apuntes de metodos matematicos para la física -hugo f. arellano

8/13/2019 Apuntes de Metodos Matematicos para la Fsica -Hugo F. Arellano

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Hugo F. Arellano

Departamento de Fsica - FCFM

Universidad de Chile

Primavera de 2006


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Indice

1. Elementos de analisis complejo 9

1.1. Variables complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Derivada y analiticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1. La exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2. El logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Propiedades geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5. Transformaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6. Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7. Teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8. Formul a i nt egral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9. Sucesiones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.10. Series de Taylor y de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.11. Teorema de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.12. La parte principal de una integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

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f Metodos Matematicos para la Fsica

1.13. Hojas y superficie de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.14. Integrales que involucran funciones multivaluadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.15. Prolongacion analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.16. Relaciones de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.17. Metodo del descenso mas empinado (steepest descent) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2. Coordenadas curvilneas ortogonales 45

2.2. Coeficientes metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3. Elementos geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.1. El gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.2. La divergencia y el teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.3. El laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.4. El rotor y el teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. La delta de Dirac 55

3.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. Representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. Series y transformada de Fourier 59

4.1. El Teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2. Bases de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

U de Chile 4 FCFM


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H. F. Arellano Metodos Matematicos para la Fsica f

4.3. Paso del discreto al contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4.1. El teorema de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4.2. Relacion de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4.3. Potencial debido a una distribucion de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5. Ecuaciones diferenciales 69

5.2. Separacion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.1. Ecuacion de Lapl ace en un di sco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3. La ecuacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.1. Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3.2. Funciones modificadas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3.3. Diferenciacio n y r e c u r r e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3.4. Una identidad util . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3.5. La ecuacion de Laplace en una cavidad cilndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.4. Ecuacion de Helmoltz con simetra axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4.1. Los polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4.2. Propiedades de los polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4.3. Las funciones esfericas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.5. Ecuacion de Laplace en una cavidad esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.6. Los esfericos armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6.1. Construccion de los esfericos armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

FCFM 5 U de Chile


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5.6.2. Relaciones de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.6.3. Otras identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.7. Teora de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.8. Ecuaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.8.1. Aplicacion del metodo de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.8.2. La ecuacion hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.8.3. La ecuacion hipergeometrica confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6. Funciones de Green 103

6.0.1. Problema con C.B. homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.0.2. Un ejemplo clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6


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Pre-texto

Estos apuntes son una transcripcion de mi primer manuscrito de catedras del semestre de primavera de2005. Al igual que otros de mis apuntes, son informales en su presentaci on y carecen de desarrollos detallados

que comunmente se discuten en clases o encuentran en textos.

El tema de metodos matematicos para la fsica es sumamente extenso y hay varios textos de excelentecalidad donde encontrar desarrollos y discusiones interesantes, ademas de buenos ejemplos o problemastpicos. As entonces, no pretendo con estos apuntes hacer un aporte en esa lnea. El sentido de escribirloses mas bien registrar el enfasis de algunos aspectos discutidos en clases y de como ellos se estructuran hacialos temas mas avanzados. Espero que esto sea de ayuda.

Hugo F. ArellanoSantiago, primavera de 2006

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U de Chile 8 FCFM


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Captulo 1

Elementos de analisis complejo

1.1. Variables complejas

Comenzamos nuestro estudio suponiendo alguna familiaridad con los numeros complejos ordinarios,es decir, aquellos formados por la combinacion del tipo x

iy, con x e y variables reales ademas de la

propiedadi2 1. Para uniformizar la notacion, usaremos la letra z para simbolizar las variables complejas.

Las operaciones de suma y multiplicacion entre numeros complejos estan definidas de la siguiente forma.Sean z1 x1 i y1, y z2 x2 i y2, entonces

z1 z2def

x1 x2 i y1 y2 ,

z1 z2def

x1x2 y1y2 i x1y2 x2y1 .

Con estas definiciones, y al igual que en el cuerpo de los reales, los numeros complejos satisfacen las siguientespropiedades para la suma y el producto:

1. Asociatividad para la suma y el producto,

z1 z2 z3 z1 z2 z3 , z1 z2 z3 z1 z2 z3 ;

2. Conmutatividad de la suma y el producto,

z1 z2 z2 z1 , z1 z2 z2 z1 ;

3. Distributividad de la suma con respecto al producto,

z1 z2 z3 z1z2 z1z3 ;

4. Existencia del cero (0 0 i 0) y de la unidad (1 1 i 0):

z 0 0 z z , z 1 1 z z;

5. Existencia del inverso aditivo. Si z x

i y, entonces

z

x

i

y

es su inverso aditivo y

cumplez

z

z

z

0 ;

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6. Existencia del inverso multiplicativo. Si z x

i y, entonces1 z 1

1 z 2 z es su inverso multi-plicativo y cumple

z z 1

z 1

z

1 ;

Se define el modulo( z ) de un numero complejoz mediante z

zz , la cual conduce a la desigualdad

z1 z2 z1 z2 .

1.2. Funciones de variable compleja

Al igual que con variables reales, las multiples operaciones entre variables complejas permite la cons-truccion de funciones. Tales funciones resultan, en general, tambien complejas y se descomponen en parte

real e imaginaria. Si f

z

es una funcion de la variable compleja z

x

i y, entonces podemos escribir

f z

u

x, y

i v

x, y

w

x, y

.

Se subentiende que la aplicacionf toma elementos z en un dominio del plano complejo (C). Se dice que fes contnua en z

si para todo 0 existe un 0tal que z z

f

z

f

z

. Un ejemplo

de funcion contnua es f z

z2. En efecto,

z

w

wz

o

o

x u

iviy

Fig. 1.1: Cuando z

z

, entonces w

w

.

f

z

f

z

z2

z2

z

z

z

z

z

z

.

Ademas la desigualdad triangular permite z

z

z

z

2z

z

z

2 z

2 z

. Si denotamos

f f

z

y f

f

z

, entonces

f

f

2 z

.

Aqu resulta claro que la separacion infinitamente pequena entre f y f esta siempre garantizada. De ladesigualdad de arriba inferimos que para un dado, entonces el requerido esta dado por

z

2

z

.

Notamos que en este caso depende de z

, lo que es en general el caso. Sin embargo, si el dominio def esta acotado por

z

R, entonces se expresa independiente de z

. Ello se denomina continuidaduniforme.

1A todo complejo z x iy se le asocia el complejo conjugado, z , definido por z x iy. Con esta definicion

resulta evidente que z z z z x2 y2.

U de Chile 10 FCFM


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1.3. Derivada y analiticidad

Consideremos el cuocientef

z

f

z

z z

.

Este cuociente no esta definido para z z

. Sin embargo, al igual como se hace para funciones de variablereal, quisieramos construir el lmite cuando z

z

. En variable compleja imponemos una exigencia no trivial,cual es que el lmite sea independiente de comoz se aproxima a z

. As, definimos

f z

lmz

0

f z

z

f

z

z .

Calculemosf z

mediante un acercamientoz

z

paralelo al eje real, es decir z x, con z

x

i y.

Entonces,

f

z

u

x

x,y

i v

x

x,y

u

x, y

i v

x, y

x

u x

x,y

u

x, y

x

i v

x

x,y

v

x, y

x

u

x

i

v

x

.

Analogamente, calculemos f z

mediante un acercamientoz

z

paralelo al eje imaginario. En tal casoz

iy, con lo cual

f

z

u

x, y

y

i v

x, y

y

u

x, y

i v

x, y

iy

u x, y

y

u

x, y

i y

i v

x, y

y

v

x, y

iy

i

u

y

v

y

.

Para que ambos procedimientos lleven al mismo resultado imponemos que tanto la parte real como imaginariasean coincidentes, vale decir,

u

x

v

y

,

u

y

v

x

.

A esta se le denomina condicion de Cauchy-Riemann y constituye una condicion necesaria para la

analiticidad de una funcion. La suficiencia viene cuando las derivadas son contnuas.

De la condicion de Cauchy-Riemann surgen trivialmente

2u

x2

2u

y2

0, y

2v

x2

2v

y2

0,

que corresponden a ecuaciones de Laplace en 2D. En tal sentido, las componentes de real e imaginaria defunciones analticas son armonicas como funciones de x e y .

FCFM 11 U de Chile


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Resumen:Analiticidad: Sea f : C Cuna funcion compleja. La derivada de f en z

es

df

dz

z

lmz 0

f

z

z

f

z

z (1.3.1)

provisto de que el l mite exista y sea independiente de la forma como z 0.

Teorema: La funcion f z u x, y iv x, y es diferenciable en una region del plano complejo si y solo si lascondiciones de Cauchy-Riemann,

u

x

v

y

u

y

v

x (1.3.2)

(o, equivalentemente, f z 0), son satisfechas y todas las primeras derivadas parciales de u y v son continuasen esa region. En tal caso

df

dz

u

x i

v

x

v

y i

u

y (1.3.3)

Definiciones: La funcionf : C

Cse denomina analticaen z si es diferenciable enz y todo punto de su vecindad.Aquel punto donde fes analtica se denomina punto regular de f. Un punto donde fno es analtica se denominapunto singular o singularidad de f. Una funcion para la cual todos los puntos en Cson regulares se llama funcionentera.

La analiticidad de una funcion no es una propiedad que este garantizada a cualquier funcion contnua.Por ejemplo, consideremos z

x

i y, y definamos f

z

z

z . Claramente u

x, y

2x; v x, y 0.La derivada df

dz obtenida mediante variaciones de z paralelas al eje real es

u

x

i

v

x

2. Deigual forma, variaciones paralelas al eje complejo (z

iy) conducen a

i

u

y

v

y

0. Esteresultado es diferente al anterior, por lo que la analiticidad no se cumple. En general, una forma sistematicade verificar la analiticidad de una funcion es examinando la condicion de Cauchy-Riemann. Para este ejemplose observa que

u

x

v

y. En general, cualquier funcion de z y z resulta no analtica.

Examinemos un ejemplo simple: f z

z2. Considerando z

x

i y es facil verificar que f

z

w x, y

x2

y2

i

2xy . Identificamos u x2 y2, y v 2xy, con lo cual

u

x

2x;

u

y

2y;

v

x

2y;

v

y

2x .

Estas derivadas cruzadas satisfacen las condiciones de C.R. La derivada es unica y la podemos evaluar:

f z

u

x

i

v

x

2x i 2y 2z ,

coincidente con el resultado conocido para variables reales. En general, se puede demostrar que para todo nentero,

d

dz

zn

n zn 1 .

Su demostracion queda propuesta.

1.3.1. La exponencial

Un ejemplo de gran valor es el caso de la funcion exponencial. Esta funcion puede ser definida devarias formas. Consideremos en este caso la siguiente construccion. La exponencial es una funcion de la

U de Chile 12 FCFM


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variable compleja z , que denotadaremos por f, que satisface las siguientes propiedades: a) f z

es analtica

y univaluada en C; b) f z f z ; y c) f z1 z2 f z1 f z2 . Procedemos entonces a la construccionde la exponencial.

De la condicion c) se tiene f 0 0 f 0 f 0 , por lo que f 0 2 f 0 . Soluciones son f 0 0; 1.

De la condicion c) vemos que f z

z

f

z

f

z

f

z

f

z

f

z

f

z

1 .

Imponemos que f z

f

z

. Examinamos

f z

z

f

z

z

f z

f

z

1

z .

Cuando z 0, vemos que f z 1 z diverge si f 0 0. Solo f 0 1permite analiticidad.

Imponemos f f, expresando f

z

u

x, y

i v

x, y

. Entonces,

u

x u;

v

x v ,

de lo cual u x, y

a

y

ex, y v

x, y

b

y

ex.

La condicion de analiticidad de C.R. conduce a

u

x

v

y

a

y

db

dy ,

v

x

u

y

b

y

da

dy ,

de donde se obtienen a a

0; b b 0. Las ecuaciones de arriba son dos ecuaciones acopladasde primer orden, de modo que son solo dos las constantes arbitrarias de integracion. Si consideramos

a y

A cos y B sin y , b y A sin y B cos y .

Imponemos f 0 1, con cual

u 0, 0 1

v 0, 0 0

a 0 1

b 0 0

A 1

B 0

Construimosf u

i v

w

x, y

, obteniendo

w x, y

ex

cos y i sin y def

ez .

Del resultado anterior resulta evidente que para z iy, con y real, se tiene eiy

cos y i sin y. De igualmodo, si z

x (real), entonces ez

ex.

La exponencial es analtica en todo C, de modo que es una funcion entera. Una grafica de la superficiede ez para sus componentes real e imaginaria se muestran el la Fig. (1.2). Asociadas a la exponencial sedefinen las siguientes funciones de variable compleja, ambas enteras:

cos z eiz

e iz

2 , sin z

eiz

e iz

2i .

FCFM 13 U de Chile


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-3

-2

-1

0

0

5

10

15

-1

-0.5

0

0.5

1

-3

-2

-1

0

0

5

10

15

-1

-0.5

0

0.5

1

Fig. 1.2: Partes real e imaginaria de e z.

Ademas, se define

tan z sin z

cos z

.

Esta ultima no es analtica en los ceros de cos z. De forma analoga se introducen las definiciones

cosh z ez

e z

2 , sinh z

ez

e z

2 , tanh z

sinh z

cosh z .

1.3.2. El logaritmo

Al igual que en variable real, se define el logaritmo como la funci on inversa de la exponencial. Notar,sin embargo, que la exponencial es una funcion periodica, vale decir,

ez ez 2iN ,

con Nun entero arbitrario. Esto conduce a que la inversa de la exponencial resulte multivaluada en suparte imaginaria. En principio eso puede ser un inconveniente. Por ahora subsanamos tal ambig uedad sirestringimos la parte imaginaria a solo un sector.

Buscamos una forma explcita, en terminos de x e y , paraln z w. Esta construccion se basa en exigirque ew

z. De esta ultima, claramente

z eu i v

eu

cos v i sin v .

Tomando modulo a ambos lados y luego el logaritmo en variables reales obtenemos

u ln z .

Ademas, si representamos z

z cos

i sin

, es claro que v

def

arg z. De tal forma que

w ln z i arg z .

En terminos de las componentes de z ,

w ln

x2

y2

i arctan y

x

.

U de Chile 14 FCFM


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Con este resultado calculemos su derivada

d ln z

dz

w

x

x

x2

y2 i

y

x2

1 y x 2

x iy

x2

y2

1

x iy

.

Por lo tanto,d ln z

dz

1

z .

Contando con la definicion del logaritmo podemos definir la potenciacion a un numero real a,

za def

ea ln z .

Con esta definicion es directo calcular la derivada de z a:

d za

dz

d

dz ea ln z

ea lnz

a

z a za 1 .

1.4. Propiedades geometricas

Geometricamente el gradiente de una funcion de dos variables, x, y

, apunta en la direccion de mayor

crecimiento. Si consideramos u x, y

y v

x, y

, componentes de una funcion analtica f

z

, entonces

u v

u

x

v

x

u

y

v

y

.

Al hacer uso de la condicion de C.R. se obtiene que u v 0Esto implica que, en un punto z x iy,la direccion de mayor crecimiento de u es perpendicular a la de v . En otras palabras, las curvas de nivel de

u

x, y

son perpendiculares a las de v

x, y

.

A modo de ilustracion, consideremos nuevamente la funcion f z

z2. En tal caso u

x2

y2, y

v 2xy. Las curvas de nivel estan dadas por x2 y2 u

y 2xy v

, ilustradas en la Fig. (1.3), donde

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Fig. 1.3: Curvas de nivel de u x, y

(izquierda) y v

x, y

(derecha).

se puede apreciar visualmente la perpendicularidad de las curvas de nivel.

FCFM 15 U de Chile


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1.5. Transformaciones conformes

La aplicacionw

f

z

asocia a cada par

x, y

dez

x

i y otro

u, v

de w

u

i v. As entonces,mediante la aplicacionfpodemos identificar la region

u, v

que resulta de considerar todos los puntos

x, y

correspondientes a z en un dominio D. A esta construccion se le llama mapa. Cuando la transformacion f

z w

u

v

x

yf

Fig. 1.4: Un mapa.

es analtica, los mapas resultantes tienen propiedades interesantes. Comencemos examinando la geometrade dos desplazamientos arbitrarios en z y veamos en que se traducen para w .

Sea z

un punto en el dominio de partida yw

f

z

su imagen respectiva. Sin perder generalidad,

podemos afirmar que un desplazamiento muy pequeno desde z

, z z

z

, conlleva una variacion wdado por

w f

z

z.

Al ser f analtica, f z

es unica. Contemplemos dos desplazamientos independientes, za y zb, ambosde igual magnitud (s) pero con orientaciones distintas. Si los angulos relativos al eje real son a y b,respectivamente, entonces sus desplazamientos en el planoCson

za s eia , y zb s e

ib .

Claramente el angulo entre estos dos desplazamientos se obtiene examinando el cuociente zb za:

zb

za

ei

b a

.

Nos preguntamos entonces por el angulo relativo entre las variaciones wa y wb respectivas:

wb

wa

f z

zb

f z

za

ei b a .

En otras palabras, el angulo relativo entre way wbes el mismo que entre zay zb, lo que se ilustra en la Fig.(1.5). Es importante resaltar que la preservacion de los angulos esta garantizada solo cuandof

z

0. Si

b a

b

a

za

w

w

azb

b

x

i y

u

i v

Fig. 1.5: Si f z

0 entonces za, zb wa, wb .

esto no ocurre hay que examinar mas detalladamente considerando terminos de orden superior. Mas adelanteestudiaremos expansiones en series de Taylor en torno a puntos regulares. Si el termino no nulo mas bajo esde ordenm, entonces

wa, wb m za, zb . Cuando m 1nos referimos a unatransformacion

conforme.

U de Chile 16 FCFM


17/106


1.5.1. Ejemplos

Inversion: w

1

z.

Consideremos la transformacionf z

1 z y estudiemos la region que resulta al considerar el conjuntoD

z

C :

z

a

a

. Se subentiende que a es un real positivo. En este caso los puntos en D quedanconvenientemente descritos por

z a

ei , : 0

a; :

.

Construimosw:

w

1

z

1

a ei

.

Mediante manipulacion algebraica directa obtenemos

w a

cos

a2

2 2a cos

i sin

a2

2 2a cos .

El centro del c rculo es mapeado a w 1 a. Los puntos del contorno deD quedan determinados con a.

En tal caso

w

1

2a i

1

2atan 2 ,

representando una recta con u 1 2ay v barriendo

a

B

C

A

A

BC

1/2a 1/a

u+iv = 1/ (x+iy)

Fig. 1.6: La transformacion f(z)=1/z, aplicada a un crculo.

1.6. Integracion

Seanf : C C y una trayectoria contnua que une los puntos extremos zay zb. Definimos la integralmediante la suma infinita de elementos infinitesimales,

f z

dz

lmn

n

j

1

f j zj zj 1

zb

za

f z

dz .

En esta construccion exigimos que para todo segmento, zj zj

1 0. Ademas, convenimos en que fes evaluada en cualquier punto j en el segmento zj

1 zj . Suponemos que la funcion f no experimentasaltos a lo largo de. Para fijar ideas hemos considerado z0 za, y zn zb.

FCFM 17 U de Chile


18/106


01

2

n 2

n 1 n

z

zb

a

x

i y

Fig. 1.7: Integral a lo largo de una trayectoria .

1.7. Teorema de Cauchy-Goursat

Cuando la una funcion f : C Ces analtica sobre y dentro de una trayectoria cerrada C, entonces

C

f z

dz

0.

A este teorema se le llama Teorema de Cauchy-Goursat. Sin pretender una demostracion rigurosa sinomas bien dar una justificacion razonable, consideremos una trayectoria no cerrada y que une dos puntosextremos,za y zb. Expresemos la integral en terminos de las partes real e imaginaria y desarrollamos.

I

z

f z

dz

xy

u

i v

x

i y

xy

u dx

v dy

i

xy

v dx

u dy

.

En estas hacemos una distincion entre la trayectoria en C, denotada por z, y aquella equivalente en 2,xy. Las dos integrales de la derecha se pueden expresar como integrales de camino de los campo vectorialesA

u,

v

y B

v, u

, respectivamente. Por el teorema de Stokes, tales integrales son independientes

de la trayectoria si es que A 0 y B 0, lo cual es efectivo al considerar la condicion de C.R.para las funcionesu y v :

A xAy yAx x v y u 0,

B xBy yBx x u y v 0.

za

zb

C

zb

za(a ) (b) (c)

2

1

2

1

Fig. 1.8: Integral a lo largo de una trayectoria .

El resultado anterior permite comenzar con una integral a lo largo de un camino 1 y deformarlogradualmente hasta transformarlo en 2 [ver (a)]. Si la funcion f z es analtica sobre cada una de las

U de Chile 18 FCFM


19/106


trayectorias intermedias, entonces

zb

za

1

f z

dz

zb

za

2

f z

dz ,

donde ambas trayectorias parten de za y llegan a zb. Al cambiar de orden la segunda integral, tambiencambiamos el signo [ver (b)]:

zb

za 1

f z

dz

za

zb 2

f z

dz

zb

za 1

f z

dz

za

zb 2

f z

dz

0.

De esta ultima obtenemos [ver (c)]

C

f z

dz

0.

Ejemplosi.- Calculemos I

z dz para las trayectorias a, b y cindicadas en la figura.

1+2i

b

a

c0

Fig. 1.9: Tres curvas de integracion.

a) Para la trayectoriaa podemos parametrizar z de la forma

z t

t

2it , t: 0

1.

Entonces, dz dt

2i dt. Sustituyendo,

Ia

1

0

t

2it dt 2i dt

1

0

3t dt 4itdt 3

2 2i .

b) Para la trayectoriab podemos parametrizar z de la forma

z t

t

2it2 , t: 0 1.

Entonces, dz dt

4it dt, con lo cual

Ib

1

0

t

2it2 dt 4it dt 3

2 2i .

FCFM 19 U de Chile


20/106


c) En el tercer caso contemplamos dos segmentos. En el primero de ellos hacemos z t

t, (dz

dt),

con t : 0 1. En el segundo podemos hacer z t 1 it, (dz idt), con t : 0 2. De esta forma,

Ic

1

0

t dt

2

0

1 it i dt 32 2i .

Los pasos intermedios se verifican trivialmente.

ii.- Calculemos

dzz

para una trayectoria circunferencial cerrada en torno al origen.

En este caso los puntos z en la trayectoria estan dados por z

Rei, (dz

Reii d), con

: 0 2. As,

dz

z

2

0

Reii d

Rei 2i .

Este resultado permite el calculo de

dzz

para cualquier trayectoria que encierre el origen. Para ello considere-

se el trayecto de la derecha de la Fig. (1.10) Notar que la trayectoria cerrada compuesta por los tramos a,b,

a

bc

da

Fig. 1.10: Trayectoria evitando la singularidad en el origen.

cy d no encierra singularidad alguna. Ademas, cuidamos quec corresponda a una circunferencia concentricaal origen. Por lo tanto,

dz

z

a

b

c

d

0.

Al hacer los tramos paralelosb yd infinitamente proximos, la suma de ambas integrales se anula. Por lo tantoquedan dos integrales cerradas, una sobre y la otra sobre la circunferencia recorrida en sentido horario. Porlo tanto

dz

z

c

dz

z 2i .

Resumiendo,

dz

z

2i si encierra el origen

0 si no encierra el origen

1.8. Formula integral de Cauchy

El siguiente teorema (de Cauchy) es de gran trascendencia en el estudio de funciones analticas. En estese establece que si f : C C es analtica sobre y dentro de un contorno simple cerrado, conz

un punto

U de Chile 20 FCFM


21/106


en el interior de , entonces

f z

1

2i

f z

z z

dz

Para demostrar este teorema podemos hacer uso nuevamente de la Fig. (1.10), donde se construye unatrayectoria cerrada que excluye al punto z

, ubicado al centro de la circunferencia pequena de radio . Con

ello el integrando f z z

z

es analtico dentro de la trayectoria cerrada y se aplica el teorema de Cauchy-Goursat:

f z

dz

z z

a

b

c

d

0

Al hacer los tramos b y d infinitamente proximos, las integrales (recorridas en sentidos opuestos) se cancelanpues los integrandos coinciden en el lmite. En tal caso

a

, con lo que

f z

dz

z z

c

f z

dz

z z

Necesitamos evaluar

c en el lmite

0. Parametrizando (en sentido horario), z

z

e

i

(dz

e ii d), con : 0 2, obtenemos

c

i

2

0

f z

e i

d .

Puesto quefes contnua, entonces f z

e i

f

z

cuando

0. Por lo tanto

c 2if z

.

Sustituyendo es evidente

f z

1

2i

f z

z z

dz.

Este resultado se extiende a las derivadas de una funci on analtica. Para ello hagamos un cambio de notacion.Primeroz

, y luego z

z, con lo cual

f z 12i

f

z

d .

Aceptando que la derivada de la integral es la integral de la derivada, es inmediato observar

f n

z

dn

dzn

1

2i

f

z

d

1

2i

dn

dzn1

z

f

d

1

2i

n!

z

n 1f

d

1.9. Sucesiones y series

Un tema de bastante importancia en el estudio de funciones de variable compleja es su desorrollo enseries de potencias. Siendo este un tema sumamente amplio, nos limitaremos a resumir solo algunas nocionesbasicas.

FCFM 21 U de Chile


22/106


Consideremos la sucesion infinita de numeros reales o complejos w1, w2, w3, . . . y construimos la sumaparcial de k terminos,

Sk

k

n 1

wn .

Decimos que la serie S

n

1 wn es convergente siS lmk Sk existe, vale decir, es finito. En relaci ona las caractersticas de convergencia de las series, se definen dos tipos:

a) Series absolutamente convergentes, cuando

n 1 wn es convergente; y

b) Series condicionalmente convergentes, cuando

n

1 wn converge pero

n

1 wn diverge.

En relacion a criterios para examinar la convergencia de una serie mencionamos tres de ellos.

1. El test de comparacion, que consiste en descomponer los elementos de la sucesi on en sus partesreal e imaginaria, wn un ivn. Se analizan separadamente

n

1 un y

n

1 vn, y suponemos queun 0y vn 0. Si ademas, una serie conocida

n 1 an es convergente, con un an n, entonces

n

1 un es convergente. Un criterio analogo es utilizado para examinar la convergencia de la parteimaginaria.

2. El test del cuociente, que consiste en construir el cuociente n wn 1 wn . Definamos ademasR

lmn

n. Bajo este criterio, si R 1 la serie converge absolutamente; si R 1 entonces laconvergencia queda indeterminada; si R

1la serie es divergente.

3. Eltest de Cauchy, donde se define lmn

wn

1

n. Si 1, entonces la serie es convergente;

si 1 la convergencia queda indeterminada; si 1 la serie diverge.

Un ejemplo simple y de mucho interes consiste en la serie geometrica defininda por

Sn 1 z z2

zn 1 .

Es directo verificar el siguiente resultado exacto

Sn 1 zn

1 z ,

z

1 .

Puesto que lmn

zn 0 para z 1, entonces

S

1

1 z .

Esta expresion cerrada para la suma de infinitos terminos se obtiene suponiendo z

1. Mas alla de si

existe una expresion cerrada, la existencia de un resultado finito est a condicionada, independientemente, porlos criterios del cuociente y de Cauchy. Ambos garantizan convergencia de la serie para todo

z

1. Alsector delimitado por

z

1 se le denomina crculo de convergencia.

La extension de series en un sentido general a lo que denominaremos serie de funciones es relativamentesimple. En este caso consideramos la secuencia de funciones w1 z , w2 z , . . . y definimos

Sn z

n

k

1

wk z .

U de Chile 22 FCFM


23/106


Definimos ademas

f z

lmn

Sn z .

Esta serie es uniformemente convergente en la regi on anular a

z

b si

0

N : n

N

f

z

Sn z . Al analizar la serie geometrica y denominandof z 1 1 z ,

f

z

SN z

z

N

1

z

.

Buscamos Npara el dado y obtenemos

N

ln 1 z

z

.

1.10. Series de Taylor y de Laurent

Cuando una funcion es analtica dentro de un crculo centrado en un punto z

, entonces es factibleexpandir tal funcion en serie de potencias de

z

z

. A esta expansion se le reconoce como serie de

Taylor. Concretamente,

f z

f

z

f

z

z

z

n

0

f n

z

n!

z z

n.

La demostracion de este teorema es bastante directa si consideramos la formula integral de Cauchy para

una trayectoria circunferencial C centrada en z

, como se ilustra en la Fig. (1.11). En tal caso aplicamos

z

z o

Fig. 1.11: Trayectoria circunferencial Cen torno a z

.

directamente

f

z

1

2i

C

f

d

z .

Reagrupando los terminos en 1 z tenemos

1

z

1

z

z

z

1

z

1

1 ,

con

z z

z

,

1.

FCFM 23 U de Chile


24/106


La propiedad

1es evidente puesto que esta en el contorno del crculo, mientras quez esta al interior.As entonces,1 1

n 0 n, que al combinar con las tres expresiones anteriores conduce a

2if z

C

1

z

n

0

z z

z

n

f d

n

0

z z n

C

f

d

z

n

1 .

Utilizando la formula integral de Cauchy para la derivada, valida si fes analtica, resulta evidente

f z

n 0

f n

z

n!

z z

n ,

la serie de Taylor de fen torno a z

.

La expansion de Laurent no tiene contraparte en variable real, permitiendo la expansion en serie depotencias en regiones anulares en cuyo interior la funcion es no analtica. Consideremos y dos crculosconcentricos de radios r y R, respectivamente. Ambos estan centrados en z

, con r R, como se ilustra

en la Fig. (1.12). Sea f : C

C analtica en la region anular S comprendida entre y . Entonces, para

z

zo

Fig. 1.12: Sector anular comprendido entre y , concentricas en z

.

todo punto z S, f

z

esta dada por

f z

n 0

an z z n

n 1

bn

z z

n ,

donde

an 1

2i

f

d

z

n 1 ,

bn 1

2i

z

n

1f

d .

Para demostrar este resultado recurrimos nuevamente a la formula integral de Cauchy, esta vez cuidandoque la trayectoria cerrada a considerar excluya eventuales puntos singulares. En la Fig. (1.13) se consideranlos arcos casi cerrados y , ademas de dos tramos paralelos muy proximos entre s. La analiticidad de f z

dentro de la trayectoria escogida permite el uso de la integral de Cauchy,

f

d

z

f

d

z

0

2if z .

Cuando los tramos

y

se hacen infinitamente proximos, la suma de la integrales se cancela ypodemos escribir

f z

1

2i

f

d

z

1

2i

f

d

z

.

U de Chile 24 FCFM


25/106


0 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 1 1 1 11 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

()

(+)

Fig. 1.13: Trayectoria cerrada que excluye singularidades.

Se ha antepuesto signo a la integral

, pero se subentiende entonces que esta se realiza en el sentido

positivo (antihorario).

Al igual que como se hizo con la serie de Taylor, buscamos expresiones adecuadas para 1 z y1 z , al estilo de la serie geometrica, que involucren potencias de z z

. En esa lnea, es facil verificarque

1

z

1z

z

n 0

z

z z

n

n 0

z

n

z

z

n 1 .

Por otro lado ya obtuvimos

1

z

n 0

z

z

n

z

n

1 ,

de modo que al sustituir en las integrales respectivas tenemos

f z

1

2i

n 0

f

d

z

n 1

z

z

n

n 0

z

nf

d

1

z

z

n 1

.

De esta expresion resultan evidentes los coeficientes an y bn de la serie de Laurent.

A modo de ilustracion (trivial) busquemos la serie de Laurent para f z

1 z 1 en torno a z 1.Los coeficientes an y bn se deteminan mediante integracion directa en torno a z 1. Comencemos poran,

an 1

2i

f

d

1 n 1 .

Parametrizamos: 1 ei, (d eiid), : 0 2 f e i

an 1

2n 1

2

0

e i n 1 d 0.

Este ultimo paso es evidente porque n 0. Calculemos ahora los coeficientes bn:

bn 1

2i

1 n 1f d

Parametrizamos nuevamente: 1 ei, (d eiid), : 0 2 f e i

bn 1

2n 1

2

0

ei n 1 d .

FCFM 25 U de Chile


26/106


En este caso n 1. Cuando n 1 se obtiene directamente b1 1. De igual forma se verifica facilmente

que bn

1 0. As entonces la serie de Laurent paraf z 1 z 1 es la misma funcion, algo totalmenteprevisible.

Como en la ilustracion anterior, las series de Laurent se pueden aplicar en torno a puntos singulares. Enparticular, si z

es una singularidad aislada, entonces podemos expandir

f z

n 0

an z z

n

b1

z

z

bn

z

z

n

fP

.

La contribucion fP z se denomina parte principalde f en z

. En relacion a esta expansion se definen lassiguientes denominaciones.

Si fP z consta de solo el primer termino b1 z z , entoncesz es un polo simple de f.

Si fPes truncada en n m, entoncesftiene un polo de orden m en z .

Si fP z consta de infinitos terminos entonces z

es una singularidad escencial.

Una singularidad es removible cuando f z

esta indefinida pero lmz

z

f z

existe. Por ejemplo,

f z

sin z z, y g z ez z 1 z2 tienen singularidades removibles en z 0.

1.11. Teorema de los residuos

Sea f z

una funcion meromorfa en sobre y dentro de una trayectoria cerrada C. Nos planteamos el

calculo de la integral

C

f z

dz .

Supongamos que dentro de Chay polos. Lo que hacemos es construir una trayectoria cerrada que siga elcontornoC, con eventuales virajes dirijidos hacia los polos, aisl andolos y retornando por el mismo trayecto.Esto es posible si la funcion es continua en todo el trayecto. Las integraciones de ida y vuelta en los tramos

k k

Fig. 1.14: Trayectoria cerrada excluyendo los polos de una funcion meromorfa.

hacia los polos se cancelan. Si denominamos k a la trayectoria cerrada que enlaza alk esimo polo, entonces

C

f z

dz

1,

f z

dz

k,

f z

dz

0

U de Chile 26 FCFM


27/106


De aqu obtenemos

C

f z

dz

k

k

f z

dz

donde hemos omitido indicar el smbolo en las integrales de la derecha. Abordamos ahora el calculo de

kf

z

dz, encerrando el k

esimo polo que suponemos de orden m. Definamos entonces

k z z zk mf

z

,

Si fes expandida en serie de Laurent en torno a zk, entonces

lmz zk

z

bm;k ,

donde bm;k representa el coeficiente de mayor orden de la parte principal de f. As,

k

f z

dz

k

k z dz

z

zk m

2i

m

1 ! m 1

zk , (por Cauchy).

Definiendo

Res f zk

1

m

1 ! m 1

zk ,

obtenemos

k

f z

dz

2i

k

Res f zk ,

el denominado teorema de los residuos. Para los polos de primer orden se tiene

Res f zk lm

z zk

z zk f z ;

en el caso de los polos de segundo orden

Res f zk lm

z

zk

d

dz

z

zk

2f z

.

El teorema de los res duos es particularmente util para el calculo de integrales definidas cuyos integrandosno cuenten con primitivas. Examinemos algunos casos tpicos.

1. Integrales del tipo I1 2

0 F

sin , cos d

Si hacemos z ei, (dz

eiid), entonces podemos escribir

sin

z2 1

2iz , cos

z2 1

2z .

La integral se reduce entonces al calculo, a lo largo de la circunferencia z

1, de

I

i

dz

z F

z2 1

2iz ,

z2 1

2z

.

Calculemos, por ejemplo,

I

2

0

d

b cos

.

FCFM 27 U de Chile


28/106


x

i y|z|=1

Polos para b=1

Polos (conjugados) para b1

Fig. 1.15: Ubicacion de las raices de z2 2bz 1 0.

Haciendo las sustituciones descritas se obtiene

I 2i

dz

z2 2bz 1

.

Los polos del integrando son z

b

b2 1, ilustrados en la Fig. (1.15). Se puede verificar que solo

en el caso b 1uno de los polos, z

b

b2 1, se localiza al interior de la circunferencia. Para

el caso b 1 los polos yacen sobre la trayectoria, situacion que obviaremos en este caso. Evaluemos

entonces el residuo.

Resf z

z

z

1

z

z

z

z

1

z z

1

z

z

1

2

b2 1

Con esto la integral buscada resulta

I

2

b2 1.

2. Integrales del tipo I2

P x

Q x dx

Las integrales de este tipo resultan bastante simples si cambiamosx

z. La trayectoria a considerar esuna semicircunferencia (

o

) cerrada por el eje real. DenotemosP

x

Q

x

porf

x

. Examinamos

entonces

f z

dz

R

R

f x

dx

f z

dz

2i

Res f zj .

La integral sobre se analiza en algun detalle. Consideramos z

Rei, (dz

izd), : 0 .

Entonces,

f z

dz

i

0

z f z

d .

Si z f z

0cuando R , entonces

f z

dz

0. Bajo este supuesto entonces,

f x

dx

2i

Res f zj .

Los residuos en este caso son los ubicados en el semiplano complejo superior.

U de Chile 28 FCFM


29/106


Consideremos un ejemplo elemental:

dx

1 x2 .

Examinamosf

z

dz

1 z2 ,

Sus polos sonz

i, pero soloz

iyace en el semiplano superior. Para el residuo evaluamos z

i

en

Res f z

z

i

dz

1 z2

1

z i

1

2i.

Con ello,

dx

1 x2 2i

1

2i .

3. Integrales del tipo I3

R x

cos axsin ax

dx

Para este tipo de integrales procedemos en forma similar a como se hizo en el caso anterior. Depen-diendo de cual sea la funcion, cos ax o sin ax, consideramos la parte real o imaginaria de R x eiax.Luego extendemos al plano complejo, R

z

eiaz, e integramos sobre una semicircunferencia cerrando

por arriba o por abajo. A este punto hay que tener precaucion por donde cerrar, puesto que el signo dea es determinante para la convergencia de la integraci on sobre la semicircinferencia cuandoR

.

Hay que examinar caso a caso.

Ilustramos con el siguiente ejemplo,

cos kx

1

2x2

2 Re

eikz

1

2x2

2 .

Debemos decidir si cerramos por arriba ( ) o por abajo (

). Para ello analizamos la exponencial

evaluada en la semicircunferencia, z R

cos i sin :

eikz

eikR cos i sin

eikR cos e kR sin .

Cuando R

la exponencial tiende a cero solo para 0 , motivo por el cual cerramos porarriba puesto que as

0queda garantizado. Consecuentemente,

eikz

1 2x2 2 2i

k

Res f zj .

Los ceros del denominador son z

i , de segundo orden, pero solo hay que considerar z

i

.

Evaluamos para el residuod

dz

z

i

2 eikz

1

iz

21

iz

2

z i

,

y se obtiene para la integral

I

2

1 k

e k .

FCFM 29 U de Chile


30/106


4. La integral I4

eikx bx2

dx

Esta integral es muy recurrente en el estudio ondulatorio de paquetes o pulsos gaussianos. Su carac-terstica es que el integrando tiene una componente imaginaria (ikx) en la exponencial. Formamos

primero un cuadrado de binomio para x,

ikx bx2

b

x

ik

2b

2

k2

4b .

Ello permite escribir

I4 e k2 4b

e b x ik2b

2

dx

I

.

Nos ocupamos entonces deI

, para lo cual consideramos la trayectoria rectangulardescrita en la Fig.(1.16) formada por un segmento

R, R

en el eje real, otro paralelo que une los extremos

R

ik

2by dos tramos paralelos al eje imaginario que cierran la trayectoria. Consideramos entonces la identidad

a

c

bd

Rik/2b Rik/2b

R R

Fig. 1.16: Trayectoria rectangular cerrada para abordar la integral gaussiana.

e

bz

2

dz 0,

debido a que el integrando es analtico al interior de. Por lo tanto,

a

b

c

d 0. Observamos

ademas lo siguiente:

La integracion en el trayecto a representa I

en el lmite R

. En efecto, parametrizandoz

x

ik

2b, (dz dx), con x : R R, obtenemos

a

e bz2

dz

R

R

e b x ik 2b 2

dx

I

.

La integracion en el trayecto c representa la integral de una gaussiana en el eje real, cuyo valor

es conocido. En efecto, hacemos z

x, (dz

dx), con x : R

R,

c

e bz2

dz

R

R

e bx2

dx

e bx2

b .

Las integrales sobre b y d se anulan al hacer R

. Examinemos el tramob, donde hacemosz

R

it, (dz

idt), con t : k b 0. Entonces,

b

e bz2

dz

0

k b

e b R it 2

idt i e bR

2

0

k b

e 2iRbt ebt2

dt 0

U de Chile 30 FCFM


31/106


El l mite tomado en el ultimo paso es directo al analizar el modulo de la integral:

0

k b

e 2iRbt bt2

dt

0

k b

e 2iRbt bt2

dt

0

k b

ebt2

dt

kek b

b

La ultima desigualdad surge de tomar el maximo del integrando y multiplicarlo por el ancho delintervalo. Este valor resulta independiente de R, de modo que su contribucion se anula al sermultiplicada pore bR

2

y tomarR

. Un procedimiento analogo se emplea para examinar

d.

De las observaciones anteriores se obtiene

I

0

b 0 0 I4

b e k

2

4b .

1.12. La parte principal de una integral

Hasta ahora hemos evitado la presencia de singularidades en el eje de integraci on, usualmente en el ejereal. Consideremos la integral

I

f x

x x

dx .

Ciertamente al pasar el integrando por x

nos encontramos con una singularidad que hemos de evitar, enparticular si f

x

0. A fin de darle una significacion a la integral de arriba, definamosla como el valorlmite

I

lm 0

x

f x

x x

dx

x

f x

x x

dx

P

f x

dx

x x

.

A esta cantidad se le denominaparte principalde fy veremos una forma sistematica de obtenerla medianteintegracion en el plano complejo.

Supongamos que podemos extender la funcion f x

al plano complejo mediante una sustitucion simple

f x

f

z

. Tal sustitucion define una funcion meromorfa en C. Si consideramos la trayectoria cerrada

descrita en la Fig. (1.17). La integral cerrada se descompone en dos semicircunferencias, una evitando x

y

xo

i y

R

R

R

x

Fig. 1.17: Trayectoria que excluye el polo en el eje real.

otra cerrada por arriba. Ademas, se incluye la integracion en el eje real acercandose a x

, lo que define la

FCFM 31 U de Chile


32/106


parte principal de la integral.

f z

dz

z x

P

f x

dx

x x

f z

dz

z x

f z

dz

z x

2i

k

Res

f zk

zk x

Si ademas, f

z

0 sobre, cuando R , entonces

0. Falta evaluar

, para lo cual parametri-

zamos z x

ei, (dz

eiid), con : 0. As, luego de sustituir y simplificar

i

0

f x

ei

d .

Si f z

es contnua en x

, entonces al hacer 0 se obtiene

if x

. Combinando los resultados

anteriores obtenemos

P

f x

dx

x x

if

x

2i

k

Res

f zk

zk x

Hay que tener presente que en esta version se ha excluidox

del contorno de integracion. Ademas, f z 0en la semicircunferencia superior cuando su radioR se hace infinito.

A modo de ilustracion evaluemos la integral I

sin x x dx. Recordando que sin x eix

e ix 2i, es facil verificar que

iI

eix

x dx .

CalculamosPde esta integral, para lo cual identificamos un unico polo en x 0. Tal polo queda fuera de

la trayectoria pues el contorno lo excluye, por lo que no hay aporte de residuos. Ademas, eiz 0 sobre la

semicircinferencia superior, cuando R

. En resumen,

P

eixdx

x

if

0 i ,

por lo que I .

Un resultado importante de la discusion basada en la Fig. (1.17) esta sintetizado en la identidad

f z

dz

z x

P

f x

dx

x x

if

x

.

Sin embargo el termino de la izquierda es el mismo si se cambia levemente la trayectoria de integracion a ladel lado derecho de la Fig. (1.18). Todo ello si es que f

x

i

f

x

cuando

0, una exigencia decontinuidad de fen el eje. Entonces, la integral de la izquierda se puede parametrizar mediante z

x

i,

(dz dx), con x : . Por lo tanto,

f z

dz

z x

f x

i

dx

x x i

f x

dx

x x i .

De esta forma,

f x

dx

x x

i

P

f x

dx

x x

if

x

.

Este resultado es abreviado usualmente mediante

1

x x

i

P

1

x x

i

x

x

,

con la funciondelta de Dirac a ser revisada mas adelante.

U de Chile 32 FCFM


33/106


Fig. 1.18: Trayectorias equivalentes que evitan el polo.

1.13. Hojas y superficie de Riemann

Una clase especial de funciones de variable compleja es aquella de funciones multivaluadas. Consideremosf

z

cualquiera de las siguientes funciones:

z, n

z (n entero), z ( irracional) y ln z. Para cualquierade estas f

z

es multivaluada, vale decir, f toma valores diferentes al representar z

r ei y cambiar

continuamente

2.

Para fijar ideas consideremos f z

z

r ei 2

f r,

. Si bien

representan al mismo

z en el plano complejo, 1, al reemplazar en f r, obtenemos

f r,

r ei 2

i

r; f r,

r e i 2

i

r .

Esto ilustra que f r,

exhibe una discontinuidad en

.

Esta propiedad ilustra una caracterstica muy general para los ejemplos descritos en el parrafo anterior,conduciendo a la definicion de lo que se denomina punto de rama (branch point). Se dice que z

es unpunto de rama si, para una trayectoria cerrada que lo encierra

f

z

r ei

f

z

r ei

2

.

En los ejemplos precedentes, z 0 corresponde a un punto de rama.

Examinemos con mas detencion el caso f z

z. Descomponiendo f u

iv, con z

r ei

(: 0 2), podemos tabular el comportamiento radial de u y v. Obtenemos,

Tabla I.- u r,

y v

r,

para distintos valores de.

0 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4

u r,

r

r 2 0

r 2

r

r 2 0

r 2

r

v r,

0

r 2

r

r 2 0

r 2

r

r 2 0

Notar que si bien 0y 2 representan el mismo complejo z , la raiz

z es distinta:

lm

0

z

r lm

2

z

r .

FCFM 33 U de Chile


34/106


Esta discontinuidad se ilustra en la Fig. (1.19), donde se representan las curvas de nivel de u y v . El origenz

0se localiza en el centro de cada cuadro, con el eje real positivo horizontal hacia la derecha. Las zonasmas claros indican mayor cercana al ojo del observador. La discontinuidad de u se observa en la region de

mayor contraste claro/oscuro.

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Fig. 1.19: Partes real (izquierda) e imaginaria (derecha) de

z.

Es interesante hacer notar que si continuamos incrementando, desde2hasta4, ambasuyv vuelvena coincidir. En otras palabras, luego de dos vueltas alrededor de z

0, la funcion f coincide y el manto(superficie) empalma el borde inicial. Esta propiedad se observa claramente en la Tabla I, al constatar queu

iv para

0y 4 son identicas.

Resulta evidente entonces que, en general, la superficie formada por f z

n

z z1 n se cierra luego

de n vueltas alrededor de z 0. Esta idea, observada originalmente por Riemann, lleva a la construccion de

lo que se denomina hoja de Riemann. El empalme de estas hojas lleva a la superficie de Riemann.

Las hojas de Riemann se construyen identificando lospuntos de rama(branch points), es decir aquellospuntos en C en torno a los cuales un seguimiento de la funcion a su alrededor lleva a un valor distinto aldel punto de partida. En la Fig. (1.20) se ilustra un punto z

en torno al cual una funcion f z

exhibe una

discontinuidad luego de una vuelta en 2. Una vez identificado el punto de rama y una direccion del corte,

Punto de rama

Discontinuidad

Cortezo

Fig. 1.20: Seguimiento de f z

en una trayectoria cerrada en torno a z

.

se construyen secuencialmente las hojas de Riemann haciendo corresponder barridos completos en 2. As,

U de Chile 34 FCFM


35/106


una secuencia de n hojas queda definida por

f z

f r,

:

2f

r,

:

2

4

...f

r,

:

2 n 1

2n

La union de estas hojas se realiza en los cortes. La uni on de todas estas hojas conforma la superficie deRiemann. En el caso de raices n-esimas, el numero de hojas de Riemann distintas es finita, en tanto quepotencias irracionales y logaritmos conllevan a infinitas hojas: la superficie nunca se cierra.

En el caso del logaritmo,lnz ln

z

i, la parte imaginaria tiene una discontinuidad en cada ciclo. En

la Fig. (1.21) se ilustra la parte real deln z (izquierda), un ciclo de la parte imaginaria (centro) y el empalmede tres de ellas (derecha). La coleccion de infinitas hojas definen la superficie de Riemann. Lo interesantees que esta construccion permite la continuidad de la funcion en toda la superficie, a pesar de que hayancortes.

-2-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-4

-2

0

2

-1

0

1

-2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2

0

0.5

1

1.5

2

-2

-1

0

1

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2

0

2

4

6

2

-1

0

1

Fig. 1.21: Re ln z (izquierda), una (centro) y tres hojas (derecha) de Riemann paraI m ln z .

1.14. Integrales que involucran funciones multivaluadas

Cuando el integrando de una integral de variable compleja es multivaluada hay que tener cuidado de nopasar inadvertidamente sobre discontinuidades. En particular, la relacion

f z

dz

2i

j

Res f zj ,

exige analiticidad (y continuidad) del integrando a lo largo de la trayectoria. Si f z

es multivaluada, hay

que buscar una trayectoria que evite el paso sobre un corte.

FCFM 35 U de Chile


36/106


A modo de ilustracion, calculemos la integral

0

xp 1

x

2

1

dx ,

con 0 p 2. Para evaluar esta integral consideremos la funcion de variable compleja

f z

zp 1

z2

1

Al ser p un real cualquiera entre 0 y 2, entonces la funcion resulta multivaluada. Al representarz ei,con : 0

2, esta funcion tiene un punto de rama en z

0 y exhibe un corte en el eje real positivo.

Estas consideraciones motivan examinar la trayectoria indicada en la Fig. (1.23). La trayectoria cerrada

corte

r

R

+i

i

(+)

()

Fig. 1.22: Trayectoria cerrada para una integracion sobre trayectoria cerrada evitado un corte.

esta formada por cuatro curvas.

R: circunferencia casi cerrada de radio R ( ). Se demuestra que en el lmite

R 0.

y

: dos tramos rectos radiales muy proximos al corte, uno a cada lado de este.

r: circunferencia casi cerrada de radio r, donde r 0. Se encuentra que

r 0.

Podemos escribir

R

in

out

r

2i

j

Resf zj .

Los polos de f son i, que representamos consistentemente con la notacion polar, vale decir

z1 ei

2 , z2 e3i

2 .

Para z z1 evaluamos el residuo:

z

z1

zp 1

z

z1 z z2

zp 1

z

z2

zp 11

z1 z2

1

2iz

p

11

1

2z

p1

1

2eip 2 .

Para z z2 evaluamos el residuo:

z

z2

zp 1

z

z1 z z2

zp 1

z

z1

zp 12

z2 z1

1

2z

p2

1

2e3ip 2 .

U de Chile 36 FCFM


37/106


La suma de los residuos,

k

Res

1

2 eip 2

e3ip 2

eip cos

p

2 .

Las integrales sobre los tramos radiales:

Para

parametrizamos z ei, (dz

d ei), con : 0 . Entonces,

0

p 1ei p 1

2e2i 1

eid

0

p 1

2 1

d

Para

parametrizamos z ei 2 , (dz

d ei 2 ), con : 0 . Entonces,

0

p 1ei p 1 2

2e2i

2

1 ei 2 d

e2ip

0

p 1

2 1d

Combinando los resultados anteriores se obtiene

1 e2ip

0

p 1

2 1

d 2i eip cos

p

2

que luego de simplificar conduce a

0

p 1

2 1

d

2cosec

p

2

.

1.15. Prolongacion analtica

Como ya hemos visto, las funciones analticas exhiben una serie de propiedades muy particulares, entrelas cuales resaltan que la integral sobre cualquier contorno cerrado es nula si este no enlaza singularidades;que las integrales a lo largo de trayectorias diferentes con extremos comunes son iguales si una de lastrayectorias es deformable a la otra sin pasar por singularidades; que ellas pueden ser expandidas en seriesde Taylor o de Laurent; o que ellas satisfacen la formula integral de Cauchy,

f z

1

2i

f

d

z

d .

Ademas de estos teoremas surgen otros que apuntan a la unicidad de las funciones analticas. En otraspalabras, dada una funcion analtica f1 z definida sobre un dominio D1 C, entonces de las infinitasfunciones analticas definidas en D2, solo una de ellas, f2 z , empalma completamente con f1 enD1 D2.Este argumento permite la prolongacion (o extension) de cualquier funcion analtica a regiones en el planocomplejo que van mas alla de su dominio original de definicion.

Teorema: Sean f1 z , f2 z : C C, analticas en una region S. Si f1 f2 en una vecindad de un puntoz

S(o segmento de curva en S), entonces f1 z f2 z z S. La demostracion de este teorema esbastante simple. Si f1 z f2 z en una vecindad de un puntoz

Sentonces tambien lo son todas sus

FCFM 37 U de Chile


38/106

f Metodos Matematicos para la Fsica0 00 00 00 01 11 11 11 1x xx

S

R

Fig. 1.23: Expansiones de Taylor desde los bordes de los discos de convergencia.

derivadas enz

. As, ambas conducen a identicos los coeficientes para sus respectivas series de Taylor. Si ellastienen radio de convergencia R1, entonces ambas conducen a identicos coeficientes en sus expansiones entorno a un puntoz1cerca de la periferia del disco de convergencia. Desde tal punto se expanden nuevamente,dos nuevas series (identicas). Este procedimiento se repite, tomando puntos cerca del borde de los discos deconvergencia, hasta cubrir toda la region S.

Un corolario del teorema anterior es que el comportamiento de una funcion analtica en S

C esta com-pletamente determinada por su comportamiento en una vecindad en torno a cualquier punto regular en S.Por lo tanto, una funcion analtica puede ser extendida mas alla de su dominio de definicion, siendo estaprolongacion unica. Tal construccion se denominaextension analticaoprolongacion analtica. Ilustremosun par de ejemplos.

Consideremos f1 z

n 0 zn. Esta expansion esta definida para

z

1, caso en que converge af1 z 1 1 z . Para z 1, f1 queda indefinida. Por otro lado consideremos g z 1 1 z , funcionanaltica definida para todo z

1. Claramente g z f1 z para todo z 1. Por lo tanto, g z es laprolongacion analtica de f1 en la region z 1.

Otro ejemplo ilustrativo es el siguiente. Consideremos f1 z

0 e zt dt , expresion definida

z

S1

z : Re

z

0

, region en la cual f1

z

1

z. Bajo esta definicion f1

z

queda indefinida paraRe z

0. Por otro lado, consideremos la expansion

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

Re{z}>0

|z+i|


39/106


f1 z .

Teorema: Sean f1 analtica en S1 y f2 analtica en S2. Sea ademas B la frontera comun de S1 y S2. Si

f1 f2 en B, con f1 contnua en S1 B y f2 contnua en S2 B, entonces

f z

f1 z S1 B

f2 z S2 B

es analtica en S1 S2 B. Con ello, f1 es la prolongacion analtica de f2 en S1 y vice versa.

La demostracion de este teorema es directa haciendo uso delteorema de Morera, el cual establece quesi

Cf

z

dz

0, para todoC D, entoncesf z es analtica en D. Consideremos entonces una trayectoriacerrada, arbitraria que pasa por las dos regiones S1 y S2, como se ilustra en la Fig. (1.25). Demostraremosque

Cf

z

dz

0 para Carbitraria. Puesto que f1 y f2 son contnuas en el borde, es valida la siguiente

CC

C1

2

S

S1

2

B

Fig. 1.25: Una trayectoria arbitraria pasando por S1 y S2.

descomposicion

C

f z dz

C1

f1 z dz

C2

f2 z dz .

Puesto que f1 y f2 son analticas en sus dominios respectivos, las integrales sobre C1 y C2 son nulas, por loque

Cf

z

dz

0. Claramente la nulidad de esta integral esta garantizada si Cse mantiene en cualquierade los dominios S1 o S2.

Un corolario de este teorema es el llamado principio de reflexion de Schwartzque prescribe una formade extender analticamente una funcion definida en una region del plano complejo. Denotemos por C elsemiplano complejo superior y por C el semiplano complejo inferior. Sea f : C R C, analtica. Siademas f

z

f

z

para z

R, entonces la funcion g : C C, definida por

g

z

f

z

,

es la prolongacion analtica de f en C . Una constatacion directa de este corolario es verificando que lacondicion de Cauchy-Riemann es cumplida por g. Descomponiendo f

z

u

x, y

iv

x, y

, y g

z

a x, y

ib

x, y

, entonces g

z

f

z

a x, y

u

x,

y

, b

x, y

v

x,

y

.

Resulta directo demostrar que a

x

b

y, y que

a

y

b

x.

FCFM 39 U de Chile


40/106


1.16. Relaciones de dispersion

La condicion de Cauchy-Riemann establece relaciones diferenciales (locales) entre las partes real e ima-ginaria de una funcion analtica. En contraste, las relaciones de dispersion permiten establecer relacionesintegrales (globales) entre ellas. A tales relaciones tambien se les reconoce como representaciones espec-trales,relaciones de Kroning-Kramerso transformaciones de Hilbert. Consideremos una cantidadfsica analtica en el semiplano complejo superior. Podemos suponer que lm

0. Consideremosentonces la integral sobre una semicircunferencia (infinita) Cabarcando el semiplano complejo superior. Si

es real, entonces

C

d

P

d

i

0

Por lo tanto,

i

P

d

.

Descomponiendo Re

iIm, entonces al igualar las respectivas partes real e imaginaria obtenemos

Re

1

P

Im

d

;

Im

1

P

Re

d

.

1.17. Metodo del descenso mas empinado (steepest descent)

Este metodo es particularmente util para obtener formas asintoticas de funciones expresadas comointegrales en el (o prolongables al) plano complejo. Consideremos la integral

I

C

ef z g z

dz , (1.17.4)

con f y g funciones analticas, y una variable real, grande y positiva. Si denotamos f u

iv, entonces

ef z

eu cos v i sin v (1.17.5)

Al ser grande, entonces una pequena variacion de v hace que las funciones seno y coseno oscilen rapida-mente. Puesto que el integrando es analtico, entonces cabe preguntarse si existe una trayectoria que permita

un buen control de tales oscilaciones. Supongamos que existe un punto z en Cel cual puede ser alcanzadopor una deformacion de Cy para el cual f

z

0. Puesto que f es analtica, entonces tanto u como vson armonicas

2u

x2

2u

y2

0

2v

x2

2v

y2

0 (1.17.6)

Al evaluar estas ecuaciones en z

ellas expresan que se trata de un punto de silla, como se ilustra en la Fig.(1.26). Expandimosf

z

en serie de Taylor en torno a z

hasta segundo orden

f z

f

z

1

2f

z

z

z

2 . (1.17.7)

U de Chile 40 FCFM


41/106


v constanteu steepestu v

Plano Complejo Plano Complejo

Fig. 1.26: Mantos u x, y

y v x, y

en torno al punto silla.

Denotamosz

z

rei

f z

2Rei

f

z

f

z

r2R ei 2 . (1.17.8)

Separando por componentes,

Re f z f z

r2R cos 2 ,

Im f z f z

r2R sin 2 . (1.17.9)

Para que la parte imaginaria sea constante se debe cumplir

2 n n 0, 1, 2, 3 n n

2

2 . (1.17.10)

Para estos valores examinamos la parte real de f z

f

z

. Claramente paran

1, 3,Re f z f z

r2R

0. Vale decir, de los cuatro segmentos perpendiculares en C que convergen en z

, solo aquellosparan

1 (C1) yn 3(C3) u x, y pasa por un maximo local. As, examinamos el integrando deI en

of(z)f(z )=t < 02

C3

C1

Fig. 1.27: A lo largo de C1 C3 u x, y pasa por un maximo.

las vecindades de z

, pasando por los trayectos C1 y C3. Para aquellos z en C1 y C3 definamos

f z

f

z

rR2

t2

1

2 z

z

2f z

. (1.17.11)

Por lo tantoef z

ef z e t2

. Puesto que es grande, entonces e t2

es muy aguzada, lo que permitecontener la integracion a una pequena region cerca de z

, a lo largo de C1 C3. Denotando C aqueltrayecto que consiste en una deformacion de Cque pasa por z

siguiendoC1 C3, entonces aproximamosla Ec. ( 1.17.4),

I

Ce f z t

2 g

z

dz

ef z

Ce t

2

g z

dz . (1.17.12)

FCFM 41 U de Chile


42/106


Buscamos ahora una correspondencia (parametrizacion) entre t y z . Combinando Ec. ( 1.17.8) para r y Ec.( 1.17.11) para t es facil verificar que z

z

t

R ei. Conviniendo t

0 en C1, con 0 1 ,entoncesz

C3 queda naturalmente representados por t 0. As,

C3

z(t)

t < 0

oz

t > 0

1C

R

to

z=z + e i

Fig. 1.28: Parametrizacion z t

pasando por z

.

z z

t

Rei1

dz

ei1

Rdt . (1.17.13)

Sustituyendo en Ec. ( 1.17.12),

I

ef z

ei1

R

e t2

g z

t

Rei1

dt . (1.17.14)

Esta forma aproximada deI

involucra integrales explcitas en t. Si expandimosg z

en serie de Taylor en

torno az

, entonces las integrales ent se reducen a integrandos del tipo tne t

2

, conducentes a integralesperfectamente calculables (notar que para n impar las integrales en t se anulan). Al orden mas bajo en estaexpansion obtenemos

I

ef z

2

ei1g z

f

z , (1.17.15)

donde hemos sustituido 2R por f z

y utilizado

e t2

dt

. (1.17.16)

Ilustremos con un ejemplo clasico. La funcion gamma esta definida por

I

1

0

e z z dz .

Buscamos una forma asintotica (grande) para esta integral. Para aplicar el metodo recien visto al integrando

le damos una forma del tipo ef

g. Se puede verificar facilmente quee z z

e lnz z ,

con lo cual f z

ln z z ; g z 1. Entonces,

Buscamosz

tal que f 0:

f z

1

z

1

f

z

0 para z

U de Chile 42 FCFM


43/106


Evaluamos f

z en z

,

f z

1

z2 f

z

1

2

Identificamos:

f

z

1

2 ei

Evaluamos ei1 , donde n n 2 2. Para y n 1tenemos 1 0 ei1

1.

Sustituyendo los resultados parciales

I

e ln 1

1 ei0

2

1 2

2 e ln 1 .

De esta forma se obtiene la reconocida aproximacion de Stirling para 1,

1

2 e ln 1 .

En particular, si es entero (N), entonces

1

N!, con lo cual

ln N! Nln N N .

FCFM 43 U de Chile


44/106


U de Chile 44 FCFM


45/106

Captulo 2

Coordenadas curvilneas ortogonales

Mas adelante nos avocaremos al estudio de ecuaciones del tipo2 0,2 k2 0, etc. En mu-chos casos es posible reducirlas a ecuaciones diferenciales ordinarias, conducentes a expansiones en terminosde funciones especiales. El grado de convergencia de estas expansiones esta en gran medida condicionadaa la afinidad entre las simetras del problema y la base de funciones especiales a expandir. Resulta adecua-do entonces hacer una breve revision de consideraciones generales en el manejo de coordenadas curvilineasortogonales.

Nuestro punto de partida lo constituyen las coordenadas rectangulares o cartesianas. En ellas, unpunto P queda caracterizado por tres parametros geometricos,

x ,y ,z

, que denotaremos genericamente

por x1, x2, x3

. El mismo puntoPpuede ser descrito por otro conjunto de parametros tales como

r ,,

,

,,z

, etc. Denotaremos a cualquiera de estos por

u1, u2, u3

. As como las coordenadas rectangula-

res y esfericas, o rectangulares y cilndricas pueden relacionarse entre s, suponemos relaciones funcionales

x1, x2, x3 u1, u2, u3 , es decir

x1

f1 u1, u2, u3

, x2

f2 u

1, u2, u3

, x3

f3 u1, u2, u3

.

Ademas, suponemos que es posible representar la inversa, vale decir

u1

F1 x1, x2, x3

, u2

F2 x

1, x2, x3

, u3

F3 x1, x2, x3

.

Para que estas transformaciones sean invertibles exigimos

J

x1

u1 x2

u1 x3

u1

x1

u2 x2

u2 x3

u2

x1

u3

x2

u3

x3

u3

0

Consideremos un puntoP u1, u2, u3

. Al variar arbitrariamente u1 yu2, manteniendou3 fijo, se genera una

superficie. Lo mismo ocurre al variar arbitrariamente u2 y u3, manteniendou1 fijo. A estas superficies se lesdenominasuperficies coordenadas. En la Fig. (2.1) se ilustran dos superficies coordenadas. Las lneas dondeestas se intersectan se denominan lneas coordenadas. Las tangentes a las lneas coordenadas conformanlos ejes coordenados. Si la orientacion de las superficies coordenadas cambia de punto a punto, entoncesnos referiremos a coordenadas curvilneas generales. Si estas superficies son ortogonales en todo puntoP entonces hablaremos de coordenadas curvilneas ortogonales.

45


46/106


x

y

zy = Cte

z = Cte

x

y

z

= Cte

= Cte

Fig. 2.1: Superficies coordenadas en coordenadas rectangulares y esfericas.

2.2. Coeficientes metricos

Consideremos un vector r posicionado un punto Pen el espacio. Un desplazamiento infinitesimal detal punto queda dado por

dr

r

u1

du1

r

u2

du2

r

u3

du3

r

uj

duj

ds

Exigimos que el escalar dr dr

ds

2 sea invariante, vale decir, que su magnitud no dependa del sistemade coordenadas.

Notar que r

uj es tangente a la lnea uj , vale decir, aquella l nea desde el punto Pque surge de

incrementaruj

manteniendo el resto de las coordenadas jijas. Definamos

aj r

uj

ej aj

aj

Claramente entonces,

u

u

u3

2

1

e

e3 e2

1

Fig. 2.2: Vectores unitarios asociados a coordenadas ortogonales.

ds

2

i,j

ai aj

gij

dui duj

apuntes de metodos matematicos para la física -hugo f. arellano

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