Analisis node berprinsip pada Hukum Kirchoff I (KCL=Kirchoff Current Law atau Hukum Arus Kirchoff = HAK )

dimana

jumlah arus yang masuk dan keluar dari suatu titik percabangan akan sama dengan nol, dimana tegangan merupakan parameter yang tidak diketahui. Atau analisis node lebih mudah jika pencatunya semuanya adalah sumber arus.

Analisis Node

Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada analisis node, yaitu : Tentukan node referensi sebagai ground (potensial nol). Tentukan node voltage, yaitu tegangan antara node non

referensi dan ground. Asumsikan tegangan node yang sedang diperhitungkan lebih

tinggi daripada tegangan node manapun, sehingga arah arus

keluar dari node tersebut positif. Jika terdapat N node, maka jumlah node voltage adalah (N-1).

Jumlah node voltage ini sama dengan banyaknya persamaan

yang dihasilkan (N-1). Analisis node mudah dilakukan bila pencatunya berupa sumber

arus. Apabila pada rangkaian tersebut terdapat sumber tegangan,

maka sumber tegangan tersebut diperlakukan sebagai

supernode, yaitu menganggap sumber tegangan tersebut

sebagai satu node.

NodeNode = setiap titik disepanjang kawat yang sama

10V

4K

6K VContoh

3 node

Analisis Node

Berapa banyak node ada di dalam rangkaian di atas ?

Menentukan persamaan

arus yang masuk node = arus yang meninggalkan node

3.1 5

2

211

vvv

(-1.4)- 5

1

122

vvv

Pada node 1

Pada node 2

0

Contoh

1Ω

2Ω

-8A 5Ω-25A

3Ω

4Ω

-3A

V1 V2 V3

0V

Berapa banyak node atau persamaan ?

132332417

0241436331396

03

213

4

318

VVV

VVVV

VVVV

1Ω

2Ω

-8A 5Ω-25A

3Ω

4Ω

-3A

V1 V2 V3

0V

Node 1

Persamaan 1

1Ω

2Ω

-8A 5Ω-25A

3Ω

4Ω

-3A

V1 V2 V3

0V

183321112

0263323181222

01

02

2

323

3

12

VVV

VVVVV

VVVVVNode 2

Persamaan 2

1Ω

2Ω

-8A 5Ω-25A

3Ω

4Ω

-3A

V1 V2 V3

0V

50031921015

0345001535210310

05

0325

4

13

2

23

VVV

VVVVV

VVVVVNode 3

Persamaan 3

3 Persamaan Keseluruhannya

50031921015

183321112

132332417

VVV

VVV

VVV

Aturan Cramer (Opsional)

50031921015

183321112

132332417

VVV

VVV

VVV

956.0816

780

19105

3112

347

1910500

31118

34132

1

V

576.10816

8628

19105

3112

347

195005

3182

31327

2

V

132.32816

26220

19105

3112

347

500105

18112

13247

3

V

50031921015

183321112

132332417

VVV

VVV

VVV

Supernode

Jika disana ada beberapa sumber tegangan DC di antara 2 node, salah satunya mungkin mendapatkan masalah ketika mencoba memakai HAK antara 2 node—disarankan menggunakan supernode !!!

Supernode (cont.)V3 = v2+22

Contoh :

1Ω-8A 5Ω-25A

3Ω

4Ω

-3A

1V

V1 V2 V3

0V

1Ω-8A 5Ω-25A

3Ω

4Ω

-3A

1V

V1 V2 V3

0V

132332417

0241436331396

03

213

4

318

VVV

VVVV

VVVV

Persamaan 1

1Ω-8A 5Ω-25A

3Ω

4Ω

-3A

1V

V1 V2 V3

0V

132

1680327280135

02603121500115315180120220

01

02

5

0325

4

133

3

12

VV

VVV

VVVVVV

VVVVVV

supernode

Persamaan 2

Persamaan 3

132

1680327280135

132332417

VV

VVV

VVV

V1 = -4.952 VV2 = 14.333 VV3 = 13.333 V

Contoh :

1Ω2Ω

5Ω

2A3V

0V

V1 V2

6

132

01

022

5

12

31

V

VVV

V

+-

3 cos 4t A 1/2 v1

+v1-

i

+-

3 0oA 1/2 V1

+V1-

I

j21/8 F

(a) (b)

A

Contoh soal :

Node A :

Dengan mensubstitusikan didapat :

IV

j

VVI o

4

032

5,0

1

11

o

o

oo

jI 45

2

3

452

03

1

03

Diubah ke kawasan waktu lagi :

otti 454cos2

3)(

Arus loop adalah arus yang dimisalkan mengalir dalam suatu loop (lintasan tertutup). Arus loop sebenarnya tidak dapat diukur (arus permisalan).Berbeda dengan analisis node, pada analisis ini berprinsip pada Hukum Kirchoff II (KVL = Kirchoff Voltage Law atau Hukum Tegangan Kirchoff = HTK) dimana jumlah tegangan pada satu lintasan tertutup sama dengan nol atau arus merupakan parameter yang tidak diketahui.

Analisis Mesh (Loop)

Hal-hal yang perlu diperhatikan : Buatlah pada setiap loop arus asumsi yang melingkari loop. Pengambilan arus loop terserah kita yang terpenting masih dalam satu lintasan tertutup. Arah arus dapat searah satu sama lain ataupun berlawanan baik searah jarum jam maupun berlawanan dengan arah jarum jam. Biasanya jumlah arus loop menunjukkan jumlah persamaan arus yang terjadi. Metoda ini mudah jika sumber pencatunya adalah sumber tegangan. Jumlah persamaan = Jumlah cabang – Jumlah junction + 1 Apabila ada sumber arus, maka diperlakukan sebagai supermesh. Pada supermesh, pemilihan lintasan menghindari sumber arus karena pada sumber arus tidak diketahui besar tegangan terminalnya.

Contoh :

Contoh :

7V

6V3Ω

1Ω 2Ω

1Ω

2Ω

+ Vx -

Gunakan analisis Mesh untuk menentukan Vx

I1

I2

I3

7V

6V3Ω

1Ω 2Ω

1Ω

2Ω

+ Vx -

I1

I2

I3

6362312

03)23(36)13(2

033261

0)32(322)12(1

132213

0)31(26)21(17

III

IIIII

III

IIIII

III

IIII

I1 = 3A, I2 = 2A, I3 = 3A

Vx = 3(I3-I2) = 3V

Persamaan 1

Persamaan 2

Persamaan 3

Supermesh

Ketika sumber arus berada dalam suatu jaringan,Gunakan ‘supermesh’ dari 2 mesh yang terbagi sumber arus

7V3Ω

1Ω 2Ω

1Ω

2Ω

+ Vx -

7A

Contoh :Gunakan analisis Mesh untuk mengevaluasi Vx

I1

I2

I3

033261

0)32(322)12(1

III

IIIIILoop 2:

7V3Ω

1Ω 2Ω

1Ω

2Ω

+ Vx -

7A

I1

I2

I3

Persamaan 1

7V3Ω

1Ω 2Ω

1Ω

2Ω

+ Vx -

7A

I1

I2

I3

Supermesh

731

734241

03)23(3)21(17

II

III

IIIIIPersamaan 2

Persamaan 3

I1 = 9A

I2 = 2.5A

I3 = 2A

Vx = 3(I3-I2) = -1.5V

Bagaimana memilih antara analisis Node dan Mesh ???

Pilihlah salah satu yang persamaan nya paling sedikit Untuk menyelesaikan masalah!!!

Contoh :

7V3Ω

1Ω 2Ω

1Ω

2Ω

+ Vx -

7A

Dari contoh-contoh sebelumnya, analisis Node mempunyai Beberapa persamaan

0V

7V

V1 V2

V3

Contoh : Kebergantungan Sumber

3Ω

1Ω 2Ω

1Ω

2Ω

+ Vx -15A

1/9 Vx

Tentukan Vx

I1

I2

I3

3Ω

1Ω 2Ω

1Ω

2Ω

+ Vx -15A

1/9 Vx

I1

I2

I3

)23(39

113

033261

0)32(322)12(1

151

IIVx

VxII

III

IIIII

I

Persamaan 1

I1=15A, I2=11A, I3=17A

Vx = 3(17-11) = 18V

Persamaan 2

Persamaan 3

Persamaan 4

Contoh soal :

Dari gambar diatas didapatkan :

Persamaan arus mesh :

+-

3 0oA 1/2 V1

+V1-

I

j2

(a)

A

I2I1

+-

12 0oV

1/2 V1

+

V1

-

j2

(b)

+-

AI

IIIV

III

o03

44

1

211

21

025,0 211 IjVV

o

o

o

j

II 225

2

3

452

03

11

2

Pada teorema ini hanya berlaku untuk rangkaian yang bersifat linier, dimana rangkaian linier adalah suatu rangkaian dimana persamaan yang muncul akan memenuhi jika y = kx, dimana k = konstanta dan x = variabel.

Dalam setiap rangkaian linier dengan beberapa buah sumber tegangan atau sumber arus dapat dihitung dengan cara :

Menjumlah-aljabarkan tegangan atau arus yang disebabkan tiap sumber independent atau bebas yang bekerja sendiri, dengan semua sumber tegangan atau arus independent atau bebas lainnya dan diganti dengan impedansi dalamnya.

Teorema Superposisi

Elemen Linear vs. Rangkaian linear

• Elemen Linear : elemen pasif yang mempunyai hubungan tegangan-arus linear :

v(t)=R*i(t)• Sumber bergantung Linear : sumber yang outputnya

proporsional hanya pada nilai pertama : v1 = 0.6i1-14v2

• Rangkaian Linear : mengandung sumber yang bebas, sumber bergantung linear , dan elemen linear

Contoh :

2V

1V

1Ω

1V

1Ω

2V

1ΩI total I1 I2

I1 = 1A

I2 = 2A

I total = 1+2 = 3A

Contoh :

2V

1Ω

2V

1ΩI total I1 I2

1A

1Ω

1A

I1 = 1A

I2 = 0A

I total = 1+0 = 1A

Contoh :

3Ω

6Ω

42V

4Ω

10V+

Vx-

Tentukan tegangan Vx

3Ω

6Ω

42V

4Ω+

Vx-

V

Vx V

333.9

42)7/12(6

)7/12(42

)4||3(6

)4||3()42(

V

Vx V

333.3

1042

210

4)3||6(

)3||6()10(

3Ω

6Ω 4Ω

10V+

Vx-

3Ω

6Ω

42V

4Ω

10V+

Vx-

V

VxVxVx VV

6333.3333.9

)10()42(

Contoh :

Gunakan superposisi untuk menentukan ix

Contoh (cont.):

= 0.2 A'xi = 0.8 A''

xi

= 1.0 Axi

Superposisi dan sumber yang tidak bebas

satu yang tidak dapat menggunakan superposisi terhadap sumber yang tidak bebas!!!

Contoh :

Hukum Tegangan Kirchoff:

2

021210'

'''

x

xxx

i

iii

Supermesh:

6.0

02)3(12''

''''''

x

xxx

i

iii

A

iii xxx

4.1)6.0(2

'''

Teorema TheveninPada teorema ini berlaku bahwa :Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah sumber tegangan yang dihubung-serikan dengan sebuah impedansi ekivelennya pada dua terminal yang diamati.

Teorema NortonPada teorema ini berlaku bahwa :Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah sumber arus yang dihubung-paralelkan dengan sebuah impedansi ekivelennya pada dua terminal yang diamati.

Transformasi SumberResistor yang paralel dengan sumber arus ditransformasi menjadi sumber tegangan dihubung seri dengan resistor.

Sumber Beda FrekuensiPada konsep fasor, parameter gelombang yang muncul hanya amplituda dan fasa. Misal suatu rangkaian terdapat banyak sumber dengan berfrekuensi berbeda-beda, maka analisis yang dapat dilakukan adalah dengan superposisi. Jadi pada satu saat hanya satu sumber hidup dan analisis rangkaian dapat menggunakan fasor yang kemudian hasilnya dikonversi ke kawasan waktu. Hasil total adalah penjumlahan dalam kawasan waktu dari kontribusi masing-masing sumber.

Contoh soal :

+-

3

1 5 cos 2t V

1 H

1/2 H

1/2 F 1/4 F 1 Hi

Rangkaian dengan sumber beda frekuensi pada kawasan waktu. Pada sumber ac, w = 2 rad/s, sedangkan sumber dc, w = 0. Dengan demikian, analisis rangkaian dengan menggunakan superposisi. Jika sumber ac 'hidup' dan sumber dc 'mati', maka rangkaian dalam fasor menjadi seperti terlihat di gambar berikut :

+-5/0O V

3+j2

-j1

j2

1

(a)

I1

1

3

5/0O V

(b)

I2

Arus adalah arus kontribusi sumber ac, yang besarnya adalah:

Diubah ke kawasan waktu :

Selanjutnya, jika sumber dc 'hidup' dan sumber ac 'mati' seperti terlihat di gambar diatas, maka:

Diubah ke kawasan waktu : i2 = - 1 A Respon totalnya :

o

o

jjjjjI 1,82

121/12123

051

Ati o1,82cos21

AI o01431

12

Atiii o 11,82cos221

Bridge Networks

• Kondisi seimbang dari konfigurasi jembatan dapat didefinisikan sebagai

Bridge Networks

• Untuk Jembatan Hay, menghasilkan persamaan :

Bridge Networks

• Untuk jembatan Maxwell menghasilkan persamaan:

Bridge Networks

• Untuk jembatan pembanding kapasitansi, persamaan seimbangnya adalah :

Transformasi Resistansi Star – Delta ()

61

Transformasi Resistansi Star – Delta ()Jika sekumpulan resistansi yang membentuk hubungan tertentusaat dianalisis ternyata bukan merupakan hubungan seri ataupunhubungan paralel yang telah kita pelajari sebelumnya, maka jikarangkaian resistansi tersebut membentuk hubungan star atau bintang atau rangkaian tipe T, ataupun membentuk hubungandelta atau segitiga atau rangkaian tipe , maka diperlukantransformasi baik dari star ke delta ataupun sebaliknya.

Tinjau rangkaian Star ()

Tinjau node D dengan analisis node dimana node Csebagai ground.

BAD

BAD

BAD

DBDAD

VRRRRRR

RRV

RRRRRR

RRV

R

V

R

V

RRR

RRRRRRV

R

V

R

V

RRRV

R

V

R

VV

R

VV

312132

21

312132

32

31321

312132

31231

231

)(

)111

(

0

)2()()(

)(1

)1(

)(1

3121323

21

3121323

31212

312132

21

312132

32

333332

312132

2

312132

321

312132

21

312132

32

111111

BA

BABDBDB

BA

BAADADA

VRRRRRRR

RRV

RRRRRRR

RRRRi

VRRRRRR

RRV

RRRRRR

RR

RR

V

R

V

R

V

R

VVi

VRRRRRR

RV

RRRRRR

RRi

VRRRRRR

RRV

RRRRRR

RR

RR

V

R

V

R

V

R

VVi

Tinjau rangkaian Delta ()Tinjau node A dengan analisis node dimana node Csebagai ground :

Bandingkan dengan persamaan (1) pada rangkaian Star () :

1

1

1)

11( iV

RV

RR

iR

V

R

VV

BA

ABA

B

A

A

BA

2

312132

312132

2

1

1312132

2

312132

32

1

:

1)

11(

R

RRRRRRR

RRRRRR

R

R

sehingga

iVR

VRR

iVRRRRRR

RV

RRRRRR

RR

A

A

BA

ABA

BA

3

312132

312132

3

312132

2

312132

32

312132

32

312132

32

1

1

11

11

R

RRRRRRR

RRRRRR

R

R

RRRRRR

R

RRRRRR

RR

R

RRRRRRR

RR

R

RRRRRR

RR

RR

B

B

B

AB

BA

Tinjau node B :

Bandingkan dengan persamaan (2) pada rangkaian Star () :

2

2

)11

(1

iVRR

VR

iR

V

R

VV

BCA

AA

C

B

A

AB

AC

CA

BCA

AA

BA

RRRRRRRR

RR

R

RRRRRRR

RR

RR

sehingga

iVRR

VR

iVRRRRRRR

RRV

RRRRRRR

RRRR

1

)(

1

)(

11

:

)11

(1

)()(

3121323

21

3121323

21

2

23121323

21

3121323

3121

1

312132

312132

1

3121323

3121

3121323

21

)(

1

.)()(

1

R

RRRRRRR

RRRRRR

R

R

RRRRRRR

RRRR

RRRRRRR

RR

R

C

C

C

Perumusan Transformasi Star () ke Delta ()

1

312132

3

312132

2

312132

R

RRRRRRR

R

RRRRRRR

R

RRRRRRR

C

B

A

Perumusan Transformasi Delta () ke Star ()

CBA

CA

CBA

CB

CBA

BA

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

3

2

1

-Y, Y- Conversions

• Untuk impedansi Y dalam bentuk

-Y, Y- Conversions• Untuk impedansi dalam bentuk Y

• Untuk rangkaian ac, dimana semua impedansi atau Y memiliki magnitudo yang sama, dan sudut nya berasosiasi terhadap

Delta-Wye Conversion (∆-Y)

Ra

Rb

RcR1 R2

R3

1

133221

3

133221

2

133221

R

RRRRRRRc

R

RRRRRRRb

R

RRRRRRRa

RcRbRa

RcRaR

RcRbRa

RbRcR

RcRbRa

RaRbR

3

2

1

Contoh :

4Ω

2Ω

1Ω

5Ω

3Ω

3/2Ω

2Ω

3/8Ω

5Ω

1/2Ω

13/2Ω19/8Ω

1/2Ω

159/71Ω

TERIMA KASIH

72