tim dosen matematika dasar tep

Fungsi eksponensial

Tim Dosen matematika dasar TEP

Pengertian

Persamaan Eksponen suatu persamaan yang pangkatnya (eksponen), bilangan pokoknya, atau bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel.

Bentuk persamaan eksponen

1. a f(x) =1

2. a f(x) =p

3. a f(x) = a g(x)

4. a f(x) = b f(x)

5. a f(x) = b g(x)

6. f(x)g(x) = 1, f(x) ≠ g (x)

7. f(x)g(x) = f(x)h(x)

8. dsb

Bentuk persamaan eksponen

1. Bentuk Persamaan a f(x) =1

Misalkan terdapat persamaan a f(x) =1, dengan a>0 dan a≠1.

Contoh :

Penyelesaian :

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 5}

13 13

542

x

xx

013

54

33

2

x

xx

Bentuk persamaan eksponen

2. Bentuk Persamaan a f(x) =p

Misalkan terdapat persamaan a f(x) =p, dengan a>0 dan a≠1.

Contoh :2x x 9 1

327

3

9

3

13

2

xx

Bentuk persamaan eksponen

2. Bentuk Persamaan a f(x) =p

Penyelesaian :

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 3}

3

9

3

13

2

xx

032

06

39

33

2

2

392

xx

xx

xx

xx

0302 xataux

32 xataux

Bentuk persamaan eksponen

2. Bentuk Persamaan a f(x) =p

Selesaikan:

4

3

13 16

1

2

4

x

Bentuk persamaan eksponen

3. Bentuk Persamaan a f(x) = a g(x)

Misalkan terdapat persamaan a f(x) =a g(x) , dengan a>0 dan a≠1.

Contoh :

Penyelesaian :

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-5}

3 132 84 xx

31

1322 82 xx

Bentuk persamaan eksponen

3. Bentuk Persamaan a f(x) = a g(x)

Selesaikan:

24 1255 yxyx

Bentuk persamaan eksponen

4. Bentuk Persamaan a f(x) = b f(x)

Misalkan terdapat persamaan a f(x) = b f(x) , dengan a≠b; a, b>0; a,b≠1.

Karena a≠b maka log a ≠ log b. Oleh karena itu, agar kedua ruas bernilai sama, f(x)=0. Jadi :

bxfaxf

ba xfxf

log)(log)(

loglog )()(

0)()()( xfba xfxf

Bentuk persamaan eksponen

4. Bentuk Persamaan a f(x) = b f(x)

Contoh :

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 3}

3232 22

3

1

2

1

xxxx

31

031

0322

xataux

xx

xx

Bentuk persamaan eksponen

5. Bentuk Persamaan a f(x) = b g(x)

Misalkan terdapat persamaan a f(x) = b g(x) , dengan a≤b; a, b>0; a, b≠1, dan f(x) ≠ g(x).

Contoh :

)()( loglog xgxf ba

x 2 x3 8 xx 32 23

Bentuk persamaan eksponen

Penyelesaian :

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { }

xx 32 23

9

1log8

3

x

3

8

3 1

8 9

3 1xlog log

8 9

1log

9x3

log8

1x log

9

x 2 3x

x2 x 3

x x

x

x

3 2

3 .3 2

9.3 8

3 1

98

Latihan

5. Bentuk Persamaan a f(x) = b g(x)

Selesaikan persamaan :

33-x = 6-x-3

Bentuk persamaan eksponen

6. Bentuk Persamaan

Tentukan:

Menurut sifat eksponen, pers diatas dpt diubah mjd:

0)(2)( CaBaA xfxf

0622 12 xx

22

3

0232

062

2

06222

2

2

yatauy

yy

yy

yMisalkan x

xx

Bentuk persamaan eksponen

6. Bentuk Persamaan

a) Untuk nilai x tidak ada yg

memenuhi sebab bilangan positif dipangkatkan berapa saja hasilnya selalu positif

b) Untuk nilai x=1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1}

2

32

2

3 xy

0)(2)( CaBaA xfxf

1222 xy

latihan

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3 2-x + 3 x-1 = 4

Bentuk persamaan eksponen

7. Bentuk Persamaan f(x)g(x) = 1, f(x)≠ g (x)

Langkah:

a) g(x)=0 krn ruas kanan nilainya 1 berarti g(x) harus sama dengan nol

b) f(x)=1 krn jika f(x)=1 maka bilangan 1 dipangkatkan berapa pun nilainya 1

c) f(x) = -1, dengan syarat g(x) harus genap

Tentukan himpunan penyelesaian dari pers eksponen :

13463

xx

Bentuk persamaan eksponen

Penyelesaian :

Diketahui bahwa f(x)=4x-3 dan g(x)=3x+6

Persamaan

1) g(x)=0

2) f(x)=1 atau

3) f(x)=-1 (untuk g(x) genap) dipenuhi

13463

xx

jikabenarxf

xg1

2

63

063

0)1

x

x

x

xg

Kita selidiki satu demi satu ketiga kemungkinan tersebut sebagai berikut :

1

314

134

1)2

x

x

x

xf

2

1

24

134

1)3

x

x

x

xf

Untuk f(x)=-1 memenuhi jika g(x) nilainya genap. Kita uji untuk g(x) BUKAN bil genap

2

1x

2

176

2

36

2

13

2

1

g

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2,1}

Bentuk persamaan eksponen

8. Bentuk Persamaan f(x)g(x) = f(x)h(x)

Langkah:

a) g(x)=h(x) krn bil pokok sdh sama mk pangkat harus sama.

b) f(x)=1 krn g(x)≠h(x) mk bil pokok hrs bernilai 1 agr pers bernilai benar.

c) f(x)=-1, berakibat g(x) dan h(x) hrs bersama-sama bernilai genap atau sama-sama bernilai ganjil

d) f(x)=0, dg g(x) dan h(x) masing2 bernilai positif dituliskan g(x)>0 dan h(x)>0.

8. Bentuk Persamaan f(x)g(x) = f(x)h(x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pers eksponen :

612115115

xxxx

Bentuk persamaan eksponen

Bentuk persamaan eksponen

Penyelesaian :

Dari persamaan diatas diketahui bahwa :

612115115

xxxx

612,115 xxhdanxxgxxf

5

1624

612

)1

x

xx

xx

xhxg

2

105

1115

1115

1)2

x

x

x

x

xf

5

12

125

1115

1)3

x

x

x

xf

Kita selidiki apakah mengakibatkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil.

Untuk

Karena bukan bilangan genap atau

ganjil maka bukan merupakan penyelesaian

5

12x

5

426

5

12

5

12

5

291

5

122

5

12

5

12

h

gx

5

12x

5

11

115

01150)4

x

x

xxf

Kita selidiki apakah mengakibatkan g(x) dan h(x) bernilai positif

5

11x

Untuk

05

416

5

11

5

11

05

271

5

112

5

11

5

11

h

gx

Karena

bukan merupakan penyelesaian.

5

110

5

110

5

11

xmakahdang

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-5, -2}

Bentuk persamaan eksponen

9. Bentuk Persamaan g(x)f(x) = h(x)f(x)

a) f(x)=0 untuk g(x) ≠ 0 dan h(x) ≠ 0;

b) g(x)=h(x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari pers eksponen :

xxxxx

262262 2322

Bentuk persamaan eksponen

9. Bentuk Persamaan g(x)f(x) = h(x)f(x)

Penyelesaian :

1)f(x) = 0

6x-2=0

-2x=-6

x=3

Selanjutnya, dari x=3 ini kita selidiki apakah nilai x=3 mengakibatkan g(x)≠0 dan h(3)≠0 ?

Untuk x=3 g(3) = 2(3)2 – 2(3) – 3=9 ≠ 0

h(3) = 2(3)2 = -7 ≠ 0

xxxxx

262262 2322

Bentuk persamaan eksponen

9. Bentuk Persamaan g(x)f(x) = h(x)f(x)

Penyelesaian :

2)g(x) = h(x)

2x2 - 2x – 3 = 2 - x2

3x2 - 2x – 5 = 0

(3x-5) (x+1) = 0

x = 5/3 atau x = -1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -1, 5/3, 3}

xxxxx

262262 2322

Homework

Selesaikan persamaan :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

persamaan 3-x+3 + 3x-2 = 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

2x-2 + 23-x – 1 = 2

Selesaikan persamaan : 3x 1 x 3(2x 5) (2x 5)

2

33x 1

9 1

3 27

Pengertian

Fungsi Eksponen suatu fungsi yang memetakan setiap x anggota himpunan bilangan real dengan tepat satu anggota bilangan real kax , dengan k suatu konstanta dan a bilangan pokok (basis), dengan a>0 dan a ≠ 1.

Fungsi eksponensial

• Fungsi eksponensial didefinisikan sebagai :f(x) = ax

dimana a > 0, a ≠ 1, dan x adalah bilangan real

• Contoh : f(x) = 2x

x f(x) (x, f(x))

-2 ¼ (-2, ¼)

-1 ½ (-1, ½)

0 1 (0, 1)

1 2 (1, 2)

2 4 (2, 4)

Fungsi eksponensial

• Domain dan Range ?

Grafik f(x) = ax, a >1 Grafik f(x) = ax, 0 < a < 1

Exponential function

• Dari persamaan f(x) = 2x, gambarkan :a. f(x) = 2x – 1b. f(x) = 2-x

translation reflection

Grafik fungsi eksponensial

Gambarkan grafik dari f(x) = 3x+1

Gambarkan grafik dari f(x) = 3x +1

Eksponensial vs logaritma

Exponensial vs Logaritma

Fungsi Eksponensial di mana

a > 1 ( xaxf )

Fungsi Logaritma di mana

a > 1 ( xxf alog )

Daerah asal berupa bilangan real Range berupa bilangan real

Range merupakan bilangan real

positif

Daerah asal merupakan bilangan

real positif

Tidak terdapat titik potong pada

sumbu x karena tidak ada nilai x

yang dapat membuat fungsi

bernilai =0

Tidak ada titik potong dengan sumbu

y

Titik potongnya selalu (0,1)

karena a 0 = 1

Titik potong dengan sumbu x selalu

(1,0)

Grafiknya selalu meningkat Grafiknya selalu meningkat

Sumbu x ketika y = 0adalah

asimtot horizontal untuk x -

Sumbu y (di mana x = 0) adalah

asimtot vertikal

Eksponensial vs logaritma

Exponensial vs Logaritma

Grafik Eksponensial Grafik Logaritma

Grafik fungsi invers direfleksikan berdasarkan garis y = x

xpkyxf )1()(

A. Pertumbuhan (Pertambahan)

Pertumbuhan secara eksponensial dapat dituliskan dlm fs f(x) = y = kax , dengan a=p+1 dan nilai p>0. p laju pertumbuhan

Jika a=p+1, k>0, dan p>0, maka fungsi eksponen f(x)= y = kax dapat dinyatakan dalam bentuk:

PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL

Penerapan fungsi eksponensial

Pada pertumbuhan atau pertambahan dalam kehidupan sehari-hari.

Misalnya banyak keadaan awal (modal) populasi atau besaran adalah Po. Jika terjadi pertumbuhan sebesar i (dalam %) per tahun (atau setiap satuan jangka waktu tertentu lainnya) maka jumlah populasi atau modal setelah t tahun adalah

Apabila pertambahan terjadi secara kontinu maka:

Dengan e=2,718281... (bilangan natural) i=besarnya pertumbuhan pd periode t

t

ot iPP )1(

it

ot ePP

Penerapan fungsi eksponensial

Contoh :

Adel menabung sebesar Rp 250.000 di suatu bankselama 5 th dengan bunga majemuk sebesar 10%per th. Pada setiap akhir tahun bunga pd th ygbersangkutan ditambahkan dengan uang ygtersimpan shg seluruhnya mjd modal awal thberikutnya. Berapa uang Adel pd akhir tahun ke-4?

Penerapan fungsi eksponensial

Jawab : Bunga yg diberikan oleh bank adalah bunga majemuk shg

Mt=Mo (1+i)t. Diketahui Mo= Rp 250.000, i=10%=0,1, dan t=4 th. Oleh karena itu, besarnya uang Adel pd akhir th ke-4 adalah sbb:

Mt = Mo (1+i)t

M4 = Rp 250.000 (1+0,1)4

= Rp 250.000 x (1,1)4

= Rp 250.000 x 1,464= Rp 366.000

Jadi, besarnya uang Adel pd akhir th ke-4 adalah Rp

366.000.

Banyaknya bakteri dlm pembiakan pada tengahhari ialah 10.000.Setelah 2 jam, bertambah menjadi 40.000.Berapa jumlah bakteri pada pukul 17.00?

PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL

Banyaknya bakteri dlm pembiakan pada tengah hari ialah10.000.Setelah 2 jam, bertambah menjadi 40.000.Berapa jumlah bakteri pada pukul 17.00?

Jawab : y0= 10.000 bakteriy = 40.000 bakterit = 2 jam

y = y0 ekt

40.000 = 10.000 ek(2)

4 = e2k

ln 4 =2k k= 0,693

Shg persamaan menjadi y = 10.000 e0,693t

Untuk t=5 y = 10.000 e0,693(5) =320.000 bakteri

43

xpkyxf )1()(

B. Peluruhan (Pengurangan atau Penyusutan)

Penyusutan secara eksponensial dapat dituliskan dlm fs f(x) = y = kax , dengan a=1-p.

p laju penyusutan0 < p < 1

Jika a=1-p, k>0, dan 0 < p < 1, maka fungsi eksponen f(x)= y = kax dapat dinyatakan dalam bentuk:

PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL

Penerapan fungsi eksponensial

Penyusutan contohnya penyusutan benda atau peralatan, peluruhan zat radioaktif (kimia), dsb.

Apabila penyusutan terjadi secara kontinu maka:

Dengan Pt = sisa benda saat tP0 = banyaknya benda mula-mulaλ = tetapan peluruhant = waktu

t

ot ePP

Penerapan fungsi eksponensial

Contoh : Pada pukul 5.00 massa suatu zat radioaktif

adalah 0,5 kg. Apabila laju peluruh zat radioaktif tsb 2% setiap jam, hitunglah sisa zat radioaktif pd pukul 9.00