analisa frekuensi sinyal dan sistem
TRANSCRIPT
Analisa FrekuensiSinyal dan Sistem
Analisis frekuensi sinyal waktukontinu
Analisis frekuensi sinyal waktudiskrit
Sifat-sifat transformasi Fourier Domain frekuensi sistem LTI Sistem LTI sebagai filter
Peristiwa Dispersi
Newton (1672)
Fraunhofer (1787)
Kirchoff & Bunsen (1800)
Cahaya tampak
Cahaya bintang dan matahari
Bahan kimia
Analisis Frekuensi
PrismaCahaya Warna
MatematicalTools
Sinyal Sinyal sinusoidal
Instrument
Software program
Speech
ECG
EEG
Pitch
Denyut jantung
, ,
Transformasi Fourier
Analisis frekuensi sinyal waktukontinu
Deret Fourier untuk sinyal waktu kontinuperiodik
Power spektral density (psd) sinyal periodik Transformasi Fourier untuk sinyal kontinu
aperiodik Energy spectral density (esd) sinyal
aperiodik
periodaTT
1Fec)t(x p
po
k
tkF2jk
o
Deret Fourier untuk sinyal periodik
komplekscdte)t(xT
1c k
T
0
tkF2j
pk
p
o
*kk ccnyata)t(x
kk jkk
jkk eccecc
1k
koko )tkF2cos(c2c)t(x
kokoko sin)tkF2sin(cos)tkF2cos()tkF2cos(
)tkF2sin(b)tkF2cos(aa)t(x ok1k
oko
kkkkkkoo sinc2bcosc2aca
k
tkF2jk
oec)t(x
Power spectral density (psd) dari sinyal periodik
k
2
k
T
0
2
px cdt)t(x
T
1P
p
Energinya tak terbatas, dayanya terbatas
)ba(2
1ac2cP 2
k1k
2k
2o
1k
2
k2ox
2
kc sebagai fungsi dari frekuensi F
psd
Relasi Parseval
F
Power spectral density dari sinyal periodik
2
kc
-4Fo -3Fo - 3Fo -Fo 0 Fo 2Fo 3Fo 4Fo
2
1c
2
3c
2
2c2
4c
Contoh Soal 1
Tentukan deret Fourier dan power spectral density darisinyal pulsa persegi panjang di bawah ini.
)t(x
t0
2
2
pTpT
A
Jawab :
p
2
2p
2
T
2
Tpo T
AAdt
T
1dt)t(x
T
1c
p
p
2
2
tkF2j
op
2
T
2
T
tkF2j
pk
o
p
p
o ekF2j
1
T
AdtAe
T
1c
o
o
p
kFjkFj
pok kF
)kFsin(
T
A
2j
ee
TkF
Ac
oo
TP tetap berubah tetap TP berubah
Power spectral density :
,2,1k,kF
)kFsin(
T
A
0k,T
A
c2
o
o
2
p
2
p2
k
dFe)F(X)t(x Ft2j
Transformasi Fourier untuk sinyal aperiodik
dte)t(x)F(X Ft2j
Energy spectral density (esd) dari sinyal periodik
Energinya terbatas :
dF)F(Xdt)t(xE22
x
2
xx )F(X)F(S esd
Relasi Parseval
Contoh Soal 2
Tentukan transformasi Fourier dan energy spectral densitydari sinyal yang didefinisikan sebagai :
)t(x
t0
2
2
A
2t,0
2t,A
)t(x
Jawab :
F
FsinAdtAe)F(X
2
2
Ft2j
2
2xx F
FsinA)F(S
X(F)
x(t)
1
Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit
Deret Fourier untuk sinyal waktu diskritperiodik
Power spektral density (psd) sinyal diskritperiodik
Transformasi Fourier untuk sinyal diskritaperiodik
Energy spectral density (esd) sinyal diskritaperiodik
Deret Fourier untuk sinyal diskrit periodik
2
1f
2
1
N
kf
N
k2es
scec)n(x
kk
kknj
k
1N
0kkk
1N
0k
N/kn2jk
k
dasarperiodaN)n(x)Nn(x
kNk
1N
0n
N/kn2j cce)n(xN
1)k(c
Contoh Soal 3
Tentukan spektrum dari sinyal-sinyal di bawah ini.
4N0,0,1,1).b3
ncos)n(x).a
Jawab :
6N6
1f
n6
12cos
3
ncos)n(x).a
o
5
0n
6/kn2j1N
0n
N/kn2j e)n(xe)n(x)k(c
6/n2j6/n2j e2
1e
2
1n
6
12cos)n(x
1N
0k
6/kn2jk
1N
0k
N/kn2jk ecec)n(x
2
1ccc
0cccc2
1c
2
1c
1615
432o11
2
1ccc
0cccc2
1c
2
1c
1615
432o11
2/kj3
0n
4/kn2j e14
1e)n(x
4
1)k(c
4N0,0,1,1).b
1N
0n
N/kn2je)n(xN
1)k(c
)j1(4
1c0c)j1(
4
1c
2
1c 321o
)j1(4
1c0c)j1(
4
1c
2
1c 321o
Contoh Soal 4
Tentukan spektrum dari sinyal di bawah ini.
n5
2sinn
3
2cos)n(x
Jawab :
n15
32sinn
15
52cosn
5
2sinn
3
2cos)n(x
j2
ee
2
ee)n(x
n)15/3(2jn)15/3(2jn)15/5(2jn)15/5(2j
n)15/5(2jn)15/5(2jn)15/3(2jn)15/3(2j e2
1e
2
1e
2
je
2
j)n(x
n)15/5(2jn)15/5(2jn)15/3(2jn)15/3(2j e2
1e
2
1e
2
je
2
j)n(x
14
0k
15/kn2jk
1N
0k
N/kn2jk ecec)n(x
2
1c
2
jc
2
jc
2
1c 5335
1/2
kc
90o
kc
- 90o
Power Spectral Density (psd) sinyal diskrit periodik
1N
0k
2
k
21N
0kx c)n(x
N
1P Relasi Parseval
psd
Energi satu perioda
Bila x(n) nyata :
1N
0k
2
k
1N
0k
2
N cN)n(xE
k*k cc kkkk cccc
kNkkNk
kNkNkk
cccc
cccc
0cccc N0N0
1N11N1 cccc
0ccc 2/N2/N2/N
2/)1N(2/)1N(2/)1N(2/)1N( cccc
Bila N genap
Bila N ganjil
kNkkNk
kNkNkk
cccc
cccc
2/)1N(,2,1,0k,cganjilN
2/N,2,1,0k,cgenapN
k
k
Contoh Soal 5
Tentukan koefisien deret Fourier dan power spectraldensity dari sinyal diskrit periodik di bawah ini.
Jawab :
1L
0n
N/kn2j1N
0n
N/kn2jk Ae
N
1e)n(x
N
1c
N/kn2j
N/kL2j
1L
0n
N/kn2jk
e1
e1
N
A
N
AL
eN
Ac
)N/ksin(
)N/kLsin(e
ee
ee
e
e
e1
e1
N/)1L(kj
N/kjN/kj
N/kLjN/kLj
N/kj
N/kLj
N/kn2j
N/kL2j
lainnyak,
)N/ksin(
)N/kLsin(e
N
A
,N2,N,0k,N
AL
eN
Ac
N/)1L(kj
1L
0n
N/kn2jk
lainnyak,)N/ksin(
)N/kLsin(
N
A
,N2,N,0k,N
AL
cpsd22
2
2
k
Transformasi Fourier dari sinyal diskrit aperiodik
n
nje)n(x)(X
de)(X2
1)n(x nj
n
nj
n
kn2jnj
n
n)k2(j
)(Xe)n(xee)n(x
e)n(x)k2(X
Bentuk Deret Fourier
Contoh Soal 6
Tentukan sinyal diskrit yang transformasi Fouriernyaadalah :
Jawab :
c
c
,0
,1)(X
de)(X2
1)n(x nj
cc
c
d2
1)0(x0n
n
nsin
n
nsin
j2
ee
n
1)n(x
ejn
1
2
1de
2
1)n(x0n
c
cccnjnj
njnj
cc
c
c
c
c
n
nje)n(x)(X
N
Nn
njcN e
n
nsin)(X
Energy spectral density (esd) sinyal diskrit aperiodik
Relasi Parseval
d)(X2
1)n(xE
2
n
2
x
2
xx )(X)(S
Spektrummagnituda
)(X)()(Xe)(X)(X )(j
Spektrum fasa
x(n) nyata )(X)(X*
)(X)(X)(X)(X
Contoh Soal 7
Tentukan energy spectral density dari sinyal diskrit :
Jawab :
1a1)n(ua)n(x n
0n
nj
0n
njn
n
nj )ae(eae)n(x)(X
)(X)(X)(x)(Sae1
1)(X *2
xxj
2jjxx acosa21
1
ae1
1
ae1
1)(S
Contoh Soal 8
Tentukan transformasi Fourier dari sinyal diskrit :
lainnyan,0
1Ln0,A)n(x
Jawab :
)2/sin(
)2/Lsin(Ae
e1
e1AAe)(X
)1L)(2/(j
j
Lj1L
0n
nj
)(j)1L)(2/(j e)(X)2/sin(
)2/Lsin(Ae)(X
lainnya,
)2/sin(
)2/Lsin(A
0,AL
)(X
)2/sin(
)2/Lsin()1L(
2A)(X)(
Spektrum fasa
Spektrummagnituda
A = 1
L = 5
Hubungan transformasi Z dengan transformasi Fourier
n
njn
n
nj
n
z e]r)n(x[)re)(n(xe)n(x)z(X
Transformasi Fourier :
n
nj )(Xe)n(x)z(X1r1z
Transformasi Z
zzrrez j
Transformasi Fourier pada lingkaran satu =
Contoh Soal 9
Tentukan transformasi Fourier dari : )n(u)1()n(x
Jawab :
1z
z
z1
1)z(X
1
)2/1k(2)2/cos(2
e
)ee)(e(
)e)(e(
1re
re
1z
z
z1
1)(X
2/j
2/j2/j2/j
2/j2/j
j
j
1
Klasifikasi sinyal dalam domain frekuensi
Sinyal frekuensi rendah :
Sinyal frekuensi tinggi :
Sinyal frekuensi menengah (bandpass signal) :
Daerah frekuensi pada beberapa sinyal asliSinyal-sinyal biologi :
Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)Electroretinogram 0 - 20Electronystagmogram 0 - 20Pneumogram 0 - 40Electrocardiogram (ECG) 0 - 100Electroencephalogram (EEG) 0 - 100Electromyogram 10 - 200Aphygmomanogram 0 - 200Wicara 100 - 4000
Sinyal-sinyal seismik :
Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)Wind noise 100 - 1000Seismic exploration signals 10 - 100Earthquake and nuclearexplosion signals
0.01 - 10
Seismic noise 0,1 - 1
Sinyal-sinyal elektromagnetik :
Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)Radio broadcast 3x104 – 3x106
Shortwave radio signals 3x106 – 3x1010
Radar, sattellite comunications 3x108 – 3x1010
Infrared 3x1011 – 3x1014
Visible light 3,7x1014 – 7,7x1014
Ultraviolet 3x1015 – 3x1016
Gamma rays and x-rays 3x1017 – 3x1018
Sifat-sifat transformasi Fourier
Sifat-sifat simetri dari transformasiFourier
Linieritas Pergeseran waktu Pembalikan waktu Teorema konvolusi Pergeseran frekuensi Diferensiasi frekuensi
Sifat-sifat simetri dari transformasi Fourier
nj1
n
nj
e)(X2
1)}(X{F)n(x
e)n(x)}n(x{F)(X
)(X)n(xF
nsinjncosesinjncose njnj
]nsin)n(xncos)n(x[)(X
]nsin)n(xncos)n(x[)(X
Rn
II
nIRR
)(jX)(X)(X
)n(jx)n(x)n(x
R
IR
x(n) dan X () kompleks
d]ncos)(Xnsin)(X[2
1)n(x
d]nsin)(Xncos)(X[2
1)n(x
I
2
0 RI
I
2
0 RR
x(n) nyata 0)n(x)n(x)n(x IR
)(X)(Xnsin)n(x)(X
)(X)(Xncos)n(x)(X
IIn
I
Rn
RR
nsin)nsin(ncos)ncos(
)(X)(X)(X)(X IIRR
)(X)(X*
)(X
)(Xtg)(X
)(X)(X)(X
I
I1
2I
2R
)(X)(X
)(X)(X
d]nsin)(Xncos)(X[1
)n(x
ganjilnsindan)(Xgenapncosdan)(X
d]nsin)(Xncos)(X[2
1)n(x
I0 R
IR
I
2
0 R
x(n) nyata dan fungsi genap
dncos)(X1
)n(x
0)(Xncos)n(x2)0(x)(X
)n(x)n(x
0 R
I1n
R
x(n) nyata dan fungsi ganjil
dnsin)(X1
)n(x
0)(Xnsin)n(x2)(X
)n(x)n(x
0 I
R1n
I
x(n) imajiner murni
d]ncos)(Xnsin)(X[1
)n(x
ncos)n(x)(X
nsin)n(x)(X
)n(jx)n(x0)n(x
0 IRI
nII
nIR
IR
x(n) imajiner murni dan genap
dnsin)(X1
)n(x
0)(Xnsin)n(x2)(X
)n(x)n(x
0 RI
I1n
IR
II
x(n) imajiner murni dan ganjil
dncos)(X1
)n(x
0)(Xncos)n(x2)0(X)(X
)n(x)n(x
0 II
R1n
III
II
Contoh Soal 10
Tentukan dan buat sketsa XR(), XI(), X() dan X(dari transformasi Fourier :
Jawab :
1a1ea1
1)(X
j
22jj
j
j
j
j
acosa21
sinjacosa1
a)ee(a1
ea1
ea1
ea1
ea1
1)(X
2R acosa21
cosa1)(X
2I acosa21
sina)(X
2
2
2
2222
2I
2R
a)cos(a21
cosa2a1
a)cos(a21
)(sinacosa2)(cosa1
)(X)(X)(X
cosa1
sinatg)(X 1
Linieritas
)(Xa)(Xa)(X)}n(x{F
)n(xa)n(xa)n(x
)(X)}n(x{F)(X)}n(x{F
2211
2211
2211
Contoh Soal 11
Tentukan transformasi Fourier dari : 1a1a)n(x n
0n,0
0n,a)n(x
0n,0
0n,a)n(x
)n(x)n(x)n(xn
2
n
1
21
Jawab :
j
0n
nj
0n
njn
n
nj11
ae1
1
)ae(eae)n(x)(X
j
j
1k
kj
1
n
nj1
n
njn
n
nj22
ae1
ae)ae(
)ae(eae)n(x)(X
2
2
2jj
2jj
j
j
j21
acosa21
a1
a)aeae(1
aaeae1
ae1
ae
ae1
1)(X)(X)(X
Pergeseran waktu
)(Xe)}n(x{F)kn(x)n(x
)(X)}n(x{F
1kj
1
11
Pembalikan waktu
)(X)}n(x{F)n(x)n(x
)(X)}n(x{F
11
11
Teorema konvolusi
)(X)(X)}n(x{F)n(x*)n(x)n(x
)(X)}n(x{F)(X)}n(x{F
2111
2211
Jawab :
Contoh Soal 12
Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n), dengan :
x1(n) = x2(n) ={1, 1, 1}
cos21ee1
ee)n(x)(X
jj
n
1
1n
njnj11
)ee()ee(23
2cos2cos43
2
2cos14cos41
cos4cos41
)cos21()(X)(X)(X
cos21)(X)(X
2j2jjj
2
221
21
2jjj2j
n
nj ee23e2ee)n(x)(X
}12321{)n(x
Pergeseran frekuensi
)(X)}n(x{F)n(xe)n(x
)(X)}n(x{F
o11nj
11
o
Teorema modulasi
ncos)n(x)n(x)(X)}n(x{F o111
)n(xe2
1)n(xe
2
1)n(x)ee(
2
1)n(x 1
nj1
nj1
njnj oooo
)(X2
1)(X
2
1)(X)}n(x{F o1o1
Diferensiasi frekuensi
)n(nx)n(x)(X)}n(x{F 111
d
)(dXj)}n(x{F 1
)}n(nx{jFe)n(nxj
ed
d)n(xe)n(x
d
d
d
)(dX
e)n(x)(X
1n
nj1
n
nj1
n
nj1
1
n
nj11
Domain frekuensi sistem LTI
Fungsi respon frekuensi Respon steady-state dan respon
transien Respon terhadap sinyal input periodik Respon terhadap sinyal input aperiodik Hubungan antara fungsi sistem dan
fungsi respon frekuensi Komputasi dari fungsi respon
frekuensi
Fungsi respon frekuensi
k
njkj
k
)kn(j
nj
k
e]Ae)k(h[AAe)k(h)n(y
Ae)n(xkompleksInput
)kn(x)k(h)n(y
nj
k
kj e)(AH)n(ye)k(h)(H
Eigen function
Eigen value
Contoh Soal 13
Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :
)n(u2
1)n(h
n
Jawab :
Tentukan outputnya bila mendapat input : 2/njAe)n(x
21
j1
1
e21
1
1)(H
e21
1
1)(H
e2
1e
2
1)(H)n(hF
2/jj
n
nj
n
njn
)6,262/n(2/nj6,26j
nj
6,26j
oo
o
e5
A2ee
5
2A
e)(AH)n(y
e5
2
21
j1
1)(H
Amplituda
Frekuensi
Fasa
3
2
21
1
1
e21
1
1)(HAe)n(x
j
nj
njAe3
2)n(y
)sin)(cos()(
)()()(
kjkkhekh
jHHH
kk
kj
IR
)()(sin)()(
)()(cos)()(
IIk
I
RRk
R
HHkkhH
HHkkhH
)(
)()()(
)()()(
1
22
I
I
IR
H
HtgH
HHH
njj
njjnj
njjnj
eeHA
eeHAnyAenx
eeHAnyAenx
)(
)(22
)(11
)(
)()()(
)()()(
)](cos[)()]()([2
1)(
cos][2
1)]()([
2
1)(
21
21
nHAnynyny
nAAeAenxnxnx njnj
)](sin[)()]()([2
1)(
sin][2
1)]()([
2
1)(
21
21
nHAnynyj
ny
nAAeAej
nxnxj
nx njnj
Contoh Soal 14
Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :
)n(u2
1)n(h
n
Jawab :
Tentukan outputnya bila mendapat input :
nnnx
cos202
sin510)(
jeH
21
1
1)(
3
2)(
5
2)2/(
2
21
1
1)0(
21
1
1)(
6,26
H
eH
H
eH
o
j
nnnx
cos3
40
2sin
5
1020)(
Contoh Soal 15
Suatu sistem LTI dinyatakan dengan persamaan beda :
10)()1()( anbxnayny
)4
cos(202
sin125)(
nnnx
9,01)().
)().
adanHUntukb
HTentukana
maks
Tentukan y(n) bila inputnya :
Jawab :)()()()1()( nubanhnbxnayny n
jn
nj
ae
benhH
1
)()(
cos1
sin1
cos211
sin)cos1(1
1
2
a
atgae
aaae
jaaae
j
j
j
cos1
sin)(
cos21)(
1
2
a
atgb
aa
bH
aba
bHH
maks
11
1)0()(
cos1
sin)(
cos21
1)( 1
2 a
atg
aa
aH
0)(1)0( H
otgH 429,0)(074,09,01
1,0)2/( 1
2
0)(053,09,1
1,0
1
1)(
a
aH
)4
cos(202
sin125)(
nnnx
)](4
cos[)(20
)]2/(2
sin[)2/(12)0(5)(
nH
nHHny
]4
cos[06,1]422
sin[888,05)(
nnny o
Respon steady-state dan respon transien
)n(x)1n(ay)n(y
n
0k
k1n )kn(xa)1(ya)n(y)n(x
n
0k
)kn(jk1n
nj
eaA)1(ya)n(y
0nAe)n(x
njkn
0n
j1n
nj
e)ae(A)1(ya)n(y
0nAe)n(x
njkn
0n
j1n
nj
e)ae(A)1(ya)n(y
0nAe)n(x
njj
)1n(j1n1n
nj
eae1
ea1A)1(ya)n(y
0nAe)n(x
njj
njj
)1n(j1n1n e
ae1
Ae
ae1
eaA)1(ya)n(y
Respon transien
Respon steady state
njj
njj
)1n(j1n1n e
ae1
Ae
ae1
eaA)1(ya)n(y
1aStabil
njnjj
nss e)(AHe
ae1
A)n(y)n(y lim
njj
)1n(j1n1n
tr eae1
eaA)1(ya)n(y
Respon steady state terhadap sinyal input periodik
1N
0k
N/kn2jkec)n(xFourierDeret
N/kn2jkk
N/kn2jkk e
N
k2Hc)n(yecx
N
k2)(HN
k2H
1N
0k
N/kn2jk
1N
0kk e
N
k2Hc)n(y)n(y
N
k2Hcded)n(y kk
1N
0k
N/kn2jk
Respon steady state terhadap sinyal input aperiodik
)(XH)(YkonvolusiTeori
)(X)(H)(Y)(XH)(Y
)(SH)(S)(XH)(Y xx
2
yy
222
d)(SH
2
1E:Energi xx
2
y
Contoh Soal 16
Suatu sistem LTI mempunyai respon impuls :
)n(u2
1)n(h
n
Tentukan spektrum dan esd-nya bila mendapat input :
)n(u4
1)n(x
n
Jawab :
j0n
njn
e21
1
1e
2
1)(H
je41
1
1)(X
jj e
41
1
1
e21
1
1)(XH)(Y
)e161
e41
1(
1
)e41
e1(
1)(S
j2jj2jy
22
yy )(XH)(S
cos21
1617
1
cos45
1)(Sy
Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi responfrekuensi
n
nj
ez
j e)n(hzH)(Hez j
)(H)(H)(H)(HH *2
jez
12)z(H)z(HH
Contoh Soal 17
Suatu sistem LTI dinyatakan dengan :
)1n(x)n(x)2n(y2,0)1n(y1,0)n(y
Tentukan2
)(H
Jawab :
21
1
z2,0z5,01
z1)z(H
221
11
z2,0z5,01
z1
z2,0z5,01
z1)z(H)z(H
221
11
z2,0z5,01
z1
z2,0z5,01
z1)z(H)z(H
)zz(2,0)zz(08,005.1
zz2)z(H)z(H
221
11
)ee(2,0)ee(08,005.1
ee2)(Hez
2j2jjj
jj2j
2cos4,0cos16,005.1
cos22)(H
2
2
22
cos8,0cos16,045.1
)cos1(2)(H1cos22cos