workshop kelompok suku banyak

Suku BanyakSuku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat bilangan bulat non negatif, yang dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut.

dengan:

NEXTBACK

Contoh

1. Tentukan koefisien dan variabel dari suku banyak 6x3 +5x2 – 3x – 4 !

Jawab : variabel = x3 , x2 , x

6 koefisien dari x3 , 5 koefisien dari x2

-3 koefisien dari x

2. Tentukan suku tetap dan derajat suku banyak dari suku banyak f(p) = 7p5 – 6p4 + 10p3 + 6p2 – 7p – 5 !

Jawab :

suku tetap/konstanta = -5

derajat suku banyak adalah pangkat tertinggi dari suku-suku yang ada. x5 adalah pangkat tertinggi,jadi f(p) berderajat 5.

BACK NEXT

Nilai Suku Banyak

Dalam menentukan nilai dari suatu suku banyak kita dapat menggunakan dua cara, yaitu :

a. Cara Substitusi

yaitu dengan memasukan suatu bilangan/nilai pada peubahnya dalam suatu suku banyak.

BACK NEXT

Contoh :

1. Jika terdapat suku banyak f(x) = 5x3 + 2x2 – 4x – 10 . Tentukan nilai x = -1 !

Jawab : f(-1) = 5(-1)3 + 2(-1)2 – 4(-1) – 10

f(-1) = -5 + 2 + 4 – 10

f(-1) = -9

2. Suatu suku banyak g(x) = -10x2 – 4x + 20 . Tentukan nilai g(k + 1) !

Jawab : g(k + 1) = -10(k + 1)2 – 4(k + 1) + 20

g(k + 1) = -10(k2 + 2k +1) – 4k – 4 + 20

g(k + 1) = -10k2 – 20k – 10 – 4k + 16

g(k + 1) = -10k2 – 24k + 6BACK NEXT

3. Jika x2 + 4x – 1 (x + 1) (x + 3) – 2k, maka nilai ≡k adalah . . .

Jawab : x2 + 4x – 1 (x + 1) (x + 3) – 2k≡x2 + 4x – 1 x≡ 2 + 4x +3 -2k

3 – 2k = -1

2k = 4

k = 2

4. Jika maka 3A – 5B adalah . . .

BACK NEXT

Jawab :

A(x + 2) + B(x – 2) 4x≡Ax + 2A + Bx – 2B 4x≡(A + B)x + 2A – 2B 4x≡A + B = 4 . . . . . . (1)

2A – 2B = 0 . . . . (2)

2A = 2B

A = B

(1) A + A = 4

2A = 4

A = 2 → B = 2

Jadi, 3A – 5B = (3 . 2) – (5 . 2)

= - 4

BACK NEXT

b. Cara Skematik/Horner

Dalam menentukan nilai suku banyak dengan cara ini terdapat dua operasi, yaitu perkalian dan penjumlahan. Dalam proses ini pula kita hanya menggunakan tiap koefisien dan konstanta dari suku-sukunya.

BACK NEXT

Skema:

Langkah 1 : kalikan a dengan h, lalu tambahkan dengan b. Hasilnya (ah+b)

Langkah 2 : kalikan (ah+b) dengan h, lalu tambahkan dengan c. Hasilnya h(ah+b)+c

Langkah 3 : kalikan [h(ah+b)+c] dengan h, lalu tambahkan dengan d. Hasilnya h[h(ah+b)+c]+d

a

h[h(ah+b)+c]+dh(ah+b)+cah+b

dcb

a

h

x hx h

ahx h

h[h[ah+b]+c]h(ah+b)

BACK NEXT

Contoh :

1.Tentukan f(4) pada f(x) = 2x3 + 5x2 + 6x + 3!

Jawab :

dengan skema diatas dapat disimpulkan

f(4) = 235

24

23558132

365

232528

NEXTBACK

2. Tentukan g(2) pada g(x) = x3 + 5x + 6 !

Jawab :

dengan skema diatas dapat disimpulkan

g(2) = 24

12

24921

650

1842

NEXTBACK

Operasi pada Suku Banyaka. Penjumlahan

NEXTBACK

Contoh :

1.Tentukan nilai f(x) + g(x) .

Jika f(x) = 2x5 + 10x3 + 6 dan g(x)= x4 – 4x3 +8x !

Jawab : f(x) = 2x5 + 10x3 + 6

g(x) = x4 - 4x3 + 8x

f(x) + g(x) = 2x5 + x4 + 6x3 + 8x + 6

2.Jika f(x) = x3 – 15x2 – 3x +12 dan g(x)=2x3 +8x. Maka f(x)+g(x) adalah . . .

Jawab : f(x)+g(x) = (1+2)x3 – 15x2 + (-3+8)x +12

f(x)+g(x) = 3x3 – 15x2 + 5x + 12NEXTBACK

b. Pengurangan

NEXTBACK

Contoh :

1.Diketahui g(x)= 2x3 + 2x – 8 dan h(x)= 4x3 – 6 . Tentukan nilai g(x) – h(x) !

Jawab : g(x) = 2x3 + 2x – 8

h(x) = 4x3 - 6

g(x) – h(x) = -2x3 + 2x – 2

2. Jika f(x) = 2x4 – 5x2 + 4x dan g(x) = x4 + 6x – 8. maka f(x) – g(x) adalah . . .

Jawab : f(x) – g(x) = (2 – 1)x4 – 5x2 + (4 – 6)x + 8

f(x) – g(x) = x4 – 5x2 – 2x + 8

NEXTBACK

c. Perkalian

Dalam operasi perkalian ini kita dapat langsung mengalikan saja setiap suku-suku yang ada.

Contoh:

1. Jika f(x) = 4x2 + 3x – 5 dan g(x) = 2x + 6.

Tentukan nilai f(x) . g(x) !

f(x) . g(x) = (4x2 + 3x – 5) (2x + 6)

f(x) . g(x) = 8x3 + 24x2 + 6x2 + 18x – 10x –30

f(x) . g(x) = 8x3 + 30x2 + 8 x – 30 NEXTBACK

2. Diketahui g(x) = 3x3 – 4x2 + 3x – 1 dan h(x)=5x3 + 4x – 2. Maka g(x) . h(x) adalah . . .

Jawab :

g(x) . h(x) = (3x3 – 4x2 + 3x–1) (5x3+4x–2 )

g(x) . h(x) = 15x6 + 12x4 – 6x3 – 20x5 – 16x3 + 8x2 + 15x4 +12x2 – 6x – 5x3 – 4x + 2

g(x).h(x)=15x6 – 20x5 + 27x4 – 27x3+20x2 – 10x + 2

NEXTBACK

Pembagian Suku Banyak dengan (x-h)

Secara umum dituliskan dengan :

P(x) sukubanyak yang dibagi,

(x – a) adalah pembagi,

H(x) adalah hasil pembagian,

S adalah sisa pembagian

NEXTBACK

Contoh 1. Suku banyak x2 + 4x – 8 dibagi dengan x – 1 ,

maka sisanya adalah . . .

Jawab : -dengan cara pembagian biasa

Maka sisa pembagiannya adalah - 3

x2 + 4x – 8

x + 5

x – x

x - 1

-3

5x – 5

5x – 8

NEXTBACK

2. Suku banyak f(x) = x3 + x2 + (a – 2)x + 4 dibagi dengan (x – 1) memberikan sisa 9. Maka nilai a adalah . . .

Jawab : - dengan cara horner

Jadi, S = a + 4

9 = a + 4

a = 5

11

a + 4a21

4a - 21

a21

NEXTBACK

Pembagian Suku Banyak dengan (ax+b)

Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan sebagai berikut.

NEXTBACK

Contoh 1. Hasil bagi H(x) dan sisa S dari pembagian suku

banyak f(x)= 3x3 + x2 + x + 2 dengan (3x – 2) adalah . . .

Jawab: bentuk 3x – 2 = 3(x - ⅔)

3⅔

4333

211

222

NEXTBACK

2. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 6x3 – x2 +3x – 2 dengan (2x – 1) !

Jawab : bentuk 2x – 1 = 2(x - ½)

6½

0426

-23-1

213

NEXTBACK

Pembagian Suku Banyak dengan ax2 +bx+c

Untuk pembagian suku banyak ax2 + bx +c, dengan a ≠ 0 , dimana pembagi tidak dapat difaktorkan maka digunakan cara pembagian biasa, seperti pada bilangan. Bila untuk pembagi yang dapat difaktorkan digunakan cara pembagian biasa dan dapat juga menggunakan skema Horner.

NEXTBACK

NEXTBACK

Contoh 1. Tentukan hasil bagi dari suku banyak f(x)=2x4

– 3x3 + 5x – 2 dibagi dengan x2 – x – 2 !

Jawab : 2x4 – 3x3 + 5x - 2

2x2 – x +3

2x4 – 2x3 – 4x2

x2 – x – 2

3x2 + 3x – 2

-x3 + x2 + 2x

-x3 + 4x2 + 5x – 2

6x + 4 3x2 – 3x – 6

NEXTBACK

2. Tentukan sisa pembagian jika suku banyak x3 – x2 + 4x – 5 dibagi dengan (x2 – x – 2) !

Jawab : faktor x2 – x – 2 = (x + 1) (x – 2)

f(x) = x3 – x2 + 4x – 5

f(-1)= (-1)3 – (-1)2 + 4(-1) – 5 = -11

f(2) = (2)2 – (2)2 + 4(2) – 5 = 7

sisa pembagiannya:

NEXTBACK

Dalil Sisa Pembagian suatu suku banyak f(x) dengan

bentuk (x – h) akan menghasilkan hasil bagi dan sisa pembagian. Hasil baginya merupakan sukubanyak yang derjatnya lebih keccil satu dari derjat suku banyak yang dibagi,dan sisa pembagian merupakan suatu konstanta. Inilah yang kita sebut dalil sisa.

NEXTBACK

Contoh 1. Tentukan sisa pembagian jika suku banyak

x5 – 32 dibagi dengan (x – 2) !

Jawab :

sesuai dalil sisa,sisa pembagiannya adalah:

f(2) = (2)5 – 32 = 32 – 32 = 0

sisa pembagian = 0,disebut juga habis dibagi

2. Diketahui suku banyak x4 – 2x3 + 5x + 7 dibagi dengan (x + 2). Tentukan sisa pembagiannya !

Jawab: dengan dalil sisa

f(-2) = (-2)4 – 2(-2)3 + 5(-2) + 7 = 16+16 – 10 + 7

= 29NEXTBACK

Penentuan sisa pembagian yaitu f(-2) dapat ditentukan dengan menggunakan skema/Horner

1-2

-118-41

50-2

-168-2

7

22

29

NEXTBACK