sin-1 x, maka bentuk y = cos-1 x dapat diubah menjadi

y = 1/2 – sin-1 x, lalu kedua ruas diturunkan menjadi

dydx

= –

1

√ 1−x2

Jadi: y = cos-1 x turunannya adalah dydx

= –

1

√ 1−x2

Secara umum y = cos-1 u turunannya adalah dydx

= –

1

√ 1−u2dudx

c. Turunan Fungsi y = tan-1 x

Bentuk y = tan-1 x diubah menjadi x = tan y, kedua ruas diturunkan menjadi dx = sec2 y dy atau dydx

= 1

sec2 y Menurut rumus sec2y = 1 + tan2 y = 1 + x2 , sehingga dydx

= 1

sec2 y =

1

1+ x2

Jadi: y = tan-1 x turunannya adalah

dydx

=

1

1+ x2

Secara umum y = tan-1 u turunannya adalah dydx

=

1

1+u2dudx

d. Turunan Fungsi y = cot-1 x

Bentuk y = cot-1 x diubah menjadi x = cot y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi

dx = − 1

sin2 y dy atau dydx

=− sin2 y

Perhatikan segitiga di samping x = cot y atau cot y = x1

maka sin y =

1

√ x2+1 atau sin2 y= 1

x2+ 1

Jadi: y = cot-1 x turunannya adalah dydx

= –

1

x2+1

Secara umum y = cot-1 u turunannya adalah dydx

= –

1

u2+1dudx

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si12

Page 13: PMA 50006 Kalkulus 2

y

x

1

1x2

y

x1

1x2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

e. Turunan Fungsi y = sec-1 x

Bentuk y = sec-1 x diubah menjadi x = sec y = cos-1y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi

dx = – cos-2y (– sin y) dy atau

dydx

=cos2 y

sin y

Perhatikan segitiga di samping sin y =

√ x2−1x

dan cos y = 1x maka

cos2 ysin y =

1

x2

x

√ x2−1 =

1

x √ x2−1

Jadi: y = sec-1 x turunannya adalah dydx

=

1

x √ x2−1

Secara umum y = sec-1 u turunannya adalah

dydx

=

1

u √ u2−1dudx

f. Turunan Fungsi y = csc-1 x

Bentuk y = csc-1 x diubah menjadi x = csc y = sin -1y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi

dx = – sin-2y (cos y) dy atau

dydx

=−sin2 y

cos y

Perhatikan segitiga di samping sin y = 1x

dan cos y =

√ x2−1x maka

sin2 ycos y =

1

x2

x

√ x2−1 =

1

x √ x2−1

Jadi: y = csc-1 x turunannya adalah dydx

= –

1

x √ x2−1

Secara umum y = csc-1 u turunannya adalah dydx

= –

1

u √ u2−1dudx

g.∫ dx

√ 1−x2 = sin-1 x + C = = -cos-1 x + C

h.∫ dx

1+x2= tan-1 x + C = = -cot-1 x + C

i.∫ dx

x √ 1−x2 = sec-1 x + C = = -csc-1 x + C

j.∫ dx

√ a2−x2 = sin-1

xa + C = -cos-1

xa + C

k.∫ dx

a2+x2= tan-1

xa + C = -cot-1

xa + C

l.∫ dx

x √ a2−x2 = sec-1

xa + C = -csc-1

xa + C

Contoh soal: Tentukan turunan dariBudi Irwansyah, S.Pd, M.Si13

Page 14: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

1. y = cot-1 ( 1+x1−x ) 2. y =

x √ a2−x2+a2 sin−1 ( xa)

Jawab:

1. Menurut rumus jika y = cot-1 u maka dydx

= –

1

u2+1dudx

Misal u = 1+x1−x maka

dudx =

2

1−2 x+x2 dan

1

u2+1 =

1

( 1+x1−x )2

+ 1 =

1−2 x+x2

2(1+x2 )

dydx

= –

1−2 x+x2

2(1+x2 )2

1−2 x+x2 = − 1

1+ x2

2.

dydx

= √ a2−x2 + x

12( a2− x2 )−1/2 (−2 x )

+

a21

√ 1−( xa)2

1a

= √ a2−x2 –

x2

√ a2−x2 +

a2

√ a2−x2 =

2 (a2−x2 )

√ a2−x2 = 2√ a2−x2Tugas : Tentukan turunan dari

1. y2 sin x + y = tan-1 x 5. y = ln ln sec 2x 9. y = sin-1 ex

2. y =

x

√ a2−x2 – sin-1 xa 6. y =

√ x2−4x2 +

12sec−1

x2 10. y = sin-1 √ x

3. y = x2 cos-1

2x 7. y = xsin x 11. ln (x+y) =

tan-1

xy

4. y = tan-1 (3x ) 8. y = sin-1 (x-1)

Tugas : Tentukan integral dari

1.∫ dx

√ 4 x−x2 5. ∫ √25 x2−4

xdx

9. ∫ e4 x√1+e2 xdx

2.∫ xdx

√−2x−x2 6. ∫ dx

x4 √ 9−x2 10. ∫ dx

2 x2−3 x+2

3.∫ dx

x2+2 x+5 7.

∫ x5

(36 x2+1 )32

dx

11.

∫ (3 x−1 )x2+10 x+28

dx

4.∫ ( x+1)dxx2−4 x+5 8.

∫ xdx

√ 2x2−4 x+7

1.5 TURUNAN DAN INTEGRAL FUNGSI HIPERBOLIK

1.5.1Definisi fungsi hiperbolik

1. Sinus hiperbolik : sinh x = ex−e−x

2

2. Cosinus hiperbolik : cosh x = ex+e−x

2

3. Tangent hiperbolik : tanh x =

sinh xcosh x =

ex−e−x

ex+ex

4. Cotangent hiperbolik : coth x

=

cosh xsinh x =

ex+e−x

ex−ex

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si14

Page 15: PMA 50006 Kalkulus 2

– 2 0 2

X

Y

y = sinh x

0X

Y y = cosh x

– 1

0

1

X

Y

y = tanh x

Grafik fungsi y = sinh x, y = cosh x, dan y = tanh x

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

5. Secant hiperbolik : sech x =

1cosh x =

2

ex+e−x

6. Cosecant hiperbolik : csch x

=

1sinh x =

2

ex−e−x

Persamaan dasar mirip dengan fungsi trigonometri biasa:

Fungsi Hiperbolik Fungsi Trigonometri

a. tanh x =

1coth x tan x =

1cot x

b. cosh2 x – sinh2 x = 1 cos2 x + sin2 x = 1c. 1 – tanh2 x = sech2 x 1 + tan2 x = sec2 xd. 1 – coth2 x = – csch2 x 1 + cot2 x = csc2 x

Tugas : Buktikan

1. cosh x + sinh x = ex 6. cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x

2. cosh x – sinh x = e-x 7. sinh 2x = 2 sinh x cosh x

3.sinh2

12x=cosh x−1

2 8. sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

4. tanh 2x =

2 tanh x

1+ tanh2 x 9. cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y

5.cosh2

12x=cosh x+1

2

1.5.2Turunan Fungsi Hiperbolik

a. Fungsi y = sinh x = ex−e−x

2 , turunannya

dydx =

ex+e−x

2 = cosh x

b. Fungsi y = cosh x = ex+e−x

2 , turunannya dydx =

ex−e−x

2 = sinh x

c. Fungsi y = tanh x =

ex−e−x

ex+ex , turunannya dydx =

( 2ex+e−x )

2

= sech2 x

d. Fungsi y = coth x =

ex+e−x

ex−ex , turunannya dydx =

−( 2ex−e−x )

2

= – csch2 x

e. Fungsi y = sech x =

2

ex+e−x , turunannya

dydx = –

2

ex+e−xex−e−x

ex+e−x = – sech x tanh x

f. Fungsi y = csch x =

2

ex−e−x , turunannya

dydx =

−2 (ex+e−x )(ex−e−x )2 = – csch x coth

x

Secara umum:

a. y = sinh u , turunannya dydx =

cosh u dudx

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si15

Page 16: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

b. y = cosh u, turunannya

dydx =

sinh u

dudx

c. y = tanh u, turunannya

dydx =

sech2 u

dudx

d. y = coth u, turunannya dydx = –

csch2 u dudx

e. y = sech u, turunannya dydx = –

sech u tanh u dudx

f. y = csch u, turunannya dydx = –

csch u coth u dudx

Contoh soal: Tentukan turunan dari1. y = tanh (1 – x2) Jawab : dydx = – 2x sech2(1 – x2)

2. y = ln (sinh x) Jawab : dydx =

cosh xsinh x = coth x

3. y = tanh (4 x+15 ) Jawab :

dydx =

45sec h2( 4 x+1

5)

Tugas : Tentukan turunan dari

1. y = x sech x2 4. y = csch2 (x2 + 1)

2. y = ln cosh x 5. y = a cosh xa

3. y =

1tanh x+1

1.5.3 Integral Fungsi Hiperbolik

Rumus-rumus pokok integral fungsi hiperbolik

a. sinh u du = cosh u + C

b. cosh u du = sinh u + C

c. tanh u du = ln | cosh u | + C

d. coth u du = ln | sinh u | + C

e. sech2u du = tanh u + C

f. csch2u du = – coth u + C

g. sech u tanh u du = – sech u + C

h. csch u coth u du = – csch u + C

Contoh soal : Hitung integral berikut

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si16

Page 17: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

1. ∫sec h x dx = ∫ dxcosh x =

∫cosh x dxcosh 2x =

∫cosh x dx1+sinh2x

misal u = sinh x maka du = cosh x dx, sehingga

= ∫ du

1+u2 = arc tan u + C = arc tan (sinh x) + C

2. ∫ ex cosh x dx = ∫ ex ( e

x+e−x

2) dx

= 12 ∫( e2 x+1) dx

= 14e2 x+ 1

2 + C

Tugas : Hitung integral berikut

1.∫cosh3 12 x dx 4. ∫ x2 sinh x dx

2. ∫sec h4 x dx 5. ∫ ex sinh x dx

3. ∫ x sinh x dx 6. ∫sinh3 x cosh2 x dx

1.2.4. Turun

an Fungsi Invers Hiperbolik

a. Jika y = sinh-1 u maka turunannya

dydx

= 1

√ u2+1dudx

b. Jika y = cosh-1 u maka turunannya

dydx

= 1

√ u2−1dudx

c. Jika y = tanh-1 u maka turunannya

dydx

= 1

1−u2dudx dimana u2 1

d. Jika y = coth-1 u maka turunannya

dydx

= 1

1−u2dudx dimana u2 1

e. Jika y = sech-1 u maka turunannya

dydx

= 1

u √ 1−u2dudx dimana 0 u 1

f. Jika y = csch-1 u maka turunannya

dydx

= −1 u √ 1+u2

dudx

dimana u 0

Contoh soal :

Buktikan jika y = sinh-1 u, turunannya

dydx

= 1

√ u2+1dudx

Bukti: Misal u = sinh y, maka dudx

=cosh y dydx atau

dydx

= 1cosh y

dudx

cosh2y = 1 + sinh2y = 1 + u2 maka cosh y = √ 1+u2 = √ u2+1

Jadi

dydx

= 1

√ u2+1dudx terbukti

Tugas : Buktikan rumus-rumus turunan fungsi invers hiperbolik b-f

diatas!

1.2.5. Integr

al Fungsi Invers Hiperbolik

Integral yang berkaitan dengan fungsi invers hiperbolik :

a.∫ du

√ u2+a2 = sinh-1 ua + C

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si17

Page 18: PMA 50006 Kalkulus 2

Kalkulus II/ PMA/ III / STAIN ZCK Langsa / 2011-2012==================================================================================

b.∫ du

√ u2−a2 = cosh-1 ua + C dimana 0 a u

c.∫ du

a2−u2 =

1a tanh-1

ua + C dimana u2 a2

d. ∫ du

u2−a2 = –

1a coth-1

ua + C dimana u2 a2

Contoh :

Buktikan∫ du

√ u2+a2 = sinh-1 ua + C

Bukti : misal u = a sinh p maka du = a cosh p dp

dan √ u2+a2 = √ a2sinh2 p+a2 = a cosh p

∫ du

√ u2+a2 = ∫ a cosh p dpa cosh p = ∫ dp = p + C = sinh-1

ua + C terbukti

Tugas :

1. Buktikan rumus integral fungsi invers hiperbolik b-d

2. Hitung∫ dx

x √ 1−x2

3. Hitung ∫ dx

9 x2−25

4. Hitung ∫ dx

√ x2+95. Hitung √ x2+4 dx6. Hitung

∫ dx

4−9x2

Budi Irwansyah, S.Pd, M.Si18