APLIKASI KALMAN FILTER DALAM ESTIMASI

KETINGGIAN TANGKI AIR

Yuniar Gitta Pratama (13307124)

Program Studi Teknik Fisika

Institut Teknologi Bandung, 40132

1. ABSTRAKS

Dalam proses pengukuran (akusisi), noise merupakan bagian penting yang harus diperhatikan. Noise yang cukup besar

nilainya dapat mengganggu jalannya sistem kontrol. Oleh karena itu untuk mendapatkan sinyal sebenarnya terpisah dari

kumpulan noise dibutuhkan teknik pemfilteran. Persoalan pemfilteran adalah ekstraksi sinyal yang diinginkan dari noisenya.

Apabila spektrum sinyal dan noisenya tidak saling tumpang tindih, maka jenis filter High Pass dan Low Pass masih dapat

dilakukan bergantung terhadap frekuensi relatif sinyal terhadap noise. Pada tahun 1960 R.E Kalman memperkenalkan solusi

rekursif untuk masalah pemfilteran data linear diskrit. Teknik ini sangat handal dalam melakukan konvergensi data.

Kontrol ketinggian (level) fluida adalah kontrol dasar dalam semua industri. Ketidakakuratan data pengukuran dan noise

dalam pengukuran dapat berakibat fatal dalam suatu proses yang kompleks. Teknik Filter Kalman merupakan jenis filter

yang handal untuk mengatasi noise hasil pengukuran. Dengan penerapan Kalman Filter dalam kontrol ketinggian air

diharapkan dapat mengurangi resiko kesalahan akusisi data.

2. KALMAN FILTER

Kalman Filter adalah metoda matematik yang

dikenalkan oleh Rudolf E. Kalman. Filter ini bertujuan

untuk mengamati noise yang terdapat dalam sinyal

(biasanya Gaussian Noise). Kalman Filter sangat handal

dalam menghilangkan noise, khususnya noise yang

tumpang tindih (baca : frekuensi dekat) dengan sinyal

utamanya.

2.1. Aplikasi Kalman Filter

Kalman Filter merupakan perangkat yang powerfull

dalam mengontroll sistem ber-noise. Dengan

menggunakan Kalman filter maka noise pada input data

akan berkurang pada data keluaran. Kalman Filter

biasanya digunakan dalam bidang kedirgantaraan yang

membutuhkan sistem kontrol yang canggih. Berikut

contoh aplikasi Kalman filter :

a. Tracking objek

b. Sistem navigasi

c. Filtrasi noise hasil pengukuran sensor

d. Perbaikan cacat gelombang saat transmisi

2.2. Prinsip Estimasi Kalman Filter

Estimasi keadaan adalah metoda untuk memprediksi

kelakuan sistem dan membandingkannya dengan

kelakuan sistem secara aktual untuk menentukan

keadaan mana yang paling meyerupai keadaan

sebenarnya (Simon, 2006).

State Observer adalah sebuaha alat atau program yang

digunakan untuk mengestimasi variabel keadaan.

Metode perancangan state observer dapat dilakukan

dengan metode pole placement maupun dengan estimasi

optimal yang dikenal dengan nama metode Kalman

Filter.

Gambar 1. Letak Kalman Filter sebagai Observer

2.3. Algoritma Kalman Filter

Kalman Filter mempunyai dua fasa, yaitu fasa prediksi

(predict) dan fasa pembaruan (update). Prediksi

memakai estimasi keadaan dari waktu sebelumnya

untuk mendapatkan nilai estimasi pada saat ini. Di

dalam fasa pembaruan, informasi mengenai pengukuran

pada saat ini digunakan untuk memperbaiki prediksi

sehingga diharapkan estimasi keadaan akan lebih akurat.

Persamaan waktu diskrit Kalman filter :

Fasa prediksi

Prediksi dari state

Prediksi dari kovarian

Fasa pembaruan

Perbaruan dari estimasi state

Inovasi atau Residual

Residual merepresentasikan perbedaan prediksi

dari pengukuran dan pengukuran yang sebenarnya.

Residual yang bernilai nol menunjukkan bahwa

antara nilai pengukuran dan estimasi nilainya

sudah sama.

Pembaruan gain kalman

(

)

adalah sebuah gain inovasi yang digunakan

untuk meminimumkan nilai kovarian dari estimasi

kesalahan jika diberikan pengukuran yang

mengandung banyak noise.

Perbaruan estimasi kovarian

( )

Keterangan :

: estimated state

F : state transition matrix

u : control variables

B : control matrix

P : state variance matrix

Q : process variance matrix

y : measurement variables

H : measurement matrix

K : kalman gain

R : measurement variance matrix

Subskirp t|t untuk waktu sekarang, t-1|t-1 untuk periode

sebelumnya, dan t|t-1 untuk step menengah.

3. PEMODELAN PROSES

Gambar 2. Contoh Pengukuran Ketinggian Air

Proses yang akan diamati adalah proses yang cukup

sederhana, yaitu pengukuran ketinggan air dalam tangki

dengan menggunakan bola apung. Pada proses ini

terdapat beberapa kemungkinan :

a. Proses pengisian, pengosongan atau statis,

yaitu ketika ketinggian tangki meningkat,

menurun atau tidak berubah

b. Proses pengadukan atau stagnan, yaitu

ketinggian relatif dari pelampung pada

ketinggian rata-rata tangki berubah terhadap

waktu atau statis.

3.1. Model Statik

3.1.1. Tangki dengan Ketinggian Air Konstan

( )

a. Model State Proses

Pada kondisi ini ketinggian air pada tangki konstan,

maka : . Dari persamaan sebelumnya makan

variabel keadaan (state variable) dapat direduksi

menjadi skalar, yaitu , dengan adalah perkiraan

ketinggian air . Dengan menggunakan asumsi model

konstan oleh karena itu , maka dan

, untuk semua nilai . Kontrol variabel dan

tidak digunakan karena keduanya bernilai nol.

b. Model Proses Pengukuran

Dalam model ini terdapat ketinggian pelampung yang

direpresentasikan dengan . Dalam beberapa

kasus biasanya dgunakan pengukuran yang berskala

contohnya dalam pengukuran mekanis 1cm sebenarnya

merepresentasikan 10cm dalam ketinggian cairan di

tangki. Untuk mempermudah maka dapat diasumsikan

pengukurang menggunakan skala yang sama seperi

dalam perkiraan state , yaitu .

c. Model Noise

Untuk pemodelan noise kita mengasumsikan noise

berasal dari pengukuran, yaitu . Proses dalam

model ini adalah skalar, oleh karena itu . Proses

tidak cukup bagus karena terdapat noise, maka akan

disetel noise .

d. Pengujian Filter

Dari persamaan dari halaman sebelumnya :

Fasa prediksi

Fasa pembaruan

( )

( )

( )

Filter sekarang sudah terdefinisi. Maka untuk pengukian

pertama kita set ketinggian tangki . Lalu

inisiasi state dengan angka yang sembarangan, artinya

variansi yang tinggi karena benar-benar saat kasus tidak

diketahui : dan . Penginisiasian

dengan variabel yang berarti (tidak sembarangan) akan

diperoleh konvergensi yang lebih cepat. Noise pada

sistem adalah .

Maka didapatkan hasil perhitungan

Prediksi Pembaruan

t xt|t-1 pt|t-1 yt Kt xt|t pt|t

1 0.0000 1000.0001 0.9349 0.9999 0.9348 0.1000

2 0.9348 0.1001 1.0847 0.5002 1.0098 0.0500

3 1.0098 0.0501 1.0521 0.3339 1.0239 0.0334

4 1.0239 0.0335 1.0128 0.2509 1.0211 0.0251

5 1.0211 0.0252 0.9759 0.2012 1.0120 0.0201

6 1.0120 0.0202 1.0755 0.1682 1.0227 0.0168

7 1.0227 0.0169 1.0643 0.1447 1.0287 0.0145

8 1.0287 0.0146 1.0357 0.1272 1.0296 0.0127

9 1.0296 0.0128 0.9164 0.1136 1.0168 0.0114

10 1.0168 0.0115 0.9511 0.1028 1.0100 0.0103

11 1.0100 0.0104 1.0489 0.0941 1.0137 0.0094

12 1.0137 0.0095 0.9454 0.0868 1.0077 0.0087

13 1.0077 0.0088 1.0367 0.0807 1.0101 0.0081

14 1.0101 0.0082 1.0873 0.0755 1.0159 0.0076

15 1.0159 0.0077 1.0011 0.0711 1.0149 0.0071

... ... ... ... ... ... ...

Walaupun terdapat banyak noise yang terlibat dalam

pengukuran, namun Kalman Filter dapat membuat hasil

lebih smooth.

3.1.2. Tangki dengan Penambahan Ketinggian Air

Konstan ( )

Pada kondisi ini tangki diisi dengan debit yang konstan

sehingga menyebabkan perubahan ketinggian air yang

konstan, maka :

sehingga .

Dengan asumsi dan pada saat mula-mula

kosong ( ). Kondisi ini sama seperti kondisi pada

subbab 3.1.1. Dengan asumsi dan variasi

untuk melihat responnya.

Pada q=0,001

Pada q = 0,01

Pada q = 0,1

dari ketiga grafik ini terlihat bahwa pemodelan yang

jelek dapat menghasilkan prediksi yang jelek pula.

Kalman Filter adalah suatu desain filter untuk

menghilangkan noise yang terdapat salam pengukuran.

3.2. Model Pengisian

a. Model State Proses

Untuk mendapatkan hasil yang lebih bagus maka model

Kalman Filter dari model akan di ubah

menjadi continuous process transition.

( )

[

]

Dengan adalah ketinggian air L, dan

adalah

perkiraan kecepatan kenaikan ketinggian air saat

pengisian dan merepresentasikan pengisian tangki

kontinu pada kecepatan (kenaikan ketinggian) .

Untuk membuat proses diskrit maka matriks akan

dibuat sebagai time-discrete. Dan memberlakukan

adalah kosong dalam semua komponen untuk .

[

]

untuk semua . Dan kita akan mengabaikan nilai

dan lagi.

b. Model Proses Pengukuran

Dalam kasus ini tidak bisa mengukur kecepatan

pengisian secara langsung. Di sini juga masih

digunakan asumsi bahwa terdapat noise dalam

pengukuran L. Maka dari itu :

( )

( )

c. Model Noise

Proses pengukuran juga masih mendapatkan noise

yaitu . Karena proses telah dirubah maka model

noise juga diubah menjadi :

[

]

dengan adalah noise pada pengisian. Proses kontinu

dapaat didekati dengan proses time-discrete

menggunakan :

( ) ∫

Persamaan ini dapat diterjemahkan menjadi bentuk

diskrit .

[

]

Untuk kemudahan digunakan sampling ,

sehingga :

[

]

[

⁄

⁄

⁄

]

Proses kovarian (p) juga berubah menjadi matriks :

[

]

d. Pengujian Filter

Dari data – data sebelumnya maka didapatkan persaman

sebagai berikut

Fasa prediksi

Fasa pembaruan

( )

(

)

( )

Pada kali diasumsikan bahwa noise , dan akurasi

noise proses . Saat inisiasi diberikan

[ ] dengan variansi mula – mula :

[

]

Didapatkan hasil

dari grafik ini terlihat walaupun diberikan inisiasi yang

jelek, namun akan dihasilkan hasil yang smooth

Pada ketinggian yang konstan

3.3. Model Pengadukan

Pada kasus ini adalah contoh ekstrim ketika sistem

konstan tapi teraduk sehingga permukaan air

berglombang – gelombang. Sehingga dapat dimodelkan

menjadi :

( )

dengan :

Dengan menggunakan Kalman Filter maka didapatkan :

Kalman filter juga dapat mengikuti pola nilai

pengukuran, sehingga dalam grafik terlihat adanya pola

sinusoida yang cukup smooth yang dihasilkan dari

Kalman Filter.

Namun amplitudo dari sinusoida ini akan semakin

mengecil, hal ini dikarenakan sifat Kalman Filter yang

berusaha untuk konvergen menjadi satu nilai. Fluktuasi

sinusoida disini dianggap sebagai noise sehingga perlu

diredam.

4. KESIMPULAN

a. Kalman filter barusaha untuk menghilangkan noise

hasil pengukuran dan membuat nilai konvergem.

Pada kasus pengadukan, nilai sinusoida yang

merupakan nilai sebenarnya pun dianggap sebagai

noise sehingga amplitudo semakin mengecil dan

semakin konvergen.

b. Inisiasi yang baik akan mempercepat konvergensi

hasil filter, namun dengan pemberian nilai

sembarang, Kalman Filter ini sangat handal untuk

melakukan konvergensi nilai.

c. Untuk sistem yang dianggap linear dan step waktu

yang kecil, pemodelan linear sangatlah cukup.

Namun untuk pemodelan yang memiliki step

waktu besar bisa mengakibatkan hasil yang

‘tertingal’ seperti yang tejadi pada input sinusoida

saat pengadukan.

Daftar Pustaka

Firmansyah, Studi tentang Penerapan Filter Kalman

untuk Detektor Kerusakan Instrumen Pengukur

dalam Sistem Kontrol Boiler, Program Studi

Teknik Fisika, 1989.

Friedland, Bernard, Control System Design : An

Introduction to State-Space Methods, New York,

McGraw-Hill, 2005.

Kalman, R. E, A New Approach to Linear Filtering

and Prediction Problems. ASME, 1960.

Ogata, Katsuhiko, Modern Control Engineering, 2nd

ed. Prentice-Hall inc, 1990.

Wiratnaningtyas, Kusumatuti, Penggunaan Kalman

FIlter untuk Estimasi Ketinggian dan Bukaan

Valve Tangki Level pada Mini Plant, Program

Studi Teknik Fisika, 2009.

Source Code Komputasi dengan Scilab 1.5.2

Pada Kasus 3.1.1

clc; clear;

L = 1; x0 = 0; p0 = 1000; q = 0.0001, r = 0.1;

tmax = 50;

mprintf(" # | x1 | p2 | y | K | x2 | p2 ");

for t=1:tmax

if (t==1)

x1 = x0;

p1 = p0 + q;

else

x1 = x2;

p1 = p2 + q;

end

y = L - r + 2*r*rand();

if (y<0) y=0; end

K = p1*((p1+r)^-1);

x2 = x1+K*(y-x1);

p2 = (1-K)*p1;

mprintf(" %2d | %9.4f | %9.4f | %9.4f | %9.4f | %9.4f | %9.4f\n", t, x1, p1, y, K, x2, p2);

measure(t) = y; predict(t) = x1; realvalue(t) = L;

end

t = [1:tmax]';

plot2d(t, [measure predict realvalue]);

hl=legend(['Pengukuran';'Prediksi';'Nilai Sebenarnya'], 4);

xtitle('Prediksi Kalman Filter', 'waktu', 'ketinggian air');

Pada Kasus 3.1.2

clc; clear;

L0 = 0; c = 0.1; x0 = 0; p0 = 1000; q = 0.1; r = 0.1;

tmax = 50;

mprintf(" # | x1 | p2 | y | K | x2 | p2 ");

for t=1:tmax

if (t==1)

L = L0;

x1 = x0;

p1 = p0 + q;

else

L = L + c;

x1 = x2;

p1 = p2 + q;

end

y = L - r + 2*r*rand();

if (y<0) y=0; end

K = p1*((p1+r)^-1);

x2 = x1+K*(y-x1);

p2 = (1-K)*p1;

mprintf(" %2d | %9.4f | %9.4f | %9.4f | %9.4f | %9.4f | %9.4f | %9.4f\n", t, L, x1, p1, y, K, x2,

p2);

measure(t) = y; predict(t) = x1; realvalue(t) = L;

end

t = [1:tmax]';

plot2d(t, [measure predict realvalue]);

hl=legend(['Pengukuran';'Prediksi';'Nilai Sebenarnya'], 4);

xtitle('Prediksi Kalman Filter (q=0,1)', 'waktu', 'ketinggian air');

Pada Kasus 3.2 (ramp)

clc; clear;

L0 = 0; c = 0.1; x0 = [0; 0]; r = 0.1; qf = 0.00001;

tmax = 50;

H = [1 0]; Ft = [1 1; 0 1]; Q = qf*[1/3 1/2; 1/2 1]; P0 = [1000 0; 0 1000];

mprintf(" # | L | x1 | y | x2 ");

for t=1:tmax

if (t==1)

L = L0;

x1 = Ft*x0;

P1 = Ft*P0*Ft' + Q;

else

L = L + c;

x1 = Ft*x2;

P1 = Ft*P2*Ft' + Q;

end

y = (L - r + 2*r*rand());

if (y<0) y=0; end

K = P1*H'*((H*P1*H'+r)^-1);

x2 = x1+K*(y-H*x1);

P2 = (1-K*H)*P1;

mprintf(" %2d | %9.4f | %9.4f | %9.4f | %9.4f\n", t, L, x1(1), y, x2(1));

measure(t) = y; predict(t) = x1(1); realvalue(t) = L;

end

t = [1:tmax]';

plot2d(t, [measure predict realvalue]);

hl=legend(['Pengukuran';'Prediksi';'Nilai Sebenarnya'], 4);

xtitle('Prediksi Kalman Filter', 'waktu', 'ketinggian air');

Pada Kasus 3.2 (konstan)

clc; clear;

L0 = 1; c = 0; x0 = [0; 0]; r = 0.1; qf = 0.00001;

tmax = 50;

H = [1 0]; Ft = [1 1; 0 1]; Q = qf*[1/3 1/2; 1/2 1]; P0 = [1000 0; 0 1000];

mprintf(" # | L | x1 | y | x2 ");

for t=1:tmax

if (t==1)

L = L0;

x1 = Ft*x0;

P1 = Ft*P0*Ft' + Q;

else

L = L + c;

x1 = Ft*x2;

P1 = Ft*P2*Ft' + Q;

end

y = (L - r + 2*r*rand());

if (y<0) y=0; end

K = P1*H'*((H*P1*H'+r)^-1);

x2 = x1+K*(y-H*x1);

P2 = (1-K*H)*P1;

mprintf(" %2d | %9.4f | %9.4f | %9.4f | %9.4f\n", t, L, x1(1), y, x2(1));

measure(t) = y; predict(t) = x1(1); realvalue(t) = L;

end

t = [1:tmax]';

plot2d(t, [measure predict realvalue]);

hl=legend(['Pengukuran';'Prediksi';'Nilai Sebenarnya'], 4);

xtitle('Prediksi Kalman Filter', 'waktu', 'ketinggian air');

Pada Kasus 3.3

clc; clear;

L = 1; x0 = 0; p0 = 1000; q = 0.1, r = 0.3;

c = 0.5; f = 0.05; l = 1

tmax = 50;

mprintf(" # | x1 | p2 | y | K | x2 | p2 ");

for t=1:tmax

if (t==1)

x1 = x0;

p1 = p0 + q;

else

x1 = x2;

p1 = p2 + q;

end

L = c*sin(2*%pi*f*t)+l;

y = L - r + 2*r*rand();

if (y<0) y=0; end

K = p1*((p1+r)^-1);

x2 = x1+K*(y-x1);

p2 = (1-K)*p1;

mprintf(" %2d | %9.4f | %9.4f | %9.4f | %9.4f | %9.4f | %9.4f\n", t, x1, p1, y, K, x2, p2);

measure(t) = y; predict(t) = x1(1); realvalue(t) = L;

end

t = [1:tmax]';

plot2d(t, [measure predict realvalue]);

hl=legend(['Pengukuran';'Prediksi';'Nilai Sebenarnya'], 4);

xtitle('Prediksi Kalman Filter', 'waktu', 'ketinggian air');