tugas fisika zat padat
Post on 19-Jan-2016
125 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
ELEKTRON BEBAS KLASIK
(MODEL ELEKTRON BEBAS)
Logam memegang peranan penting dalam kehidupan manusia. Umumnya, logam
memiliki sifat kekuatan fisik tinggi, kerapatan tinggi, konduktivitas listrik dan termal
baik, dan daya refleksi tinggi. Sifat ini berkaitan dengan struktur mikroskopis bahan,
yang dapat diasumsikan bahwa suatu logam mengandung elektron bebas, dengan
konsentrasi besar, yang dapat bergerak dalam keseluruhan volume kristal. Saat atom
bebas membentuk logam, semua elektron valensi menjadi elektron konduksi dalam
logam. Elektron konduksi bergerak bebas di antara ion, sehingga keadaannnya berubah
tajam. Berbeda dengan elektron “cores” yang tetap terlokalisasi sehingga karakternya
relatif tidak berubah.
Dengan demikian, gambaran sederhana tentang kristal logam adalah suatu kisi
ion teratur dalam ruang, dan elektron bebas bergerak di antara ion tersebut. Gambaran
lebih lengkapnya, bahwa ion bergetar secara termal di sekitar titik setimbang, dan
demikian pula elektron bebas bergerak termal di antara ion kristal dan merubah arah
geraknya setiap kali menumbuk ion (kemungkinan besar) atau elektron lain
(kemungkinan kecil). Dalam logam Na, proporsi volume yang terisi oleh ion “cores”
hanya sekitar 15%. Hal ini terjadi karena radius ion Na+ adalah 0,98 Å; sedangkan
setengah jarak antartetangga terdekat atom adalah 1,83 Å. Konsentrasi elektron
konduksi dapat dihitung dari valensi dan kerapatan logam. Jika ρm dan ZV, masing-
masing adalah kerapatan bahan dan valensi atom, maka konsentrasi elektronnya adalah
dengan NA adalah bilangan Avogadro dan M adalah berat atom. Logam memiliki
konsentrasi elektron yang besar, yakni n = 1029
/m3. Misalnya, logam Na, K, Cu, Ag dan
Au adalah monovalen; dan logam Be, Mg, Zn dan Cd adalah divalen. Dalam model
elektron bebas ini elektron mengalami tumbukan dengan fonon dan ketidakmurnian.
Hal ini menghasilkan ungkapan hukum Matthiessen. Selain itu, elektron dapat
melepaskan diri dari permukaan logam sehingga terjadi emisi thermionik. Akhirnya,
bab ini ditutup dengan dikemukakannya beberapa kegagalan model elektron bebas
dalam membahas sifat logam.
Elektron bebas merupakan elektron terluar dari suatu atom yang telah menjadi
baian dari seluruh kristal karena tidak lagi berada dalam pengaruh atom asalnya.
Elektron bebas terlepas berupa hamburan yang dapat disebabkan oleh ion-ion yang
melakukan getaran termal di sekitar kedudukan seimbangnya dan ketidak murnian
kimiawi dan cacat geometrik kristal logam.Logam merupakan suatu kumpulan dari
elektron dan ion – ion positif yang mana mempunyai elektron berupa awan
elektron,energi potensial ion,energi kinetik elektron yang mana energi potensial dari ion
lebih kecil dari energi kinetik elektron. Logam memegang peranan penting dalam
kehidupan manusia, misalnya besi dalam produksi otomobil, tembaga untuk penghantar
listrik dan lain-lain.
Umumnya, logam memiliki sifat kekuatan fisik tinggi, kerapatan tinggi,
konduktivitas listrik dan termal baik, dan daya refleksi tinggi. Sifat ini berkaitan dengan
struktur mikroskopis bahan, yang dapat diasumsikan bahwa suatu logam mengandung
elektron bebas, dengan konsentrasi besar, yang dapat bergerak dalam keseluruhan
volume kristal. Saat atom bebas membentuk logam, semua elektron valensi menjadi
elektron konduksi dalam logam. Elektron konduksi bergerak bebas di antara ion,
sehingga keadaannnya berubah tajam. Berbeda dengan elektron “cores” yang tetap
terlokalisasi sehingga karakternya relatif tidak berubah. Dengan demikian, gambaran
sederhana tentang kristal logam adalah suatu kisi ion teratur dalam ruang, dan elektron
bebas bergerak di antara ion tersebut.
Gambaran lebih lengkapnya, bahwa ion bergetar secara termal di sekitar titik
setimbang, dan demikian pula elektron bebas bergerak termal di antara ion kristal dan
merubah arah geraknya setiap kali menumbuk ion (kemungkinan besar) atau elektron
lain (kemungkinan kecil). Model elektron bebas mengasumsikan potensial kristal sangat
lemah sehingga elektron berprilaku hampir bebas. Elektron bebas terkuantitasi hadir
akibat keterbatasan model elektron bebas klasik. Dimana elektron bebas terkuantisasi
menerapkan prinsip larangan pauli dan kuantisasi energi elektron bebas. Model elektron
bebas memberikan harga energi yang terdistribusi secara terus menerus dari nol sampai
tak hingga, persamaan schrodinger untuk elektron diketahui:
( )
( )
Solusinya adalah
( )
⁄ , untuk fungsi gelombang
dan
( )
, untuk energi elektron
Fungsi gelombang elektron bebas berbentuk:
Persamaan ini mewakili gelombang berjalan dan momentum
.
Model elektron bebas mengasumsikan potensial kristal lemah tetapi tidak sama
dengan nol. Berdasarkan teorema Bloch untuk kristal satu dimensi, diskontinuitas
energi elektron pada batas-batas brillouin zone yaitu untuk
dengan n=±1, ±2,
±3, ….
Daerah ini terdapat pada gambar:
Gambar : (a) daerah reduced zone (b) daerah extended zone
Loncatan antara dua daerah energi disebut energi gap. Untuk mengevaluasi
besarnya energi gap ini digunakan teori peturbasi. Yang persamaannya adalah:
( ) ( ) ⟨
( )| | ( )⟩ ∑
|⟨ | | ⟩|
( )( )
( )( )
Hasil dari penjabaran teori peturbasi ini, memberikan bahwa energi gap pertama
dan kedua besarnya |
| dengan:
∫ ( ) (
)
MODEL ELEKTRON BEBAS KLASIK
Teori Drude tentang Elektron dalam Logam
Drude (1900) mengandaikan bahwa dalam logam terdapat elektron bebas, yang
membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal dengan
kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah geraknya setelah
bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh lebih besar, maka ion
logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini. Kehadiran medan listrik ε dalam logam
hanya mempengaruhi gerak keseluruhan electron karena ion-ion tertata berjajar dan
bervibrasi di sekitar titik kisi sehingga tidak memiliki neto gerak translasi. Misalnya,
terdapat medan listrik ε dalam arah sumbu-X. Percepatan elektron yang timbul
dengan e dan m*, masing-masing adalah muatan dan massa efektif elektron. Jika waktu
rata-rata antara dua tumbukan elektron dan ion adalah τ, maka kecepatanhanyut dalam
selang waktu tersebut
Oleh karena itu rapat arus yang terjadi
dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas setiap satuan volume.
Elektron bergerak secara acak, sehingga Σvo=0. Oleh sebab itu
Karena hubungan Jx=σε, maka menurut konduktivitas listrik memiliki ungkapan
Pengukuran menunjukkan bahwa nilai rata-rata σ logam sekitar 5.10
7(Ωm)
-1.
Dengan menganggap masa efektif m* sama dengan massa bebas mo=9,1.10-31
kg, maka
didapatkan nilai τ berorde 10-14
s. Contoh analisa lain adalah konduktivitas termal.
Misalnya, sepanjang sumbu- X terdapat gradien suhu ∂T/∂x, maka akan terjadi aliran
energi persatuan luas perdetik (arus kalor) Qe. Berdasarkan eksperimen arus kalor Qe
tersebut sebanding dengan gradien suhu ∂T/∂x
dengan K adalah konduktivitas termal. Dalam isolator, panas dialirkan sepenuhnya oleh
fonon. Sedangkan dalam logam dialirkan oleh fonon dan elektron. Tetapi karena
konsentrasi elektron dalam logam sangat besar, maka konduktivitas termal fonon jauh
lebih kecil daripada elektron, yakni Kfonon≅10-2
Kelektron,sehingga konduktivitas fonon
diabaikan. Dari pendekatan teori kinetik gas diperoleh ungkapan konduktivitas termal
dimana CV, v dan l masing-masing adalah kapasitas panas elektron persatuan volume,
kecepatan partikel rata-rata dan lintas bebas rata-rata partikel. Karena CV=(3/2)nk,
(1/2)mv2=(3/2)kT dan l=vτ, maka konduktivitas
Perbandingan konduktivitas termal
Hal ini sesuai dengan penemuan empirik oleh Wiedemann-Frans (1853). Kadang -
kadang perbandingan di atas dinyatakan sebagai bilangan Lorentz
Ternyata, hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk suhu tinggi
(termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K). Tetapi, untuk suhu
“intermediate”, K/σT bergantung pada suhu. Dalam teori drude, lintas bebas rata-rata
elektron bebas, l=τvo, tidak bergantung suhu. Namun, karena vo∼T1/2
, maka keadaan
mengharuskan
τ ∼ T-1/2
Hal ini didukung fakta eksperimen bahwa σ∼T-1
, sehingga dari ungkapan
konduktivitas listrik didapatkan
n τ ∼ T-1
atau n ∼ T-1/2
Ungkapan terakhir ini menunjukkan bahwa bila T naik, maka n menurun. Hal ini
tidak sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak memadai.
Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian berikut.
a. Kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip (yang
membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam volume kristal.
b. Elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing bergerak
secara acak dengan kecepatan termal (seperti molekul dalam gas ideal – tidak ada
tumbukan, kecuali terhadap permukaan batas)
c. Pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron bebas
sangat besar.
d. Elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang potensial di
permukaan batas.
Misalnya, setiap atom memberikan ZV elektron bebas, maka jumlah total elektron
tersebut perkilomol
Bila elektron berperilaku seperti dalam gas ideal, maka energi kinetik totalnya
sehingga kapasitas panas sumbangan elektron bebas
Kapasitas panas total dalam logam, termasuk sumbangan oleh fonon, adalah
Jadi, setidaknya kapasitas panas logam harus 50% lebih tinggi daripada isolator. Tetapi,
eksperimen menunjukkan bahwa untuk semua bahan padatan (logam dan isolator) nilai
CV mendekati 3R pada suhu tinggi. Pengukuran yang akurat menunjukkan bahwa
sumbangan elektron bebas terhadap kapasitas panas total adalah reduksi harga klasik
(3/2)R oleh factor 10-2
. Oleh karena itu model elektron bebas klasik tidak memberikan
hasil ramalan CV yang memadai. Suseptibilitas magnetik χ mengkaitkan momen
magnetik M dan kuat medan magnetik H melalui ungkapan
Dalam hal ini hanya dibahas untuk bahan isotropik, sehingga χ skalar. Pengaruh
medan magnet luar H terhadap elektron bebas menyebabkan setiap momen dipol μ,
yang acak arahnya, memperoleh energi magnetik
Jika distribusi momen dipol elektron bebas memenuhi statistik Maxwell-
Boltzmann,yakni f(E)=e-E/kT
, maka momen dipol rata-rata dalam arah medan memenuhi
dimana θ adalah sudut antara μ dan H adalah
dengan L(x)=coth x – (1/x) = fungsi Langevin
Dengan menggunakan deret
maka untuk medan H tidak kuat, yakni μH<<kT momen dipol rata-rata tersebut
berharga
Jika jumlah momen dipol magnet adalah N, maka magnetisasinya
Dengan membandingkan diperoleh suseptibilitas magnetik
Tetapi, eksperimen tidak menunjukkan adanya kebergantungan χ terhadap T. Hal ini
berarti model elektron bebas klasik tidak dapat menerangkan tentang mengapa χ untuk
paramagnet elektron tidak bergantung pada T.
Konsep Kuantisasi Energi
1. Energi osilator
Terkuantisasi
Diskrit
2. Teori Einstein untuk Cv
Menggunakan Teori Planck
a) Energi terkuantisasi
w ε
wn ε
3......... 2, 1, 0, n
34-10 x 0545 1, 2π
h
Einsteinharmonik osilator frekuensi wE
b) Maxwell – Boltzman
TB
k
ε
e ε) ( f
h υ ε
TB
k
ε
e )n
ε ( f
33-10 x 1,3805 B
k
rata-rata energi ε
εA
N 3 U
0n
εf
0nn
εεf
ε
0n
TB
k
e-
e
TB
k
w
e
0n
wn
ε
0n
TB
k
w
e
0n
TB
k
w-
e
TB
k
1-
n
ε
TB
k
w
e
TB
k
w-
en
TB
k- ε
TB
kw-
en ln T
Bk-
ε
TB
kw-
en ln T
Bk
- ε
.........T
Bk
w2
eT
Bk
w-
e 1ln T
Bk
wn-
e ln
TB
kw-
e ln T
Bk
- ε
n
TB
kw-
- e
T
Bk
wn-
e
1
1lnln
1
TB
kw-
e - 1ln T
Bk
- ε
w- x T
Bk
w
e - x
2
TB
k
w
e - 1- x T
Bk
w
e - 1 ε
.
TB
kw-
e 1
w TB
kw-e
ε
.
1 - T
Bk
w-
e
Ew
ε
εA
N 3 U
1 -
T
Bk
w-
e
Ew
AN 3
U
1 - T
Bk
w-
e
Ew
AN 3
dT
d
dT
dU
vC
2T
Bk
E w-
T
Bk
Ew
e 2
1 - T
Bk
w
e
w N 3
vC
2
1 - T
Bk
w
e
T
Bk
Ew
e
TB
k
E w
B
k N 3 - v
C
2
1 - T
Bk
w
e
T
Bk
Ew
e
TB
k
E w
R 3- v
C
einsteintik karakterissuhu
Bk
E w
E
θ
2
1TE
θ
e
TE
θ
e
2
T
Eθ
R 3 v
C
T
vC
3R
sT
0
0T
θ ; T
T C ; T
3RC ; T
0C ; 0 T
E
v
v
v
3
1 - T
Bk
w
e
w
1 - T
Bk
w
e
TB
/kB
w T
Bk ε
Jika T >>
0 T
Bk
E w
TB
k
- T
Bk
w
e
TB
kE
w
ε
Tb
k
E w
1
lim0
TB
k ε
T k N 3 U B
T
U
vC
R 3k N 3v
C
Jika T 0
0v
C
2
1TE
θ
e
TE
θ
e
2
T
Eθ
R 3 v
C
T = 0
0R 3
v
C
Jika T <<
Einstein) Teori (kegagalan penuhi tidak ter T 3 vC
MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI
Untuk memperbaiki kegagalan model elektron bebas klasik dalam menelaah sifat
listrik dan magnet bahan, ditawarkan model elektron bebas yang terkuantisasi. Model
ini menggunakan prinsip kuantisasi energi elektron dan prinsip eksklusi Pauli untuk
elektron yang melibatkan distribusi Fermi-Dirac. Model elektron bebas, dimana
pengaruh dari semua elektron bebas yang lain dan semua ion positip direpresentasikan
oleh potensial V sama dengan nol sehingga gaya yang bekerja pada elektron juga sama
dengan nol, secara kuantum mengambil persamaan Schrodinger
dengan solusi fungsi elektron
dan energi elektron
Harga k tidak dibatasi sehingga energi elektron tidak terkuantisasi. Tetapi bila elektron
bebas tersebut bergerak dalam suatu kubus dengan rusuk L, maka haruslah dipenuhi
Dalam ruang k, setiap keadaan elektron direpresentasikan oleh volume sebesar
(2π/L)3, yaitu masing-masing untuk Δnx=Δny=Δnz=1. Semua keadaan elektron yang
berenergi
terletak pada permukaan bola berkari-jari k yang memenuhi
Sedangkan semua keadaan elektron yang berenergi antara E dan E+dE terletak dalam
kulit bola dengan jari-jari antara k dan k+dk dan volume 4πk2dk. Dengan demikian,
jumlah keadaan elektron
Apabila diperhitungkan dua spin elektron, maka jumlah tersebut menjadi
Mengingat ungkapan E=ћ
2k
2/2mo, maka jumlah keadaan elektron persatuan volume
yang berenergi antara E dan E+dE adalah
Prinsip Pauli menyatakan bahwa dalam satu sistem fisis tidak boleh terdapatdua
elektron atau lebih yang mempunyai perangkat bilangan kuantum yang tepat sama.
Prinsip larangan ini dipenuhi oleh elektron yang mengikuti fungsi distribusi Fermi-
Dirac
Pada suhu T=0 K, energi Fermi diungkapkan dalam bentuk EF(0); dan fungsi
distribusi Fermi-Dirac
Dengan kata lain, pada suhu T=0 K semua tingkat energi E<EF(0) terisi penuh
elektron dan E>EF(0) kosong. Sedangkan pada suhu T>0 K berlaku
untuk E < EF → f(E) < 1
untuk E = EF → f(E) = 1/2
untuk E > EF → f(E) > 0
Hal ini berarti pada T>0 K tingkat energi di atas EF sudah terisi sebagian dan di
bawah EF menjadi kosong sebagian.
Model elektron bebas terkuantisasi mengambil andaian sebagai berikut.
a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip
(yang membentuk kisi kristal) dan elektron bebas yang bergerak dalam volume
kristal.
b. Elektron bebas tersebut memenuhi kaidah fisika kuantum, yaitu mempunyai
energi terkuantisasi dan mematuhi larangan Pauli, yang secara menyatu
dirangkum dalam ungkapan rapat elektron
dn = n(E) dE = f(E) g(E) dE
b. Dengan mensubstitusikan diperoleh ungkapan rapat elektron sebagai fungsi dari
energi elektron dan suhu sistem
c. Pengaruh medan ion positip dapat diabaikan karena energi kinetik elektron bebas
sangat besar.
d. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya terdapat
suatu potensial penghalang υ yang harus diloncati oleh elektron bebas paling
energetik pada suhu T=0 K (energi EF) untuk dapat meninggalkan permukaan
batas logam.
e.
Elektron Bebas Terkuantisasi
Kerena kurang memadai dalam menerangkan beberapa sifat dan prilaku besaran
logam, teori tentang kelistrikan logam diperbaiki dengan memasukkan dua konsep
fisika kuantum yaitu :
1. Kuantisasi energi elektron bebas
2. Prinsip larangan Pauli
Dengan demikian dalam teori yang baru dikenal sebagai model elektron bebas
terkuantisasi digunakan andaian dasar tentang kelistrikan logam serta unsure – unsure
fisika kuantum diatas. Kuantisasi energi elektron bebas dan rapat keadaan energi
elektron
Karena bersifat dualistik elektron bebas dianggap bergerak sebagai gelombang de
Broglie dalam seluruh volume Kristal. Syarat batas yang harus dipenuhi agar
gelombang merupakan solusi untuk perambatan dalam volume Kristal itu adalah syarat
batas siklik Born-van Karmizan yang dapat ditampilkan dalam bentuk :
CiħxL
CiħyL
CiħzL
= 1
Kristal yang dianggap berbentuk kubus dengan rusuk L dan Kx, Ky, dan Kz merupakan
vector propagasi gelombang masing-masing dalam arah-X, arah-Y dan arah-Z. syarat
batas siklik diatas memberikan syarat berikut pada komponen vector propagasi :
Kx = nx (2π / L) nx = 0, +1, +2,……
Ky = ny (2π / L) ny = 0, +1, +2,……
Kz = nz (2π / L) nz = 0, +1, +2,……
Jadi vektor propagasi terkuantisasi dan momentum linear dan energy kinetic elektron
juga terkuantisasi. Perangkat (Kx , Ky, Kz) yang menyatakan suatu keadaan yang boleh
dimiliki elektron dapat dipresentasikan sebagai suatu titik dalam ruang K. dalam ruang
K setiap perangkat (Kx, Ky, Kz) menempati ruangan bervolume (2π/L)3, yaitu untuk
∆nx, ∆ny, ∆nz =1.
Energy elektron yang dicirikan oleh perangkat(Kx, Ky, Kz) besarnya :
Ek = ħ2/ 2mo (Kx
2 + Ky
2 +Kz
2)
Dalam persamaan diatas mo adalah massa elektron bebas. Semua elektron yang
sama energy kinetiknya Ek didalam ruang K terletak permukaan dengan jari [K] yang
besarnya :
K2 = (Kx
2 +Ky
2 +Kz
2) = 2moEk / ħ
2
Dengan demikian semua keadaan elektron dengan energy antara E dan (E +∆E)
dipresentasikanke titik – titik (Kx, Ky, Kz) yang terletak dalam kulit bola berjari – jari k
dan tebal ∆k. dalam ruang elemen volume itu adalah :
4πK2∆k
Dengan demikian jumlah keadaan energi elektronya adalah :
( )
Apabila diperhitungkan dua spin elektron, maka jumlah keadaan energy elektron per
satuan volume dengan vektor propagasi antara K dan (K+∆K) menjadi :
Karena :
√
Sehingga jumlah keadaan elektron per satuan volume dengan energy antara E dan
(E+∆E) adalah :
( )
( )
⁄
⁄
Jadi rapat keadaan elektron adalah :
( )
( )
⁄
⁄
Dalam bahasa sederhana rapat keadaan elektron adalah jumlah temat yang
tersedia per satuan volume Kristal untuk diisi elektron dengan energy antara E dan
(E+∆E) dengan ∆E adalah 1. Tempat tersedia bersangkutan belum tentu terisi elektron,
hal ini bergantung dari fungsi distribusi energi elektron pada energy E dan suhu T
ditempat bersangkutan. Bentuk langsung g(E) seperti gambar dibawah ini :
g(E)
0 (E)
Sesungguhnya energi sepanjang sumbu energi E berharga diskrit, tidak
berkesinambung seperti dikesankan dalam sketsa. Sifat diskrit harga E berkaitan dengan
penerapan syarat batas siklis pada gelombang yang mempresentasikan elektron dalam
volume Kristal. Uraian yang berkaitan dengan prinsip tersebut dapat dijelaskan melalui
larangan pauli dan distribusi energy elektron bebas seperti dibawah ini.
Larangan Pauli
Larangan pauli (1925) pada hakekatnya menyatakan bahwa tidak ada dua atau
lebih elektron dalam suatu sistem yang memiliki energ tepat sama. Dalam mekanika
kuantum hal ini dinyatakan sebagai suatu sistem fisika. Dengan larangan pauli konsisten
pada statistic Fermi-dirac (1926) disingkat FD, yaitu :
( )
( )
dengan E adalan energy elektron bebas, Ef adalah energi Fermi. Sketsa fungsi f(E)
diperlihatkan seperti gambar dibawah ini yang disertai dengan beberapa fungsi T :
Sifat fungsi distribusi Fermi-dirac adalah :
1. Sangat berbeda dengan distribusi MB
2. Pada T = 0, f(E) = 1, bagi semua E<Ef dan f(E) = 0 untuk semua E>Ef
3. apabila (E - Ef) >>kBT, jadi untuk elektron dengan energy E yang besar diatas Ef
sebaranya menjadi f(E) ≡ e –(Kx +Ky+Kz)
jadi sebaranya berkecendrungan sebagai
distribusi Maxwell-Boltzman.
4. Sebaliknya apabila (Ef - E) >>kBT, jadi energy E rendah dan dibawah Ef, f(E) ≡ 1 - e
(Kx +Ky+Kz) artinya untuk E rendah harga F(e)→1.
5. Apabila E = Ef maka pada semua harga T, f(E) = 0,5
Rapat Elektron
Dengan ungkapan untuk rapat keadaan energy elektron g (E) dan sebaran energy
elektron menurut Fermi-dirac, dengan serta merta dapat ditetapkan distribusi diferensial
rapat elektron bebas dalam Kristal dengan fungsi deri energy elektron E :
( ) ( ) ( )
( )
( )
⁄
⁄
( ( ))
sedangkan rapat elektron bebas n yakni jumlah elektron bebas dari semua energi per
satuan volume adalah :
∫ ( ) ∫ ( ) ( )
Kontribusi Elektron Bebas Pada Panas Jenis Logam
Energi kinetik total elektron bebas per satuan volume logam sebagai :
∫ ( ) ( )
Dan hal itu dapat dinyatakan sebagai :
Dengan :
∫ ( )
Pada T = 0 harga f(E) = 1 dan E < Ef
Dari grafik diatas dapat diperoleh gambaran tentang cara mengevaluasi ∆U :
∫ ( ) ( )[ ] ∫[ ( ) ( )[ ]
Dengan demikian maka ungkapan untuk energi internal yang berasal dari energi
kinetik elektron bebas adalah :
∫ ( ) ∫[
] ( ) ( ) ∫[ ][ ( ) ( )
Suku pertama dalam ruas kanan merupakan tetapan, tidak bergantung T. Panas
jenis yang bersumber pada energi kinetik elektron bebas dalam logam adalah :
( ) ( )
[ ]
∫[
]
( ) ∫[ ]
(
) ( )
Evaluasi selanjutnya memberi :
( ) ∫[
]
( )
Khusus ditinjau (Cv)d pada suhu yang sangat rendah katakanlak keadaan dengan
KBT /Ef << 1/100 untuk keadaan seperti ∂f/∂T berarti disekitar E = Ef, sehingga :
( ) ( )∫ [
]
Untuk mengevalusi integral diatas perlu terlebih dahulu dicari ungkaspan untuk
∂f/∂T
( )
( )
( ( ) )
Bataskan besaran baru :
( )
maka :
( ) ( ) ∫ ( )
( )
( )( ) ∫
( )
( )( ) ∫
( )
( )
Karena :
( )
( )
⁄
( )
⁄
Jadi :
( )
Bila diambil kasus untuk T=0 K, maka diperoleh
Dengan demikian suseptibilitas Magnetiknya
Terlihat bahwa suseptibilitas di atas tidak bergantung secara kuat terhadap suhu.
Dengan harga EFo=2 eV didapatkan χ=5.10-6
yang sesuai dengan hasil eksperimen.
Meskipun perhitungan di atas diambil pada suhu nol mutlak, tetapi hasilnya valid dalam
rentang suhu yang cukup besar.
TUGAS FISIKA ZAT PADAT
TENTANG
ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI
Oleh :
LUSI FITRIAN SANI
1010442012
DOSEN : Drs.ALIMIN MAHYUDIN, M.Si
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS ANDALAS
PADANG
2013
top related