anreal 4.2

1 Analisis Real, 2011

Malalina (20102512008) Febrina Bidasari (20102512018)

LATIHAN BAGIAN 4.2. TEOREMA LIMIT 1. Terapkan Teorema 4.24 untuk menentukan limit berikut :

(a). )32)(1(lim1

++

xxx

}{ Rx

Jawab :

105.2)31.2)(11()32().1()32)(1(lim111

==++=++=++

xLimxLimxxxxx

(b). 22

2

2

1

+ x

xLimx

}0{ >x

Jawab :

31

3)2()2(

22

2

1

2

12

2

1=

=

+=

+

xLim

xLim

x

xLimx

x

x

(c).

+ xxLimx 2

11

12

}0{ >x

Jawab :

121

41

31

21

11

21

11

222==

+=

+ xLim

xLim

xxLim

xxx

(d). 2

120 +

+ x

xLimx

}{ Rx

Jawab :

21

)2()1(

21

2

1

020

=

+

+=

+

+

xLim

xLim

x

xLimx

x

x

2. Tentukan limit-limit berikut dan nyatakan Teorema mana yang digunakan

(a). 312

2 +

+ x

xLimx

}0{ >x

Jawab :

155

)3()12(

312

2

2

2==

+

+=

+

+

xLim

xLim

x

xLimx

x

x



(b). 242

2

x

xLimx

}0{ >x

Jawab :

karena 2x , maka

4)2()2()2)(2(

24

2

2

2=+=

+=

xLim

x

xxLimx

xLimxx

(c). ( )x

xLimx

11 2

0

+

}0{ >x

Jawab :

( )

2)2()2(21)12(

11

00

2

0

2

0

2

0

=+=+

=

+=

++=

+

xLimx

xxLimx

xxLimx

xxLim

x

xLim

xxxx

x

(d). 11

1

x

xLimx

}0{ >x

Jawab :

21

)1(1

)1)(1()1(

)1)(1()1)(1(

11

111=

+=

+

=

+

+=

xxx

xLimxx

xxLimx

xLimxxx

3. 20 23121

xx

xxLimx +

++

}0{ >x

Jawab :

21

)11(11

3121)(21(1

)3121)(21(

)3121(232

31213121

.

23121

23121

0

0

20

20

0

20

=

+

=

++++

=

++++

=

++++

=

+++

+++

+

++=

+

++

xxxLim

xxxx

xLim

xxxx

xxLim

xx

xx

xx

xxLim

xx

xxLim

x

x

x

x

x

x



4. Buktikan Lim )1cos(x

tidak ada tetapi 0)1cos(0

= x

xLimx

Bukti :

Misalkan 0,),1cos()( = xRxx

xQ

0)cos( =x jika Znnx += ,221

pipi

Ambil Nnn

xn

+

= ,

221

1)(pipi

.maka 0)( =nxLim

Selanjutnya NnnxQ n =

+= ,02

21

cos)( pipi

Sehingga 0))(( =nxQLim Pada sisi lain 1)cos( =x jika Znnx = ,2pi

Ambil ( ) Nnn

yn = ,21pi

, maka 0)( =nyLim

Selanjutnya NnnyQ n == ,1)2cos()( pi Sehingga 1))(( =nyQLim Karena )(0)( nn yLimxLim == tetapi ))(())(( nn yQLimxQLim , maka kita

simpulkan )1cos(0 x

Limx

tak ada

Sekarang, karena 1)1cos(1 x

maka

xx

xx 1cos

xx

xx )1cos(

Karena xLimxLimxx 00

0)(

== maka menurut teorema Apit kita simpulkan

0)1cos((0

= x

xLimx



5. Misalkan f,g didefinisikan pada RA ke R, dan misalkan c adalah titik cluster dari A. Andaikan f terbatas pada sebuah lingkungan c dan 0=

gLim

cx.

Buktikan 0=

fgLimcx

Bukti :

untuk setiap 0> yang diberikan AxcxMRM sedemikian sehingga

Axcx



Analisis : LMxLgxLgxgxfLMxgxf += )()()()()()(

MxgLxgLxf + )()()(

Untuk 0> yang diberikan

Terdapat 01 > sedemikian sehingga jika Axcx kRK sedemikian sehingga jika 1),(sup{ += Mcfk

dan Axcx sedemikian sehingga jika Axcx



Jika 0> diberikan seberang. Pilih 1 = H21

. Sedemikian sehingga jika

Axcx



(i) Jika x = 0 2000 n benar Nn

Jadi untuk x = 0 benar untuk 3n sehingga 22 xxx n

(ii) Jika 10



a. misalkan LfLimcx

=

, MgfLimcx

=+

)(

untuk 0> sebarang yang diberikan terdapat 01 > sedemikian sehingga

jika )(,0 1 fDxcx



11. Tentukan apakah berikut memiliki limit di R

jawab : (a). 0),1sin( 2

0

x

xLimx

)1sin( 20 x

Limx

tidak ada di R

Bukti

Misal 0,1sin)( 2

= x

xxQ

11sin 2 =

x jika pipi 2

211

2 kx

+= , Nk

Misalkan Nnn

xn +

= ,

221

1)(pipi

, maka 0)( =nxLim dan

NnxQ n = ,1)( juga 1)( =nxLimQ Sekarang

01sin 2 =

x, jika Nkk

x=

,2.12 pi ,

Misalkan Nkk

yn = ,21)(

pimaka 0)( =nyLimQ dan

NnyQ n = ,0)( , 0)( =nyLimQ Karena )(0)( nn yLimxLim == sedangkan )()( nn yLimQxQ maka

dapatlah diambil kesimpulan 0,1sin 20

xx

Limx

tidak ada di R

(b). Rxx

xLimx

0,0),1sin( 20

Bukti :

Rxx

,11sin1 2

Sehingga xx

xx 21

sin



Selanjutnya karena xLimxLimxx 00

0

== , maka Teorema Apit

0)1sin( 20

= x

xLimx

(c). 0),1sin(sgn0

xx

Limx

tidak ada di R

Bukti :

Misalkan 0,1sinsgn)(

= x

xxQ

11sin =

x, jika Nnn

x+= ,2

211

pipi

Pilih Nnn

xn +

= ,

221

1)(pipi

Maka 0)( =nxLim dan 1)( =nxQ sehingga 1)( =nxQ

Sedangkan 01sin =

x, jika Nnn

x= ,21 pi

Pilih Nnn

yn = ,21)(pi

Maka 0)( =nyLim , dan 0)( =nyQ sehingga 0)( =nyQLim Karena )(0)(

00 nxnxyLimxLim

== tetapi )()(

00 nxnxyLimxQLim

, maka

dapat disimpulkan )1sin(sgn0 x

Limx

tidak ada di R

(d). )0(1sin 20 >

xx

xLimx

Bukti :

Rxx

,11sin1 2 karena x>0 maka 0>x sehingga

xx

xx

21

sin .



Dan oleh karena xLimxLimxx 00

0

==

Maka menurut Teorema Apit dapat diambil kesimpulan

01sin 20 =

x

xLimx

12. Misalkan RRf : sedemikian sehingga Ryxyfxfyxf +=+ ,,)()()( misalkan LfLim

cx=

ada buktikan L = 0 dan kemudian buktikan bahwa f

memenuhi limit setiap Rc

bukti :

(a). Misalkan Ryxyx = ,,2 maka

)(2)()()2()( xfxfxfxfxf =+= Sehingga menurut Teorema 3.1.3

LxfLimyfLimLxx

2)(2)(00

===

Kesamaan di atas hanya dapat dipenuhi jika 0=L . Jadi terbukti 0)(

0=

xfLim

x

(b). Sekarang Misalkan Ryxycx = ,,

Jika cx maka 0y . Sehingga )()()( cfcxfxf += selanjutnya )()()( cfLimcxfLimxfLim

cxcxcx +=

Dari (a) didapat )()( cfxfLim

cx=

Jadi kesimpulan f memenuhi limit Rc



13. Misalkan RA , misalkan RAf : , dan misalkan Rc adalah titik cluster dari A. Jika fLim

cx ada dan jika f dinotasikan sebagai fungsi yang

didefinisikan untuk Ax dengan )()( xfxf = . Buktikan fLimfLimcxcx

=

Bukti :

kita akan tunjukkan bahwa jika LxfLimcx

=

)( ada, maka LxfLimcx

=

)(

sekarang untuk 0> diberikan sebarang terdapat 01 > sedemikian sehingga

jika Axcx



LxfLxf

+

=

)()(

= sebarang maka dapat di ambil kesimpulan

)()( xfLimLxfLimcxcx

==



LATIHAN BAGIAN 5.2 KOMBINASI DARI FUNGSI KONTINU 1. Tentukan titik-titik kontinu dari fungsi-fungsi berikut dan nyatakan teorema

mana yang di gunakan dalam setiap kasus.

Jawab :

a. )(,1

12)( 22

Rxx

xxxf

+

++= .

Misalkan

)(,12)( 2 xhxxxh ++= kontinu pada Re )(,1)( 2 xgxxg += kontinu pada Re

Menurut teorema 4.2.4

)()()(

)()(

)( efxgxh

xgLim

xhLimxfLim

ex

ex

ex===

b. xxxg +=)(

xxh =)( teorema 5.26 )(xh kontinu pada Ree ,0 xxxf += 2)( kontinu pada Re

)()( xhfhxg = kontinu pada Ree ,0 teorema 5.28

c. 0,sin1)( += xx

xxh

Misalkan

xxg sin1)( += , kontinu pada Rx , teorema 5.25

xxk 1)( =

, kontinu pada Ree ,0

)()()(

xkxg

xh = , kontinu pada Ree ,0 teorema 4.24



d. 21cos)( xxK += Misalkan

21)( xxf += , kontinu pada Re

xxg cos)( = , kontinu pada Re

)()( xfgxK = , kontinu pada Re

2. Tunjukkan jika RAf : kontinu RA dan jika N , maka fungsi nn xfxf ))(()( = untuk Ax , kontinu pada A.

Bukti :

)()(,,0,0 1 fxfexDfx



4. Lihatlah latihan 5.1.4. Tentukan titik-titik kontinu dari [ ] Rxxxxf = ,)( Misalkan :

[ ]xxh =)( kontinu pada nne , xxg =)(

kuntinu pada Re

Maka Znncpadakontinuxhxgxf = ,)()()(

5. Misalkan g didefinisikan pada R Rxxxfxxgg +=== ,1)(,1,2)(,0)1(. Tunjukkan ( )( )0

0fgfgLim

x

Bukti :

( ) ( )( ) 0)1(0

21000

==

=+=

gfgxgLimfgLim

xx

Hal ini bertentangan dengan Teorema 5.2.7

6. Misalkan g,f didefinisikan pada R dan misalkan Rc . Andaikan

bxfLimcx

=

)( dan g adalah kontinu pada G. Tunjukkan bahwa

( )bgfgLimcx

=

Jawab :

Andaikan g kontinu pada b

)()(,00 111 bgxgbxDx g



Selanjutnya jika 1)(



Kita ketahui ( ) 0=nxh , maka ( ) 0=nxhLim karena h kontinu disetiap Rx maka ( ) ( ) 01 ==

xhxhLim n

cxn

Jadi karena Rx 1 sebarang maka ( ) Rxxh = ,01 ii. Ambil Rc sebarang. Karena h kontinu pada R maka h kontinu pada c

berarti untuk 0> yang diberikan cxhx ,0 maka

= xfRxP jika Pc . Tunjukkan ada ( ) PcV Jawab :

Pc maka ( ) 0>cf ambil 0)( >= cf )()()(,0 cfxfxfcxDx f



11. Jika f dan g kontinu pada R, misalkan { })()(, xgxfRxs = . Jika SSn dan ssLim n =)( . Tunjukkan Ss .

Bukti :

Jika SSn dan ssLim n =)( akan ditunjukkan bahwa )()( sgsf

Misalkan SSn maka berarti )()( nn sgsf selanjutnya, f dan g kontinu pada R maka f dan g kontinu pada S. Akibatnya jika ssLim n =)( maka

)()( sfsfLim n = dan )()( sfsgLim n =

Dari )()( nn sgsf maka menurut Teorema )()()()( sgsgLimsfsfLim nn == jadi Ss .

12. Sebuah fungsi dari R ke R dikatakan penjumlahan jika( ) Ryxgfxfgxf +=+ ,),()( Buktikan jika f kontinu pada ox maka f

kontinu pada setiap titik dari R.

Jawab :

Dibuktikan terlebih dahulu 0)( 0 = xxfLim , diperlihatkan :

)()()( 00 xfxxfxf += dan 0)()()()( 000

00

=+=

xxfLimxfxxfxfLimxxxx

Selanjutnya diperlihatkan )()()( cfcxfxf += dan )()()( cfLimcxfLimxfLim

xcxcxcx +=

)()( cfxfLimcx

=

Karena Rc sebarang maka f kontinu pada setiap titik Rc



13. Andaikan f kontinu penjumlahan pada R. Jika )1(fc = Tunjukkan Rxcxxf = ,)(

Bukti :

Ditunjukkan terlebih dahulu 0)0( =f karena )0()0()( fxfxf += maka

0)0()0()()( =+=

ffxfLimxfLimcxcx

Kemudian ditunjukkan ( ) ( )xfxf = diperlihatkan :

)()()()(0

)()0()0(

xfxfxfxf

xfxff

=

+=

+=

Untuk x bilangan bulat

0.0)0(0 cfx ===

cxfxfxfx .)1(.)1...111()(0 ==++++=>

< 0x misal 0>= xy

cxxfcxxfxfcyyf

=

===

)(.)()(.)(

Jadi untuk Zx berlaku Zxcxxf =)( Ditunjukkan untuk Qx

Misalkan Znmn

mx = ,,

=

=

=

nfm

nmf

n

mfxf 1.1.)(

dimana

( )

=

==

nnf

nnffc 11.1 , jadi

n

c

nf =

1

Sehingga

xcn

cm

nfm

n

mfxf ..1.)( ==

=

=

Jadi untuk Qx berlaku cxxf =)(



Akan ditunjukkan untuk QRx \ misalkan

=

=

=

nfm

nmf

n

mfxf 1.1.)(

Akan kita tunjukan untuk QRx \ sebarang Ambil Qxn yang konvergen ke x , karena f kontinu pada setiap Rx maka f kontinu pada 1x selanjutnya

)()( 11

xfxfLim nxxn

=

Karena Qf n )( maka nn cxxf =)( Sehingga 11 )()()(

11

cxxcLimxfLimxf nxx

nxx nn

===

Dengan demikian 11)( cxxf = pada setiap QRx \1 Akhrinya dapat kita simpulkan Rxcxxf = ,)( 1

14. Misalkan RRg : memenuhi hubungan Ryxygxgyxg =+ ,),(),()( Tunjukan jika gkontinu pada x = 0 maka g kontinu pada setiap titik R

dan juga jika 0)( =ag untuk Ra maka Rxxg = ,0)( Bukti :

g kontinu pada x = 0 berarti

)0()(.00 gxgxDgx Dengan kata lain

)()0(0

xgLimgx

=

Kita tunjukkan terlebih dahulu Rxg = ,1)0( kita perhatikan )0()( xgxg +=

)(1)0()0().(0

xgLimggxgx

===

Sekarang misalkan Rc sebarang

Akan ditunjukkan g kontinu di c Dari



( ) ( ) )(. cgcxgxg = )(.1)().()( cgcgcxgLimxgLim

cxcx==

Jadi karena Rc sebarang maka g kontinu di setiap Rc

Sekarang apabila 0)( =ag , maka Rxxg = ,0)( Kita perhatikan

Raxaaxgagaxgxg === ,,0).()().()(

Jadi Rxxg = ,0)(

15. Misalkan RRgf :, kontinu pada titik c. Rxxgxfxh = )}(),(sup{)( .

Tunjukkan bahwa ( ) Rxxgxfxgxfxh ++= ,)().(21)()(

21)( . Gunakan

hasil ini untuk menunjukkan h kontinu pada c. Bukti :

a. Akan ditunjukkan Tunjukkan bahwa

( ) Rxxgxfxgxfxh ++= ,)().(21)()(

21)(

Bila Rxxgxf ),()( Maka

( ) ( ))()(21)()(

21)()( xgxfxgxfxfxh ++==

..........(i)

( ) ( ))()(21)()(

21

xgxfxgxf ++=

Bila Rxxgxf ),()( Maka

( ) ( ))()(21)()(

21)()( xgxfxgxfxgxh ++==

..........(ii)

( ) ( ))()(21)()(

21

xgxfxgxf ++=



Selanjutnya kita dapatkan Rx

( ) ( ))()(21)()(

21)( xgxfxgxfxh ++=

b. Akan ditunjukkan h kontinu pada c Karena f,g kontinu di c maka

++=

))()((21))()((

21)( xgxfxgxfLimxhLim

cxcx

)()(21))()((

21

xgxfLimxgxfLimcxcx

+++=

)()(21))()((

21

cgcfcgcf +++=

)(xh=

Jadi h kontinu pada c

anreal 4.2

Documents