anreal b presentasi 4

8/10/2019 Anreal B Presentasi 4

1/25

Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II

ANALISIS REAL

(Semester I Tahun 2011-2012)

Hendra Gunawan

Dosen FMIPA - ITB

E-mail: [email protected].

September 12, 2011

Hendra Gunawan ANALISIS REAL
http://find/


2/25


4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke

http://find/


3/25



Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidikikekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui limitnya.Persisnya, jika kita dihadapkan pada sebuah barisan yang monotondan terbatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa ia konvergen.

Namun bagaimana bila barisan tersebut bukan barisan monotondan limitnya tak dapat diterka? Upaya yang dapat kita lakukandalam hal ini adalah mengamati jarak antara satu suku dengansuku lainnya.

http://find/


4/25



Barisanxn disebut barisan Cauchyapabila untuk setiap >0terdapat N N sedemikian sehingga untuk m, nN berlaku

|xm

xn

|< .

Secara intuitif, suku-suku pada barisan Cauchy dapat sangatberdekatan satu sama lain, dan ini terjadi tidak hanya pada duaatau beberapa suku berturutan tetapi semua suku setelah indekstertentu.


4 3 B i C h
http://find/


10/25

D ft I i4.3 Barisan Cauchy


11/25


.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke

Contoh 13

Diketahui barisanxn dengan x1= 1, x2= 2, danxn+2=

1

2(xn+1+xn), n N.

Maka, dapat diperiksa bahwa untuk tiap n N kita mempunyai

|xn+2 xn+1|= 12n

.

Dengan menggunakan Ketaksamaan Segitiga, kita peroleh untukm>n

|xm xn| |xm xm1| + + |xn+1 xn| 1

2n2 .Diberikan >0, kita dapat memilih N N sedemikian sehingga

12N2

< . Maka, untuk m, nN, kita peroleh|xm xn| 12N2 < . Ini menunjukkan bahwaxn Cauchy, dankarenanya konvergen.


Daftar Isi4.3 Barisan Cauchy
http://find/


12/25


y4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke

Soal Latihan

1 Buktikan secara langsung bahwa jikaxn Cauchy, makaxnterbatas (tanpa melalui fakta bahwaxn konvergen) .

2 Tentukan limit barisanxn pada Contoh 13.3 Barisan

xn

dikatakan kontraktifapabila terdapat 0< K


13/25


4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke

Misalkanxn barisan dannk barisan naik murni dengan nk Nuntuk tiap k N. Maka, barisan

xnk

disebut sebagai sub-barisan darixn.Catatan. Pada pembuktian Teorema 12, kita mengkonstruksisubbarisanxnk yang konvergen ke suatu x R. Secara umum,dapat ditunjukkan bahwa setiap barisan terbatas selalu mempunyai

subbarisan yang konvergen.


Daftar Isi4.3 Barisan Cauchy
http://find/


14/25



Contoh 1

(i) Diketahui barisan(1)n. Maka,

(1)2k1=1 dan (1)2k=1

merupakan sub-barisan dari(1)n. (Pada sub-barisan pertamank= 2k 1, sedangkan pada sub-barisan kedua nk= 2k.)(ii) Misalkanrn adalah barisan 1, 2, 32 , 53 , 85 , 138, . . . . Maka

1,3

2,8

5, . . . dan 2,

5

3,13

8 , . . .

merupakan sub-barisan darirn. (Pada sub-barisan kedua,nk=k+ 1.


Daftar Isi4.3 Barisan Cauchy4 2 S b b i
http://find/


15/25



Hipotesisnk naik murni merupakan bagian penting dalam definisisub-barisan. Salah satu akibat dari hipotesis ini, kita mempunyai

nk k

untuk tiap k N. Fakta ini dapat dibuktikan dengan PrinsipInduksi Matematika. (Jelas bahwa n11. Selanjutnya, jikankk, maka nk+1>nkkdan karenanya nk+1k+ 1.)Catat bahwa setiap sub-barisan dari barisan terbatas juga bersifat

terbatas. Selanjutnya, kita mempunyai teorema berikut.


Daftar Isi4.3 Barisan Cauchy4 2 S b b i
http://find/


16/25

4. BARISAN - BAGIAN II4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke

Teorema 2

Jikaxn konvergen ke L, maka setiap sub-barisan darixnkonvergen ke L.

Bukti. Misalkanxnk adalah sub-barisan darixn. Diberikan >0, pilih N N sedemikian sehingga untuk setiap nNberlaku|xn L|< . Maka, untuk setiap kN, kita mempunyainkkN, dan karenanya|xnk L|< . Dengan demikianxnkkonvergen ke L.


Daftar Isi 4.3 Barisan Cauchy4 2 Sub barisan
http://find/


17/25


Contoh 3

Kita telah membahas kedivergenan barisan(1)n. Buktialternatif yang lebih sederhana dapat diberikan dengan

menggunakan Teorema 2. Karena terdapat sub-barisan1 yangkonvergen ke -1 dan sub-barisan1 yang konvergen ke 1, makabarisan(1)n tidak mungkin konvergen. (Jika ia konvergen,maka menurut Teorema 2 kedua sub-barisan di atas seharusnya

konvergen ke bilangan yang sama.)


Daftar Isi 4.3 Barisan Cauchy4 2 Sub barisan
http://find/


18/25


Contoh 4

Pada Soal Latihan 3.4 No. 3, anda diminta menunjukkan bahwaxn konvergen untuk 0


19/25

Daftar Isi4 BARISAN BAGIAN II

4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan


20/25

4. BARISAN - BAGIAN II4.2 Sub barisan4.3 Barisan Konvergen ke

Soal Latihan

1 Diketahui barisanxn. Tunjukkan jikax2k1 danx2kkonvergen ke bilangan yang sama, makaxn konvergen.

2 Buktikan jikaxn Cauchy dan mempunyai subbarisan yangkonvergen ke x, maka xnx bila n .

3 Diketahui barisan

xn

didefinisikan secara induktif dengan

x1= 1 dan

xn+1=xn+ 1

xn, n N.

Mungkinkahxn konvergen?4 Diketahui barisan

rn

didefinisikan secara induktif dengan

r1= 1 dan

rn+1= 1 + 1

rn, n N.

Tunjukkan jikarn konvergen, maka ia akan konvergen ke

(1 +

5)/2.



http://find/


21/25

4. BARISAN - BAGIAN II4.3 Barisan Konvergen ke

Barisanxn dikatakan konvergen ke+ dan kita tuliskanxn+ bila n

apabila untuk setiap M>0 terdapat N N sedemikian sehinggauntuk setiap nN berlaku xn >M.Serupa dengan itu, barisanxn dikatakan konvergen kedankita tuliskan

xn bila n

apabila untuk setiap M>0 terdapat N N sedemikian sehinggauntuk setiap nN berlaku xn


22/25


Catatan. Walaupun di sini kita menggunakan istilah konvergendan notasi yang mirip dengan notasi untuk barisan konvergen,

barisan yang kita bahas sebetulnya merupakan barisan divergen diR. Proposisi 5 pada Bab 3 tidak berlaku untuk barisan yangkonvergen kemengingat / R.



http://find/http://goback/


23/25


Contoh 16

(i) Barisann konvergen ke +; sementara barisannkonvergen ke.

(ii) Barisan

1 +

1

2+ +1

n

pada Soal Latihan 3.4 no. 5merupakan barisan yang konvergen ke +.(iii) Barisan(1)nn bukan merupakan barisan yang konvergen ke+ ataupun konvergen ke.Catatan

. Barisanxn yang divergen dan bukan merupakanbarisan yang konvergen kedikatakan berosilasi.


Daftar Isi4 BARISAN - BAGIAN II

http://find/


24/25

4. BARISAN BAGIAN II4.3 Barisan Konvergen ke

Teorema 17

(i) Jikaxn naik dan tak terbatas (di atas), maka ia konvergen ke+.(ii) Jikaxn dan tak terbatas (di bawah), maka ia konvergen ke.

Catatan. Teorema 17 merupakan perluasan dari Teorema 11 padaBab 3. Sebagai akibatnya, pada sistem bilangan real yang

diperluas, barisan monoton selalu konvergen.



4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan4 3 B i K k
http://goforward/http://find/http://goback/


25/25

4. BARISAN BAGIAN II4.3 Barisan Konvergen ke

Soal Latihan

1 Buktikan Teorema 17.

2 Buktikan bahwa untuk setiap bilangan rasional r>0, barisannr konvergen ke +.3 Misalkanxn >0 untuk tiap n N. Buktikan bahwaxn

konvergen ke 0 jika dan hanya jika

1xn

konvergen ke +.

http://find/http://goback/

anreal b presentasi 4

Documents