analisis stabilitas dan optimal kontrol pada...
TRANSCRIPT
ANALISIS STABILITAS DAN OPTIMAL KONTROLANALISIS STABILITAS DAN OPTIMAL KONTROLPADA NYAMUK AEDES AEGYPTI DENGAN PADA NYAMUK AEDES AEGYPTI DENGAN
TEKNIK STERILISASI SERANGGA DAN INSEKTISIDATEKNIK STERILISASI SERANGGA DAN INSEKTISIDA
TUGAS AKHIR
OlehErdina Sri Febriyanti
NRP. 1207100028
Dosen PembimbingDr. Erna Apriliani, M.Si
Drs. Setijo Winarko, M.Si
ABSTRAKABSTRAK
Teori optimal kontrol sering diaplikasikan pada berbagai cabang ilmu. Salahsatunya, teori optimal kontrol diterapkan pada pengendalian populasi nyamuk AedesAegypti. Gigitan nyamuk Aedes Aegypti (betina) menyebabkan terjangkitnya penyakitDemam Berdarah Dengue (DBD). Untuk dapat menekan jumlah penderita DBDmaka dilakukan suatu metode yang dapat mengendalikan populasi nyamuk AedesAegypti. Sterile Insect Technique (SIT) merupakan teknik pengendalian secarabiologi dengan memberikan mutagen atau radiasi gamma pada nyamuk jantansehingga menjadi steril. Nyamuk steril inilah yang nantinya akan dilepaskan kelingkungan untuk kawin dengan nyamuk normal sehingga nyamuk normal akanlingkungan untuk kawin dengan nyamuk normal sehingga nyamuk normal akanmenjadi steril, sedangkan Insektisida merupakan teknik pengendalian secara kimia.Pada tugas akhir ini pengendalian populasi nyamuk Aedes Aegypti dilakukan denganmenerapkan Sterile Insect Technique dan insektisida untuk menganalisis upayaminimal dalam mengurangi nyamuk betina subur, sehingga diperoleh kontrol yangoptimal dengan mempertimbangkan biaya fungsional seperti biaya penerapaninsektisida, biaya produksi nyamuk steril dan pelepasannya, serta biaya sosial.Optimal kontrol diperoleh dengan menerapkan Prinsip Maksimum Pontryagin.
Kata Kunci : Sterile Insect Technique, Insektisida, Optimal Kontrol, PrinsipMaksimum Pontriyagin
PENDAHULUANPENDAHULUAN
DemamBerdarahDengue
Sejak tahun 1968 hingga tahun 2009, WHO mencatat Indonesia sebagai negara dengan kasus
Demam Berdarah tertinggi di Asia Tenggara
Th.1998 sebanyak 2.133 korban terjangkit penyakitDBD dengan jumlah korban meninggal 1.414 jiwa
Mengurangi Populasi Nyamuk
Sterile Insect Technique (SIT) dan Insektisida
RUMUSAN MASALAHRUMUSAN MASALAH
BATASAN MASALAHBATASAN MASALAH
1. Bagaimana menentukan stabilitas pada model populasi nyamuk AedesAegypti?
2. Bagaimana mendapatkan kontrol yang optimal dari model populasinyamuk Aedes Aegypti dengan Sterile Insect Technique dan Insektisida?
1. State dipengaruhi oleh waktu (t) dalam keadaan kontinu2. Sistem dalam keadaan terkontrol dan lama waktu penerapan SIT dan
insektisida berada pada interval waktu tertentu3. Kontrol yang dapat diterima (admissible control) disimbolkan dengan u1
dan u2 dalam keadaan terbatas dan kontinu pada dan.
4. Model dasar sistem dan parameter yang digunakan diambil dari referensi5. Simulasi dilakukan dengan menggunakan toolbox DotcvpSB dengan
MATLAB 7.0
TUJUANTUJUAN
1. Mendapatkan jenis kestabilan pada model populasi nyamuk AedesAegypti
2. Mendapatkan bentuk kontrol yang optimal dari penggunaan Sterile InsectTechnique dan Insektisida pada model pengendalian nyamuk AedesAegypti
MANFAATMANFAAT
Manfaat dalam Tugas Akhir ini adalah memberikan pengetahuan tentangpengendalian optimal dari populasi nyamuk Aedes Aegypti dengan metodeSterile Insect Technique dan Insektisida dengan biaya yang minimumsehingga jumlah populasi nyamuk dapat berkurang
TINJAUAN PUSTAKATINJAUAN PUSTAKA
STERILE INSECT TECHNIQUEMerupakan metode pengendalian serangga secara biologi denganpenggunaan mutagen atau radiasi gamma yang diberikan kepadaserangga (nyamuk jantan) sehingga nyamuk tersebut menjadi steril.Nyamuk steril inilah yang akan dilepaskan ke alam bebas untuk kawindengan nyamuk betina normal sehingga nyamuk betina tersebut menjadisteril dan telur yang dihasilkan tidak akan menetas. Hal ini berlaku jugasteril dan telur yang dihasilkan tidak akan menetas. Hal ini berlaku jugasecara timbal balik
INSEKTISIDAmerupakan suatu senyawa kimia yang digunakan untuk membunuhserangga pengganggu. Ada dua mekanisme untuk membunuh seranggayaitu dengan meracuni makanannya atau dengan langsung meracuniserangga tersebut
Model Model PopulasiPopulasi NyamukNyamuk AedesAegyptiAedesAegypti
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)(2.4)
(2.5)
Model Model PopulasiPopulasi NyamukNyamuk AedesAegyptiAedesAegypti dengandengan PengontrolPengontrol
(2.9)
(2.8)
(2.7)
(2.6)
(2.10)
Tujuan akhir dari pengendalian nyamuk Aedes Aegypti dengan SIT danInsektisida adalah untuk mendapatkan bentuk yang optimal sehinggameminimalkan biaya dengan kontrol dengan F diminimalkandan dimaksimalkan. Sehingga bentuk indek performancenya adalah [3] :
(2.11)
Dengan :A : Populasi nyamuk pada belum dewasa (telur, larva dan pupa)I : Populasi betina belum kawinF : Populasi betina subur
M : Populasi nyamuk jantan normal: Populasi nyamuk jantan steril : Laju kematian nyamuk belum dewasa: Laju kematian betina belum kawin: Laju kematian betina subur: Laju kematian jantan normal: Laju kematian jantan steril
α : Rata-rata dimana jantan steril dilepaskanα : Rata-rata dimana jantan steril dilepaskan: Tingkat kawin nyamuk normal: Tingkat kawin betina normal dengan jantan steril: Tingkat oviposisi nyamuk betina
C : Carrying capacity: Populasi nyamuk belum dewasa yang berhasil menjadi nyamuk
dewasa: Proporsi nyamuk betina: Proporsi nyamuk jantan: Kuantitas insektisida yang diterapkan: Banyaknya nyamuk yang disterilkan dan dilepaskan
: faktor penyeimbang biaya
TitikTitik SetimbangSetimbang dandan KestabilanKestabilan LokalLokal
Suatu sistem persamaan diferensial berbentuk
2.12
Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari
(2.12) jika memenuhi , ,
, dan
Kestabilan suatu titik setimbang dapat diperiksa dari akar – akarkarakteristik (nilai eigen ) dengan menyelesaikan dengan Aadalah matrik dari sistem persamaan differential (2.12) yang linear danberukuran 5x5
Sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan tanda bagianreal nilai eigen dibagi menjadi 3 yaitu :1. Stabil
Titik Setimbang dikatakan stabil jika dan hanya jikaakar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif atau mempunyaibagian real tak positif .bagian real tak positif .
2. Stabil AsimtotisTitik Setimbang dikatakan stabil asimtotis jika danhanya jika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif ataumempunyai bagian real negatif.
3. Tidak StabilTitik Setimbang dikatakan tidak stabil jika dan hanyajika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan positif ataumempunyai paling sedikit satu niai eigen dengan bagian real positif.
Kriteria kestabilan Routh – Hurwitz adalah suatu metode untukmenunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien daripersamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secaralangsung.Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagaiberikut : . Kemudian susun koefisienpersamaan karakteristik menjadi :
Tabel 2.1 Tabel Routh – Hurwitz
sistem dikatakan stabil ataumempunyai bagian real negatif jika
dengan
mempunyai bagian real negatif jikadan hanya jika elemen – elemen padakolom pertama memiliki tanda yangsama
Untuk sistem tak linear harus dilinearkan sehingga didapatkan bentuksistem linear. Tinjau kembali persamaan (2.12) dimana f, g, h, i dan j adalah persamaaan nonlinear dan adalah titik setimbang dari persamaan (2.12).
Dalam hal ini matriks
disebut matriks Jacobian disekitar titik setimbang
KestabilanKestabilan Global Global SistemSistem TaklinearTaklinear
Kestabilan global dari titik kesetimbangan dapat ditentukan denganmenggunakan fungsi Lyapunov
Definisi 2.3
Diketahui , misalkan adalah subhimpunan terbuka dari yang
memuat titik setimbang dari dengan dan .
Suatu fungsi adalah fungsi Lyapunov dalam jika :Suatu fungsi adalah fungsi Lyapunov dalam jika :
a.
b.
c.
d.
Dari definisi 2.3, jika a, b dan c terpenuhi maka stabil, jika d terpenuhi maka
stabil asimtotis, sedangkan jika b dan d terpenuhi maka stabil asimtotis
global. [14]
MasalahMasalah Optimal Optimal KontrolKontrol
Pada prinsipnya, tujuan dari optimal kontrol adalah menentukan signalyang akan diproses dalam plant dan memenuhi konstrain fisik. Kemudianpada waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim (maksimum/minimum)yang sesuai dengan kriteria performance index. Secara umum, formulasiyang dapat diberikan pada permasalahan optimal kontrol adalah (Naidu,2002) :1. Mendiskripsikan secara matematik artinya diperoleh metode matematika
dari proses terjadinya pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel keadaan).variabel keadaan).
2. Spesifikasi dari performance index3. Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik pada keadaan (state ) dan
atau kontrol.Dengan tujuan mencari kontrol yang mengoptimalkan (memaksimumkan atau meminimumkan) performance index
(2.17)
Dengan kendala
(2.18)
PrinsipPrinsip MaksimumMaksimum PontryaginPontryagin
Prinsip Maksimum Pontryagin merupakan suatu kondisi sehingga dapatdiperoleh penyelesaian optimal kontrol yang sesuai dengan tujuan.(memaksimalkan performance index). Misal diberikan permasalahan dengansuatu kontrol yang terbatas sebagai berikut :
Didefinisikan persamaan Hamiltonian
Untuk kondisi pada persamaan Hamiltonian tersebutdigeneralisasi dengan memaksimumkan fungsi tujuan (2.19) yangdapat dinyatakan sebagai berikut
max (2.29)
kendala (2.30)
LANJUTAN…….
Persamaan Lagrangian yang terbentuk dari (2.29) dan (2.30) adalah
Dengan
supaya optimal maka harus memenuhi persamaan1. Kondisi Stationer1. Kondisi Stationer
(2.31)2. Persamaan Keadan
Dengan danDari persamaan (2.31) dapat diperoleh bentuk optimal kontrol .
METODE PENELITIANMETODE PENELITIAN
Metode yang digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam
tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari Titik Setimbang
2. Analisis Stabilitas Model Populasi Nyamuk Aedes Aegypti2. Analisis Stabilitas Model Populasi Nyamuk Aedes Aegypti
3. Penyelesaian Optimal Kontrol
4. Simulasi
5. Analisis Hasil Penyelesaian dan Simulasi
Daerah Daerah PenyelesaianPenyelesaian ModelModel
TitikTitik SetimbangSetimbang ModelModelTitik setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Dengan demikianpada persamaan (2.1) - (2.5) titik-titik setimbang diperoleh dari
sehingga persamaan (2.1) - (2.5) menjadisehingga persamaan (2.1) - (2.5) menjadi
TitikTitik SetimbangSetimbang BebasBebas PenyakitPenyakit
TitikTitik SetimbangSetimbang EndemikEndemik
Pada saat adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaranpenyakit yang disebabkan nyamuk Aedes Aegypti. Sehingga didapatkantitik setimbang bebas penyakit
Titik setimbang endemik yaitu suatu kondisi dimana penyakit selalu adadalam populasi tersebut. Titik setimbang endemik dipengaruhi olehpopulasi nyamuk betina subur dengan . Sehingga diperoleh titikpopulasi nyamuk betina subur dengan . Sehingga diperoleh titiksetimbang dengan mengambil
Maka didapatkan
adalah penyelesaian dari persamaan differential orde 2
(4.12)Dengan
Dari (4.7) diketahui bahwa penyelesaian titik setimbang non trivial positif danmemenuhi . Misalkan
Merupakan rata-rata jumlah betina yang berhasil dilahirkan oleh induknya
Merupakan rasio tingkat kawin dari betina dengan jantan steril dan jantannormalSehingga persamaan (4.10) menjadi
mempunyai satu atau 2 akar pada interval (0,C) jika dan hanya jika
Dari syarat tersebut diperoleh(4.17)
(4.18)Sehingga mempunyai 2 akar yaitu
Jadi titik setimbang endemik adalah
Titik setimbang mempunyai matrik Jacobian
Nilai eigen diperoleh dari : maka
KestabilanKestabilan LokalLokal TitikTitik SetimbangSetimbang BebasBebas PenyakitPenyakit
Sehingga didapat
bernilai negatif pada bagian realnya maka berdasarkan sifatstabilitas titik setimbang berdasarkan akar – akar karakteristik (nilai eigen )maka titik setimbang stabil asimtotis.
Pada titik setimbang matrik Jacobiannya adalah
Nilai eigen diperoleh dari : maka
KestabilanKestabilan LokalLokal TitikTitik SetimbangSetimbang EndemikEndemik
Nilai eigen diperoleh dari : maka
Pada hasil tersebut dapat diketahui bahwa merupakan nilai eigen darimatrik jacobian pada titik setimbang .Sehingga untuk 4nilai eigen selanjutnya diperoleh dari :
LANJUTAN…………..
Sehingga diperoleh bentuk polynomialSehingga diperoleh bentuk polynomialDengan