ANALISIS KESTABILAN DAN KONTROL OPTIMAL MODEL

MATEMATIKA PERILAKU KORUPSI

Wardiman1*, Kasbawati2, Jeffry Kusuma3

1,2,3Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Hasanuddin, Jln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Sulawesi Selatan,

Kode Pos 90245

*email : dimanm.021@gmail.com

ABSTRAK. Perilaku korupsi merupakan salah satu masalah serius yang banyak terjadi hampir di

seluruh negara, tak terkecuali di Indonesia. Masih banyaknya kasus korupsi yang terjadi di

Indonesia menyebabkan banyak kerugian bagi negara Indonesia. Hal inilah yang membuat

pemerintah Indonesia melakukan upaya-upaya untuk mengontrol jumlah pelaku korupsi di

Indonesia. Diantara upaya yang telah dilakukan yaitu upaya melalui kinerja Komisi

Pemberantasan Korupsi (KPK). Pada penelitian skripsi ini, perilaku korupsi yang ditangani oleh

KPK dimodelkan ke dalam model kontrol korupsi untuk mempelajari kestabilan dan bentuk

strategi kontrol yang efektif dalam mengurangi jumlah pelaku korupsi di Indonesia. Model yang

dibangun yaitu dalam bentuk sistem persamaan diferensial dengan faktor kontrol melalui

pencegahan dan penindakan oleh KPK, serta upaya penyadaran. Hasil analisa menunjukkan

terdapat dua jenis titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas korupsi dan titik

kesetimbangan adanya korupsi. Titik kesetimbangan bebas korupsi stabil asimtotik lokal jika dan

hanya jika 𝑢1 = 1. Hasil analisis kestabilan titik kesetimbangan adanya korupsi diperoleh dari

syarat kestabilan Routh-Hurwitz. Dengan menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin pada model

kontrol maka secara analitik dapat diperoleh tiga bentuk kontrol yang optimal dari pencegahan

korupsi oleh KPK, penindakan oleh KPK, dan upaya penyadaran yang dilakukan. Sistem kontinu

yang diperoleh diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode iteratif. Hasil yang

diperoleh menunjukkan keefektifan dari ketiga jenis kontrol saat diterapkan sekaligus dalam

mengurangi jumlah individu koruptor.

Kata kunci: Perilaku Korupsi, KPK, Model Matematika, Kontrol Optimal, Titik

Kesetimbangan, Kestabilan, Prinsip Minimum Pontryagin, Metode Iteratif.

1. PENDAHULUAN

Salah satu penyakit sosial yang banyak terjadi dalam suatu negara adalah

perilaku korupsi yang merupakan tindakan penyalahgunaan kekuasaan atau

kecurangan demi keuntungan pribadi dan golongannya, yang pada akhirnya

merusak sendi-sendi kehidupan masyarakat luas [10]. Korupsi bukan hanya soal

pejabat publik yang menyalahgunakan jabatannya, tetapi setiap orang yang

menyalahgunakan kedudukannya untuk dapat memperoleh uang dengan mudah.

Korupsi yang terjadi sampai saat ini telah mewabah dan ada dimana-mana [13].

Mewabahnya kasus korupsi juga terjadi di Indonesia, bahkan beberapa kasus

korupsi di Indonesia menjadi pemberitaan yang paling menyita perhatian publik

disetiap tahunnya.

Korupsi menjadi masalah yang serius di sebagian besar negara berkembang,

tak terkecuali di Indonesia. Masalah korupsi tersebut memiliki banyak dampak

buruk pada aspek kehidupan di sebuah negara. Dampak tersebut tidak hanya pada

satu aspek kehidupan saja, melainkan juga berpengaruh pada berbagai aspek

kehidupan yang lain. Aspek tersebut diantaranya adalah pada bidang ekonomi,

politik, ketahanan, sosial-budaya, hukum, pemerintahan dan agama. Dampak pada

kemiskinan adalah dampak yang paling merisaukan. Hal ini terjadi karena

keputusan di bidang pembangunan dan perangkat peraturan dibelokkan untuk

kepentingan pribadi. Akibatnya kaum miskin tidak mendapat apa-apa dari aliran

dana bantuan yang masuk. Kasus korupsi yang terjadi mengakibatkan ancaman

semakin besar terhadap tingkat kesejahteraan dan stabilitas masyarakat.

Menurut [17], perkara korupsi yang terjadi di Indonesia dikategorikan

sebagai kejahatan luar biasa. Hal ini karena sulitnya membongkar kasus korupsi

ditambah banyaknya kerugian negara yang sebabkan oleh kasus korupsi. Dari

sekian banyak pengaduan kasus korupsi yang ada pada berbagai daerah di

Indonesia, hanya sedikit kasus yang dapat diungkap. Akibatnya, banyak uang

negara yang tidak dapat terselamatkan. Kondisi tersebut benar-benar mengancam

sendi-sendi kehidupan masyarakat Indonesia.

Jika dibandingkan dengan kasus pidana khusus yang lain, perkara korupsi

menjadi kasus yang menyumbang kerugian besar bagi negara Indonesia. Tercatat,

jumlah kerugian Indonesia dari kasus korupsi pada tahun 2017 nilainya mencapai

Rp6,5 triliun [6]. Mengingat nominal kerugian negara akibat korupsi, tentunya

yang diharapkan adalah jumlah kasus dan tersangka kasus korupsi dapat

berkurang, namun harapan itu sampai sekarang belum terwujud karena jumlah

kasus dan tersangka kasus korupsi di Indonesia dari tahun 2016 sampai 2017

bukannya semakin menurun, tapi semakin mengalami peningkatan signifikan.

Tercatat sepanjang tahun 2016, ada 482 kasus korupsi yang ditangani oleh aparat

penegak hukum dengan terdapat 1.101 tersangka dan meningkat menjadi 576

kasus pada tahun 2017 dengan 1.298 tersangka kasus korupsi [6].

Kasus korupsi yang terus meningkat dikhawatirkan akan semakin

memperburuk sendi-sendi kehidupan bangsa Indonesia jika tidak diatasi secara

serius. Oleh karena itu dituntut adanya peran serta dari berbagai pihak untuk dapat

memerangi korupsi. Salah satu cara pemerintah Indonesia dalam memberantas

korupsi yaitu dengan upaya penindakan. Dalam pelaksanaan upaya penindakan

korupsi, pemerintah dibantu oleh sebuah lembaga independen pemberantasan

korupsi yaitu Komisi Pemberantasan Korupsi (KPK). Penindakan yang dilakukan

pemerintah melalui KPK terhadap pelaku tindak pidana korupsi dimaksudkan agar

memberikan efek jera kepada para pelaku korupsi dan secara tidak langsung

memberikan shock terapi pada orang-orang yang berniat untuk melakukan tindak

pidana korupsi, khususnya dalam lingkup pemerintahan.

Dinamika pertambahan jumlah pelaku korupsi dapat diamati dengan

memodelkannya ke dalam model matematika. Model matematika merupakan

representasi dari sistem-sistem fisik atau masalah dunia nyata dalam pernyataan

matematika [15]. Dengan memanfaatkan suatu persamaan matematika diharapkan

diperoleh langkah-langkah efektif yang dapat ditempuh dalam mengatasi korupsi.

Beberapa penelitian sebelumnya telah memodelkan masalah yang berkaitan

dengan korupsi ke dalam model matematika. Diantaranya dilakukan oleh [7] dan

pada penelitiannya ditunjukkan bahwa pencegahan korupsi secara menyeluruh

dimungkinkan jika rasio antara tingkat pemberhentian dan tingkat korupsi sama

dengan 1. Penelitian selanjutnya, dilakukan oleh [3] dengan memodelkan

pengaruh memori publik pada dilema antara korupsi dan popularitas dalam

politik. Penelitian lainnya, dilakukan oleh [14] dimana ia mengembangkan model

berbasis persamaan diferensial yang mewakili hukum pertumbuhan dan peluruhan

korupsi. Pada tahun yang sama [14] kembali mengembangkan sebuah model

matematika korupsi pada masyarakat yang juga berbasis persamaan diferensial

untuk mengukur tingkat korupsi. Penelitian lain juga dilakukan oleh [11] yang

memodelkan penindakan korupsi menggunakan pendekatan teori permainan

dalam menangani korupsi. Penelitian juga dilakukan oleh [2], dengan

memodelkan dinamika korupsi ke dalam bentuk model matematika deterministik

dan memperluasnya ke masalah kontrol optimal. Dari penelitian tersebut

disimpulkan bahwa kesadaran diri dan takut akan hukuman bisa membantu dalam

mengurangi tingkat korupsi di masyarakat.

Pada penelitian ini, model matematika deterministik akan digunakan untuk

mempelajari penyebaran perilaku korupsi di masyarakat. Diasumsikan bahwa

perilaku korupsi di masyarakat dapat menyebar seperti penyakit menular,

sehingga model dapat dibangun dengan mengadopsi sifat-sifat dari model

epidemik. Model epidemik adalah model matematika yang digunakan untuk

mengetahui perilaku penyebaran penyakit menular. Salah satu model epidemik

yang akan dijadikan dasar pada penelitian ini adalah model epidemik SIR

(Susceptible Infective Recover). Pada model penelitian ini digunakan fakta bahwa

individu yang melakukan korupsi dapat mempengaruhi individu yang rentan

korupsi jika mereka sering berinteraksi. Pada model ini juga diasumsikan bahwa

individu yang telah berhenti melakukan korupsi masih dapat mempengaruhi

individu yang korupsi. Hal ini menyebabkan individu yang melakukan korupsi

berpindah ke kelas individu yang telah berhenti korupsi.

Model juga diperluas ke masalah optimal kontrol dimana Prinsip Minimum

Pontryagin digunakan untuk menunjukkan efek kontrol optimal yang diberikan.

Model deterministik dari korupsi tersebut telah diturunkan oleh [2].

Pengembangan model dilakukan dengan menambahkan parameter yang

menyatakan tingkat pengaruh kinerja pencegahan dan penindakan lembaga

Komisi Pemberantasan Korupsi (KPK) terhadap perilaku korupsi. Pengembangan

lain dilakukan dengan menambahkan variabel kontrol, yaitu variabel kontrol yang

menyatakan pencegahan dan penindakan korupsi oleh KPK. Selain itu, model

juga dikembangkan dengan memperhatikan adanya individu yang rentan korupsi

menjadi individu koruptor tanpa adanya pengaruh dari individu koruptor.

2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial adalah kumpulan persamaan diferensial yang

terhubung satu sama lain. Misalkan diberikan sebuah vektor 𝒙 ∈ ℝ𝑛, dengan 𝒙 =

(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑇 dan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ. Jika notasi �̇� =𝑑𝒙

𝑑t untuk menyatakan

turunan x terhadap 𝑡, maka

�̇� = (𝑑𝑥1

𝑑t,𝑑𝑥2

𝑑t,… ,

𝑑𝑥𝑛

𝑑t)

𝑇

.

Misalkan diberikan sistem autonomous

�̇� = 𝒇(𝒙), (1)

yaitu suatu sistem persamaan diferensial dengan variabel bebas yang secara

implisit bergantung pada 𝑡 dengan 𝒙 ∈ ℝ𝑛 , maka sistem (1) dapat ditulis sebagai

𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥1, 𝑥𝟐, … , 𝑥𝑛 ),

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑓2(𝑥1, 𝑥𝟐, … , 𝑥𝑛 ),

⋮

𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡= 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥𝟐, … , 𝑥𝑛 ).

2.2. Titik Kesetimbangan

Definisi 1 [16] Titik �̅� ∈ ℝ𝑛, disebut titik kesetimbangan dari sistem (1) jika

memenuhi 𝒇(�̅�) = 𝟎.

2.3. Linearisasi

Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial tak linear

�̇� = 𝒇(𝒙) (2)

Untuk menegetahui perilaku dari sitem (2) maka dapat dilakukan melalui

pendekatan linear sebagai berikut:

𝒙̇ = 𝐴𝒙 (3)

Persamaan (3) dengan matriks 𝐴 = 𝑫𝒇(�̅�) disebut linierisasi dari persamaan (2) di

titik �̅�. Matriks 𝐴 = 𝑫𝒇(�̅�) merupakan matriks Jacobian sebagai berikut:

𝐷𝒇(𝒙) =

[ 𝜕𝑓

1(�̅�)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓1(�̅�)

𝜕𝑥2⋯

𝜕𝑓1(�̅�)

𝜕𝑥𝑛

𝜕𝑓2(�̅�)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓2(�̅�)

𝜕𝑥2⋯

𝜕𝑓2(�̅�)

𝜕𝑥𝑛

⋮𝜕𝑓

𝑛(�̅�)

𝜕𝑥1

⋮𝜕𝑓

𝑛(�̅�)

𝜕𝑥2

⋱⋯

⋮𝜕𝑓

𝑛(�̅�)

𝜕𝑥𝑛 ]

.

2.4. Kestabilan dan Akar Karakteristik

Definisi 2 [1] Jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛, maka vektor tak nol 𝒙

dalam ℝ𝑛 dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari 𝐴 jika 𝐴𝒙 adalah kelipatan

skalar dari 𝒙 yaitu

𝐴𝒙 = 𝜆𝒙 (4)

untuk suatu skalar 𝜆. Skalar 𝜆 dinamakan nilai eigen dari A dan 𝒙 dikatakan

vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆.

Persamaan (4) dapat ditulis sebagai

(𝜆𝐼 − 𝐴)𝒙 = 𝟎 (5)

dengan 𝐼 adalah matriks identitas. Menurut [1], agar 𝜆 menjadi nilai eigen, maka

harus ada solusi nontrivial dari Persamaan (5). Solusi tak nol Persamaan (5) dapat

diperoleh jika dan hanya jika

𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0. (6)

Persamaan (6) dinamakan persamaan karakteristik dari 𝐴 dan skalar yang

memenuhi Persamaan (4) adalah nilai eigen dari 𝐴.

Teorema 1 [12] Diberikan sistem persamaan diferensial �̇� = 𝐴𝒙, dengan A

adalah suatu matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 yang mempunyai 𝑘 nilai eigen berbeda

𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑘 , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘 ≤ 𝑛.

(1) Titik kesetimbangan �̅� dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika

𝑅𝑒 (𝜆𝑖) < 0 untuk setiap 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘.

(2) Titik kesetimbangan �̅� dikatakan stabil jika dan hanya jika 𝑅𝑒 (𝜆𝑖) ≤ 0

untuk setiap 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘 dan jika setiap nilai eigen 𝜆𝑖 imajiner dengan

𝑅𝑒 (𝜆𝑖) = 0, maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen

harus sama.

(3) Titik kesetimbangan �̅� dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat

paling sedikit satu 𝑅𝑒 (𝜆𝑖) > 0 untuk 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘.

2.5. Aturan Tanda Descartes’

Aturan tanda Descartes’ digunakan untuk menganalisa jumlah akar-akar

persamaan sistem. Jika sistem adalah orde ke-𝑛, maka persamaan karakteristiknya

dapat ditulis dalam bentuk umum

𝑃(𝜆) = 𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 0 (7)

dengan koefisien 𝑎𝑖, 𝑖 = 0,1,⋯ , 𝑛 bernilai real. Diasumsikan 𝑎𝑛 ≠ 0, sebab jika

tidak demikian maka 𝜆 = 0 merupakan solusi. Misalkan 𝑁 adalah banyaknya

perubahan tanda pada barisan koefisien {𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1, ⋯ , 𝑎0}, dengan mengabaikan

semua yang bernilai nol. Aturan tanda Descartes’ menyatakan bahwa terdapat

paling banyak 𝑁 buah akar dari Persamaan (7), yang bernilai real dan positif dan

lebih lanjut terdapat 𝑁,𝑁 − 2,𝑁 − 4,… akar real positif. Dengan memisalkan

𝜔 = −𝜆 dan menerapkannya kembali pada aturan, maka akan diperoleh

informasi mengenai akar real negatif yang mungkin [8].

2.6. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz

Pada persamaan karakteristik yang berorde tinggi kadang ditemui kesulitan

dalam mencari jenis nilai eigen. Sehingga, dibutuhkan suatu kriteria untuk

menjamin nilai akar persamaan karakteristik bernilai positif atau negatif. Salah

satu kriteria yang efektif untuk menjamin jenis nilai eigen adalah kriteria Routh-

Hurwitz.

Teorema 2 [9] Diberikan persamaan karakteristik:

𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆𝑛−1 + 𝑎2𝜆

𝑛−2 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝜆 + 𝑎𝑛 = 0 (8)

dengan 𝑎𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛, adalah bilangan real. Matriks Hurwitz dinotasikan dengan

𝐻𝑛, yang berisi koefisisen-koefisien 𝑎𝑖 dari persamaan karakteristik (8). Masing-

masing 𝑛 matriks Hurwitz dapat dinyatakan sebagai berikut:

𝐻1 = (𝑎1), 𝐻2 = (𝑎1 10 𝑎2

), 𝐻3 = (𝑎1 1 0𝑎3 𝑎2 𝑎1

0 0 𝑎3

) , …,

𝐻𝑛 =

(

𝑎1

𝑎3𝑎5

⋮00

1𝑎2𝑎4

⋮00

0𝑎1𝑎3

⋮00

01𝑎2

⋮00

………

⋱……

000⋮

𝑎𝑛−1

0

000⋮

𝑎𝑛−2

𝑎𝑛 )

,

dengan 𝑎𝑖 = 0, saat 𝑖 > 𝑛.

Akar-akar Persamaan (8) akan negatif atau mempunyai bagian real negatif jika

dan hanya jika 𝑑𝑒𝑡(𝐻𝑛) > 0.

2.7. Prinsip Minimum Pontryagin

Prinsip ini menyatakan kondisi yang diperlukan agar diperoleh solusi yang

optimal. Dalam menyelesaikan masalah kontrol optimal dengan Prinsip Minimum

Pontryagin adalah sebagai berikut.

Diberikan persamaan sistem persamaan diferensial

�̇� = 𝒈(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝑢(𝑡)), (9)

dengan fungsional tujuan

𝐽(𝑢) = ∫ 𝑓(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝑢(𝑡))𝑑𝑡,𝑡𝑓

𝑡0

(10)

dengan nilai kondisi batas 𝒙(𝑡0) = 𝒙0 dan 𝑡𝑓 diberikan, dan 𝒙(𝑡𝑓) bebas serta

𝑢(𝑡) ∈ 𝑈, 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡𝑓], dengan 𝑈 merupakan himpunan dari semua fungsi kontrol

𝑢(𝑡) yang diperkenankan.

Masalah kontrol optimal adalah masalah pemilihan suatu fungsi 𝑢(𝑡) dari

suatu himpunan fungsi 𝑈 untuk meminimumkan atau memaksimumkan suatu

fungsional tujuan (10) dengan kendala (9).

Berikut ini adalah garis besar bagaimana prinsip ini dapat diterapkan untuk

memperoleh syarat perlu dari masalah optimasi yang dilakukan dengan langkah-

langkah sebagai berikut [5]:

1. Bentuk fungsi Hamilton yaitu kombinasi fungsi dari 𝑓(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝑢(𝑡)) dan

perkalian fungsi yang berbentuk persamaan diferensial 𝒈(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝑢(𝑡))

dengan suatu faktor pengali Lagrange 𝝀(𝑡). Berikut bentuk fungsi Hamilton:

𝐻(𝒙(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝝀(𝑡)) = 𝑓(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝑢(𝑡)) + 𝝀(𝑡)𝒈(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝑢(𝑡)).

2. Mencari solusi fungsi Pontryagin berdasarkan kondisi stasioner

𝜕𝐻(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝝀(𝑡))

𝜕𝑢= 0

untuk mendapatkan 𝑢∗ = 𝑢∗(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝝀(𝑡)).

3. Mengamati

𝐻∗(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝝀(𝑡)) = 𝐻(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝝀(𝑡)) = min𝑢∈𝑈

𝐻(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝝀(𝑡)).

4. Menyelesaikan

�̇�(𝑡) =𝜕𝐻(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝝀(𝑡))

𝜕𝝀 (persamaaan 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒)

dengan diberikan nilai 𝒙(𝑡0) = 𝒙0 dan

�̇�(𝑡) = −𝜕𝐻(𝑡, 𝒙(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝝀(𝑡))

𝜕𝒙 (persamaaan 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒)

dengan kondisi transversal 𝝀(𝑡𝑓) = 𝟎.

5. Mensubstitusi hasil dari langkah 4 ke 𝑢∗ untuk menentukan kontrol optimal

2.8. Metode Iteratif

Metode Iteratif menyelesaikan persamaan state dan costate dengan metode

langkah maju Runge Kutta orde 4 dan metode langkah mundur Runge Kutta orde

4. Interval waktu [𝑡0, 𝑡𝑓] dibagi menjadi beberapa bagian, yaitu 𝑡0 =

𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑁 , 𝑏𝑁+1 = 𝑡𝑓 . Begitu pula dengan fungsi 𝑢 yang dibagi menjadi 𝑢 =

(𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑁), dengan 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑏𝑖).

Selanjutnya untuk mengaproksimasi solusi optimal, maka langkah

selanjutnya adalah memberikan tebakan awal untuk u di awal iterasi. Dari tebakan

awal u dengan kondisi awal 𝒙(0) = 𝒙0 persamaan state yang diberikan kemudian

digunakan untuk menyelesaikan persamaan state dengan langkah maju metode

Runge Kutta orde 4. Dengan menggunakan kondisi transversal 𝝀(𝑡𝑓) = 𝟎, nilai 𝑢

awal, dan x yang telah diperoleh sebelumnya, maka persamaan costate 𝝀 dapat

diselesaikan dengan langkah mundur metode Runge Kutta orde 4.

Dari persamaan state dan costate yang telah diselesaikan, maka pada iterasi

pertama dapat diperoleh nilai u dari syarat optimal 𝜕𝐻𝜕𝑢⁄ = 0. Nilai 𝑢 dari

syarat keoptimalan yang diperoleh tersebut, kemudian digunakan untuk

memperbaharui nilai u di setiap iterasi dengan menggunakan kombinasi konveks

antara nilai u yang lama dengan nilai u yang baru yaitu

𝑢 =(𝑢𝑙𝑎𝑚𝑎 + 𝑢𝑏𝑎𝑟𝑢)

2,

dengan 𝑢𝑏𝑎𝑟𝑢 adalah u yang diperoleh dari syarat keoptimalan 𝜕𝐻𝜕𝑢⁄ = 0.

Proses ini diulangi dan iterasi dihentikan jika nilai x atau 𝑢 pada iterasi

sebelumnya sangat dekat dengan yang ada pada iterasi saat ini.

3. MODEL MATEMATIKA PERILAKU KORUPSI DENGAN FAKTOR

KONTROL KOMISI PEMBERANTASAN KORUPSI (KPK)

Asumsi-asumsi yang membatasi model dan struktur populasi sebagai

berikut:

1. Populasi manusia 𝑁 dibagi tiga subpopulasi, yaitu:

a. 𝑃 adalah kelompok manusia yang rentan melakukan korupsi

b. 𝐶 adalah kelompok manusia yang melakukan korupsi

c. 𝑅 adalah kelompok manusia yang telah berhenti dari melakukan korupsi

2. Input kontrol berupa peningkatan kinerja pencegahan perilaku korupsi oleh

KPK (𝑢1) dan penindakan pelaku korupsi oleh Komisi Pemberantasan

Korupsi (KPK) (𝑢2) dan upaya untuk memicu penyembuhan diri individu

koruptor dari perilaku korupsi yang bisa melalui penciptaan tekanan

psikologis lewat media/iklan (𝑢3).

Berdasarkan asumsi diatas, maka didapatkan sistem berikut:

𝑑𝑃

𝑑𝑡= Ʌ − μ𝑃 − (𝛼𝑃

𝐶

𝑁+ 𝛽𝑃) (1 − 𝑢1) + 𝛿𝑅,

𝑑𝐶

𝑑𝑡= (𝛼𝑃

𝐶

𝑁+ 𝛽𝑃) (1 − 𝑢1) − 𝛾𝐶

𝑅

𝑁− (μ + 𝜎𝑢2 + 𝜂𝑢3)𝐶,

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 𝛾𝐶

𝑅

𝑁+ (𝜎𝑢2 + 𝜂𝑢3)𝐶 − (μ + 𝛿)𝑅.

Tabel 1 Definisi dari parameter/ variabel model

Parameter/Variabel Deskripsi

𝑁(𝑡) Total populasi pada waktu 𝑡

𝑃(𝑡) Jumlah manusia yang rentan melakukan korupsi pada waktu 𝑡

𝐶(𝑡) Jumlah manusia yang melakukan korupsi pada waktu 𝑡

𝑅(𝑡) Jumlah manusia yang telah berhenti korupsi pada waktu 𝑡

Ʌ Laju masukan individu yang rentan korupsi

μ Laju keluaran alami individu

𝛼 Laju individu rentan yang tertular perilaku korupsi akibat sering

berinteraksi dengan individu koruptor

𝛿 Tingkat individu yang telah berhenti korupsi menjadi invididu

rentan korupsi

𝛾 Laju individu koruptor yang berhenti korupsi akibat pengaruh dari

individu yang telah berhenti korupsi

DAFTAR PUSTAKA

[1] Anton, H., & Rorres, C. (2010). Elementary Linear Algebra. New York:

John Wiley & Sons, Inc.

[2] Athithan, S., Ghosh, M., & Li, X.-Z. (2018). Mathematical Modeling and

Optimal Control Of Corruption Dynamics. Asian-European Journal of

Mathematics.

[3] Buonomo, B., & d'Onofrio, A. (2013). Modelling the Influence of Public's

Memory on the Corruption-Popularity Dilemma in Politics. J.Optim.

Theory Appl , 554-575.

[4] Finizio, N., & Ladas, G. (1982). An Introduction to Differential Equations

with Difference Equations, Fourier Series, and Partial Differential

Equations. California: Wadsworth, Inc.

[5] Gopal, M. (1985). Modern Control System Theory. New Delhi: Mohinder

Singh Sejwal for Wiley Eastern Limited.

[6] Indonesia Corruption Watch. (2017). "Tren Penindakan Kasus Korupsi

SektorPengadaan Barang dan Jasa 2017". Diakses dari

https://antikorupsi.org/sites/default/files/tren_korupsi_2017_pengadaan.p

df. pada 25 April 2018, jam 14:30

[7] Khan, M. A. (2000). The Corruption Prevention Model. J. Discrete Math.

Sci. Cryptogr , 173-178.

[8] Murray, J. (2002). Mathematical Biology I: An Introduction Third Edition.

New York : Springer-Verlag .

[9] Merkin, D.R., 1997. Introduction to the Theory of Stability. New York:

Springer.

𝜂 Tingkat penyembuhan diri dari korupsi yang bisa karena takut akan

hukuman dan lain-lain

𝜎 Rata-rata laju individu koruptor yang ditindak oleh KPK

𝛽 Rata-rata laju individu yang rentan korupsi menjadi individu

koruptor tanpa adanya pengaruh dari individu koruptor

𝑢1 Proporsi individu rentan korupsi yang berhasil dicegah melakukan

korupsi oleh KPK

𝑢2 Peluang keberhasilan KPK dalam menindak individu koruptor

𝑢3 Peluang keberhasilan dalam upaya untuk memicu penyembuhan diri

individu koruptor dari perilaku korupsi

[10] Napitupulu, D. (2010). KPK in Action. Jakarta: Raih Asa Sukses.

[11] Nikolaev, P. V. (2014). The Role Of Inspectors' Moral Level . Comput.

Math. Model, 87-102.

[12] Olsder, G. J & Woude, J.W. van der. 2004. Mathematical SystemsTheory.

Netherland: VVSD

[13] Pope, J. (2003). confronting Corruption: The Elements of National Integrty

System. In M. Maris, Strategi Memberantas Korupsi Elemen Sistem

Integrits Nasional. Jakarta: Yayasan Obor Indonesia.

[14] Wayker, S. R. (2013). A Comparatively Mathematical Study Model Base

Between Corruption and Development. Mathematical Modelling, 54-62.

[15] Widowati, & Sutimin. (2007). Buku Ajar Pemodelan Matematika.

Semarang: Universitas Diponegoro.

[16] Wiggins, S. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems

and Chaos. New York: Springer-Verlag.

[17] , Undang-undang Nomor 30 Tahun 2002 tentang Komisi

Pemberantasan Tindak Pidana Korupsi;