rumus rumus trigonometri

BAB 3

Rumus-rumus Trigonometri

Standar Kompetensi: Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya.

Kompetensi Dasar: Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut,

selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu.

Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH

Rumus untuk cos ( )

Rumus untuk sin ( )

Rumus untuk tan ( ) 1

1. Rumus untuk cos ( )

X

YC(cos( + ), sin ( + )

B(cos , sin )

D(cos , sin )

A(1,0)

0

AC2 = {cos ( + ) 1}2 + {sin ( + ) 0}2

= cos2 ( + ) 2 cos ( + ) +1 + sin2 ( + )

= {cos2 ( + ) + sin2 ( + )} +1 2 cos ( + )

= 1AC2 = 2 2 cos ( + )

a. Rumus untuk cos ( + )

2

BD2 = (cos cos )2 + (sin sin )2

= cos2 2 cos cos + cos2 + sin2 + 2 sin sin + sin2

= (cos2 + sin2 ) + (cos2 cos + sin2 ) 2 cos cos + 2 sin

AC2 = BD2

2 2 cos ( + ) = 2 2 cos cos + 2 sin sin . cos ( + ) = cos cos sin sin .

cos ( + ) = cos cos sin sin

3

b. Rumus untuk cos ( )

cos ( ) = cos ( + ())= cos cos () sin sin ()= cos cos sin (sin )= cos cos + sin sin

cos ( ) = cos cos + sin sin

Catatan:

cos () = cos

Sin () = sin

4

a. Rumus untuk sin ( + )

sin ( + ) = cos ( ( + )2

= cos (( ) )2

= cos ( ) cos + sin ( ) sin .2

2

sin cos

sin ( + ) = sin cos + cos sin

b. Rumus untuk sin ( )

sin ( ) = sin cos cos sin

2. Rumus untuk sin ( )

5

a. Rumus untuk tan ( + )

tan ( + ) =sin ( + )

cos ( + )

sin cos + cos sin cos cos sin sin =

cos cos 1

cos cos 1

sin cos cos

sin +

=1 sin

cos cos sin

b. Rumus untuk tan ( )

tan ( ) = tan tan 1 + tan tan

tan = sin cos

3. Rumus untuk tan ( )

tan ( + ) =tan + tan

1 tan tan

6

RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT GANDA

Rumus untuk

tan 2

sin 2

cos 2

tan 1 2

sin 1 2

cos 1 2

7

a. Rumus untuk sin 2sin ( + ) = sin cos + cos sin

sin ( + ) = sin cos + cos sin

sin 2 = sin cos + sin cos (ingat cos sin = sin cos )

sin 2 = 2 sin cos

Jadi, rumus untuk sin 2 adalah

b. Rumus untuk cos 2cos ( + ) = cos cos sin sin

cos 2 = cos2 sin2

Jadi, rumus untuk cos 2 adalah

cos 2 = cos2 1

sin 2 = 2 sin cos

cos 2 = cos2 sin2

cos 2 = 1 2 sin2 8

c. Rumus untuk tan 2

tan ( + ) =tan + tan

1 tan tan

tan ( + ) =tan + tan

1 tan tan

tan ( + ) =2 tan 1 tan2

Jadi, rumus untuk tan 2 adalah

tan 2 = 2 tan 1 tan2

9

1 2

d. Rumus untuk sin

1 2

cos 2 = 1 2 sin2

2 sin2 = 1 cos 2

sin2 =1 cos 2

2

sin2 = 1 cos 2

2

= 1 2

sin = 1 2

1 cos 2 2

Jadi, rumus untuk sin adalah

sin = 1

2

1 cos 2 2

e. Rumus untuk cos 1 2

cos = 1 2

1 + cos 2

f. Rumus untuk tan 1 2

tan = 1 2

1 cos 1 + cos

tan = 1 2

1 cos sin

tan = 1 2

sin 1 + cos

atau

11

RUMUS PERKALIAN SINUS DAN KOSINUS

Rumus untuk 2 sin cos

Rumus untuk 2 cos sin

Rumus untuk 2 cos cos

Rumus untuk 2 sin sin

12

a. Rumus untuk 2 sin cos

sin ( + ) = sin cos + cos sin sin ( ) = sin cos cos sin

sin ( + ) + sin ( ) = 2 sin cos +

Jadi,

b. Rumus untuk 2 cos sin sin ( + ) = sin cos + cos sin sin ( ) = sin cos cos sin

sin ( + ) sin ( ) = 2 cos sin

Jadi, 2 cos sin = sin ( + ) sin ( ).

2 cos sin = sin ( + ) sin ( ).

2 sin cos = sin ( + ) + sin ( ).

c. Rumus untuk 2 cos cos

cos ( + ) = cos cos sin sin cos ( ) = cos cos + sin sin

cos ( + ) + cos ( ) = 2 cos cos +

Jadi,

d. Rumus untuk 2 sin sin

cos ( + ) = cos cos sin sin cos ( ) = cos cos + sin sin

cos ( + ) cos ( ) = 2 sin sin

Jadi,

2 cos cos = cos ( + ) + cos ( )

2 cos cos = cos ( + ) + cos ( ).

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH

PADA SINUS DAN KOSINUS

sin A + sin B = 2 sin (A + B) cos (A B)1 2

1 2

sin A sin B = 2 cos (A + B) sin (A B)1 2

1 2

cos A + cos B = 2 cos (A + B) cos (A B)1 2

1 2

cos A cos B = 2 cos (A + B) sin (A B)1 2

1 2

15

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Cara-cara membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri dengan menggunakan kembali rumus-

rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri sudut ganda, dan rumus

trigonometri untuk sudut . 1 2

16

Selain itu, rumus-rumus trigonometri dasar yang akan sering digunakan

adalah:

• Rumus-rumus kebalikan:

• Rumus-rumus perbandingan:

• Rumus-rumus pythagoras:

• Rumus-rumus trigonometri untuk sudut-sudut berelasi.

sec = cosec tan , dan1cos

, = 1sin

1cot

.

tan = cot sin cos

dan = cos sin .

sin2 + cos2 = 1,1 + tan2 , dan 1 + cot2 = cosec2

17