analisis statistik tentang pengertian statistik ... · pdf filecontoh : tabel klasifikasi...

ANALISIS STATISTIK

tentang

PENGERTIAN STATISTIK, PENGERTIAN STATISTIKA,

MACAM-MACAM DATA, DISTRIBUSI FREKUENSI DAN GRAFIKNYA,

UKURAN PEMUSATAN, UKURAN PENYEBARAN (FRAKTIL) DAN

UKURAN DISPERSI

DISUSUN OLEH :

1. Trilius Septaliana KR (20102512011)

2. Aisyah (20102512023)

DOSEN PENGASUH :

Dr. Ratu Ilma I.P.,M.Si

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA PALEMBANG

TAHUN AJARAN 2011/2012

BAB 1

PENGERTIAN STATISTIK, STATISTIKA DAN

MACAM-MACAM DATA

1.1. Pengertian Statistik dan Statistika

Statistik adalah kumpulan data, bilangan maupun non-bilangan yang disusun

dalam tabel dan atau diagram yang melukiskan suatu persoalan

Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara

pengumpulan data, pengolahan atau penganalisaannya dan penarikan kesimpulan

berdasarkan kumpulan data dan penganalisaan yang dilakukan.

1.2. Pembagian Statistik Berdasarkan Cara Pengolahan Datanya

Didasarkan atas cara pengolahan datanya, statistik dapat dibagi dua, yaitu

statistik deskriptif dan statistik inferensi.

a. Statistika deskriptif adalah metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan

penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna.

b. Statistika inferensia adalah metode yang berhubungan dengan analisis sebagian

data untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan tentang

seluruh gugus data induknya.

1.3. Pembagian Statistik Berdasarkan Ruang Lingkup Penggunaannya

a. Statistik sosial

adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam ilmu-ilmu sosial.

b. Statistik pendidikan

adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam ilmu dan bidang

pendidikan.

c. Statistik ekonomi

adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam ilmu-ilmu ekonomi.

d. Statistik perusahaan

adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam bidang perusahaan.

e. Statistik pertanian

adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam ilmu-ilmu pertanian.

f. Statistik kesehatan

adalah statistik yang diterapkan atau digunakan dalam bidang kesehatan.

1.4. Pembagian Statistik Berdasarkan Bentuk Parameternya

a. Statistik parametrik

adalah bagian statistik yang parameter dari populasinya mengikuti suatu

distribusi tertentu, seperti distribusi normal dan memiliki varians yang homogen.

b. Statistik nonparametrik

adalah bagian statistik yang parameter dari populasinya tidak mengikuti suatu

distribusi tertentu atau memiliki distribusi yang bebas dari persyaratan, dan variansnya

tidak perlu homogen.

1.5. Data Statistik

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia data adalah keterangan yang benar dan

nyata. Data adalah bentuk jamak dari datum. Datum adalah keterangan atau ilustrasi itu

mengenai sesuatu hal yang bisa berbentuk kategori (misalnya rusak, baik, senang, cerah,

berhasil, gagal dan sebagainya) atau bilangan. Jadi, data dapat diartikan sebagai sesuatu

yang diketahui atau yang dianggap atau anggapan.

1.6. Pembagian Data

A. Jenis Data Menurut Cara Memperolehnya

1. Data Primer, adalah secara langsung diambil dari objek, atau objek penelitian oleh

peneliti perorangan maupun organisasi. Data primer disebut juga data asli atau data

baru. Contoh: Mewawancarai langsung penonton bioskop 21 untuk meneliti

preferensi konsumen bioskop.

2. Data Sekunder, adalah data yang didapat tidak secara langsung dari objek

penelitian. Peneliti mendapatkan data yang sudah jadi yang dikumpulkan oleh pihak

lain dengan berbagai cara atau metode baik secara komersial maupun non komersial.

Data sekunder disebut juga data tersedia. Contohnya adalah pada peneliti yang

menggunakan data statistik hasil riset dari surat kabar atau majalah.

B. Macam-Macam Data Berdasarkan Sumber Data

1. Data Internal, adalah data yang menggambarkan situasi dan kondisi pada suatu

organisasi secara internal. Misal : data keuangan, data pegawai, data produksi, dsb.

2. Data Eksternal, adalah data yang menggambarkan situasi serta kondisi yang ada di

luar organisasi. Contohnya adalah data jumlah penggunaan suatu produk pada

konsumen, tingkat preferensi pelanggan, persebaran penduduk, dan lain sebagainya.

C. Klasifikasi Data Berdasarkan Jenis Datanya

1. Data Kuantitatif, adalah data yang dipaparkan dalam bentuk angka-angka. Misalnya

adalah jumlah pembeli saat hari raya idul adha, tinggi badan siswa kelas 3 ips 2, dan

lain-lain.

2. Data Kualitatif, adalah data yang disajikan dalam bentuk kata-kata yang

mengandung makna. Contohnya seperti persepsi konsumen terhadap botol air

minum dalam kemasan, anggapan para ahli terhadap psikopat dan lain-lain.

D. Pembagian Jenis Data Berdasarkan Sifat Data

1. Data Diskrit, adalah data yang nilainya adalah bilangan asli. Contohnya adalah berat

badan ibu-ibu pkk sumber ayu, nilai rupiah dari waktu ke waktu, dan lain-

sebagainya.

2. Data Kontinu, adalah data yang nilainya ada pada suatu interval tertentu atau berada

pada nilai yang satu ke nilai yang lainnya. Contohnya penggunaan kata sekitar,

kurang lebih, kira-kira, dan sebagainya.

E. Jenis-jenis Data Menurut Waktu Pengumpulannya

1. Data Cross Section, adalah data yang menunjukkan titik waktu tertentu. Contohnya

laporan keuangan per 31 desember 2006, data pelanggan PT. angin ribut bulan mei

2004, dan lain sebagainya.

2. Data Time Series/ Berkala, adalah data yang datanya menggambarkan sesuatu dari

waktu ke waktu atau periode secara historis. Contoh data time series adalah data

perkembangan nilai tukar dollar amerika terhadap euro eropa dari tahun 2004

sampai 2006, jumlah pengikut jamaah nurdin m. top dan doktor azahari dari bulan

ke bulan, dll.

1.7. Penyajian Data

Fungsi penyajian data yaitu :

1. Menunjukkan perkembangan suatu keadaan,

2. Mengadakan perbandingan pada suatu waktu.

Secara garis besar penyajian data dapat dilakukan melalui tabel dan grafik.

a. Tabel

Tabel adalah penyajian data dalam bentuk kumpulan angka yang disusun

menurut kategori-kategori tertentu, dalam suatu daftar. Dalam tabel, disusun dengan

cara alfabetis, geografis, menurut besarnya angka, historis, atau menurut kelas-kelas

yang lazim.

Berdasarkan pengaturan datanya, tabel dibedakan atas beberapa jenis, yaitu :

1. Tabel frekuensi, adalah tabel yang menunjukkan atau memuat banyaknya kejadian

atau frekuensi dari suatu kejadian. Contoh :

TABEL HASIL UJIAN STATISTIK

Nilai Jumlah Mahasiswa

45 – 49

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

70 – 74

75 – 79

80 – 84

85 – 89

3

5

6

8

12

15

11

7

5

Jumlah 70

2. Tabel klasifikasi,

Tabel klasifikasi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat pengelompokkan

data. Tabel klasifikasi dapat berupa tabel klasifikasi tunggal dan ganda.

Contoh tabel klasifikasi tunggal

TABEL JUMLAH MURID XII IPA SMA X PALEMBANG YANG LULUS

UJIAN MATEMATIKA TAHUN 2009

Jenis Jumlah

Laki-laki

Perempuan

81

88

Jumlah 169

Contoh : tabel klasifikasi ganda

TABEL JUMLAH MURID XII IPA SMA X PALEMBANG YANG LULUS

UJIAN MATEMATIKA TAHUN 2009

Jenis

Kelamin

Jumlah

Murid

Kelas

XII IPA 1 XII IPA 2 XII IPA 3 XII IPA 4

Laki-laki

Perempuan

81

88

17

22

20

23

25

18

19

25

Jumlah 169 39 43 43 44

3. Tabel kontingensi,

Tabel kontingensi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat data sesuai

dengan rinciannya. Apabila bagian baris tabel berisikan m baris dan bagian kolom tabel

berisikan n kolom maka didapatkan tabel kontingensi berukuran m x n.

Contoh :

TABEL BANYAK MURID MENYUKAI BELAJAR MATEMATIKA DI SEKOLAH

DAERAH T MENURUT TINGKAT KELAS DAN JENIS KELAMIN TAHUN 2009

Jenis Kelamin Tingkat Kelas

Jumlah X XI XII

Laki-laki 115 103 201 419

Perempuan 234 212 195 641

Jumlah 349 315 396 1.060

4. Tabel korelasi

Tabel korelasi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat adanya korelasi

(hubungan) antara data yang disajikan.

Contoh :

TABEL HASIL UJIAN STATISTIK DAN AKUNTANSI 100 MAHASISWA DI

SUATU AKADEMI

Nilai

Akuntansi

Nilai Statistik

40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

90-99

80-89

70-79

60-69

50-59

40-49

1

3

3

4

6

5

1

5

9

6

4

2

4

10

5

2

4

6

8

2

4

5

1

b. Diagram Data

Diagram data disebut juga grafik data, adalah penyajian data dalam bentuk

gambar-gambar. Grafik data biasanya berasal dari tabel dan grafik biasanya dibuat

bersama-sama, yaitu tabel dilengkapi dengan grafik. Grafik data sebenarnya merupakan

penyajian data secara visual dari data bersangkutan. Grafik data dibedakan atas

beberapa jenis, yaitu :

1. Piktogram

Piktogram adalah grafik data yang menggunakan gambar atau lambang dari data

itu sendiri dengan skala tertentu.

Contoh

Penduduk dunia pada akhir abad ke-20 diperkirakan :

1) Afrika : 350 juta jiwa

2) Amerika : 500 juta jiwa

3) Asia : 2.000 juta jiwa

4) Eropa : 600 juta jiwa

5) Jerman : 50 juta jiwa

6) Uni Soviet : 250 juta jiwa

2. Diagram batang atau balok

Diagram batang atau balok adalah diagram data berbentuk persegi panjang yang

lebarnya sama dan dilengkapi dengan skala atau ukuran sesuai dengan data yang

bersangkutan. Setiap batang tidak boleh saling menempel atau melekat antara satu

dengan lainnya dan jarak antara setiap batang yang berdekatan harus sama.

Contoh :

Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T Tahun 2010

Jenis Mata Pelajaran Banyaknya Siswa

Kesenian Bahasa Indonesia

Ekonomi Bahasa Inggris

Matematika

65 34 13 10 9

02040

6080

Kesenian Bahasa Indonesia

Ekonomi Bahasa Inggris Matematika


Banyaknya Siswa

3. Diagram garis

Diagram Garis adalah diagram berupa garis, diperoleh dari beberapa ruas garis

yang menghubungkan titik-titik pada bidang bilangan. Pada diagram garis digunakan

dua garis yang saling berpotongan. Pada garis horizontal (sumbu-X) ditempatkan

bilangan-bilangan yang sifatnya tetap, seperti tahun dan ukuran-ukuran. Pada garis

tegak (sumbu-Y) ditempatkan bilangan-bilangan yang sifatnya berubah-ubah, seperti

harga, biaya jumlah, dan jumlah.

4. Diagram lingkaran

Diagram lingkaran adalah diagram data berupa lingkaran yang telah dibagi

menjadi juring-juring sesuai dengan data tersebut. Bagian-bagian dari keseluruhan data

tersebut dinyatakan dalam persen.

Contoh: Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T Tahun 2010

Jenis Mata Pelajaran Banyaknya Siswa

Kesenian

Bahasa Indonesia

Ekonomi

Bahasa Inggris

Matematika

65

34

12

10

9

65

34

13 10 90

10203040506070


Banyaknya Siswa

Untuk mencari besar sudut tiap-tiap juring atau %, caranya sebagai beikut.

1. sudut untuk pelajaran kesenian

00 18036013065

= %50%10013065

2. sudut untuk pelajaran bahasa indonesia

00 154,9436013034

= %154,26%10013034

3. sudut untuk pelajaran ekonomi

00 231,3336013012

= %231,9%10013012

4. sudut untuk pelajaran bahasa inggris

00 692,2736013010

= %692,7%10013010

5. sudut untuk pelajaran matematika

00 923,24360130

9

= %923,6%100130

9

50%

26%

9%8% 7%

Peringkat Mata Pelajaran yang Disukai Siswa di Sekolah T tahun 2010

Kesenian

Bahasa Indonesia

Ekonomi

Bahasa Inggris

Matematika

5. Kartogram

Kartogram atau peta statistik adalah diagram data berupa peta yang

menunjukkan kepadatan penduduk, curah hujan, hasil pertanian, hasil pertambangan

dsb. Contoh :

TABEL PEMASARAN TELEVISI PERUSAHAAN “X”, SEMESTER I, 1990 Daerah Pemasaran Jumlah

Semarang Yogyakarta Purwokerto

Tegal Pati

Surakarta

500.000 400.000 300.000 300.000 200.000 350.000

Dalam bentuk kartogram peta statistik tersebut digambarkan sebagai berikut.

PETA PEMASARAN TELEVISI PERUSAHAAN “X”, SEMESTER I, 1990

6. Diagram Pencar

Diagram pencar untuk kumpulan data yang terdiri atas dua variable dengan nilai

kuantitatif, diagramnya dapat dibuat dalam system sumbu koordinat dan gambarnya

akan merupakan kumpulan titik-titik yang terpencar.

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5 6


Banyaknya Siswa

BAB 2

DISTRIBUSI FREKUENSI DAN GRAFIKNYA

1. Pengertian Distribusi Frekuensi

Distribusi Frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu

atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar. Jadi, distribusi frekuensi dapat

diartikan pengelompokan data ke dalam beberapa kategori/ kelas yang menunjukkan

banyaknya data dalam setiap kategori/ kelas, dan setiap data tidak dapat dimasukkan ke

dalam dua atau lebih kategori/ kelas.

Tujuan pengelompokan data ke dalam distribusi frekuensi adalah :

1. untuk memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami dan dibaca sebagai

bahan informasi,

2. memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, dan grafik.

2. Langkah-langkah Distribusi Frekuensi:

a. Mengumpulkan data,

b. Mengurutkan data dari terkecil ke terbesar atau sebaliknya,

c. Membuat kategori kelas

Jumlah kelas k = 1 + 3,3 log n, k bulat

di mana 2k > n; di mana k = jumlah kelas; n = jumlah data,

d. Membuat interval kelas,

Interval kelas = (nilai tertinggi – nilai terendah)/ jumlah kelas

e. Melakukan penghitungan atau penturuskan setiap kelasnya.

Contoh:

Dari hasil nilai ujian matematika 40 siswa, diperoleh data sebagai berikut.

78 72 74 79 74 71 75 74 72 68

72 73 72 74 75 74 73 74 65 72

66 75 80 69 82 73 74 72 79 71

70 75 71 70 70 70 75 76 77 67

Penyelesaian:

a. Urutan data

65 66 67 68 69 70 70 70 70 71

71 71 72 72 72 72 72 72 73 73

73 74 74 74 74 74 74 74 75 75

75 75 75 76 77 78 79 79 80 82

b. Membuat kategori kelas (k) adalah

푘 = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 5,3 = 6,3 = 6

c. Membuat interval kelas

퐼푛푡푒푟푣푎푙 푘푒푙푎푠 (푖) =푛푖푙푎푖 푡푒푟푡푖푛푔푔푖 − 푛푖푙푎푖 푡푒푟푒푛푑푎ℎ

푗푢푚푙푎ℎ 푘푒푙푎푠 =82 − 65

6

= = 2,8 = 3

d. Tabelnya

Nilai Turus Frekuensi

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

III

IIII I

IIII IIII II

IIII IIII III

IIII

II

3

6

12

13

4

2

Jumlah 40

3. Histogram, Poligon Frekuensi dan Kurva

3.1. Histogram dan Poligon Frekuensi

Histogram dan poligon frekuensi adalah dua grafik yang sering digunakan untuk

menggambarkan distribusi frekuensi. Histogram merupakan grafik batang dari distribusi

frekuensi dan poligon frekuensi merupakan grafik garisnya.

Contoh:

Distribusi Frekuensi Hasil Pengukuran Tinggi Badan 50 Siswa

Interval Kelas

(Tinggi (cm))

Frekuensi

(Banyak Murid) Tepi Interval Kelas Titik Tengah

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 – 169

170 - 174

3

6

12

15

12

7

5

139,5 – 144,5

144,5 – 149,5

149,5 – 154,5

154,5 – 159,5

159,5 – 164,5

164,5 – 169,5

169,5 – 174,5

142

147

152

157

162

167

172

Σ푓 = 60

a. Histogram

b. Poligon Frekuensi

0

5

10

15

139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5 169,5

bany

ak si

swa

(frek

uens

i)

tinggi badan

Histogram tinggi badan 60 siswa

02468

10121416

137 142 147 152 157 162 167 172 177

frek

uens

i

tinggi badan

Frekuensi

3.2. Kurva Frekuensi

Kurva distribusi frekuensi, disingkat kurva frekuensi yang telah dihaluskan

mempunyai berbagai bentuk dengan ciri-ciri tertentu. Bentuk-bentuk kurva frekuensi

adalah sebagai berikut.

1. Simetris atau berbentuk lonceng, ciri-cirinya adalah nilai variabel di sampingkiri

dan kanan yang berjarak sama terhadap titik tengah (yang frekuensinya terbesar)

mempunyai frekuensi yang sama. Bentuk kurva simetris sering dijumpai dalam

distribusi bermacam-macam variabel, karena itu dinamakan distribusi normal.

2. Tidak simetris atau condong, ciri-cirinya ialah ekor kurva yang satu lebih panjang

daripada ekor kurva lainnya. Jika ekor kurva lebih panjang berada di sebelah kanan,

kurva disebut kurva condong ke kanan (mempunyai condong positif), sebaliknya

disebut kurva condong ke kiri (mempunyai condong negatif).

3. Bentuk J atau J terbalik, ciri-cirinya ialah salah satu nilai ujung kurva memiliki

frekuensi maksimum.

4. Bentuk U, dengan ciri kedua ujung kurva memiliki frekuensi maksimum.

5. Bimodal, dengan ciri mempunyai dua maksimal.

6. Multimodal, dengan ciri mempunyai lebih dari dua maksimal.

7. Uniform, terjadi bila nilai-nilai variabel dalam suatu interval mempunyai frekuensi

yang sama.

4. Jenis-Jenis Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi dapat dibedakan atas tiga jenis, yaitu distribusi frekuensi

biasa, distribusi frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi kumulatif.

a. Distribusi Frekuensi Biasa, adalah distribusi frekuensi yang hanya berisikan jumlah

frekuensi dari setiap kelompok data atau kelas.

b. Distribusi Frekuensi Relatif, adalah distribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai

hasil bagi antara frekuensi kelas dan jumlah pengamatan yang terkandung dalam

kumpulan data yang berdistribusi tertentu. Rumusnya:

풇풓풆풍풂풕풊풇 =풇풊횺풇 × ퟏퟎퟎ, 풊 = ퟏ,ퟐ,ퟑ, …

Misalkan distribusi frekuensi memiliki k buah interval kelas dengan frekuensi

masing-masing: 푓 , 푓 , … , 푓 maka distribusi yang terbentuk adalah sebagai berikut.

Interval Kelas Frekuensi Frekuensi Relatif

Interval kelas ke-1

Interval kelas ke-2

Interval kelas ke-k

f1

f2

fk

푓푛

푓푛

푓푛

Jumlah Σ푓 = 푛 Σ푓푛 = 1

Frekuensi relatif kadang-kadang dinyatakan dalam bentuk perbandingan,

desimal atatupun persen.

c. Distribusi Frekuensi Kumulatif

Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi yang berisikan frekuensi

kumulatif. Frekuensi kumulatif adalah frekuensi yang dijumlahkan. Distribusi frekuensi

komulatif memiliki grafik atau kurva yang disebut ogif.

Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif, yaitu distribusi frekuensi

kumulatif kurang dari dan lebih dari.

a. Distribusi Frekuensi Kumulatif kurang dari, adalah distribusi frekuensi yang

memuat jumlah frekuensi yang memiliki nilai kurang dari nilai batas kelas suatu

interval tertentu.

b. Distribusi Frekuensi Kumulatif lebih dari, adalah distribusi frekuensi yang

memuat jumlah frekuensi yang memiliki nilai lebih dari nilai batas kelas suatu

interval tertentu.

Contoh:

Berikut ini adalah data 50 mahasiswa dalam perolehan nilai statistik pada

Pendidikan Matematika Universitas “T” semester II tahun 2010!

70 91 93 82 78 70 71 92 38 56

79 49 48 74 81 95 87 80 80 84

35 83 73 74 43 86 68 92 93 76

81 70 74 97 95 80 53 71 77 63

74 73 68 72 85 57 65 93 83 86

a. berapa orang yang mendapat nilai antara 44 – 52 dan 80 – 88 ?

b. berapa % orang yang mendapat nilai antara 53 – 61 dan 89 – 97 ?

c. berapa banyak orang yang nilainya kurang dari 44 ?

d. berapa banyak orang yang nilainya lebih dari 71 ?

Penyelesaian:

Untuk menjawab pernyataan a diperlukan distribusi frekuensi, untuk menjawab

pertanyaan b diperlukan distribusi relatif, untuk menjawab pertanyaan c diperlukan

distribusi kumulatif kurang dari, dan untuk pertanyaan d diperlukan distribusi

kumulatif lebih dari.

a. Tabel Distribusi Frekuensinya adalah sebagai berikut.

Nilai Statistik 50 Mahasiswa pada Pendidikan Matematika Universitas “T”

Semester II tahun 2010

Nilai Frekuensi (f)

35 – 43

44 – 52

53 – 61

62 – 70

71 – 79

80 – 88

89 - 97

3

2

3

7

13

13

9

Jumlah 50

b. Tabel distribusi frekuensi relatinya adalah:

Nilai Frekuensi (f) Frekuensi Relatif

Perbandingan Desimal Persen

35 – 43

44 – 52

53 – 61

62 – 70

71 – 79

80 – 88

89 - 97

3

2

3

7

13

13

9

350

250

350

750

1350

1350

950

0,06

0,04

0,06

0,14

0,26

0,26

0,18

6

4

6

14

26

26

18

Jumlah 50 1 1 100

Jadi, mahasiswa yang mendapat nilai antara 53 – 61 adalah 6% dan yang

mendapat nilai antara 89 – 97 adalah 18%, cara mencarinya:

푛푖푙푎푖 푎푛푡푎푟푎 53− 61 = × 100% = 6%.

푛푖푙푎푖 푎푛푡푎푟푎 89− 97 = × 100% = 18%.

c. Tabel data frekuensi kumulatif untuk data tersebut adalah

Tabel distribusi frekuensi kumulatif Kurang Dari

Nilai Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fkumulatif)

Nilai fk Kurang Dari

35 – 43

44 – 52

53 – 61

62 – 70

71 – 79

80 – 88

89 - 97

3

2

3

7

13

13

9

< 35

< 44

< 53

< 62

< 71

< 80

< 89

< 98

0

3

5

8

15

28

41

50

Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya kurang dari 44 adalah 3 orang.

d. Tabel data frekuensi kumulatif untuk data tersebut adalah

Tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari

Nilai Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fkumulatif)

Nilai fk Lebih Dari

35 – 43

44 – 52

53 – 61

62 – 70

71 – 79

80 – 88

89 - 97

3

2

3

7

13

13

9

> 35

> 44

> 53

> 62

> 71

> 80

> 89

> 98

50

47

44

42

33

20

9

0

Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya lebih dari 71 adalah 33 orang.

e. Ogifnya adalah

Nilai Frekuensi

(f)

Frekuensi Kumulatif (fkumulatif)

Nilai fk Kurang Dari Nilai fk Lebih Dari

35 – 43

44 – 52

53 – 61

62 – 70

71 – 79

80 – 88

89 - 97

3

2

3

7

13

13

9

< 35

< 44

< 53

< 62

< 71

< 80

< 89

< 98

0

3

5

8

15

28

41

50

> 35

> 44

> 53

> 62

> 71

> 80

> 89

> 98

50

47

44

42

33

20

9

0

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120

fk Kurang Dari

fk Lebih Dari

BAB 3

UKURAN PEMUSATAN

A. Pengertian Nilai Pusat

Ukuran pemusatan atau nilai pusat adalah ukuran yang dapat mewakili data

secara keseluruhan.

B. Jenis-Jenis Ukuran Nilai Pusat

1. Rata-Rata Hitung (Mean)

Mean adalah nilai rata-rata dari data-data yang ada. Rata-rata hitung dari

populasi diberi simbol µ dan rata-rata hitung dari sampel diberi simbol 푋. Mencari rata-

rata hitung secara umum dapat ditentukan dengan rumus :

a. Untuk data tunggal

Cara menghitung mean untuk data tunggal ialah sebagai berikut.

1. Jika X1, X2, ..., Xn merupakan n buah nilai dari variabel X, maka rata-rata

hitungnya sebagai berikut.

nXXX

nX

X n ...21

X = rata-rata hitung (mean)

X = wakil data

n = jumlah data

Contoh :

Hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 7, 6, 3, 4, 8, 8?

Penyelesaian :

X = 7,6,3,4,8,8; n = 6; ΣX = 7 + 6 + 3 + 4 + 8 + 8 = 36

Sehingga mean adalah : 66

36X

2. Jika nilai X1, X2, ..., Xn masing-masing memiliki frekuensi f1, f2, ..., fn maka mean

adalah, n

nn

fffXfXfXf

ffX

X

......

21

2211

Contoh soal :

Hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 3, 4, 3, 2, 5, 1, 4, 5, 1, 2, 6, 4, 3, 6, 1?

Penyelesaian :

X1 = 3 maka f1 = 3; X2 = 4 maka f2 = 3

X3 = 2 maka f3 = 2; X4 = 5 maka f4 = 2

X5 = 1 maka f5 = 3; X6 = 6 maka f6 = 2

ΣfX = (3 x 3) + (4 x 3) + (2 x 2) + (5 x 2) + (1 x 3) + (6 x 2) = 50

Σf = 3 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2 = 15

Sehingga mean adalah : 3,31550

X

3. Jika f1 nilai yang memiliki mean m1, f2 nilai yang memiliki mean m2, ... dan fk nilai

yang memiliki mean mk. Maka mean dapat dihitung sebagai berikut.

k

kk

fffmfmfmf

ffm

x

......

21

2211

b. Untuk data berkelompok

Untuk data berkelompok, mean dihitung dengan menggunakan 3 metode yaitu

metode biasa, metode simpangan rata-rata dan metode coding.

1. Metode Biasa

ffX

X

f = frekuensi

X = titik tengah

2. Metode simpangan rata-rata

ffd

MX

M = Rata-rata hitung sementara (titik tengah frekuensi terbesar)

f = frekuensi

d = X - M

X = titik tengah

3. Metode coding

ffu

CMX

M = Rata-rata hitung sementara (titik tengah frekuensi terbesar)

C = Lebar kelas

u = 0, +1, +2, ….

= , 푑푒푛푔푎푛 푑 = 푋 − 푀

Contoh :

Tentukan rata-rata hitung dari tabel dibawah ini Nilai Ujian Statistik dari 80

mahasiswa universitas Borobudur Tahun 1997

Metode

Biasa

Metode Simpangan

Rata-Rata

Metode

Coding

Nilai Ujian

Frekuensi

(f)

Titik Tengah

(X) fX d = X - M fd u = d/C fu

31 - 40 1 35.5 35.5 -40 -40 -4 -4

41 - 50 2 45.5 91 -30 -60 -3 -6

51 - 60 5 55.5 277.5 -20 -100 -2 -10

61 - 70 15 65.5 982.5 -10 -150 -1 -15

71 - 80 25 75.5 1887.5 0 0 0 0

81 - 90 20 85.5 1710 10 200 1 20

91 - 100 12 95.5 1146 20 240 2 24

80 6130 90 9

a. Mean dengan metode biasa

625,7680

6130

ffX

X

b. Metode Simpangan Rata-Rata

M = 75,5

625,7680905,75

ffd

MX

c. Metode Coding

M = 75,5; C = 10

625,76809105,75

x

ffu

xCMX

2. MEDIAN

Median adalah nilai tengah dari data yang ada setelah data diurutkan. Median

disimbolkan dengan Me atau Md. Untuk Mencari Median dibedakan data tunggal dan

data kelompok.


- Jika n ganjil maka,

21 nXMe

- Jika n genap maka,

22

22

nn XXMe

Contoh :

Tentukan Median dari data berikut :

a. 4, 3, 2, 6, 7, 5, 8

Jawab :

Urutan data : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

n = 7 (ganjil) maka 542

17 XXMe

b. 11, 5, 7, 4, 8, 14, 9, 15

Urutkan data : 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14

n = 8 (genap) maka 5,82

9822

54228

28

XX

XXMe


f

FnpbMe 2

1

Me = Median

b = batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median akan terletak.

p = panjang interval kelas

n = banyak data

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas-kelas median

f = frekuensi kelas median

Contoh :

Tentukan median dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa universitas

Borobudur Tahun 1997

Nilai Ujian

Frekuensi

(f)

Titik Tengah

(X)

31 - 40 1 35.5

41 - 50 2 45.5

51 - 60 5 55.5

61 - 70 15 65.5

71 - 80 25 75.5

81 - 90 20 85.5

91 - 100 12 95.5

80

Penyelesaian :

n = 80 maka 40)80(21

21

n berarti terletak di kelas ke-5

b = 70,5; F = 1 + 2 + 5 + 15 = 23; f = 25

sehingga median dari data diatas adalah 3,7725

23)80(21

105,70

Me

3. MODUS

Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Modus sering disimbolkan

dengan Mo. Sejumlah data bisa tidak mempunyai modus, mempunyai satu modus

(unimodal), mempunyai dua modus (bimodal), atau mempunyai lebih dari dua modus

(multimodal). Untuk Mencari modus dibedakan data tunggal dan data kelompok.


Modus dari data tunggal adalah data yang frekuensi terbanyak.


21

1

bbbpbMo

Dimana :

Mo = modus

b = tepi bawah kelas modus

b1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

b2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

p = panjang interval kelas

Contoh :

Tentukan modus dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa universitas

Borobudur Tahun 1997

Nilai Ujian Frekuensi (f) Titik Tengah (X)

31 - 40 1 35.5

41 - 50 2 45.5

51 - 60 5 55.5

61 - 70 15 65.5

71 - 80 25 75.5

81 - 90 20 85.5

91 - 100 12 95.5

80

Penyelesaian :

Dari tabel diketahui bahwa kelas modus adalah kelas ke-5

b = 70,5; P = 10; b1 = 25-15 = 10; b2 = 25-20 = 5

sehingga, 17,77510

10105,7021

1

bb

bpbMo

C. RATA-RATA UKUR (RATA-RATA GEOMETRIS)

Jika perbandingan setiap dua data berurut adalah tetap atau hampir tetap maka

rata-rata ukur lebih baik digunakan daripada rata-rata hitung. Rata-rata ukur ada 2 yaitu

untuk data tunggal dan data kelompok.


Jika seperangkat data adalah X1, X2, X3, ..., Xn maka rata-rata ukurnya dirumuskan.

nnXXXXG ...... 321

atau

nXXXXn

G log...logloglog1log 321

Contoh :

Tentukan rata-rata ukur dari 2, 4, 8, 16, 32

Penyelesaian :

n = 5

8327683216842 55 xxxxG Atau

8903,0log

32log16log8log4log2log51log

GG

G


Untuk data berkelompok maka rata-rata ukur dapat dihitung dengan :

f

XfG

log.log

Contoh :

Tentukan rata-rata ukur dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa

universitas Borobudur Tahun 1997

Nilai Ujian Frekuensi (f) Titik Tengah (X) Log X f.Log X

31 - 40 1 35.5 1.5502 1.5502

41 - 50 2 45.5 1.6580 3.3160

51 - 60 5 55.5 1.7443 8.7215

61 - 70 15 65.5 1.8162 27.2436

71 - 80 25 75.5 1.8779 46.9487

81 - 90 20 85.5 1.9320 38.6393

91 - 100 12 95.5 1.9800 23.7600

80 150.1794

37,75

8772,1801794,150log.

log

Gf

XfG

Sehingga rata-rata ukur adalah 75,37

c. Rata-rata ukur untuk gejala pertumbuhan atau kenaikan

Rata-rata ukur untuk gejala pertumbuhan atau kenaikan dengan syarat-syarat

tertentu, seperti pertumbuhan bakteri, pertumbuhan penduduk, kenaikan bunga dapat

dihitung dengan rumus : t

otXPP

1001

Keterangan :

Pt = keadaan akhir pertumbuhan

Po = keadaan awal atau permulaan pertumbuhan

X = Rata-rata pertumbuhan setiap waktu

t = satuan waktu yang digunakan

Contoh Soal :

Tentukan laju pertumbuhan rata-rata penduduk Indonesia jika pada akhir tahun

1946 dan akhir tahun 1956 jumlah penduduk masing-masing 60 juta dan 78 juta ?

Penyelesaian :

Pt = 78 Juta

Po = 60 Juta

t = 10 tahun

66,2

0266,1100

1

3,1100

1

3,1100

1

10016078

1001

101

10

10

X

X

X

X

X

XPPt

ot

D. RATA-RATA HARMONIS

a. Rata-rata harmonis untuk data tunggal

Rata-rata harmonis dari seperangkat data X1, X2, X3, ..., Xn dirumuskan :

nXXXX

n

X

nRH1...1111

321

Contoh soal :

Si B berepgian pergi-pulang ke kampus dengan kendaraan mobil. Waktu pergi ia

menggunakan waktu 40 km/jam, sedang waktu kembali menggunakan waktu 30

km/jam. Berapa kecepatan rata-rata pergi pulang si B?

Penyelesaian :

jamkmRH /3,32

301

401

2

b. Rata-rata harmonis untuk data berkelompok

Untuk data berkelompok, rata-rata harmonis dapat dihitung dengan rumus :

Xff

RH

Antara ketiga rata-rata dalam ukuran nilai pusat, yaitu rata-rata hitung, rata-rata

ukur dan rata-rata harmonis terdapat hubungan : XGRH

Contoh :

Tentukan rata-rata harmonis dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa

universitas Borobudur!

Nilai Ujian

Frekuensi

(f)

Titik Tengah

(X) 푓푋

31 - 40 1 35.5 0.0282

41 - 50 2 45.5 0.0440

51 - 60 5 55.5 0.0901

61 - 70 15 65.5 0.2290

71 - 80 25 75.5 0.3311

81 - 90 20 85.5 0.2339

91 - 100 12 95.5 0.1257

80 1.0819

Penyelesaian :

94,730819,180

Xff

RH

BAB 4

UKURAN PENYEBARAN (FRAKTIL)

1. Pengertian Fraktil

Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut

menjadi beberapa bagian yang sama. Fraktil dapat berupa kuartil, desil dan persentil.

a. Kuartil

Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut

menjadi empat bagian yang sama. Ada 3 kuartil yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah

(Q2), dan kuartil atas (Q3).


Q = nilai yang kei(n + 1)

4, i = 1, 2, 3

Contoh :

Tentukan kuartil dari data : 2, 6, 8, 5, 4, 9, 12

Penyelesaian :

Data diurutkan : 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12

n = 7

4,24

1711 yaituQ

6,4

4172

2 yaituQ

9,64

1733 yaituQ


푄 = 퐵 +푖푛4 − (Σ푓 )표

푓 ∙ C

Keterangan:

Bi = tepi bawah kelas kuartil n = jumlah semua frekuensi

i = 1, 2, 3 푓 = frekuensi kelas kuartil

(Σ푓 )표 = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil

C = panjang interval kelas

Contoh :

Tentukan kuartil ke-3 dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa

Universitas T Tahun 2010

Nilai Ujian

Frekuensi

(f)

Titik Tengah

(X)

31 - 40 1 35.5

41 - 50 2 45.5

51 - 60 5 55.5

61 - 70 15 65.5

71 - 80 25 75.5

81 - 90 20 85.5

91 - 100 12 95.5

Penyelesaian :

n = 80; i = 3, maka 604803

4

in terletak di kelas ke-6

Bi = 80,5; C = 10; 푓 = 20; (Σ푓 )표 = 1+2+5+15+25 = 48

푄 = 퐵 +푖푛4 − (Σ푓 )표

푓 ∙ C

푄 = 퐵 +푖푛4 − (Σ푓 )표

푓 ∙ C = 80,5 +60 − 48

20 ∙ 10 = 80,5 + 6 = 86,5

b. DESIL

Desil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut

menjadi sepuluh bagian yang sama.

1. Untuk data tunggal

9,...,3,2,1;10

1

iniDi

2. Untuk data berkelompok

퐷 = 퐵 +푖푛10− (Σ푓 )표

푓 ∙ C

Contoh:

Tentukan desil ke-4 (D4) dan desil ke-8 (D8) dari distribusi frekuensi berikut.

Nilai Matematika 40 Mahasiswa Universitas T Tahun 2010

Nilai Frekuensi (f)

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

90 – 99

5

3

6

7

8

7

4

Jumlah 40

Penyelesaian:

Untuk desil ke-4 (D4)

n = 40; i = 4, maka 1610404

10


B4 = 59,5; C = 10; 푓 = 7; (Σ푓 )표 = 5 + 3 + 6 = 14

퐷 = 퐵 +푖푛10 − (Σ푓 )표

푓 ∙ C = 59,5 +16− 14

7 ∙ 10 = 59,5 + 2,86 = 62,36

Untuk desil ke-8 (D8)

n = 40; i = 8, maka 3210408

10


B8 = 79,5; C = 10; 푓 = 7; (Σ푓 )표 = 5 + 3 + 6 + 7 + 8 = 29

퐷 = 퐵 +푖푛10 − (Σ푓 )표

푓 ∙ C = 79,5 +32− 29

7 ∙ 10 = 79,5 + 4,29 = 83,79

c. PERSENTIL

Persentil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut

menjadi seratus bagian yang sama.

1. Untuk data tunggal

99,...,3,2,1;100

1

iniPi

2. Untuk data berkelompok

푃 = 퐵 +푖푛

100− (Σ푓 )표푓 ∙ C

Contoh:

Dari distribusi frekuensi di bawah ini, tentukan P88!

Tinggi 100 Mahasiswa Universitas Borobudur

Tinggi (cm) Frekuensi (f)

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 – 169

170 – 174

175 - 179

4

8

14

35

27

12

Jumlah 100

Penyelesaian:

n = 100; i = 88, maka 8810010088

100


B88 = 169,5; C = 5; 푓 = 27; (Σ푓 )표 = 4 + 8 + 14 + 35 = 61

푃 = 퐵 +푖푛

100− (Σ푓 )표푓 ∙ C = 169,5 +

88− 6127 ∙ 5 = 169,5 + 5 = 174,5

BAB 5 UKURAN DISPERSI

A. PENGERTIAN DISPERSI

Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran

yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya

atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan

nilai-nilai pusatnya.

B. JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI

1. Jangkauan (Range, R)

Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai

terkecil data. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data tunggal dan data

berkelompok.

a. Jangkauan Data Tunggal

Bila ada sekumpulan data tunggal, X1, X2, ....., Xn maka jangkauannya adalah:

Jangkauan = Xn – X1

Contoh:

Tentukan jangkauan data: 2, 6, 8, 5, 4, 12, 9

Penyelesaian:

Data diurutkan: 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12

X7 = 12 dan X1 = 2

Jangkauan = X7 – X1 = 12 – 2 = 10

b. Jangkauan Data Berkelompok

Dapat ditentukan dengan dua cara:

1) Jangkauan adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas

terendah.

2) Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi kelas terendah.

Contoh:

Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut!

Tabel Nilai Matematika 50 Siswa

Nilai Frekuensi

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

70 – 74

75 – 79

80 – 84

2

4

10

14

12

5

3

Jumlah 50

Penyelesaian:

Titik tengah kelas terendah = 52

Titik tengah kelas tertinggi = 82

Tepi bawah kelas terendah = 49,5

Tepi atas kelas tertinggi = 84,5

1. Jangkauan = 82 – 52 = 30

2. Jangkauan = 84,5 – 49,5 = 35

2. Jangkauan Antarkuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil

Jangkauan antarkuartil adalah selisih antar kuartil atas (Q3) dan kuatil bawah

(Q1). Dirumuskan: JK = Q3 – Q1

Jangkauan semi interkuartil adalah setengah dari selisih kuartil atas (Q3) dan

kuatil bawah (Q1). Dirumuskan: 푸풅 = ퟏퟐ

(푸ퟑ − 푸ퟏ)

Rumus-rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok.

Contoh Soal:

1. Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil dari data berikut!

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

Penyelesaian:

Q1 = 4 dan Q3 = 12, JK = Q3 – Q1 = 12 – 4 = 8 푄푑 = (푄 − 푄 ) = (8) = 4

2. Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuatil distribusi frekuensi

berikut. NILAI UJIAN STATISTIK 80 MAHASISWA

Nilai Ujian Frekuensi (f)

30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

2 3 5

14 24 20 12

Jumlah 80

Penyelesaian:

JK = 85,5 – 66,64 = 18,86 dan 43,964,665,8521

Qd .

Jangkauan antarkuartil (JK) dapat digunakan untuk menemukan data pencilan,

yaitu data yang dianggap salah atau salah ukur atau berasal dari kasus yang

menyimpang, karena itu perlu diteliti ulang. Data pencilan adalah data yang kurang dari

pagar luar.

L = 1,5 x JK

PD = Q1 – L

PL = Q3 + L

Keterangan:

L = satu langkah

PD = pagar dalam

PL = pagar luar

CfQ

fn

BQ

1

1

11

)(4

1014

104

80

5,591

Q

64,6614,75,591 Q

CfQ

fn

BQ

3

3

33

)(4

3

1020

484

)80(3

5,793

Q

5,8565,793 Q

Contoh soal:

Selidikilah apakah terdapat data pencilan dari data dibawah ini!

15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97.

Penyelesaian:

Q1 = 50 dan Q3 = 68

JK = 68 – 50 = 18

L = 1,5 x 18 = 27

PD = 50 – 27 = 23

PL = 68 + 27 = 95

Pada data di atas terdapat nilai 15 dan 97 yang berarti kurang dari pagar dalam

(23) atau lebih dari pagar luar (95). Dengan demikian, nilai 15 dan 97 termasuk data

pencilan, karena itu perlu diteliti ulang. Adanya nilai 15 dan 97 mungkin disebabkan

salah dalam mencatat, salah dalam mengukur, atau data dari kasus menyimpang.

3. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata)

Deviasi rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangan-

simpangannya.

a. Deviasi rata-rata data tunggal

Contoh soal : Tentukan deviasi rata-rata data 2, 3, 6, 8, 11!

Penyelesaian:

Rata-rata hitung = 65

118632

X

1461168666362 XX i

8,25

14

n

XXDR

i

b. Deviasi rata-rata untuk data berkelompok

n

XXfXXf

nDR

1

n

XXXX

nDR

1

4. Varians

Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai simpangan rata-rata

kuadrat. Varians sampel disimbolkan dengan s2. Varians populasi disimbolkan dengan

σ2(sigma).

a. Varians data tunggal

Dapat digunakan dengan dua metode, yaitu metode biasa dan metode angka

kasar.

1. Metode Biasa

a. Untuk sampel besar (n > 30) :

b. Untuk sampel kecil (n )30 :

2. Metode Angka Kasar



Contoh Soal:

Tentukan varians dari data 2, 3, 6, 8, 11 ?

Penyelesaian:

n = 5

n

2s 2

1

2s 2

n

22s 2

nX

nX

)1(

2

1

2s 2

nnnX

65

118632

X

X XX 2XX X2

2 3 6 8

11

-4 -3 0 2 5

16 9 0 4 25

4 9

36 64 121

30 54 234

b. Varians data berkelompok

Untuk data berkelompok, dapat digunakan dengan tiga metode, yaitu :

1) Metode biasa,



2) Metode angka kasar, dan



3) Metode coding.

a. Untuk sampel besar (n > 30) : 22

22

nfu

nfu

Cs


n

f

2s 2

1

2s 2

nf

222s

nfX

nfX

1

222s

nnfX

nfX

5,13

1554

1

2s 2

n

5,13155

23015

234)1(

2

1

2s 2

nnn

11

2222

nnfu

nfu

Cs

Keterangan:

C = panjang interval kelas

u = C

MXCd

M = rata-rata hitung sementara

Contoh:

Tentukan varians dari data diistribusi frekuensi berikut!

Tabel Nilai Matematika 40 Siswa di Sekolah T

Nilai Frekuensi

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 - 82

2

5

13

14

4

2

Jumlah 40 Penyelesaian:

Nilai X f 푋 − 푋 (푋 − 푋) 푓(푋 − 푋) 65 – 67 66 2 -7,425 55,130625 110,26125 68 – 70 69 5 -4,425 19,580625 97,903125 71 – 73 72 13 -1,425 2,030625 26,398125 74 – 76 75 14 1,575 2,480625 34,72875 77 – 79 78 4 4,575 20,930625 83,7225 80 - 82 81 2 7,575 57,380625 114,76125 Jumlah 40 467,775

푋 =(66 × 2) + (69 × 5) + (72 × 13) + (75 × 14) + (78 × 4) + (81 × 2)

40

= = 73,425

푠 =Σ푓(푋 − 푋)

푛 =467,775

40 = 11,694375

5. Simpangan Baku (Standar Deviasi)

Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat. Simpangan Baku sampel

disimbolkan dengan s. Simpangan Baku populasi disimbolkan dengan σ.

Menentukan simpangan baku : ianss var

a. Simpangan Baku Data Tunggal

1. Metode biasa



3. Metode angka kasar


nX

nX

s


11

22

nnX

nX

s

Contoh Soal:

1. Tentukan simpangan baku (standar deviasi) dari data 2, 3, 6, 8, 11 ?

Penyelesaian:

Dari perhitungan sebelumnya, diperoleh s2 = 13,5

Simpangan bakunya adalah:

67,35,13var ianss .

2. Berikut ini adalah sampel nilai mid test statistik I dari sekelompok mahasisiwa di

sebuah universitas.

30 35 42 50 58 66 74 82 90 98

Tentukan simpangan bakunya!

Penyelesaian:

n = 10

n

2s

1

2s

n

X XX 2XX X2

30

35

42

50

58

66

74

82

90

98

-32,5

-27,5

-20,5

-12,5

-4,5

3,5

11,5

19,5

27,5

35,5

1056,25

756,25

420,25

156,25

20,25

12,25

132,25

380,25

756,25

1260,25

900

1225

1764

2500

3364

4356

5476

6724

8100

9604

625 5,62X 4950,5 44013

45,2328,434033,4890

11010625

11044013

11

222

nn

Xn

Xs

b. Simpangan baku Data Berkelompok

1. Metode biasa



2. Metode angka kasar


n

f

2s

1

2s

nf

22s

nfX

nfX

45,23056,550

1105,4905

1

2s

n


3. Metode coding


nfu

nfu

Cs


11

22

nnfu

nfu

Cs

Contoh:

Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi berikut (gunakan ketiga rumuusnya)!

Penyelesaian:

Berat Badan 100 Mahasiswa Universitas T tahun 2010

Berat Badan (kg) Frekuensi (f)

40 – 44

45 – 49

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

70 - 74

8

12

19

31

20

6

4

Jumlah 100

Penyelesaian:

a. Dengan metode Biasa

Nilai X f fX 푋 − 푋 (푋 − 푋) 푓(푋 − 푋) 40 – 44 42 8 336 -13,85 191,8225 1534,58

1

2

1

2s

nnfX

nfX

45 – 49 47 12 564 -8,85 78,3225 939,87 50 – 54 52 19 988 -3,85 14,8225 281,6275 55 – 59 57 31 1767 1,15 1,3225 40,9975 60 – 64 62 20 1240 6,15 37,8225 756,45 65 – 69 67 6 402 11,15 124,3225 745,935 70 - 74 72 4 288 16,15 260,8225 1043,29 Jumlah 100 5585 5342,75

푋 =Σ푓푋Σ푓 =

5585100 = 55,85

푠 =Σ푓(푋 − 푋)

푛=

5342,75100

= 7,31

b. Metode Angka Kasar

Nilai X f fX X2 fX2 40 – 44 42 8 336 1.764 14.112 45 – 49 47 12 564 2.209 26.508 50 – 54 52 19 988 2.704 51.376 55 – 59 57 31 1.767 3.249 100.719 60 – 64 62 20 1.240 3.844 76.880 65 – 69 67 6 402 4.489 26.934 70 - 74 72 4 288 5.184 20.736 Jumlah 100 5.585 317.265

푠 =Σ푓푋푛

−Σ푓푋푛

=317.265

100−

5.585100

= 7,31

c. Metode Coding

Nilai X f u u2 fu fu2 40 – 44 42 8 -3 9 -24 72 45 – 49 47 12 -2 4 -24 48

50 – 54 52 19 -1 1 -19 19 55 – 59 57 31 0 0 0 0 60 – 64 62 20 1 1 20 20 65 – 69 67 6 2 4 12 24 70 - 74 72 4 3 9 12 36 Jumlah 100 -23 219

c = 5;

푠 = c ∙Σ푓푢푛

−Σ푓푢푛

= 5 ∙219100

−−23100

= 7,31

C. KOEFISIEN VARIASI

Koefisien dispersi atau variasi yang telah dibahas sebelumnya merupakan

dispersi absolut, seperti jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan kuartil dan

simpangan baku. Untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan

data, digunakan istilah dispersi relatif, yaitu perbandingan antara dispersi absolut dan

rata-ratanya.

Dispersi relatif digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai

observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya.

Koefisien variasi adalah contoh dispersi relatif.

Ada empat macam dispersi relatif, yaitu :

1. Koefisien Variasi (KV)

Jika dispersi absolut digantikan dengan simpangan bakunya maka dispersi

relatifnya disebut koefisien variasi (KV).

%100XsKV

Keterangan:

KV = koefisien variasi

s = simpangan baku

X = rata-rata

Contoh Soal:

Dari hasil penelitian 2 sekolah, diketahui jumlah siswa yang menyukai belajar

matematika, datanya sebagai berikut.

Sekolah A = 980AX anak, 15As

Sekolah B = 785BX anak, 5Bs

Tentukan Koefisien variasi masing-masing!

Penyelesaian:

%53,1%10098015%100

A

AA X

sKV

%636,0%1007855%100

B

BB X

sKV

2. Variasi Jangkauan (VR)

Variasi jangkauan adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan

dengan jangkauan.

%100XRVR

3. Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR)

Variasi Simpangan Rata-Rata adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya

digantikan dengan simpangan rata-rata.

%100XSRVR

4. Variasi Kuartil (VQ)

Variasi Kuartil adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan

dengan kuartil.

%100

%100

13

13

QQQQ

VQ

MeQdVQ

DISPERSI ABSOLUT digunakan untuk mengetahui tingkat variabilitas nilai-

nilai observasi pada suatu data, sedangkan DISPERSI RELATIF digunakan untuk

membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat

variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Hasan, Iqbal. 2006. Analisis Data Penelitian dengan Statistik. Jakarta: Bumi Aksara.

Irianto, Agus. 2008. Statistik Konsep Dasar dan Aplikasinya. Jakarta: Kencana.

Pusat Pembina dan Pengembangan Bahasa. 1998. Kamus Besar Bahasa Indonesia Edisi

ke 2. Jakarta: Balai Pustaka.

Sudjana. 2002. Metoda Statistika edisi ke 6. Bandung: Tarsito.

analisis statistik tentang pengertian statistik ... · pdf filecontoh : tabel klasifikasi...

Documents