bab 10 analisis stabilitas

Tujuan PembelajaranTujuan Pembelajaran

CHS31024 Edisi 13 Des '06

2

• Menentukan stabilitas dari sebuah proses tanpa pengendalian

• Menentukan stabilitas dari sebuah sistem pengendalian berumpan-balik lup tertutup

• Menggunakan pendekatan ini untuk mempelajari bagaimana dead time mempengaruhi stabilitas.

Saat kuselesaikan bab ini, kuingin dapat melakukanhal-hal berikut.

Kerangka KuliahKerangka Kuliah


3

Kerangka Kuliah

• Definisi stabilitas

• Peninjauan kembali menentukan akar persamaan karakteristik (PK)

• Pengantar metode stabilitas Bode

• Penerapan penentuan beberapa kecenderungan umum pada sistem berumpan-balik

Analisis Stabilitas dan PenyetelanAnalisis Stabilitas dan Penyetelan


4

Idt

CVdTdttE

TtEKtMV d

Ic

0

1 ')'()()(

TC

v1

v2

Kita mempengaruhi stabilitas saat kita menerapkan pengendalian. Bagaimana kita mendapatkan pengaruh yang kita inginkan?

0 20 40 60 80 100 120-40

-20

0

20

0 20 40 60 80 100 120-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

or

No!

Yes!


5

Pertama, mari kita definisikan stabilitas: Sebuah sistem dikatakan stabil bila semua masukan yang terbatas (bounded) ke sistem menghasilkan keluaran yang terbatas juga.

Feed

Vaporproduct

LiquidproductProcess

fluidSteam

F1

F2 F3

T1 T2

T3

T5

T4

T6 P1

L1

A1

L. Key

ProcessSampleInputs

SampleOutputs

0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

bo

un

ded

un

bo

un

ded

bo

un

ded

un

bo

un

ded

Analisis Stabilitas dan Penyetelan

KestabilanKestabilan


6

STABIL

STABIL MARJINAL

TAK STABIL

(Muthmainnah)

(Lawwamah)

(Amarah)

Sistem Tak Stabil InherenSistem Tak Stabil Inheren

• Sebutkan contoh di bidang teknik kimia dan selainnya

• Bagaimana membuatnya agar STABIL?

• Sebutkan contoh di bidang teknik kimia dan selainnya

• Bagaimana membuatnya agar STABIL?


7

Sistem Pengendalian pada Proses Tak Stabil InherenSistem Pengendalian pada Proses Tak Stabil Inheren

110

1,

13

016.0,,

130

50

sG

sGPIDG

sG svcp

130

50

sGp

8Tak Stabil Stabil

Kc = 15TI = 60Td = 9

Kriteria KestabilanKriteria Kestabilan

• Routh’s Test

• Substitusi langsung

• Root Locus

• Bode Diagram (frekuensi)

• Polar: Nyquist, Nichols plot

• Routh’s Test

• Substitusi langsung

• Root Locus

• Bode Diagram (frekuensi)

• Polar: Nyquist, Nichols plot


9


10

...)]sin()cos([...

..)(...)(

t

ttt

q

p

etCtC

etBtBBeAeAAtY

21

2210210

21

Mari kita tinjaubagaimana kita

menentukan stabilitasmodel.

G(s) = Y(s)/X(s)

Dengan i solusi untuk penyebut dari fungsi alih adalah nol, D(s) = 0 memberikan s = 1, 2 , i ... .

...)]sin()cos([...

..)(...)(

t

ttt

q

p

etCtC

etBtBBeAeAAtY

21

2210210

21

...)]sin()cos([...

..)(...)(

t

ttt

q

p

etCtC

etBtBBeAeAAtY

21

2210210

21

Real, distinct i

Real, I berulang

I bilangan kompleks

Jika semua i itu ???, Y(t) stabil

Jika satu i manapun itu ???, Y(t) tak stabil



11

Gd(s)

GP(s)Gv(s)GC(s)

GS(s)

D(s)

CV(s)

CVm(s)

SP(s) E(s) MV(s) +

+

+

-

Fungsi Alih

GC(s) = kontrolerGv(s) = katup +GP(s) = proses berumpan-balikGS(s) = sensor +Gd(s) = disturbance process

Variabel

CV(s) = controlled variableCVm(s) = measured value of CV(s)D(s) = disturbanceE(s) = errorMV(s) = manipulated variableSP(s) = set point

Cepat tinjau model sistem berumpan-balik lup tertutup.



12

Gd(s)

GP(s)Gv(s)GC(s)

GS(s)

D(s)

CV(s)

CVm(s)

SP(s) E(s)MV(s)

+

+

+

-

Set point response Disturbance Response

)()()()(

)()()(

)(

)(

sGsGsGsG

sGsGsG

sSP

sCV

Scvp

cvp

1 )()()()(

)(

)(

)(

sGsGsGsG

sG

sD

sCV

Scvp

d

1

Penyebut menentukan stabilitas sistem berumpan-balik lup

tertutup! Kita katakan ini persamaan karakteristik (PK).



13

solvent

pure A

AC

FS

FA

)()()()(

0039011575125

051

03901

11

1

23

33

c

CPC

Scvp

K.sss

s

).(K

τs

KK

sGsGsGsGKontroler adalah P-saja. Apakah sistemnya stabil? Mari kita evaluasi akar-akar PK.

Solusi Arah untuk Akar dalam rangka menentukan stabilitas


PK

ROUTH ArrayROUTH Array

14

Routh test: prosedur untuk menentukan berapa banyak akar-akar polinomial mempunyai bagian positif tanpa harus menemukan akar-akar secara nyata dengan teknik iteratif

an an-2 an-4 … a1 0an-1 an-3 an-5 … a0 0b1 b2 b3 … 0 0c1 c2 c3 … 0 0

1

3211

n

nnnn

a

aaaab

1

5412

n

nnnn

a

aaaab

1

21311 b

baabc nn

1

31512 b

baabc nn

Contoh ROUTH ArrayContoh ROUTH Array(10s +1)(30s +1)(3s +1) + 0,80Kc = 0

900s3 + 420s2 + 43s + (1 + 0,80 Kc) = 0

900 43 0

420 1 + 0,80 Kc 0

b1 0 0

1 + 0,80 Kc 0 0

dengan:

b1 0 atau 17160 – 720Kc 0 Kc 23,8

1 + 0,8Kc 0 atau 0,8Kc -1 Kc -1,25

(10s +1)(30s +1)(3s +1) + 0,80Kc = 0

900s3 + 420s2 + 43s + (1 + 0,80 Kc) = 0

900 43 0

420 1 + 0,80 Kc 0

b1 0 0

1 + 0,80 Kc 0 0

dengan:

b1 0 atau 17160 – 720Kc 0 Kc 23,8

1 + 0,8Kc 0 atau 0,8Kc -1 Kc -1,25 15

420

72017160

420

)08,01(90043.4201

cc KKb

Kcu (Ultimate Controller Gain)Kcu (Ultimate Controller Gain)• Nilai Kc terendah: negatif.

– Ini tidak berarti karena gain negatif berarti kontroler mempunyai kesalahan aksi.

• Batas teratas gain kontroler merupakan ultimate gain:

Kcu = 23,8 %/%

Ini berarti perubahan gain pada kontroler tidak boleh lebih besar dari 23,8 atau mengurangi PB di bawah 4,2 %

(100/23,8).

• Nilai Kc terendah: negatif. – Ini tidak berarti karena gain negatif berarti kontroler mempunyai

kesalahan aksi.

• Batas teratas gain kontroler merupakan ultimate gain:

Kcu = 23,8 %/%

Ini berarti perubahan gain pada kontroler tidak boleh lebih besar dari 23,8 atau mengurangi PB di bawah 4,2 %

(100/23,8).


16

Substitusi LangsungSubstitusi Langsung

• Metode ini didasarkan pada kenyataan bahwa jika akar-akar persamaan karakteristik sangat kontinyus dengan parameter-parameter lup, maka titik di mana lup menjadi tidak stabil (paling sedikit satu dan biasanya dua akar) harus terletak pada aksis imajiner dari daerah kompleks, yakni, di sana harus ada akar imajiner murni

• Pada titik stabilitas marjinal persamaan karakteristik harus mempunyai sepasang akar imajiner murni:

r1,2 = iu

dengan Tu = ultimate period

• Metode ini didasarkan pada kenyataan bahwa jika akar-akar persamaan karakteristik sangat kontinyus dengan parameter-parameter lup, maka titik di mana lup menjadi tidak stabil (paling sedikit satu dan biasanya dua akar) harus terletak pada aksis imajiner dari daerah kompleks, yakni, di sana harus ada akar imajiner murni

• Pada titik stabilitas marjinal persamaan karakteristik harus mempunyai sepasang akar imajiner murni:

r1,2 = iu

dengan Tu = ultimate period


17

uu T

2

Contoh Substitusi LangsungContoh Substitusi Langsung

900s3 + 420s2 + 43s + (1 + 0,80 Kc) = 0

Substitutsikan s = iu dan Kc = Kcu

900i3u 3 + 420 i2u

2 + 43 iu + (1 + 0,80 Kcu) = 0

i2 = -1:

(-420u 2 +1 + 0,80 Kcu) + i(-900u

3 + 43u ) = 0 +0i

-420u 2 +1 + 0,80 Kcu = 0

-900u 3 + 43u = 0

untuk u = 0 Kcu = -1,25 %/%

untuk u = 0,2186 Kcu = 23,8 %/% dan Tu = 28,7 s

900s3 + 420s2 + 43s + (1 + 0,80 Kc) = 0

Substitutsikan s = iu dan Kc = Kcu

900i3u 3 + 420 i2u

2 + 43 iu + (1 + 0,80 Kcu) = 0

i2 = -1:

(-420u 2 +1 + 0,80 Kcu) + i(-900u

3 + 43u ) = 0 +0i

-420u 2 +1 + 0,80 Kcu = 0

-900u 3 + 43u = 0

untuk u = 0 Kcu = -1,25 %/%

untuk u = 0,2186 Kcu = 23,8 %/% dan Tu = 28,7 sCHS31024 Edisi 13 Des '06

18

Pengaruh Dead-time Pengaruh Dead-time

• Aproksimasi PADE:• Aproksimasi PADE:


19

s

se s

21

21

1

1

Tugas:Tugas:

13

84.1

s

eG

s

plk 1300

84.1 100

s

eG

s

ppr

15.1

33.8

sGv 110

11.0

sGs


20

1.Cari parameter kontroler P, PI dan PID yang optimum2.Gambar masing-masing menggunakan MATLAB

Kontroler P

Root LocusRoot Locus

• Root Locus: teknik secara grafik yang terdiri atas penggrafikan akar-akar pers. karakteristik (eigenvalue), sebagai fungsi gain atau perubahan parameter lup lainnya

• Hasil grafik: pandangan sekilas apakah akar-akar pers. karakteristik memotong sumbu imajiner dari sisi kiri ke sisi kanan s plane. Ini mengindikasikan kemungkinan ketidakstabilan lup kontrol

• Root Locus: teknik secara grafik yang terdiri atas penggrafikan akar-akar pers. karakteristik (eigenvalue), sebagai fungsi gain atau perubahan parameter lup lainnya

• Hasil grafik: pandangan sekilas apakah akar-akar pers. karakteristik memotong sumbu imajiner dari sisi kiri ke sisi kanan s plane. Ini mengindikasikan kemungkinan ketidakstabilan lup kontrol


21

Contoh 1Contoh 1

• Perhatikan diagram blok di bawah ini

• Persamaan Karakteristiknya:

atau 1 + OLTF = 0

• Perhatikan diagram blok di bawah ini

• Persamaan Karakteristiknya:

atau 1 + OLTF = 0


22

Kc

0.5

R(s) C(s)

)1)(13(

2

ss

0)1)(13(

1

ss

Kc

JawabanJawaban

• OLTF (open-loop transfer function) = • Pole: -1/3 dan –1• Zero: tidak ada• 3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0

• Dengan memasukkan harga Kc dari 0 dst., maka didapat gambar:

• OLTF (open-loop transfer function) = • Pole: -1/3 dan –1• Zero: tidak ada• 3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0

• Dengan memasukkan harga Kc dari 0 dst., maka didapat gambar:

)1)(13( ss

Kc

)1)(13( ss

Kc


23

cc K

Krr 31

3

1

3

2

6

)1(12164, 21

Gambar RLGambar RL


24

-1 -1/3-2/3

Contoh 2Contoh 2

• Persamaan karakteristik:

• pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3• zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0


• pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3• zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0

015,0)1)(13(

1

sss

Kc

015,0)1)(13(

1

sss

Kc


25

Kc

R(s) C(s)

)1)(13(

2

ss

15,0

5,0

s

Cara MenggambarCara Menggambar

1. Tandai pole dengan silang dan zero dengan lingkaran kecil.2. Cek daerah di sebelah kiri titik paling kiri: jika selisih antara n –

m ganjil tempat kedudukan, genap bukan tempat kedudukan. Cek lagi daerah di sebelahj kanannya, dst.

3. Untuk mencari titik potong dengan sumbu imajiner direct susbtitution method

4. Jika di antara 2 pole merupakan tempat kedudukan, maka ada breakaway point

5. Jika di antara pole dan zero atau zero dan merupakan tempat kedudukan breakin point

6. Jumlah pole jumlah cabang (loci)7. Jumlah cabang menuju = jumlah pole – jumlah zero8. Garis selalu dari pole menuju zero atau

1. Tandai pole dengan silang dan zero dengan lingkaran kecil.2. Cek daerah di sebelah kiri titik paling kiri: jika selisih antara n –

m ganjil tempat kedudukan, genap bukan tempat kedudukan. Cek lagi daerah di sebelahj kanannya, dst.

3. Untuk mencari titik potong dengan sumbu imajiner direct susbtitution method

4. Jika di antara 2 pole merupakan tempat kedudukan, maka ada breakaway point

5. Jika di antara pole dan zero atau zero dan merupakan tempat kedudukan breakin point

6. Jumlah pole jumlah cabang (loci)7. Jumlah cabang menuju = jumlah pole – jumlah zero8. Garis selalu dari pole menuju zero atau


26

Gambar RLGambar RL


27

LatihanLatihan


28

Kc

R(s) C(s)

)15(

2

s

1

1

s

)12(

5.0

s

Contoh 3Contoh 3


• 3s2 + (4 + 0,2Kc)s + (1 + Kc) = 0• OLTF =

• Pole: -1/3 dan –1 n = 2; Zero: -5 m = 1


• 3s2 + (4 + 0,2Kc)s + (1 + Kc) = 0• OLTF =

• Pole: -1/3 dan –1 n = 2; Zero: -5 m = 1


29

Kc(1+0.2s)

0.05

R(s) C(s)

)1)(13(

2

ss

0)1)(13(

)2,01(1

ss

sKc

6

04,04,104)2,04(,

2

21ccc KKK

rr

)1)(13(

)2,01(

ss

sK c

Gambar RLGambar RL


30

Aturan Penggambaran Root Locus Aturan Penggambaran Root Locus

• Pada real axis tempat kedudukan berada pada titik di mana pole dikurangi zero berharga ganjil untuk sebelah kanan titik.

• Loci akar selalu berasal, untuk total gain lup = 0, pada pole OLTF.

• Jumlah loci atau cabang sama dengan jumlah pole OLTF (n).

• Semakin naik total gain lup, loci atau cabang akan mendekati zero OLTF atau . Jumlah loci menuju = n – m.

• Pada real axis tempat kedudukan berada pada titik di mana pole dikurangi zero berharga ganjil untuk sebelah kanan titik.

• Loci akar selalu berasal, untuk total gain lup = 0, pada pole OLTF.

• Jumlah loci atau cabang sama dengan jumlah pole OLTF (n).

• Semakin naik total gain lup, loci atau cabang akan mendekati zero OLTF atau . Jumlah loci menuju = n – m.


31

Aturan Penggambaran Root Locus (2) Aturan Penggambaran Root Locus (2)

• Loci yang menuju sepanjang garis asimtot. Semua garis asimtot harus melewati center of gravity (CG) dari pole dan zero OLTF.

• Asimtot membuat sudut dengan sumbu real:dengan k = 0, 1, …, n-m-1

• Titik-titik pada sumbu real di mana loci bertemu atau meninggalkan, atau masuk dari daerah kompleks pada bidang s, disebut breakaway point.

• Loci yang menuju sepanjang garis asimtot. Semua garis asimtot harus melewati center of gravity (CG) dari pole dan zero OLTF.

• Asimtot membuat sudut dengan sumbu real:dengan k = 0, 1, …, n-m-1

• Titik-titik pada sumbu real di mana loci bertemu atau meninggalkan, atau masuk dari daerah kompleks pada bidang s, disebut breakaway point.


32

mn

zp

CG

n

j

m

iij

1 1

mn

k

)360(180 00

n

j j

m

i i pszs 11

11

Contoh 4Contoh 4


• pole: -1/10, -1/30, dan –1/3 n = 3• zero: tidak ada m = 0


• pole: -1/10, -1/30, dan –1/3 n = 3• zero: tidak ada m = 0


33

Kc

R(s) C(s)Kc

Toset(s) E(s) M(s) F(s)

13

016.0

s 130

50

s

110

1

s

31

301

101

'

sss

KOLTF

0)13)(130)(110(

8,01

sss

Kc

Jawaban (1)Jawaban (1)


34

cc K

KK 000888,0

)3)(30)(10(

8,0'

155,003

31

301

101

CG

000

000000

300 ,180 ,60

3

)2(360180 ,

3

)1(360180 ,

3

)0(360180

0111

31

101

301

sss

Breakaway point:

Jawaban (2)Jawaban (2)

• Dengan menyamakan penyebut pers. kuadrat– s = -0,247 (tidak mungkin, karena tidak di antara

dua titik) dan – s = -0.063 (valid) u = 0,22

– Kcu = 24

• Dengan menyamakan penyebut pers. kuadrat– s = -0,247 (tidak mungkin, karena tidak di antara

dua titik) dan – s = -0.063 (valid) u = 0,22

– Kcu = 24


35

Gambar RLGambar RL


36

Root ContourRoot Contour

• Root Loci (RL)– Bagian tempat kedudukan akar ketika Kc bervariasi dari 0

hingga ∞ (Kc positif)• Complementary Root Loci (CRL)

– Bagian tempat kedudukan akar ketika Kc bervariasi dari -∞ hingga 0 (Kc negatif)

• Root Contours (RC)– Tempat kedudukan akar ketika bervariasi lebih dari satu

parameter• Complete Root Loci

– Kombinasi RL dan CRL (-∞<Kc< ∞)

• Root Loci (RL)– Bagian tempat kedudukan akar ketika Kc bervariasi dari 0

hingga ∞ (Kc positif)• Complementary Root Loci (CRL)

– Bagian tempat kedudukan akar ketika Kc bervariasi dari -∞ hingga 0 (Kc negatif)

• Root Contours (RC)– Tempat kedudukan akar ketika bervariasi lebih dari satu

parameter• Complete Root Loci

– Kombinasi RL dan CRL (-∞<Kc< ∞)


37

Kondisi RLKondisi RL

• Besaran

• Sudut

• Besaran

• Sudut

01 :PK

01 :PK

1

OLTF

sHsG

sHsG

sG

sR

sC

cc

KK

OLTF - 1


38

o

o

180atau radian dari genapkelipatan

0 2

180atau radian dari ganjilkelipatan

0 12

c

c

KkOLTF

KkOLTF

Perhitungan KPerhitungan K

m

ii

n

ji

n

jj

m

ii

zs

ps

c

n

jj

m

ii

n

jj

m

ii

ccps

zs

n

m

K

mnk

kpszsOLTFCRL

kpszsOLTFRL

KK

OLTF

pspsps

zszszsKOLTF

1

1

1

1

1 ,....,2 ,1 ,0

2 :

12 :

1

...

...

11

11

21

21


39

ContohContoh

21

1

pspss

zsKOLTF c

A

BCD

zs

pspssKc

11

21111


40

Sifat dan Pembuatan RLSifat dan Pembuatan RL

1. Titik Kc = 0

2. Titik Kc = ±∞3. Jumlah cabang4. Simetri5. Asimtot6. Sentroid (Interseksi dari Asimtot)7. RL pada Sumbu Nyata8. Sudut Berangkat dan Sudut Datang9. Interaksi dengan Sumbu Imajiner10. Titik Breakaway (Sadel)

11. Perhitungan Kc

1. Titik Kc = 0

2. Titik Kc = ±∞3. Jumlah cabang4. Simetri5. Asimtot6. Sentroid (Interseksi dari Asimtot)7. RL pada Sumbu Nyata8. Sudut Berangkat dan Sudut Datang9. Interaksi dengan Sumbu Imajiner10. Titik Breakaway (Sadel)

11. Perhitungan Kc

032265 :PK 2 sKsssss c


41

1. Titik Kc = 01. Titik Kc = 0



42

• Pole:– s = 0, -5, -6, -1 ± i– Jumlah (m) = 5

• Pole:– s = 0, -5, -6, -1 ± i– Jumlah (m) = 5

2. Titik Kc = ±∞2. Titik Kc = ±∞



43

• Zero:– s = -3– Jumlah (n) = 1

• Zero:– s = -3– Jumlah (n) = 1

3. Jumlah Cabang3. Jumlah Cabang

• Cabang selalu berasal dari pole• Ada 2 cabang, dari pole:

– Menuju zero– Menuju tak berhingga (∞)

• Jumlah semua cabang dari RL adalah sama dengan ORDE POLINOMIAL (jumlah pole)

• Jumlah cabang yang menuju ∞ = n - m• Orde = 5 jumlah semua cabang = 5• Jumlah zero = 1 jumlah cabang menuju ∞ = 4

• Cabang selalu berasal dari pole• Ada 2 cabang, dari pole:

– Menuju zero– Menuju tak berhingga (∞)

• Jumlah semua cabang dari RL adalah sama dengan ORDE POLINOMIAL (jumlah pole)

• Jumlah cabang yang menuju ∞ = n - m• Orde = 5 jumlah semua cabang = 5• Jumlah zero = 1 jumlah cabang menuju ∞ = 4



44

4. Simetri4. Simetri

• RL yang sempurna adalah simetrik terhadap sumbu nyata dari bidang-s

• RL yang sempurna adalah simetrik terhadap sumbu nyata dari bidang-s



45

5. Asimtot5. Asimtot

ooook

k

mn

k

RL

135,135,45,4515

1212

:

ooook

k

mn

k

CRL

270,180,90,015

22

:



46

6. Sentroid (Interseksi dari Asimtot)6. Sentroid (Interseksi dari Asimtot)

5.2

4

311650

1

iimn

zeropole



47

7. RL pada Sumbu Nyata7. RL pada Sumbu Nyata

• Ada RL pada sumbu nyata antara:

– s = 0 dan s = -3

– s = -5 dan s = -6

• Ada CRL pada sumbu nyata antara:

– s = -3 dan s = -5

– s = -6 dan s = ∞

• Ada RL pada sumbu nyata antara:

– s = 0 dan s = -3

– s = -5 dan s = -6

• Ada CRL pada sumbu nyata antara:

– s = -3 dan s = -5

– s = -6 dan s = ∞



48

8. Sudut Berangkat dan Sudut Datang8. Sudut Berangkat dan Sudut Datang

• Sudut berangkat dari RL meninggalkan pole pada -1 + i. Jika s1 adalah titik pada RL meninggalkan pada -1 + i dan s1 sangat dekat dengan pole tersebut, maka:

• Sudut berangkat dari RL meninggalkan pole pada -1 + i. Jika s1 adalah titik pada RL meninggalkan pada -1 + i dan s1 sangat dekat dengan pole tersebut, maka:

o

oooooo

o

k

atau

kisssisss

8.43

180124.1114901356.26

1801216513 111111


49


9. Interseksi dengan Sumbu Imajiner9. Interseksi dengan Sumbu Imajiner

0

35atau 0163.01053940

309atau 0212.06.65 2

c

ccc

cc

K

KKK

KK

34.1dan 34.1

01052.58

03212.06.65

:35 Pada

2

2

isis

s

KsKsA

K

cc

c


50


Kurva memotong sumbu imajiner pada Kc = 35 dan Kc = 0

10. Titik Breakaway (Titik Sadel)10. Titik Breakaway (Titik Sadel)

• Merupakan titik yang berada pada sumbu nyata (real) tempat bertemu akar (loci) pergi dan akar datang, tempat mulai memasuki daerah bilangan kompleks.

• Akar selalu datang dan pergi dengan sudut 90o pada titik breakaway.

• Merupakan titik yang berada pada sumbu nyata (real) tempat bertemu akar (loci) pergi dan akar datang, tempat mulai memasuki daerah bilangan kompleks.

• Akar selalu datang dan pergi dengan sudut 90o pada titik breakaway.

m n

1 1

Metode lain:

1 1

i ji js z s p

OLTF0cdK d

ds ds


51

Titik Breakaway (Titik Sadel) Titik Breakaway (Titik Sadel)

5 4 3 2

OLTF0

13 5 66 142 123 45 0

3 33 1 204

0 656 0 468

5 53

cdK d

ds ds

s . s s s s

s . i .

s . i .

s .


52


Titik Breakaway (Titik Sadel) Titik Breakaway (Titik Sadel)

53.5

468.0656.0

204.133.3

045123142665.13

0180492568264544

0)180552650318675(60825413

060825413

)60164162525)(3()60825413)(1(''

0)22)(6)(5(

3OLTF

2345

2345

23452345

2345

2342345

2

2

s

is

is

sssss

s s sss

s + + s+ s+ s + ss s sss

s s sss

s sssss s sss

v

uvvu

sssss

s

ds

d

ds

d

ds

dKc


53


YANG DIPAKAI

Ada 5 akar

RL SempurnaRL Sempurna


54

Root Locus Dengan MATLABRoot Locus Dengan MATLABG = zpk([1],[0,-5,-6,-1+I,-1-i],1)rlocus(G)G = zpk([1],[0,-5,-6,-1+I,-1-i],1)rlocus(G)

2265

32

sssss

sKOLTF c


55

Aspek Penting Pembuatan RLAspek Penting Pembuatan RL

• Efek Penambahan Pole dan Zero

• Efek Pemindahan Pole dan Zero

• Efek Penambahan Pole dan Zero

• Efek Pemindahan Pole dan Zero


56

Efek Penambahan PoleEfek Penambahan Pole

0

aass

KOLTF c

bsass

KOLTF c

1


57

Efek Penambahan ZeroEfek Penambahan Zero


58

Efek Pemindahan Pole dan ZeroEfek Pemindahan Pole dan Zero


59

Mencari Kcu dengan menggunakan Root Locus

Mencari Kcu dengan menggunakan Root Locus

• Gambar/plot RL-nya

• Perhatikan karakteristik tempat akar-akarnya

• Jika melewati batas kestabilan (daerah real negatif) maka sistem memiliki Kcu.

• Kc yang memberikan harga akar dibatas kestabilan (sumbu imajiner) merupakan harga Kcu.

• Gambar/plot RL-nya

• Perhatikan karakteristik tempat akar-akarnya

• Jika melewati batas kestabilan (daerah real negatif) maka sistem memiliki Kcu.

• Kc yang memberikan harga akar dibatas kestabilan (sumbu imajiner) merupakan harga Kcu.


60

Pola Root LocusPola Root Locus


61


62-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Real

Ima

gin

ary

Stabil Tak stabil

Kc 250 0

Semakin naik gain kontroler (KC),beberapa akar mendekatinya, kemudianmemotong daerah takstabil.

Plot dari bagian nyata dan imajiner dari akar PK - 3 akar untuk kubik



63

Set point response

)()()()(

)()()(

)(

)(

sGsGsGsG

sGsGsG

sSP

sCV

Scvp

cvp

1

Penyebut menentukan

stabilitas sistem

berumpan-balik

lup tertutup!

Metode Stabilitas Bode

Menghitung akar itu mudah dengan perangkat lunak standar. Jika persamaannya mengandung dead time, maka muncul e -s. Oleh karena itu, kita

perlu metode lain.

Metode yang kita akan gunakan itu adalah Metode Stabilitas Bode.

0039011575125 :mixerUntuk 23 cK.sss



64

Stabilitas Bode: Untuk memahaminya, mari kita lakukan sedikit eksperimen

solvent

pure A

AC

FS

FA

Lup terbuka

GP(s)Gv(s)GC(s)

GS(s)

CV(s)

CVm(s)

SP(s) E(s) MV(s) +

+

+

-

Lup terbuka



65

solvent

pure A

AC

FS

FA

Lup tertutup

GP(s)Gv(s)GC(s)

GS(s)

CV(s)

CVm(s)

SP(s) E(s) MV(s) +

+

+

-

Lup tertutup

No forcing!!

No forcing!!




66

GP(s)Gv(s)GC(s)

GS(s)

CV(s)

CVm(s)

SP(s) E(s) MV(s) +

+

+

-

Loop closed

Di bawah kondisi apa sistem itu stabil (takstabil)?

Ingat: pikirkan tentang gelombang sinus seperti dia melintasi lup sekali.




67

GP(s)Gv(s)GC(s)

GS(s)

CV(s)

CVm(s)

SP(s) E(s) MV(s) +

+

+

-

Loop closed

Di bawah kondisi apa sistem itu stabil (takstabil)?

Jika amplitudo sinus lebih besar setelah satu siklus, maka dia akan naik setiap lup. Sistem akan menjadi takstabil.

Kini: pada frekuensi apa sinus menguatkan dirinya sendiri?




68

GP(s)Gv(s)GC(s)

GS(s)

CV(s)

CVm(s)

SP(s) E(s) MV(s) +

+

+

-

Loop closed

Kini: pada frekuensi apa sinus menguatkan dirinya sendiri?

Saat sinus mempunyai keterlambatan (lag) sebesar 180° disebabkan oleh dinamika elemen, feedback akan menguatkan osilasinya (ingat tanda - ).

Ini adalah frekuensi kritis.




69

GP(s)Gv(s)GC(s)

GS(s)

CV(s)

CVm(s)

SP(s) E(s) MV(s) +

+

+

-

Loop closed

Mari kita letakkan hasilnya bersama. GOL(s) termasuk semua elemen di dalam lup tertutup

Pada frekuensi kritis: GOL(cj) = -180

The amplitude ratio (AR): |GOL(cj) | < 1 untuk stabil

|GOL(cj) | > 1 untuk takstabil



Analisa Plot BodeAnalisa Plot Bode

1

2 2 2 2

1; ; tan

1 1

KAR MR


70

• Amplitudo Rasio (AR) : rasio amplitude sinyal output dengan amplitude sinyal input,

• Magnitude Rasio (MR) : rasio AR dengan steady state gain (Kp),

• Saat Kcu AR = 1• Sehingga Kcu = 1/MR

• Amplitudo Rasio (AR) : rasio amplitude sinyal output dengan amplitude sinyal input,

• Magnitude Rasio (MR) : rasio AR dengan steady state gain (Kp),

• Saat Kcu AR = 1• Sehingga Kcu = 1/MR

Pengaruh-pengaruhPengaruh-pengaruh

• Deadtime (to)Tehadap sudut (phase)

Terhadap MR/AR

• Zero (numerator)Terhadap Sudut (phase)

Terhadap MR/AR

• Deadtime (to)Tehadap sudut (phase)

Terhadap MR/AR

• Zero (numerator)Terhadap Sudut (phase)

Terhadap MR/AR

1AR MR 0t


71

2 21AR K 2 21MR

1tan

Pengaruh lainyaPengaruh lainya

• Pole bernilai nol (p = 0)– Pengaruhnya???

• Zero bernilai nol (z = 0)– Pengaruhnya???

• Pole bernilai nol (p = 0)– Pengaruhnya???

• Zero bernilai nol (z = 0)– Pengaruhnya???


72

Parameter BodeParameter Bode


73

Persamaan UmumPersamaan Umum


74

Penggambaran BodePenggambaran Bode

• Terdiri dari 2 grafik:– log AR (or log MR) vs. log vs. Log

• Beberapa panduan penggambaran Bode: untuk OLTF yang terdiri atas beberapa fungsi orde-satu, maka digambar terlebih dahulu masing-masing fungsi orde-satu tersebut secara terpisah, setelah itu baru dibuat gambar gabungannya dengan menjumlahkan slope(gradien)-nya

• Terdiri dari 2 grafik:– log AR (or log MR) vs. log vs. Log

• Beberapa panduan penggambaran Bode: untuk OLTF yang terdiri atas beberapa fungsi orde-satu, maka digambar terlebih dahulu masing-masing fungsi orde-satu tersebut secara terpisah, setelah itu baru dibuat gambar gabungannya dengan menjumlahkan slope(gradien)-nya


75

Penggambaran log AR (or log MR) vs. logPenggambaran log AR (or log MR) vs. log

• = 0 MR = 1 log MR = 0 (garis horisontal atau slope-nya nol); untuk sk slope-nya (-1)k

• = log MR = ± log ± log (slope = ±1)• = 1/(corner frequency/breakpoint frequency)

untuk titik potong garis pertama (= 0) dan garis kedua ( = )

• Bisa menggunakan persamaan MR dengan memasukkan pada titik-titik yang dibutuhkan

• = 0 MR = 1 log MR = 0 (garis horisontal atau slope-nya nol); untuk sk slope-nya (-1)k

• = log MR = ± log ± log (slope = ±1)• = 1/(corner frequency/breakpoint frequency)

untuk titik potong garis pertama (= 0) dan garis kedua ( = )

• Bisa menggunakan persamaan MR dengan memasukkan pada titik-titik yang dibutuhkan


76

Penggambaran vs. Log Penggambaran vs. Log

• didapatkan = 0• didapatkan = ±90o

• didapatkan = ±45o

– untuk sk hanya ada satu sudut: = (-90o)k– untuk deadtime: = (-57.3o)

• Bisa menggunakan persamaan dengan memasukkan pada titik-titik yang dibutuhkan

• didapatkan = 0• didapatkan = ±90o

• didapatkan = ±45o

– untuk sk hanya ada satu sudut: = (-90o)k– untuk deadtime: = (-57.3o)

• Bisa menggunakan persamaan dengan memasukkan pada titik-titik yang dibutuhkan


77

ContohContoh


78

BodeBode


79


80

Stabilitas Bode: Mari kita kerjakan sebuah contoh: three-tank mixer dengan ditambahkan dead time 5 menit

GOL(cj) = -180 |GOL(cj) | < 1 untuk stabilitas

sTK

s

eKsGsGsGsGsG

Ic

θ sP

spvcOL

11

1 3

)()()()()()(

min

min

open A/%% .

5

5

0390

PK

Process

min

Aopen/% %

11

30

I

c

T

K

Controller tuning w/o dead time



81

Bode Stability: GOL(cj) = -180 |GOL(cj) | < 1 untuk stabilitas

10-2

10-1

100

10-1

100

101

102

Frequency, w (rad/time)

Am

plit

ude

Rat

io

10-2

10-1

100

-300

-250

-200

-150

-100

-50


Pha

se A

ngle

(de

gre

es)

-180Critical frequency

|GOL(cj) | = 0.75Kesimpulan?



82

10-2

10-1

100

10-1

100

101

102


Am

plit

ude

Rat

io

10-2

10-1

100

-300

-250

-200

-150

-100

-50


Pha

se A

ngle

(de

gre

es)

-180Frekuensi kritis

|GOL(cj) | = 0.75 < 1 Kesimpulan: STABIL!!

Sinusnya akan turun pada amplitudo setiap waktu sekitar lupnya.

Analisis Stabilitas dan PenyetelanBode Stability: GOL(cj) = -180 |GOL(cj) | < 1 untuk stabilitas


83

0 50 100 150 200 2500

0.5

1

1.5

2

S-LOOP plots deviation variables (IAE = 42.1962)

Time

Con

tro

lled

Va

riab

le

0 50 100 150 200 2500

20

40

60

Time

Ma

nip

ula

ted

Va

ria

ble

Stabil, tapikinerjanya jelek,

kenapa?



84

0 50 100 150 200 2500

0.5

1

1.5

2

S-LOOP plots deviation variables (IAE = 42.1962)

Time

Con

tro

lled

Va

riab

le

0 50 100 150 200 2500

20

40

60

Time

Ma

nip

ula

ted

Va

ria

ble

PI tuning adalah untuk proses tanpa dead time. Prosesnya dengan dead time lebih sulit untuk dikontrol. Harus tidak disetel (detune)!


Stabil, tapikinerjanya jelek,

kenapa?


85

Lot’s of improvement, but we need some more study!• Read the textbook• Review the notes, especially learning goals and workshop• Try out the self-study suggestions• Naturally, we’ll have an assignment!


Saat kuselesaikan bab ini, kuingin dapat melakukanhal-hal berikut.

• Menentukan stabilitas dari sebuah proses tanpa pengendalian

• Menentukan stabilitas dari sebuah sistem pengendalian berumpan-balik lup tertutup

• Menggunakan pendekatan ini untuk mempelajari bagaimana dead time mempengaruhi stabilitas.


86

• SITE PC-EDUCATION WEB - Instrumentation Notes- Interactive Learning Module (Chapter 10)- Tutorials (Chapter 10)

• S_LOOP- You can perform the stability and frequency response calculations uses menu-driven features. Then, you can simulate in the time domain to confirm your conclusions.

Bab 10: Sumber Pembelajaran


87

1. Tentukan kestabilan untuk contoh dalam buku ajar Table 9.2 (recommended tuning). Gunakan parameter proses nominal. Berapa KC harus dinaikkan hingga sistem menjadi takstabil?

2. Tentukan Ziegler-Nichols tuning untuk proses three-tank mixer. Simulasikan respon dinamik menggunakan MATLAB.

3. Diskusikan penerapan metode stabilitas Bode untuk proses tanpa kontrol

4. Kita tidak ingin mengoperasikan sistem lup tertutup “terlalu dekat” dengan batas kestabilan. Diskusikan ukuran-ukuran kedekatan terhadap kestabilan dan bagaimana itu digunakan dalam menghitung harga konstanta penyetelan

Bab 10: Saran Belajar Mandiri

bab 10 analisis stabilitas

Documents