bab 02 hukum gauss

Rosari Saleh dan Sutarto

Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari mengenai

medan listrik dan interaksinya dengan partikel

bermuatan menggunakan konsep hukum Coulomb.

Ada beberapa kesulitan teknis yang dialami ketika

menganalisa sistem partikel bermuatan yang terdiri

dari banyak partikel. Cara lain yang dapat digunakan

adalah dengan menerapkan hukum Gauss.

Pada bab ini kita akan mempelajari konsep dasar

hukum Gauss dan penerapannya untuk menangani

persoalan-persoalan yang berhubungan dengan medan

listrik. Hukum Gauss juga memberikan informasi yang

sangat penting terhadap sifat konduktivitas suatu

material.

Bab yang akan dipelajari:

1. Muatan dan Fluks Listrik 2. Menghitung Fluks Listrik 3. Hukum Gauss 4. Aplikasi Hukum Gauss

Tujuan Pembelajaran:

1. Menentukan jumlah muatan di dalam permukaan tertutup dengan mengamati medan listrik pada permukaan.

2. Mendefinisikan dan menghitung fluks listrik.

3. Menjelaskan konsep hukum Gauss yang menghubungkan antara fluks listrik melalui permukaan tertutup dengan muatan yang dilingkupi oleh permukaan tersebut.

4. Menggunakan hukum Gauss untuk menentukan medan listrik akibat muatan terdistribusi simetrik.

5. Menentukan tempat muatan pada konduktor bermuatan.

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

Bab 2 Hukum Gauss | 51


Pada Bab 1 kita telah mempelajari hukum Coulomb dan konsep medan listrik untuk menjelaskan interaksi antar muatan dan interaksi antara medan listrik dengan muatan. Hukum Gauss merupakan salah satu konsep yang mendasari bidang elektromagnetik. Hukum Gauss juga merangkum konsep interaksi Coulomb dan juga dapat diterapkan untuk menjelaskan konsep medan listrik dari sudut pandang yang berbeda dari yang telah dijelaskan pada Bab 1.

2–1 Muatan dan Fluks Listrik

Sebelum kita membahas hukum Gauss, terlebih dahulu kita diskusikan tentang muatan dan fluks listrik. Seperti telah diketahui bahwa muatan merupakan sumber medan listrik. Medan listrik dapat diilustrasikan dalam bentuk garis khayal yang menyebar ke segala penjuru dari suatu sumber muatan. Sebagai ilustrasi sederhana, perhatikan sebaran medan listrik yang dihasilkan oleh sebuah partikel bermuatan seperti terlihat pada Gambar 2.1.

Berdasarkan apa yang telah dibahas pada Bab 2, jumlah garis medan listrik yang dihasilkan oleh suatu muatan merepresentasikan medan listrik yang dimiliki oleh muatan tersebut. Perhatikan Gambar 2.1, garis medan listrik yang dihasilkan oleh muatan menembus suatu luasan tertentu yang melingkupi muatan. Arah garis medan listrik selalu sejajar dengan normal bidang yang ditembusnya. Jika diandaikan terdapat N garis medan listrik yang dihasilkan oleh muatan maka luasan dengan jari-jari R ditembus oleh N garis medan listrik. Begitu juga untuk luasan lainnya yang memiliki jari-jari lebih besar atau lebih kecil dibanding R akan ditembus oleh sejumlah N garis medan listrik yang sama.

Hal yang sama juga dapat terjadi untuk bentuk permukaan yang berbeda-beda. Misalnya muatan tidak berada tepat di tengah-tengah pusat bola maka jumlah garis yang menembus seluruh permukaan akan tetap sama. Perhatikan Gambar 2.2.

Pada Gambar 2.2a, jumlah garis yang menembus luasan adalah N. Karena sumber medan listrik adalah muatan positif maka arah garis medan listrik adalah ke arah luar. Pada Gambar 2.2b, terdapat N + 4 garis yang menembus permukaan. Karena kita berurusan dengan medan listrik yang merupakan besaran vektor maka ada perbedaan

Gambar 2.1 Sebuah partikel bermuatan Qmemancarkan medan listrik ke segala arah.

(a)

(b)

Gambar 2.2 Berbagai bentuk permukaan yang melingkupi suatu muatan Q. Walaupun bentuk permukaannya berbeda-beda namun jumlah garis medan listrik yang menembus permukaan tersebut adalah sama.

52 | Bab 2 Hukum Gauss


antara apakah arah garis medan tersebut menuju ke permukaan atau meninggalkan permukaan. Perhatikan area dalam tanda lingkaran. Pada daerah tersebut terdapat dua garis medan listrik yang meninggalkan permukaan yang kemudian dua garis tersebut menembus permukaan yang lain. Dengan demikian terdapat dua garis medan listrik yang menuju ke permukaan sehingga jumlah garis medan listrik sebenarnya adalah:

N + 2 + (–2) = N

Pembedaan tanda terhadap garis medan listrik yang masuk atau keluar dari suatu permukaan adalah untuk mengidentifikasi jenis muatan yang menjadi sumber medan listrik. Muatan positif akan menghasilkan garis medan listrik yang menembus keluar dari permukaan yang melingkupi muatan tersebut sedangkan muatan negatif akan menghasilkan garis medan listrik yang menembus masuk ke permukaan menuju muatan negatif.

Sekarang perhatikan Gambar 2.2. Sebuah plat yang mengandung rapat muatan positif menghasilkan medan listrik. Sebuah kertas digunakan untuk menandai seberapa besar garis medan listrik yang menembusnya pada posisi yang berbeda-beda.

Perhatikan bahwa jika sudut antara bidang A dan E semakin perbesar maka jumlah garis medan listrik yang menembus bidang A semakin sedikit dan ketika sudutnya tepat 900 maka tidak ada satu garis pun menembus bidang A. Dengan kata lain jika vektor medan listrik E tegak lurus terhadap normal bidang A maka tidak ada garis medan listrik yang menembus luasan A.

Jika E dan n masing-masing menyatakan vektor medan listrik dan bidang A maka sudut θ dapat dinyatakan dengan:

nEθ

nnn&

EEE

nEnEθ

•=

==→•

=

cos

cos (2–1)

Jumlah garis medan listrik N berhubungan dengan medan listrik E. Semakin banyak jumlah garis medan listrik maka semakin kuat medan listriknya atau E ∝ N. Jumlah garis medan listrik N yang menembus suatu luasan sebanding dengan luas yang dikensi medan listrik sehingga N ∝ A.

Jumlah garis medan listrik semakin sedikit

Gambar 2.3 Sebuah plat tak berhingga mengandung rapat muatan pada permukaannya menghasilkan medan listrik yang menembus bidang kertas yang luasnya A. Pada posisi yang berbeda, jumlah garis medan listrik yang menembus luasan A tidak sama. Jumlah garis yang menembus bidang A bergantung pada kemiringan bidang tersebut relatif terhadap arah garis medan listrik. Jumlah garis medan listrik yang menembus bidang menjadi maksimum ketika arah medan listrik sejajar dengan normal bidang yang ditembusnya.



Dengan sedikit modifikasi persamaan (2–1) dapat dinyatakan kembali dalam bentuk:

( )nENAθNA •=cos (2–2)

Persamaan (2–2) dapat digunakan untuk menjelaskan relasi sudut dan jumlah garis medan listrik yang menembus suatu luasan. Ketika vektor medan E dan n sejajar maka nilai sudut θ = 0 dimana cos θ = 1 sehingga menghasilkan:

( ) ( ) ( ) 11 =•→•= nEnENANA

Ruas kiri menyatakan jumlah garis medan listrik yang menembus bidang. Untuk sudut θ = 0 maka nilai cos θ = 1 sehingga jumlah garis yang menembus bidang adalah maksimum. Perhatikan bahwa yang dipengaruhi oleh sudut θ adalah jumlah garis medan listrik N bukan luas bidang A. Luas bidang A bersifat independen terhadap sudut θ. Karena N berhubungan dengan medan listrik E maka persamaan (2–2) dapat dinyatakan kembali sebagai:

( ) EENnENAθNA =→•=cos

( )nEAθNA •=cos (2–3)

Pada kenyataannya, tidak semua bidang yang ditembus oleh suatu medan listrik merupakan bidang beraturan. Kadang terdapat bidang-bidang yang memiliki bentuk tidak teratur dan permukaan tidak rata sehingga sulit untuk menentukan luas permukaan bidang tersebut. Namun demikian, jika diambil satu segmen luas yang sangat kecil dA maka solusi untuk persamaan (2–3) menjadi lebih mudah untuk diselesaikan dan berlaku secara general. Untuk luasan yang sangat kecil kita dapat menganggap luasan tersebut sebagai bidang datar dan dengan demikian persamaan (2–3) dapat diterapkan.

Jumlah garis medan listrik yang menembus suatu bidang dengan luas tertentu disebut fluks. Secara matematis, fluks listrik dinyatakan dengan persamaan berikut:

( )dAEndΦ •= (2–4)

Karena n dA = A sehingga persamaan (2–4) menjadi:

( )EAddΦ •= (2–5)



Dengan mengintegralkan persamaan (2–5) diperoleh fluks Φ:

∫ •=luasan

EAdΦ (2–6)

Perhatikan bahwa n , dan juga A , memiliki arah yang harus terdefinisi dengan jelas dan dengan demikian A haruslah suatu permukaan tertutup yang melingkupi suatu muatan sumber. Dengan kata lain integral pada persamaan (2–6) haruslah integral tertutup. Hal ini berkaitan dengan sifat medan listrik itu sendiri. Jika terdapat suatu luasan yang tidak tertutup maka penentuan arah medan yang menembus luasan tersebut akan menjadi ambigu karena bisa jadi ada dua orientasi n yang berbeda. Hal ini mengakibatkan kesulitan dalam menentukan apakah suatu medan listrik masuk atau keluar terhadap suatu bidang. Jika hal tersebut terjadi maka kita akan kesulitan menentukan jenis muatan yang menghasilkan medan listrik tersebut. Dengan demikian persamaan (2–6) dapat kita nyatakan kembali sebagai:

∫ •=luasan

EAdΦ (2–7a)

Dengan: Φ = fluks listrik (Nm2/C) E = medan listrik (N/C) A = luas bidang (m2) Dalam bentuk skalar,persamaan (2–7a) dapat dituliskan sebagai berikut:

Φ = EA cos θ (2–7b)

Dimana θ merupakan sudut yang dibentuk oleh vektor medan listrik E dan normal bidang A.

2–2 Menghitung Fluks Listrik

Jika fluks listrik dari suatu distribusi muatan diketahui maka kita dapat mengetahui medan listrik yang dihasilkan oleh distribusi muatan tersebut dengan mudah. Seperti yang telah didefinisikan pada sub bab sebelumnya bahwa fluks listrik adalah medan listrik yang menembus suatu permukaan dengan luas tertentu. Secara sederhana, fluks listrk dapat diilutrasikan seperti Gambar 2.4. Perhitungan

Gambar 2.4 Bidang dengan luas area A ditembus medan listrik sebesar E. Fluks listrik yang dihasilkan adalah Φ = EA cos θ = EA karena θ = 0, vektor medan listrik sejajar dengan vektor nnormal bidang A



fluks listrik menjadi sulit manakala bidang yang dikenai medan listrik memiliki kontur yang tidak beraturan. Berikut ini akan di bahas contoh mengenai perhitungan fluks listrik.

Contoh soal 1:

Medan listrik E menembus bidang yang membentuk formasi seperti pada Gambar 2.5.

Medan listrik searah dengan normal bidang A sehingga fluks listrik yang dihasilkan adalah:

ΦA = EA

Antara meda listrik E dan normal bidang A membentuk sudut sebesar θ. Fluks yang dihasilkan pada bidang A’ dengan demikian adalah:

ΦA’ = EA’

ΦA’ = EA cos θ

Contoh soal 2:

Sebuah muatan q(+) ditutup dengan suatu permukaan yang berbentuk setengah bola. Tentukan fluks listrik yang mengenai penutup tersebut!

Pembahasan: Muatan titik menghasilkan medan listrik E yang memenuhi persamaan:

rRq

πεE 2

041

=

Medan listrik menyebar ke segala arah pada jarak R dan vektor medan listrik E selalu sejajar dengan normal bidang setengah bola. Luas permukaan bola adalah 2πr2 sehingga fluks listrik Φ adalah:

Φ = E • A (*)

Karena arah E selalu sejajar dengan A maka persamaan (*) dapat dituliskan dalam bentuk skalarnya saja menjadi:

Φ = EA

Gambar 2.5 Terdapat dua wilayah yang dikenai medan listrik E yaitu wilayah A’ dan A.

A’ = A cos θ

Gambar 2.6 Sebuah muatan q diletakkan pada permukaan yang berbentuk setengah bola. Jari-jari bola adalah r.



( )

0

22

0

2

24

1

εq

rRπrRq

πεΦ

=

=→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Permasalahan utama yang timbul biasanya adalah menentukan luas permukaan bidang dan mengecek apakah vektor medan listrik E selalu sejajar dengan normal bidang yang ditembusnya. Jika E selalu sejajar dengan normal bidang A maka fluks listrik dapat ditentukan dengan mudah.

2–3 Hukum Gauss

Hukum Gauss merupakan konsep yang digunakan untuk menjelaskan hubungan antara muatan dan fluks listrik yang menembus suatu permukaan tertutup yang melingkupi muatan tersebut. Perhatikan Gambar 2.7, jika kita mengetahui bagaimana persebaran medan listrik yang dihasilkan oleh suatu muatan maka kita akan dapat mengetahui jenis muatan tersebut. Fluks listrik berhubungan denganmedan listrik melalui persamaan Gauss. Berikut ini akan dibahas secara sekilas mengenai penurunan Hukum Gauss.

Dari persamaan (2–7), hubungan antara fluks listrik Φ dan medan listrik E diberikan oleh persamaan:

dΦ = E dA

Medan listrik yang dihasilkan oleh muatan pada Gambar 2.7 memenuhi persamaan:

rR

qπε

E )(2

041 += (2–8)

Arah medan listrik E dan normal bidang Ad pada Gambar 2.7 selalu sejajar di semua tempat sehingga persamaan (2–8) dapat dinyatakan dalam bentuk skalar. Fluks listrik dengan demikian dapat ditentukan dengan:

dAR

qπε

EdAdΦ

)(2

041 +=

=

(2–9)

Gambar 2.7 Sebuah muatan dilingkupi oleh suatu permukaan khayal tertutup yang disebut permukaan Gauss. Permukaan tersebut membentuk bola dengan jari-jari R



Dengan mengintegralkan persamaan (2–9) diperoleh fluks listrik:

0

22

0

22

0

20

44

1

44

1

41

εq

πRR

qπε

πRdAdAR

qπε

dAR

qπε

EdAΦ

)(

)(

)(

)(

+

+

+

+

=

=

=→=

=

=

∫∫

∫

∫

Persamaan (2–10) memberikan relasi antara fluks listrik dari sebuah muatan yang dilingkupi oleh permukaan Gauss. Perhatikan bahwa fluks listrik yang dihasillkan tidak bergantung pada jari-jari permukaan Gauss yang melingkupi muatan tersebut. Hal ini juga dapat disimpulkan bahwa fluks listrik yang dihasilkan oleh suatu muatan tidak bergantung pada bentuk permukaan Gauss. Fluks listrik yang dihasilkan oleh muatan adalah sama di setiap titik.

Persamaan (2–10) berlaku untuk muatan tunggal. Untuk muatan yang jumlahnya lebih dari satu, kita dapat mengaplikasikan prinsip superposisi yang telah dipelajari pada Bab 1 untuk menentukan fluks listrik yang dihasilkan oleh muatan-muatan tersebut:

0

0

0

1

εQ

Qqqε

εq

AdE

ΦΦ

ii

ii

i

i

luasan ii

iiT

=

=→=

=

•=

=

∑∑

∑

∫ ∑

∑

Untuk sistem banyak muatan, fluks listrik yang dihasilkan diberikan oleh persamaan (2–11). Kita telah mengasumsikan bahwa sistem banyak muatan tersebut dilingkupi dengan permukaan Gauss. Pada persamaan (2–11) kita juga memperoleh bahwa fluks yang dihasilkan oleh sistem banyak muatan tidak bergantung pada jari-jari permukaan dan dengan demikian juga tidak bergantung

(2–10)

(2–11)



pada bentuk permukaan Gauss. Asalkan sistem tersebut dilingkupi oleh permukaan yang tertutup maka fluks listrik yang dihasilkan adalah sama di semua titik.

Analogi penurunan persamaan (2–11) juga dapat kita gunakan untuk sistem muatan yang terdistribusi pada benda berdimensi satu, dua dan tiga. Dalam pernyataan yang lebih umum, Hukum Gauss dapat dituliskan sebagai berikut:

0εQ

AdEΦluasan

=

•= ∫ (2–12)

Yang mana:

Φ = fluks listrik (Nm2/C)

E = medan listrik (N/C)

A = luas bidang yang melingkupi muatan (m2)

Q = muatan total (C)

2–4 Aplikasi Hukum Gauss

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa hukum Gauss dapat digunakan untuk menentukan medan listrik dari muatan yang terdistribusi dan dilingkupi oleh permukaan tertutup yaitu permukaan Gauss. Namun demikian, hukum Gauss akan sangat berguna untuk diterapkan pada sistem yang simetris. Pada sistem simetris, arah medan listrik E selalu searah dengan vektor luas bidang yang ditembusnya d A sehingga nilai | E | selalu konstan di semua permukaan. Dengan kata lain, dalam persamaan (2–12) kita dapat mengeluarkan variabel E sehingga fluks listrik hanya bergantung pada integral d A saja.

Ada beberapa sistem dimana sistem tersebut memiliki sifat simetri. Simetri sendiri dapat digolongkan menjadi tiga macam yaitu simetri spheris, simetri silindris, dan simetri bidang.



a. Simetri Spheris Contoh soal 1:

Perhatikan sebuah bola pejal yang memiliki jari-jari R dan membawa muatan total sebesar Q, Gambar 2.8.

Medan Listrik di luar bola (r > R)

Untuk menentukan medan listrik di luar bola pejal, terlebih dahulu kita gambar permukaan Gauss untuk bola bermuatan tersebut, seperti terlihat pada gambar berikut:

permukaan Gauss

Hukum Gauss untuk permukaan yang tertutup:

∫ •=bolapermukaan

AdEεQ

0

20

2

0 44

rπεQEπrE

εQ

=→=

Untuk daerah di luar bola, permukaan Gauss melingkupi bola pejal seluruhnya dan dengan demikian permukaan Gauss ini melingkupi muatan total sebesar Q.

Medan listrik di luar bola pejal dapat dicari dengan rumus:

204 rπε

QEluar =

Dimana r > R dan Q menyatakan muatan total bola pejal. Terlihat bahwa medan listrik yang dihasilkan oleh bola pejal berbanding terbalik dengan kuadrat jarak terhadap bola tersebut.

Medan listrik di dalam Bola

Kasus ini berbeda dengan sebelumnya. Di setiap titik di dalam bola terdapat muatan-muatan yang melingkupi titik tersebut sehingga medan listrik yang dihasilkan pada titik tersebut berbeda dengan medan listrik di titik yang lain. Medan listrik pada suatu titik yang berjarak a dari pusat bola dipengaruhi oleh distribusi muatan di sekitarnya. Walaupun distribusi muatan bisa jadi tidak seragam namun densitas muatan bola adalah sama sehingga akan lebih

R r

R

Gambar 2.8 Medan listrik yang dihasilkan oleh bola bermuatan dapat ditentukan dengan hukum Gauss



mudah jika medan listrik kita tentukan dalam variabel densitas muatan bola, ρ.

334

334

πRρQπRQ

VQρ

=→=

=

Medan listrik ditentukan dengan persamaan 204 rπε

QE =

dimana 334 πRρQ = sehingga

334

334

204

1πRQρπaρ

rπεEdalam =→×=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 3

04 Ra

πεQEdalam

Jika diplot dalam grafik E – r maka akan diperoleh grafik seperti berikut ini:

Contoh soal 2:

Sebuah bola berongga memiliki jari-jari R dan membawa muatan total Q yang menyebar merata pada permukaannya. Dengan mengaplikasikan hukum Gauss, tentukan medan listrik di luar bola dan di dalam bola!

Pembahasan:

R a

R

204 R

QEπε

=

R

r > R

r < R

Gambar 2.9 Bagian dalam bola berongga adalah daerah dimana r < R sedangkan bagian di luar bola adalah daerah dimana r > R



Perhatikan Gambar 2.9.

Medan listrik di luar bola

Langkah pertama adalah membuat permukaan Gauss yang melingkupi bola berongga tersebut.

Permukaan Gauss melingkupi seluruh muatan pada bola berongga sehingga dengan menggunakan hukum Gauss kita dapat langsung menentukan medan listrik yang dihasilkan pada daerah tersebut.

204 rπε

QEluar =

Medan listrik di dalam bola berongga

Di dalam bola berongga, kita dapat membuat permukaan Gauss di sembarang tempat untuk daerah dimana r < R.

Tanpa menggunakan pembuktian matematis kita dapat mengetahui bahwa tidak ada medan listrik yang dihasilkan di dalam bola berongga tersebut. Hal ini logis karena di dalam daerah yang

dilingkupi permukaan Gauss tidak ada muatan dan dengan demikian tidak mungkin terdapat medan listrik di daerah tersebut.



b. Simetris silinder

Contoh soal 3:

Sebuah kabel yang terdiri dari dua silinder yang masing-masing membawa muatan Q(+) dan Q(-). Jari-jari silinder masing-masing adalah a dan b dimana a < b. Silinder dengan jari-jari a adalah silinder pejal sedangkan silinder dnegan jari-jari b adalah silinder berongga. Muatan total kabel adalah nol. Tentukan medan listrik di tiga daerah (a) r < a, (b) a < r < b dan (c) r > b!

Pembahasan:

Perhatikan diagram berikut ini:

(a) Medan listrik di daerah r < a

Medan listrik di daerah r < a berada di dalam silinder a. Jika dibuat permukaan Gauss pada daerah tersebut maka permukaan tersebut akan melingkupi daerah yang memiliki rapat muatan ρ, lihat kembali pemabahasan contoh soal 1.

Dengan hukum Gauss kita peroleh medan listrik daerah r < a adalah:

rLπεQ

E

εQ

πrLE

εQ

AdE

arar

arar

ar

0

0

0

2

2

<<

<<

<

=

=

=•∫

Densitas muatan di dalam permukaan Gauss adalah:

LπaQ

ρ )(2+=

Besar muatan Qr < a adalah:

2

2

22

2

arQ

Q

LπaQ

LπrQ

LρπrQ

ρVQ

)(ar

)(ar

ar

arar

+<

+<

<

<<

=

=

=

=

a r

L

Permukaan Gauss

Gambar 2.10 Sebuah kabel yang terdiri dari dua silinder yang masing-masing membawa muatan Q(+) dan Q(-). Jari-jari silinder masing-masing adalah a dan b dimana a < b.



Dengan mensubstitusikan nilai Qr < a diperoleh medan listrik di daerah r < a sebagai berikut:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

+

+<

20

2

2

0

2

21

Lar

πεQ

arQ

rLπεE

)(

)(ar

(b) Medan listrik di daerah a < r < b

Permukaan Gauss melingkupi silinder bermuatan Q(+) sehingga medan listrik dengan mudah dapat kita tentukan dengan persamaan:

( )

( ) rLπεQ

E

εQ

πrLE

εQAdE

)(bra

)(bra

luasan

0

0

0

2

2

+<<

+<<

=

=

=•∫

Bagaimana dengan muatan yang terdistribusi pada siinder berjari-jari b? Permukaan Gauss tidak mengenai muatan pada silinder berjari-jari b sehingga medan listrik yang dihasilkan oleh silinder tersebut adalah nol. Kontribusi medanlistrik hanya diberikan oleh muatan pada silinder berjari-jari a.

(c) Medan listrik di daerah r > b

Daerah dimana r > b meliputi silinder berjari-jari a dan b. Jika dibuat permukaan Gauss pada daerah tersebut maka permukaan Gauss akan mengenai muatan yang terdistribusi pada silinder berjari-jari a dan b. Namun karena jumlah total muatan pada kedua silinder adalah nol

Permukaan Gauss

L

a

b

r



maka kedan listrik yang dihasilkan juga nol. Daerah di dalam permukaan Gauss tidak menghasilkan medan listrik karena muatan totalnya nol.

c. Simetri Bidang

Pada Gambar 2.11, sebuah permukaan Gauss berbentuk silinder yang luas permukannya A dibuat memotong bidang. Sistem semacam itu biasa disebut sebagai sistem muatan tak berhingga.

Pada sistem tersebut kita dapat mengetahui bahwa apapun jenis muatan yang dibawa bidang, arah medan listrik akan selalu tegak sejajar dengan vektor normal bidang. Hal ini menunjukkan adanya sifat simetri dan dengan demikian kita dapat menerapkan hukum Gauss untuk mengetahui medan listrik yang dihasilkan oleh sistem distribusi muatan seperti itu.

Untuk permukaan Gauss yang telah kita buat maka medan listrik yang dihasilkan oleh bidang dapat klasifikasikan sebagai berikut:

- Medan listrik pada arah vertikal ke atas E • dA = EA

- Medan listrik pada arah vertikal ke bawah E • dA = EA

- Medan listrik pada arah horisontal (samping) E • dA = 0 karena tidak ada komponen luas dan medan listrik pada arah horisontal.

Dengan menggunakan persamaan (2–12) dan menerapkan prinsip superposisi maka medan listrik yang dihasilkan bidang dapat ditentukan yaitu:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

≡=→++=

•+•+•=

=•

∫∫∫

∫

AQ

εE

EAεQ

EAEA|EA|EA|EA|

AdEAdEAdEεQ

εQAdE

total

bawahatasbawahatas

sampingbawahatas

0

0

0

0

21

2

0

Gambar 2.11 Sebuah bidang yang luas memiliki distribusi muatan pada kedua permukaannya. Densitas muatan pada permukaan bidang adalah σ. Medan listrik yang dihasilkan oleh bidang tersebut dapat dicari dengan hukum Gauss.



Perhatikan bahwa AQ tidak lain adalah densitas muatan

permukaan bidang σ. Dengan demikian, untuk kasus pada soal di atas medan listrik yang dihasilkan bidang adalah:

02εσEtotal =

Konduktor dan Kesetimbangan Elektrostatik

Konduktor adalah material yang dapat menghantarkan listrik dengan baik. Material konduktor memiliki elektron-elektron bebas yang dapat bergerak di permukaannya. Aliran listrik adatau beda potensial ditandai dengan adanya pergerakan elektron-elektron tesebut. Pada keadaan dimana material konduktor tidak terhubung dengan suatu sumber tegangan maka elektron-elektron tersebut akan berada dalam keadaan diam. Hal ini berarti di dalam material konduktor tersebut tidak dihasilkan medan listrik, dengan kata lain medan listrik di dalam material konduktor adalah nol.

Jika di dalam konduktor terdapat medan listrik maka elektron-elektron bebas akan bergerak oleh pengaruh dari medan listrik tersebut. Pergerakan elektron menandakan adanya arus listrik. Namun pada kenyataannya, sebuah kabel atau logam tidak dapat menghasilkan arus listrik dengan sendirinya. Hal ini membuktikan bahwa medan listrik total pada material konduktor haruslah nol.

Keadaan dimana medan listrik total pada material nol sehingga elektron berada dalam keadaan kesetimbangan disebut sebagai kesetimbangan elektrostatik.

Untuk mengilustrasikan bagaimana proses medan listrik menjadi nol pada konduktor, perhatikan ilustrasi berikut ini:

Lihat, Gambar 2.12, mula-mula terdapat medan listrik eksternal E . Sebuah material konduktor diletakkan pada medan listrik tersebut. Karena konduktor mengandung elektron bebas maka timbul polarisasi muatan. Elektron cenderung bergeser ke sebelah kiri, berlawanan dengan arah medan listrik E .

Sedangkan muatan positif terpolarisasi ke sebelah kanan, seperti tampak pada Gambar 2.13. Medan listrik E berinteraksi dengan medan listrik yang dihasilkan oleh

Gambar 2.12 Medan listrik eksternal bekerja pada sebuah konduktor.

konduktor

Pola medan listrik eksternal berubah

Gambar 2.13 Polarisasi muatan pada konduktor akibat medan listrik eksternal E.



muatan (+) dan (-) sehingga pada daerah konduktor tersebut medan listrik totalnya adalah nol.

Karena muatan terdistribusi pada permukaan konduktor maka medan listrik dihasilkan untuk daerah di luar konduktor tersebut. Perhatikan gambar berikut ini:

Karena elektron berada pada kesetimbangan statis maka medan listrik haruslah tegak lurus terhadap posisi elektron karena jika tidak demikian medan listrik tersebut dapat menginduksi elektron untuk melakukan pergerakan.

Medan listrik pada permukaan konduktor dapat ditentukan dengan mudah karena sistem tersebut mirip dengan sistem muatan yang terdistribusi pada bidang, lihat pembahasan mengenai simetri bidang.

Medan listrik pada konduktor dihasilkan oleh dua distribusi muatan yaitu muatan pada permukaan konduktor, Gambar 2.14, dan muatan netto total konduktor tersebut, Gambar 2.15.

Dengan demikian medan listrik total yang dimiliki oleh konduktor adalah E = E 1 + E 2, lihat Gambar 2.16.

Secara eksplisit dapat dituliskan dalam persamaan berikut ini:

0εσET = (2–13)

Yang mana σ menyatakan densitas muatan pada permukaan konduktor.

Gambar 2.16 Medan listrik total yang dihasilkan oleh konduktor.

Gambar 2.14 Medan listrik di permukaan konduktor oleh muatan yang terdapat pada permukaan konduktor tersebut

Gambar 2.15 Medan listrik total yang dihasilkan oleh konduktor terdiri dari dua komponen yaitu E1 dan E2.

Bab 2 Gerak Sepanjang Garis Lurus Gambar Cover Bab 2 Gerak Sepanjang Garis Lurus Sumber: http://www.inmagine.com

Gambar Sumber Gambar 2.1 Sebuah partikel bermuatan Qmemancarkan medan listrik ke segala arah.

Fishbane, P.M., et.al. 2005. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 3rd Edition. New Jersey: Prentice Hall, Inc. Page: 662.

Gambar 2.2 Berbagai bentuk permukaan yang melingkupi suatu muatan Q. Walaupun bentuk permukaannya berbeda‐beda namun jumlah garis medan listrik yang menembus permukaan tersebut adalah sama.


Gambar 2.3 Sebuah plat tak berhingga mengandung rapat muatan pada permukaannya menghasilkan medan listrik yang menembus bidang kertas yang luasnya A. Pada posisi yang berbeda, jumlah garis medan listrik yang menembus luasan A tidak sama. Jumlah garis yang menembus bidang A bergantung pada kemiringan bidang tersebut relatif terhadap arah garis medan listrik. Jumlah garis medan listrik yang menembus bidang menjadi maksimum ketika arah medan listrik sejajar dengan normal bidang yang ditembusnya.


Gambar 2.4 Bidang dengan luas area A ditembus medan listrik sebesar E. Fluks listrik yang dihasilkan adalah Φ = EA cos θ = EA karena θ = 0, vektor medan listrik sejajar dengan vektor nnormal bidang A

Serway, R.A and Faughn, J.S., 1999. College Physics, 7th Edition, USA: Harcourt Brace College Publisher. Page: 517.

Gambar 2.5 Terdapat dua wilayah yang dikenai medan listrik E yaitu wilayah A’ dan A.


Gambar 2.6 Sebuah muatan q diletakkan pada permukaan yang berbentuk setengah bola. Jari‐jari bola adalah r.


Gambar 2.7 Sebuah muatan dilingkupi oleh suatu permukaan khayal tertutup yang disebut permukaan Gauss. Permukaan tersebut membentuk bola dengan jari‐jari R


Gambar 2.8 Medan listrik yang dihasilkan oleh bola bermuatan dapat ditentukan dengan hukum Gauss

Dokumentasi Penulis

Gambar 2.9 Bagian dalam bola berongga adalah daerah dimana r < R sedangkan bagian di luar bola adalah daerah dimana r > R


Gambar 2.10 Sebuah kabel yang terdiri dari dua silinder yang masing‐masing membawa muatan Q(+) dan Q(‐). Jari‐jari silinder masing‐masing adalah a dan b dimana a < b.

Dokumentasi Penulis

Gambar 2.11 Sebuah bidang yang luas memiliki distribusi muatan pada kedua permukaannya. Densitas muatan pada permukaan bidang adalah σ. Medan listrik yang dihasilkan oleh bidang tersebut dapat dicari dengan hukum Gauss.

Halliday, R., Walker. 2006. Fundamental of Physics, 7th Edition. John‐Willey and Sons, Inc. Page: 752.

Gambar 2.12 Medan listrik eksternal bekerja pada sebuah konduktor.

Dokumentasi Penulis

Gambar 2.13 Polarisasi muatan pada konduktor akibat medan listrik eksternal E.


Gambar 2.14 Medan listrik di permukaan konduktor oleh muatan yang terdapat pada permukaan konduktor tersebut

Tipler, P.A. and Mosca, G. Physics For Scientist and Engineers: Extended Version, 5th Edition. W.H. Freeman & Company. Page : 707.

Gambar 2.15 Medan listrik total yang dihasilkan oleh konduktor terdiri dari dua komponen yaitu E1 dan E2.


Gambar 2.16 Medan listrik total yang dihasilkan oleh konduktor.


Daftar Pustaka

Serway, R.A and Faughn, J.S., 1999. College Physics, 7th Edition, USA: Harcourt

Brace College Publisher.

Dick, Greg, et.al. 2001. Physics 11, 1st Edition. Canada: McGraw-Hill Ryerson.

Dick, Greg, et.al. 2001. Physics 12, 1st Edition. Canada: McGraw-Hill Ryerson.

Fishbane, P.M., et.al. 2005. Physics for Scientists and Engineers with Modern

Physics, 3rd Edition. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Huggins, E.R. 2000. Physics 2000. Moose Mountain Digital Press. Etna, New

Hampshire 03750.

Tipler, P.A. and Mosca, G. Physics For Scientist and Engineers: Extended Version,

5th Edition. W.H. Freeman & Company.

Young, Freedman. 2008. Sears and Zemanky’s University Physics with Modern

Physics, 12th Edition. Pearson Education Inc.

Crowell, B. 2005. Electricity and Magnetism. Free Download at:

http://www.lightandmatter.com.

Crowell, B. 2005. Optics. Free Download at: http://www.lightandmatter.com.

Halliday, R., Walker. 2006. Fundamental of Physics, 7th Edition. USA: John Wiley &

Sons, Inc.

Pain, H.J. 2005. The Physics of Vibrations and Waves, 6th Edition. John Wiley &

Sons Ltd, The Atrium, Southern Gate, Chichester, West Sussex PO19

8SQ, England.

Mason, G.W., Griffen, D.T., Merril, J.J., and Thorne, J.M. 1997. Physical Science

Concept, 2nd Edition. Published by Grant W. Mason. Brigham Young

University Press.

Cassidy, D., Holton, G., and Rutherford, J. 2002. Understanding Physics, Springer–

Verlag New York, Inc.

Serway, R.A. and Jewet, J. 2003. Physics for Scientist and Engineers, 6th Edition.

USA: Brooks/Cole Publisher Co.

Vanderlinde, J. 2005. Classical Electromagnetic Theory, 2nd. Kluwer Academic

Publisher, Dordrecht.

Griffith, D.J. 1999. Introduction to Electrodynamics, 3rd Edition. Prentice Hall, Upper

Saddle River, New Jersey 07458.

Reitz, J.R., Milford, F.J., and Christy, R. W. 1993. Foundations of Electromagnetic

Theory, 4th Edition. USA: Addison-Wesley Publishing Company.

Bloomfield, L. 2007. How Everything Works: Making Physics Out of The Ordinary.

USA: John Wiley & Sons, Inc.

bab 02 hukum gauss

Documents